2023-2025全國高考真題數(shù)學匯編

雙曲線及其方程（人教B版）

一、單選題

1.（2025全國高考真題）已知雙曲線C的虛軸長是實軸長的"倍，則C的離心率為（）

A.72B.2C.幣D.2A/2

2.（2025北京高考真題）雙曲線/_4y2=4的離心率為（）

A.BB.叵C.-D.75

224

3.（2024全國高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為（0,4）,（0,T）,點（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲

線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.72

4.（2025上海高考真題）已知A（0,l）,B（l,2）,C在：T:f-；/=1。20）上，則VA2C的面積（）

A.有最大值，但沒有最小值B.沒有最大值，但有最小值

C.既有最大值，也有最小值D.既沒有最大值，也沒有最小值

22

5.（2023天津高考真題）已知雙曲線工-2=1（。>04>0）的左、右焦點分別為耳K.過F?向一條漸近

ab

線作垂線，垂足為P.若怛鳥|=2,直線尸片的斜率為F，則雙曲線的方程為（）

8448

22

6.（2023全國高考真題）已知雙曲線C:，-2=l（a>0,b>0）的離心率為石，C的一條漸近線與圓

ab

（無-2）2+（尸3）2=1交于A,B兩點,貝!||AB|=（）

V52A/5-36n46

AA.---DR.------C.------U.------

5555

22

7.（2024天津高考真題）雙曲線「一當=1（°>0,6>0）的左、右焦點分別為百,B.點P在雙曲線右支上,

ab

直線尸鳥的斜率為2.若APK居是直角三角形，且面積為8,則雙曲線的方程為（）

A尤2V1RX?>2]「YV]DdV]

A.----------=iD.-------------=]C.------------=iU.----------=1

28488284

8.（2023上海高考真題）在平面上，若曲線「具有如下性質(zhì)：存在點使得對于任意點Pe「，都有

使得伊"卜|郵|=1.則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”.判斷下列兩個命題的真假（）

①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線.

A.①假命題；②真命題B.①真命題；②假命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

二、多選題

22

9.（2025全國高考真題）雙曲線C:二-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別是片、B，左、右頂點分別為

ab

57r

A，4，以用巴為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且=則（）

6

A./$1必=崇B.1^4,1=21^1

C.C的離心率為9D.當°=后時，四邊形惘”的面積為8囪

三、填空題

10.（2023北京高考真題）已知雙曲線C的焦點為（-2,0）和（2,0）,離心率為則C的方程

為.

22

11.（2024全國高考真題）設(shè)雙曲線C:=-斗=1（。>0,6>0）的左右焦點分別為小F2,過F2作平行于〉

ab

軸的直線交C于A,B兩點，若|耳A1=13,1481=10,則C的離心率為.

22

12.（2023全國高考真題）已知雙曲線C:斗-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為耳耳.點A在C

ab

上，點B在y軸上，串，而，豆=-]￡豆，則c的離心率為.

參考答案

1.D

【分析】由題可知雙曲線中。涉的關(guān)系，結(jié)合片+廿二，和離心率公式求解

【詳解】設(shè)雙曲線的實軸，虛軸，焦距分別為2a,2b,2c,

由題知，b=y/la,

于是a?+/==[2+7/-8/,貝lj0=2^2（2，

即e=￡=2A/2.

a

故選：D

2.B

【分析】先將雙曲線方程化成標準方程，求出a,b,c,即可求出離心率.

【詳解】由1-4/=4得，^-/=1,所以"=4/2=1,。2=/+62=5,

即。=2,c=右，所以e=￡=好，

a2

故選：B.

3.C

【分析】由焦點坐標可得焦距2c,結(jié)合雙曲線定義計算可得2a,即可得離心率.

【詳解】由題意,設(shè)耳（O,T）、鳥（0,4）、P（-6,4）,

則|耳司=2c=8,|Pf；|=^62+（4+4）2=10,|P^|=^62+（4-4）2=6,

則2a=|尸耳|—|尸鳥|=10_6=4,貝ije=||=；=2.

故選：C.

4.A

【分析】設(shè)出曲線上一點為（“，6）,得出。=后工，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于，的函數(shù)，分析其單調(diào)性，從

而求解.

【詳解】設(shè)曲線上一點為（“，〃），則/一方2=1,則“=9三，

kAB==1>AB方程為：y-l=x,即x-y+l=0,

根據(jù)點到直線的距離公式，（〃，6）到的距離為：1T++

005/2

設(shè)f（b}=揚+1-b=■—1,—,

J。+1+Z?

由于620,顯然/S）關(guān)于方單調(diào)遞減，/0）_=/（0）,無最小值，

即VABC中，A3邊上的高有最大值，無最小值，

又AB一定，故面積有最大值，無最小值.

故選：A

5.D

ebb||||

【分析】先由點到直線的距離公式求出6,設(shè)立尸。名=。，由tane=j^=]得至i]QH=a,|。用=°.再由

三角形的面積公式得到力，從而得到巧＞,則可得到解出。，代入雙曲線的方程即可得到答

案.

【詳解】如圖，

b

因為鳥(c,0),不妨設(shè)漸近線方程為y=—％,即陵-金=0,

a

所以歸用=善；=如=方，

y/a2+b2c

所以6=2.

ppbb

設(shè)/尸。8=6,則13116=浸=西=7,所以|0尸|=。，所以|0閶=心

ab之

因為《浦=〈。外,所以〃=或,所以tand="=上=2,所以%=工

22cc

xpxpa

所以尸

因為耳(-。,。)，

ab

ab2QQ

所以7=『c

——+c

所以挺d+2)=4a,解得°=應(yīng),

22

所以雙曲線的方程為

故選：D

6.D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【詳解】由e=6,貝|9=二^=1+4=5,

aaa

解得Jb,

a

所以雙曲線的漸近線為丁=±2苫，

當漸近線為y=-2x時，圓心(2,3)到該漸近線的距離1=與等1=攣＞1,不合題意；

當漸近線為y=2無時，則圓心(2,3)到漸近線的距離d=9：2-3|=交，

所以弦長|AB|=2介_/=2^|=住.

故選：D

7.A

【分析】可利用耳居三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)盧用|=根，由面積公式求出加，由

勾股定理得出c,結(jié)合第一定義再求出a.

【詳解】如下圖：由題可知，點尸必落在第四象限，居=90。，設(shè)|尸詞=〃?，

2

=0[,ZPF[F2=02,由左％=tan〃=2,求得5皿4=7，

因為/耳「耳=90。，所以原耳求得心4=-1，即tan62=；,

sin%=忑,由正弦定理可得：|尸耳尸閶:閨引=sinq：s可青：5M90。=2:1:君,

則由歸閶=〃?得|「耳|=2m,\FxF^=2c=,

由=:儼片口尸用=:根，2根=8得利=20,

則|P周=2近,忖耳|=40,閨閭=2c=2麗,°=質(zhì)，

由雙曲線第一定義可得：|WHP閭=2a=20,“36=5一片=瓜,

22

所以雙曲線的方程為匕=1.

28

故選：A

8.B

【分析】由新定義求解曲線上任一點尸到定點/距離的取值范圍A,當任意xeA,都有時，曲線滿

X

足定義，結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷，

22

【詳解】對于①，不妨設(shè)橢圓方程為5+與=1(。>b>0),M(m,o),

ab

則橢圓上一點尸到M距離為

IPM|=—fti)2+—z/z)2+Z?2-%2=J(1-)x2—2fWC+機？+/,—a<x<a,

VaVa

m

Y-..........>a

當山>a時，對稱軸.b2,可得

12

a

總存在加使得(〃L0(m+a)=l,此時滿足題意，故任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”，故①正確，

對于②，對于給定的雙曲線和點P,顯然|PM|存在最小值，而M橫坐標趨近于無窮大時，|PM|趨近于無

窮大，),故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”故②錯誤，

故選：B

【點睛】本題關(guān)鍵在于新定義的理解，轉(zhuǎn)化為求曲線上任一點到定點M距離的取值范圍，再結(jié)合橢圓與雙

曲線的性質(zhì)判斷即可.

9.ACD

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由月且|"O|=C結(jié)合M在漸近線上可求M的坐標，從而

可判斷B的正誤，或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結(jié)合B的結(jié)果可得°?=13/,

計算后可判斷C的正誤，或者利用叫=?=否并結(jié)合離心率變形公式即可判斷；結(jié)合BC的結(jié)果求出

1AA212Q

面積后可判斷D的正誤.

b

【詳解】不妨設(shè)漸近線為y=M在第一象限，N在第三象限，

a

SjrJT

對于A,由雙曲線的對稱性可得為平行四邊形，故/其妙二兀一?：臺,

故A正確；

對于B,方法一：因為M在以月鳥為直徑的圓上，故且四0|=c,

X-2

\x=a

設(shè)加優(yōu),%),則?，故a。故

為上[%=方

x0a

由A得故?4|=WA|X孝即|又4|=竿|叫|，故B錯誤;

b

方法二：因為tan/MO4=一,因為雙曲線中，c2=a2+b2,

則cos/MO&=W,又因為以為直徑的圓與C的一條漸近線交于加、N,則OM=c,

C

則若過點M往x軸作垂線，垂足為H,則|0叫=。?=。=|04],則點H與4（"）重合，則軸,

方法三：在利用余弦定理知，|M4j=|0M「+|au2-2QMQ4gs/MQ42,

gp|m|2=c2+a2-2ac--=b2,貝

則AA&M為直角三角形，且幺朋&=：則21M42M柯"I，故B錯誤；

對于C,方法一：因為加=：（碼'+砒），t$L4MO=MA^+2M^-MA^+MA^，

由B可知pW4|=b,|MA卜,

2

故4c2=b~+—b+2x6xbx^-=+=#-*即C2=13/,

332

故離心率6=巫，故C正確;

方法二因為需總S則2日貝』,樣=乒而=依故C正確;

對于D,當々=&時，由C可知e=J13，故?=后，

故6=26,故四邊形則”為=2x1x2^x2V2=8^,

故D正確，

故選：ACD.

10.--^=1

22

【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的實半軸、虛半軸長，再寫出C的方程作答.

【詳解】令雙曲線C的實半軸、虛半軸長分別為。涉，顯然雙曲線C的中心為原點，焦點在x軸上，其半

焦距c=2,

由雙曲線C的離心率為血，得5=應(yīng)，解得a=0，則6=丘2_片=夜,

22

所以雙曲線C的方程為土-工=1.

22

fV2

故答案為：—-^-=1

22

H.3

2

【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出|鈣|,結(jié)合雙曲線第一定義求出|A團，即可得到的值，

從而求出離心率.

22

【詳解】由題可知A,民鳥三點橫坐標相等，設(shè)A在第一象限，將x=c代入「一當=1

ab

得y=±d,即｛c,一卜,---:故==|A7^|=—=5?

又MT伍|=2a,得的=|M|+2a=勿+5=13,解得〃=4,代入且=5得/=20,

a

「63

故，="+62=36,,即c=6,所以e=—=—=一.

“42

故答案為：（3

12.走I-45

55

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到|然|,怛閭，怛團,|前I關(guān)于。，根的表達式,

從而利用勾股定理求得a=〃z,進而利用余弦定理得到凡。的齊次方程，從而得解.

方法二：依題意設(shè)出各點坐標，從而由向量坐標運算求得無。=耳5，,