圖形的性質(zhì)綜合提升卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（2024?浙江?中考真題）如圖，點(diǎn)P是的重心，點(diǎn)。是邊〃?的中點(diǎn)，PE||4C交8c于點(diǎn)E,DFIIBC

交EP于點(diǎn)立若四邊形COFE的面積為6,則△48。的面積為（）

A.15B.18C.24D.36

【答案】D

【分析】連接8D,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：P在BD上，由三角形中線平分三角形的面積可知：S^BC二

2SMDC，證明△DFP8打和￡BEPBCD,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答.

【詳解】解：如圖，連接BD,

點(diǎn)。是邊4c的中點(diǎn)，P在8。上,

,,,$△八8C=2s

BP.PD=2:1,

?:DFHBC,

△DFP-△BEP

...”=工，

SABEP4

?:EFWAC,

△BEP-△BCD,

SABCDUfJU9,

設(shè)△OFP的面積為小，則△BEP的面積為4m,△BC。的面積為9m,

1

?.?四邊形CD"E的面枳為6,

???m+9m—4m=6,

???m=1,

??.△BCD的面積為9,

的面積是18.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

2.（2024?江蘇南京?中考真題）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

【答案】D

【分析】若四條線段能組成四邊形，則二條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成.

【詳解】A、1+1+1<5,即這三條線段的和小于5,根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

B、1+1+5<8,即這三條線段的和小于8,根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.1+2+2=5,即這三條線段的和等于5,根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、2+2+2>5,即這三條線段的和大于5,根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而較

短的兩邊的和大于最長邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三條

線段的和大于最長的線段即可.

3.（2024,山東煙臺(tái),中考真題）如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)區(qū)/分別為對(duì)角線8。，的三等分點(diǎn)，連

接4E并延長交CD于點(diǎn)G,連接E凡FG,若乙4Gr=。，則4凡4G用含a的代數(shù)式表示為（）

力內(nèi)____________D

S

.45°-a卜90°-a

A-2B-2C.丁D.與

【答案】B

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性

2

質(zhì).證明求得N0HE=45。，證明△48E?△GDE,證得OG=ga)=CG,推出△OEGwA

CFG(SAS),得到GE=G尸,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???正方形48CD中，點(diǎn)￡,尸分別為對(duì)角線8D,AC的三等分點(diǎn)，

：.0D=OC,LODC=/-OCD=45°,DE=CF,

：?0E=OF,

■:乙EOF=LDOC,—,

ODOC

???△EO尸一△DOC,

：./.OFE=Z.OCD=45°,

丁點(diǎn)￡,尸分別為對(duì)角線BD,AC的三等分點(diǎn),

?DE1

*-2*

;正方形A8C0,

：.AB\\CD,

：.^ABE-△GDE,

.DG_DE_1

?,拓一靛-5，

:?DG=CD=CG,

2

/.△DEG=ACFG(SAS),

：.GE=GF,

C.LGEF=1(180°-Z.AGF)=90°-\a,

：.LFAG=乙GEF-Z-AFE=90°--tz-45°=45°--a=

222

故選：B.

4.(2024?重慶?中考真題)如圖，是。。的弦，0C14B交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，連接BD,CD.若

△D=28。，則40AB的度數(shù)為()

3

D

uo

c

A.28°B.34°C.56°D.62°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用圓周角定理求出乙。。8,根據(jù)等腰三角形

的三線合一性質(zhì)求出土力。8,等邊對(duì)等角然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可二

【詳解】解：??"力=28。,

???乙80c=2乙。=56。,

T0C1AB,0A=0B,

：.LAOB=2Z.B0C=112°,Z.OAB=WBA,

：.LOAB=1(180°-乙AOB)=34°,

故選：B.

5.（2024?遼寧丹東?中考真題）如圖，在矩形力BG9中，對(duì)角線4c與8。相交于點(diǎn)O,乙ABD=60°,AE1BD,

垂足為點(diǎn)E，尸是。。的中點(diǎn)，連接EF，若EF=2G則矩形ABC。的周長是（）

A.16V3B.8百+4C.4V3+8D.86+8

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出。4二。氏即可求證△/BO為等邊三角形，進(jìn)而得出點(diǎn)E為。8中點(diǎn)，根據(jù)中位

線定理得出8c=2EF=4dS,易得±CBD=30。，求出CD=BC?tan4BCD=4,即可得出矩形的周長.

【詳解】解：:四邊形A8CD是矩形，

???04=0B,

LABD=60°,

為等邊三角形,

\*AELBD,

???點(diǎn)E為OB中點(diǎn),

??？是。。的中點(diǎn)，若￡尸=28,

.\FC=2FF=4x/3,

?:乙ABD=60°,

：.z.CBD=30°,

：.CD=BC-tanz.BCA=473Xy=4,

J矩形力BCD的周長=2（BC+CD：=2（4V3+4）=8百+8,

故選：D.

【點(diǎn)睛】矩形主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵

是掌握矩形的對(duì)角線相等，等邊三角形三線合一，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，以

及解直角三角形的方法和步驟.

6.(2024?浙江紹興?中考真題)如圖，在紙片△力BC中，2c=90。,28=60。，點(diǎn)。，E分別在邊4。力。上,

且力。=AE,將^ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊8c上的點(diǎn)F處，則8D:CE=()

A.3:2B.V3:2C.2V3:3D.4:3

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理與折疊，30。直角三角形的性質(zhì)，由折疊可得4/咕。=/-AED=75。"。=AE=EF,

即可得到“EC=30。，再分別在Rg48C和Rt△EFC^K30。直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

【詳解】解：??2C=90。,=60°,

LA=30°,

：,AB=2BC,AC=>JAB2-BC2=V3FC,

：.AB=^AC,

*：AD=AE,

1800-z/l

：.LADE=Z.AED==75°,

2

??,將△AOE沿OE折會(huì)，使點(diǎn)A落在邊SC上的點(diǎn)尸處,

5

，乙FED=Z-AED=75°,AD=AE=EF,

:.乙FEC=180°-乙FED-/-AED=30°,

：.EF=2FC,EC=VfF2-FC2=V3FC,

：.AD=AE=EF=2FC,

:.AC=AE+EC=（2+V3）FC,

：.AD=午AC=竽x（2+>/3）FC=

：.BD=AB-AD=^^-FC-2FC=—FC,

33

:.8D:CE=竽FC:V3FC=4:3,

故選：D.

7.（2024?浙江湖州,中考真題）加圖，已知,40B,以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分

別交十C,。兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C,。為圓心，大于方。。長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于乙4。8內(nèi)一點(diǎn)P,連

接OP,過點(diǎn)P作直線PEII。力，交08于點(diǎn)￡,過點(diǎn)尸作直線PFII0B,交OA于點(diǎn)、F.若乙AOB=60。,。。=6cm,

則四邊形PFOE的面積是（）

EB

A.1275cm2B.675cm2C.3V3cm2D.2V3cm2

【答案】B

【分析】過P作PM_LOB于M,再判定四邊形PF。/?為平行四邊形，再根據(jù)勾股定理求出邊和高，最后求出

面積.

【詳解】解：過尸作PM_LOB于

EMB

由作圖得：OP平分乙4OB,

：,LPOB=Z-AOP=^Z-AOB=30°,

6

：.PM=-0P=3cm,

2

：.0M=WP2-PM'，=3V3,

〈PEIIOA,PF||OB,

J四邊形PFOE為平行四邊形,Z-EPO=Z.POA=30°,

J.Z.POE=乙OPE,

：.OE=PE,

設(shè)OE=PE=x,

在Rt^PCM中，PE2-MP2=EM2,

即：X2-32=（3V3-x）,

解得：x=2V3,

'S四邊形OQF=OE-PM=2V3x3=6V5（cm2）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握平行四邊形的判定定理，勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的關(guān)

鍵.

8.（2024?河南?中考真題）如圖，0。是邊長為4K的等邊三角形為8c的外接圓，點(diǎn)。是訛的中點(diǎn)，連接3D,

CD.以點(diǎn)。為圓心，BO的長為半徑在。。內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

A

D

A.萼B.4TTC.等D.16TT

33

【答案】c

【分析】過。作DE_LBC于E,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出MOC=120。，利用弧、

弦的關(guān)系證明BO=CD,利用三線合一性質(zhì)求出BE==2逐，々BOE=g4BOC=60。，￡Rt△BDE

中，利用正弦定義求出BD,最后利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：過。作DE1BC于E,

7

A

D

VO。是邊長為4國的等邊三角形/BC的外接圓,

:,BC=4?Z.A=60°,/.BDC-Z.A=180°,

AzFDC=120°,

???點(diǎn)。是元的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

:,BD=CD,

:.BE=：BC=2?Z.BDE=^BDC=60°,

.《_120TT-42_16JT

Q陰影=~360~=~'

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，解直角

三角形等知識(shí)，靈活應(yīng)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.（2024,黑龍江綏化?中考真題）如圖，在RtZXTlBC中，CD為斜邊A8的中線，過點(diǎn)。作DE1.AC于點(diǎn)

延長DE至點(diǎn)凡使￡T=DE,連接力凡C凡點(diǎn)G在線段CF上，連接EG,且

乙CDE+乙EGC=180°,FG=2,GC=3.下列結(jié)論：①。E=并C；②四邊形OBCF是平行四邊形：③EF=EG；

?BC=2V5.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知DA=DB=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定定理可證得四邊形

ADCF為菱形，繼而推出四邊形DBCF為平行四邊形，可判斷①?;利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)結(jié)合已知可證得NCFE

8

=ZFGE,即可判斷③；由③的結(jié)論可證得4FEG?ZXFCD,推出黑=,，即可判斷④.

【詳解】??,在RSABC中,CD為斜邊4B的中線,

/.DA=DB=DC,

???ZJE14C于點(diǎn)E,且EF=OE,

AE=EC,

???四邊形ADC卜為菱形,

，F(xiàn)C〃BD,FC=AD=BD,

.??四邊形DBCF為平行四邊形，故②正確；

r.DF=BC,

.*.DE=1BC,故①正確；

???四邊形ADCE為菱形，

，CF=CD,

AZCFE=ZCDE,

*/ZCDE+ZEGC=180°,而NFGE+NEGC=180°,

AZCDE=ZFGE,ZCFE=ZFGE,

???EF=EG,故③正確；

VZCDF=ZFGE,NCFD=NEFG,

AAFEG-AFCD,

：.FD=2A/5,

ABC=DF=2V5,故④正確;

綜上，①②③④都正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確力找全等三角形和相似三角形解決問題.

9

10.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，。。的直徑48=8,AM,8N是它的兩條切線，OE與0。相切于點(diǎn)

E,并與4必，8N分別相交于。，C兩點(diǎn),BD,OC相交于點(diǎn)?若CQ=10,則8b的長是

A8V171110V17廠8V15__105/15

A?7B--c--D-nr

【答案】A

【分析】過點(diǎn)。作。G_L6C于點(diǎn)G,延長。9交。力的延長線于點(diǎn)〃，根據(jù)勾股定理求得GC=6,即可得

AD=BG=2,8c=8,再證明△〃力。也△8CO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得力〃=8C=8,即可求得“0=10；

在白△謖/）+?,根據(jù)勾股定理可得BD=2g；證明△?！?-△次少，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得償

oCor

由此即可求得BH二警.

【詳解】過點(diǎn)。作QG_L8C于點(diǎn)G,延長CO交。4的延長線于點(diǎn)H,

V/M,8N是它的兩條切線，。上與。。相切于點(diǎn)E,

：,AD=DE,BC=CE,ZDAB=ZABC=90°,

?；DGJ-8C,

???四邊形川5G。為矩形，

:"D=BG,AB=DG=8,

在RtZXQGC中，。。=10,

：,CC=7CD?-DG2=」1。2-82=6,

?:AD=DE,BC=CE,CD=10,

10

CD=DE+CE=AD+BC=10,

：,AD+BG+GC=\Q,

:?AD=BG=2,BC=CG+BG=8,

???NQ48=N48C=90。，

：.AD//BC,

:.N4HO=NBCO,NHAO=NCBO,

?；O4=OB,

:.AHAOqXBCO,

：.4H=BC=8,

*0=2,

：,HD=AH+AD=1。；

在RtZX/13。中，AD=2,AB=S,

???BD=>JAB2+AD2=V82+22=2g,

9：AD//BC,

：4DHFsXBCF,

,PH_DF

**CC一正’

.ID_2a7-8-

*~~6F-'

解得，8F=警.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線長定理、勾股定理.、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定

于性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，在△月82中,Z.C=900,AC=BC=6.尸為邊。8上一動(dòng)點(diǎn)，作P0_L8C

于點(diǎn)。，?！?47于點(diǎn)七，則。E的最小值為.

11

A

【答案】3V2

【分析】連接CP，利用勾股定理列式求出AB,判斷出四邊形COPE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可

得DE=CP,再根據(jù)垂線段最短可得CP1■力B時(shí)，線段。E的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面枳公式列出方

程求解即可.

【詳解】解：如圖，連接CP,

\^C=90°,AC=BC=6,

??AB=y]AC2+BC2=V62+62=6五,

TPD上BC于點(diǎn)PEI4c于點(diǎn)E,乙4cB=90。，

???四邊形CDPE是矩形，

：.DE=CP,

由垂線段最短可得CP_L48時(shí)，線段CP的值最小，此時(shí)線段。方的值最小,

此時(shí),S&ABC=?BC=\AB?CP,

代入數(shù)據(jù)：|x6x6=1x6V2xCP,

：.CP=3y[2,

???。￡的最小值為3式,

故答案為：3四.

12

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CP148時(shí)，線段的值最

小是解題的關(guān)鍵.

12.(2024?江蘇宿遷?中考真題)如圖，△48C是正三角形，點(diǎn)力在第一象限，點(diǎn)8(0,0)、C(l,0).將線段C4

繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。至CPi；將線段BPi繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。至BP2;將線段力22繞點(diǎn)A

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。至4P3；將線段CP3繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。至CP4；……以此類推，則點(diǎn)P99

的坐標(biāo)是

【答案】(-49,5073)

【分析】首先畫出圖形，然后得到旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)，然后求出點(diǎn)P99在射線CA的延長線上，點(diǎn)匕00在x軸

的正半軸上，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到=100,最后利用勾股定理和含30。角直角三角形的性質(zhì)求解即

可.

???.旋轉(zhuǎn)3次為一個(gè)循環(huán)，

???99+3=33

???點(diǎn)P99在射線的延長線上,

???點(diǎn)Pio。在x軸的正半軸上，

13

VC(1,O),△ABC是正三角形,

，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AC=CP]=1,

???幽=OC+CPl=2,

APi(2,0),

/.BP2=BPi=2,

*.AP3=AP2=OP2+AO=3,

/.CP4="3=C4+4%=3+1=4,

ABP4=BC+CP4=5,

/.P4(5,0),

??.同理可得,P7(8,0),PIO(11,O),

???Pioo(101,0),

?'?OPioo=101,

：.CPl00=101-1=100,

，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,CP99=100,

，如圖所示，過點(diǎn)。99作P99E%軸于點(diǎn)￡

.\zEP99C=30°,

???EC=?99c=50,

：,EO=EC-OC=49,P99E=JP99c2-EC2=50V3,

，點(diǎn)P99的坐標(biāo)是（-49,50⑹.

故答案為：（-49,50⑸.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì).正確確定每次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中

心的距離長度是關(guān)鍵.

13.（2024?山東青島?中考真題）如圖①，將邊長為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長為1的小正方形，得到

14

如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長、寬、高

分別為4,2,2的長方體磚塊，切割掉長、寬、高分別為4,1,1的長方體，得到如圖④的“直角磚塊”，

若用這樣完全相同的“直角磚塊”拼成正方體，最少需要塊.

圖①圖②圖③圖④

【答案】12144

【分析】本題考查展開圖折疊成幾何體，最小公倍數(shù)等知識(shí)，先拼成一個(gè)基礎(chǔ)圖形（體），再根據(jù)正方形（體）

的特征，即可解答.

【詳解】解：先用2個(gè)圖②拼成一個(gè)長為3,寬為2的長方形，面積為6,

???2.3的最小公倍數(shù)是6,

如圖，

.?.6個(gè)這樣的長方形拼成一個(gè)面積為36的正方形，此時(shí)邊長為6,

需圖②的個(gè)數(shù)：6x2=12（個(gè)）；

同理用2個(gè)圖④拼成長，寬，高分別為4,3,2的長方體，

用4x3=12個(gè)這樣的長方體拼成一個(gè)長，寬，高為12,12,2的長方體，用6個(gè)這樣的長方體可以拼成

長，寬，高為12,12,12的正方體，

此時(shí)需要：2x3x4x6=144（個(gè)）.

故答案為：12；144.

14.（2024?重慶?中考真題）如圖，在△49C中，延長AC至點(diǎn)D,使CO=C4,過點(diǎn)。作DE||C8,且。E=DC,

連接力￡■交8c于點(diǎn)F.若4=凡4,CF=1,則.

【答案】3

15

【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例證AF=EF,進(jìn)而得OE=CD=AC=2CF=2,AD=4,再證明△CAB三

△DEA,得BC==4,從而即可得解.

【詳解】解：，：CD=CA,過點(diǎn)。作DEIICB,CD=CA,DE=DC,

:==二=1,CD=CA=DE,

FECD

：.AF=EF,

；,DE=CD=AC=25=2,

：.AD=AC+CD=4,

,:DE||CB,

Z.CFA=乙E,Z-ACB=乙D,

*：LCAB=LCFA,

.\z.CAB=乙E,

VCD=CA,DE=CD,

：.CA=DE,

/.△CABDEA,

：,BC=AD=4,

：.BF=BC-CF=3,

故答案為：3,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定

及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2024?貴州安順?中考真題）如圖，ZL4BC是。。的內(nèi)接正三用形，點(diǎn)。是圓心，點(diǎn)Q,E分別在邊力C,AB

上，若DA=EB,則NQOE的度數(shù)是度.

【答案】120

【分析】本題可通過構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理證明角等，繼而利用SAS定理證明三角形全等，最后根據(jù)角

的互換結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求解本題.

16

【詳解】連接OA,OB,作OH_LAC,OM±AB,如下圖所示:

因?yàn)榈冗吶切蜛BC,OII1AC,OM±AB,

由垂徑定理得：AH=AM,

又因?yàn)镺A=OA,ifeAOAII=AOAM(HL).

，NOAH=NOAM.

XVOA=OB,AD=EB,

，ZOAB=ZOBA=ZOAD,

.,.△ODA=AOEB(SAS),

AZDOA=ZEOB,

/.ZDOE=ZDOA+ZAOE=ZAOE+ZEOB=ZAOB.

又?；NC=60。以及同弧

/.ZAOB=ZDOE=120°.

故本題答案為：120.

c

【點(diǎn)睛】本題考查圓與等邊三角形的綜合，本題目需要根據(jù)等角n勺互換將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造輔助線是

本題難點(diǎn)，全等以及垂徑定理的應(yīng)用在圓綜合題目極為常見，國心角、弧、圓周角的關(guān)系需熟練掌握.

16.（2024?湖北宜昌?中考真題）如圖，在矩形力BCD中，E是邊.40上一點(diǎn)，F(xiàn),G分別是BE,CE的中點(diǎn)，連

接4幾DG,FG,若力尸=3,DG=4,FG=5,矩形46co的面積為.

【答案】48

17

【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線等于斜邊的?半得出相關(guān)線段長，利用勾股定理

逆定理判定〃=90°,再結(jié)合S矩形詆-EH=2S^REC=2x坪5?EC即可得出結(jié)論.

【詳解】解：在矩形4BCD中，Z^F=9O°,ZCDF=9O°,

?.?在矩形4BCD中，F(xiàn),G分別是BE,CE的中點(diǎn)，F(xiàn)G=5,

???FG是A8CE的中位線，即BC=2FG=10,

?.?在AA8上中，”是4巴的中,點(diǎn)、，Ab=3,

???/F是RtAABE斜邊上的中線，即4F=EF=BF=9=3,

???BE=6,

???在ACDE中，G是EC的中點(diǎn)，06=4,

???DG是RtACOE斜邊上的中線，即。G=EG=CG=^CE=4,

???CE=8,

在AEFG中，E尸=3,EG=4,FG=5,即尸G?=25=9+16=￡7^+EG2,

???AEFG是直角三角形，且立/EG=90。，

過E作EH_LBC于〃，如圖所示：

S矩形ABCD=BC.EH=2S&BEC=2X-BEtEC=6x8=48,

故答案為：48.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形面積，涉及到中位線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、矩形的性質(zhì)、

勾股定理逆定理、三角形等面積法等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線表示是解決問題的關(guān)鍵.

三.解答題（共9小題，滿分72分）

17.（6分）（2024?江蘇泰州?中考真題）如圖，CO是五邊形48C0E的一邊，若垂直平分。D,垂足為M,

且，，則.

給出下列信息：①AM平分48AE；②48=4E：③BC=DE.請(qǐng)從中選擇適當(dāng)信息，將對(duì)應(yīng)的序號(hào)填到橫線

上方，使之構(gòu)成真命題，補(bǔ)全圖形，并加以證明.

18

A

_______□_______

CMD

【答案】②③，①或①②，③；證明見詳解

【分析】情況一：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接A。、AD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得出入。二4。，最后利用

全等三角形的判定與性質(zhì)即可解答：

情況二：根據(jù)題意補(bǔ)全部圖形，連接AC、AD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得出4c=4),再利用全等三

角形的判定與性質(zhì)可知上。M=/DAM,最后利用角平分線的定義及全等三角形的判定與性質(zhì)即可解答.

【詳解】情況一：②③，①，

證明：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示：

??NM垂直平分CD,

：.CM=DM,AC=AD

在△ACM與△力OM中，

AM=AM

AC=AD,

CM=DM

：.^ACM三△/OM(SSS).

C.LCAM=Z.DAM,

在△ABC與△力ED中，

(AB=AE

<AC=AD，

\BC=ED

：.AABC=^AED(SSS),

=Z.EAD,

*：LCAM=^DAM,

：.LBAC+^CAM=Z-EAD+Z.DAM,

即NBAM=Z,EAM=-Z-BAE,

?MM平分/B4E；

故答案為：②③①.

19

情況二：①②，③，

證明：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示：

??MM垂直平分C。，

：.CM=DM,AC=AD

在△力CM與△力0M中，

(AM=AM

\AC=AD，

\CM=DM

???△ACM毛△AOM(SSS),

：,z.CAM=^DAM,

=4E4M,

：,LBAC+匕CAM=Z.EAD+zD/lM,

：,^BAC=LEAD,

ffiABAC^AEAD^,

AB=AE

乙BAC=Z.EAD?

、AC=CD

:?匕BAC^AE4D(SAS),

：.BC=DE.

故答案為：②③，①或①②，③

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差關(guān)

系，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20

18.（6分）（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在四邊形力BCD中，AD||BC,且力。==E是BC

的中點(diǎn).下面是甲、乙兩名同學(xué)得到的結(jié)論：

甲：若連接/E,則四邊形力OCE是菱形；

乙：若連接4G則△48。是直角三角形.

請(qǐng)選擇一名同學(xué)的結(jié)論給予證明.

【答案】見解析

【分析】選擇甲：由=E是8c的中點(diǎn).得CE=：8C=/0,從而得四邊形40CE是平行四邊形,

再根據(jù)=CD，即可證明結(jié)論成立；選擇乙：連接AC、DE,DZ?交AC于0,分別證明四邊形40?。是平行

四邊形，四邊形4DCE是菱形，得ACIDE,DEII718,再根據(jù)平行線的性質(zhì)及垂線定義即可得證.

【詳解】證明：選擇甲：如圖1,

圖1

*：AD=DC=^BC,E是8。的中點(diǎn).

：?CE“BC=AD,

2

'：AD||BC,

???四邊形40CE是平行四邊形，

'：AD=CD,

???四邊形7WCE是菱形：

選擇乙：如圖2,連接AE、DE,DE交AC于0,

21

圖2

VZD=DC=^BC,E是8c的中點(diǎn).

：,BE=CE=-BC=AD,

2

*：AD||BC,

???四邊形ADCE是平行四邊形，四邊形4BE0是平行四邊形，

VZD=CD,

???四邊形4DCE是菱形；

：.AC1DE,

J.Z.EOC=90°,

??泗邊形力BED是平行四邊形，

：.DE||AB

：.z.BAC=/.EOC=90°,

???△ABC是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形、平行四邊形的判定及性質(zhì)、垂線定義、平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形、平行

四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（6分）（2024?山東東營?中考真題）如圖，△力BC內(nèi)接于O。，48是。0的直徑，點(diǎn)E在。0上，點(diǎn)C

是灰的中點(diǎn)，AELCD,垂足為點(diǎn)。，。。的延長線交45的延長線于點(diǎn)?

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）若CO=g,/-ABC=60°,求線段力尸的長.

【答案】（1）見解析

(2)6

22

【分析】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握?qǐng)A周角定理及推論，圓切線的判定.含30。的直角三角

形性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

(1)連接。。，由。4=。。，BC=CE,推出40a4=4ZMC,得到。C||4D,由4EJ.C0,得到CD_L。。，即

得；

(2)由直徑性質(zhì)可得"108=90。，推出乙。4。=48/1。=30。，根據(jù)含30。的直角三角形性質(zhì)得到力0=3,

根據(jù)乙尸二30。，得至lp1F=6.

【詳解】(1)證明：???連接OC,則。力=0C,

：.LOAC=Z.OCA,

???點(diǎn)C是泥?的中點(diǎn)，

：.BC=CE,

：^OAC=Z-DAC,

：.^OCA=^DAC,

：.0CIIAD,

'：AELCD,

：.CD1OC,

(2)解：??S8是。。的直徑，

：.z.ACB=90°,

??ZBC=60。,

：.z.BAC=90°-Z-ABC=30°,

???KDAC=30。，

VCD=V3,

：.AD=V3CD=3,

cF=90°QBACI乙DAC)=30°,

23

：,AF=2AD=6.

20.（8分）（2024?湖南益陽?中考真題）如圖，在內(nèi)△ABC中，^ACB=90°,AC>BC,點(diǎn)。在邊4c上,

將線段ZM繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段0不交48于點(diǎn)凡作4'F_L/B于點(diǎn)凡與線段4C交于

點(diǎn)G,連接尸C,GB.

（1）求證：△?1￡）￡'三△A'DG；

（2）求證：AF-GB=AG-FC；

（3）?MC=8,tan/l=p當(dāng)4’G平分四邊形OCBE的面積時(shí)，求71。的長.

【答案】（1）見解析

Q）見解析

（3瞽

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得D4=ZX<NAD4'=zGD，=90。，再根據(jù)4*1.力8,可得乙4=〃'，即

可；

（2）根據(jù)，=AACB=90°.可得點(diǎn)A.C.G.廠四點(diǎn)共圓.從而得到/CRG=ZLCFG,AABC+Z.CGF=180°.

從而得到NAGF=Z48C,進(jìn)而得到NACF=Z48G,可證明△ABG~△ACF,即可；

（3）連接EG,根據(jù)力C=8,tan/l=可得BC=4,AD=AD=2DE,AF=2EF,AB=475,設(shè)DE=DG=x,

則ZD==2x可得4E=4G=遙X，AE=x,CG=8—3x,EF=^-x,AF=-^-x,FG=BF=

4V5-^x,再由力'G平分四邊形DC8E的面積，可得S4DEG+S“EG=SABFP+SMCG，從而得到關(guān)于x的方

程，即可求解.

【詳解】（1）證明：???線段DA繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到

：.DA=DA,Z.ADA=Z-GDA=90°,

???zJ!+44￡7)=90。,

VZF1AB,即4?!?￡1=90。,

；?乙4'+乙4EF=90。,

24

*：LAED=LAEF,

/.z.A=乙4,

在△40E和△A,DG中,

，，f

Vz/1=44'，DA=DA,Z.ADA=^GDA=90°t

：,^ADE三△4'OG：

(2)證明：,:乙BFG=Z.ACB=90°,

???點(diǎn)8,C,G,廠四點(diǎn)共圓,

：,LCBG=乙CFG,Z.ABC+乙CGF=180°,

■:乙AGF+乙CGF=180°,

：.LAGF=LABC,

^z.AGF=乙CFG+^ACF,Z-ABC=^ABG+乙CBG,

：,^ACF=^ABG,

???乙4=Z.A,

?△AG7,

.AGBG

>?~9

AFCF

即4",GB=AG-FC；

（3）解：如圖，連接EG,

y^ADE^ADG,

:,DE=DG,AE=A，G,

?ZC=8,tan，/，

?、.1、」1

?.tan/=—BC——DE=~,tan/l=—EF-二一,

ACAD2AF2

：,BC=4,AD=AD=2DE,AF=2EF,

：,AB=4\/5,

25

設(shè)。E=DG=x,則4b=AD=2x

*.AE=AG=>/5x,AE=x,CG=8—3x,

:?EF=^-x,AF=孚x,

?3遙

??FrGr=-x,BF=4V5-^x,

?%'G平分四邊形DC8E的面枳,

:.S&DEG+S&FEG=S"FG+^^BCC?

^DEXDG^^FXFG=^CXCG^^FXFG.

即評(píng)+^Xyxx竽％=Ix4(8-3x)+1(4V5-管%)x管x,

解得：”=警（負(fù)值舍去），

1J

.8很

.-AzDn=o2x=——

13

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等

知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖I,E、F、G、，分別是平行四邊形/BCD各邊的中點(diǎn)，連接

AF.CE交于點(diǎn)M,連接NG、C”交于點(diǎn)M將四邊形4MCN稱為平行四邊形/18CD的“中頂點(diǎn)四邊形”.

AN

□

MC

圖1圖2圖3

（I）求證：中頂點(diǎn)四邊形力MCN為平行四邊形;

（2）①如圖2,連接AC、8D交于點(diǎn)O,可得M、N兩點(diǎn)都在上,當(dāng)平行四邊形4BCD滿足時(shí)，中

頂點(diǎn)四邊形4MCN是菱形;

②如圖3,已知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點(diǎn)四邊形，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊形.（保

留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）見解析

(2)①AC1BD；②見解析.

26

【分析】題目主要考查平行四邊形及菱形的判定和性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形重

心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)平分線段，推出四邊形4ECG,四邊形均為平行四邊形，進(jìn)

而得到：AM||CNtAN||CM,即可得證;

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形艮」可得出結(jié)果；

②連接AC,作直線MN,交于點(diǎn)0,然后作ND=20MMB=2。氏然后連接48、BC、CD,D4即可得出點(diǎn)

"和N分別為△4BC、△4DC的重心，據(jù)此作圖即可.

【詳解】（1）證明：

:?AB||CD,AD||BC.AB=CD,AD=BC,

?:點(diǎn)E、F、G、〃分別是口力BCD各邊的中點(diǎn)，

：.AE=^AB=^CD=CG,AE||CG,

???四邊形/ECG為平行四邊形，

同理可得：四邊形4FC”為平行四邊形，

：.AM||CN,AN||CM,

:.四邊形4MCN是平行四邊形；

（2）①當(dāng)平行四邊形滿足AC18。時(shí)，中頂點(diǎn)四邊形力MCN是菱形，

由（1）得四邊形AMCN是平行四邊形，

*：AC1.BD,

：.MN1AC,

???中頂點(diǎn)四邊形4MCN是菱形，

故答案為：AC1BD,

②如圖所示，即為所求，

連接4C,作直線MN,交于點(diǎn)O,然后作可。二2。乂用8=2。M（或作8"=河'='。），然后連接

AB、BC、CD,。力即可，

27

￡

???點(diǎn)歷和N分別為△ABC、△4DC的重心，符合題意；

證明：矩形4MCN,

：,AC=MN,OM=ON,

YND=20N,MD=20M,

；?0B=OD,

???四邊形ABCO為平行四邊形；

分別延長CM、AM.AN.CN交四邊于點(diǎn)E、尸、G、，如圖所示:

???矩形AMCN,

：.AM\\CN,MO=NO,

由作圖得8M=MN,

MMBFFNBC,

?.?-BF=-B-M-

BCBN

???點(diǎn)萬為BC的中點(diǎn),

28

同理得：點(diǎn)后為48的中點(diǎn)，點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，點(diǎn)〃為的中點(diǎn).

22.（9分）（2024?北京?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。0匕。。平分乙40c.

⑴求證：ODIIBCx

（2）延長00交O0于點(diǎn)E,連接CE交08于點(diǎn)凡過點(diǎn)8作。0的切線交DE的延長線于點(diǎn)P.若黑PE=1,

oro

求0。半徑的長.

【答案】（1）見解析

（2匕

【分析】（1）根據(jù)題意，得ZG40C=NB+4C,結(jié)合08=0C,得到NB=NC,繼而得至乙40C=根

據(jù)00平分乙40C,得到乙40C=2LA0D,繼而得至I」乙B=乙4。。，可證。。IIBC；

（2）不妨設(shè)0F=5x,BF=6%,則。8=0F+8F=llx=0C=0E,求得OP=?！?PE=llx+1,證明

△0FE-△BFC,Z.0BM=乙POB,求得8C=取BC的中點(diǎn)M,連接0M,則BM=段,求得cos^OBM=

cos^POB=結(jié)合切線性質(zhì)，得到（^“。呂建二器二缶二能，解答即可.

55UrC/c+rc</o+1

【詳解】（1）根據(jù)題意，得乙4OC=N8+NC,

〈OB=0C,

Z.zB=乙C,

/.Z.AOC=2乙B,

??,00平分乙40C,

???，力0C=24A00,

=LAOD,

：.0D||BCx

（2）PE=1,

29

不妨設(shè)OF=5X,BF=6x,則OB=OF+BF=llx=OC=OE,

：,0P=OE+PE=llx+l,

,：0D||BC,

MOFEFBFC,乙OBC=LPOB,

.OEOF5

BCBF6

.llx5

*-r

解得BC=等，

取6C的中點(diǎn)"，連接OM,

則BM-

YOB=OC,

：.0M1BC,

，8SZ_OBM==|?

OB5

3

,\cosZ-POB=

???PB是O。的切線，

：.0B1PB,

，。八D

.?.cosZ-POB=-3=——OB=---O-B---=---O-R---,

5OPOE+PEOB+1

解得。8=I，

故oo半徑的長為|.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì),

解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角

3