2023-2025全國(guó)高考真題數(shù)學(xué)匯編

列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

一、解答題

1.（2024全國(guó)高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)

品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級(jí)合格不合格總

品品品計(jì)

甲車

2624050

間

乙車

70282100

間

總計(jì)96522150

⑴填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)非優(yōu)級(jí)

品品

甲車

間

乙車

間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率。=0.5,設(shè)萬(wàn)為升級(jí)改造后抽取的w件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果

萬(wàn)〉P+1.65、上匚"，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生

產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（洞。12.247）

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2025全國(guó)高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過(guò)超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了

1000人，得到如下列聯(lián)表：

超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計(jì)8002001000

⑴記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P,求產(chǎn)的估計(jì)值；

⑵根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(尤0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

3.(2023全國(guó)高考真題)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20

只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼

養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g).

(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)也再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于加與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如

下列聯(lián)表：

<m>m

對(duì)照組

實(shí)驗(yàn)組

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加

量有差異.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

k。0.1000.0500.010

2

P(K>kQ)2.7063.8416.635

4.(2023全國(guó)高考真題)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20

只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼

養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g).試驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15,218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；

(2)(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)如再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于機(jī)與不小于機(jī)的數(shù)據(jù)的個(gè)

數(shù)，完成如下列聯(lián)表

<m>m

對(duì)照組

試驗(yàn)組

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增

加量有差異？

n(ad-bc)2

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)，

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

5.(2024上海高考真題)為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中

抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)7口少于1/J、時(shí)人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)(精確到0.1)

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)?

n(ad-be)2

（附：/二其中，P(^2>3.841)?0.05.)

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)'n=a+b-\-c+d

參考答案

1.(1)答案見(jiàn)詳解

(2)答案見(jiàn)詳解

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算火2,并與臨界值對(duì)比分析;

(2)用頻率估計(jì)概率可得萬(wàn)=0.64,根據(jù)題意計(jì)算p+1.65結(jié)合題意分析判斷.

【詳解】(1)根據(jù)題意可得列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間2624

乙車間7030

可得於」50(26x3。-24x70)2)=4.6875,

50x100x96x5416

因?yàn)?.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的

優(yōu)級(jí)品率存在差異.

(2)由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為96貴=。64,

用頻率估計(jì)概率可得p=0.64,

又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率P=05,

貝Up+1.65\卜°一.)=0.5+1U70.5+1.65x0-520.567，

\nV15012.247

可知萬(wàn)>p+1.65陛三五，

Vn

所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.

八9

2.(1)—

10

(2)有關(guān)

【分析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；

(2)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，求出然后與小概率值a=0.001對(duì)應(yīng)的臨界值10.828比較，即可判斷.

【詳解】(1)根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的200人中有180人患病，所以P的估計(jì)值為夏=二；

(2)零假設(shè)為超聲波檢查結(jié)果與患病無(wú)關(guān),

⑼絲（20x20一78。運(yùn)8。）：=765,625>10,828=x0電，

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得,2

z800x200x800x200000

根據(jù)小概率值2=0.001的"獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷“。不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該

推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)O.OOL

3.⑴分布列見(jiàn)解析，E(X)=1

(2)(i)租=23.4；列聯(lián)表見(jiàn)解析,(ii)能

【分析】(1)利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得力=23.4,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【詳解】(1)依題意，X的可能取值為0」,2,

貝”(X=0)=詈=||，"=1)=皆式，P(X=2)=予丁，

C40小C403,C40必

(2)(i)依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與

第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6

所以根==23.4

2

故列聯(lián)表為:

<m>m合計(jì)

對(duì)照

61420

組

實(shí)驗(yàn)

14620

組

合計(jì)202040

(ii)由⑴可得，

=40x(6x6-14x14)^=6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

4.(1)19.8

⑵(i)〃z=23.4；列聯(lián)表見(jiàn)解析，(ii)能

【分析】(1)直接根據(jù)均值定義求解；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得〃?=23.4,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【詳解】（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為:

^(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2

396

+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=—=19.8

(2)(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21

位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為18.8,后續(xù)依次為19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,…，

故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6

所以根==23.4

2

故列聯(lián)表為:

<m>m合計(jì)

對(duì)照組61420

試驗(yàn)組14620

合計(jì)202040

00由⑴可得'”黑設(shè)抵）=6.4。。＞3.841,

所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

5.（1）12500

（2）0.9h

⑶有

【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；

（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；

（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）由表可知鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比———

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