2024?2025學(xué)年廣東省肇慶中學(xué)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

1.如圖，尸為?4)外一點，P4、PB分別切?。于力、8兩點，若尸」_6,則()/一-y

A.3

B.6

C.9

D.12

2.函數(shù)V二1的圖象大致為()

7TV

c.\k

71V

3.下列條件中，能確定一個圓的是()

A.經(jīng)過已知點加B.以點。為圓心，lOe/n長為半徑

C.以1()57長為半徑D.以點0為圓心

4.正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合,則這個角至少為()

A.60B.15C.<MJD.1MJ

5.如圖，CD是?。的直徑，是弦,<7)1\8,垂足為M,則下列結(jié)論中錯誤的是C

()

A.LW-BM

B1?

D

C.0.1/-MD

DAI)Til)

第1頁，共19頁

6.如圖，四邊形力5CD是；O的內(nèi)接四邊形,乙40C-1M，則…1故.的度數(shù)是（）

A.109

Bk)0

B.112

D.1!）

7.進入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進行兩次降價.若設(shè)平均每次降價的百分率是x,

降價后的價格為y元，原價為。元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.v=2試T-B.-1)C.〃-"(">)D.I；-a(l-a-)2

8.將二次函數(shù)"21--s.7化為“廣-3的形式，正確的是（）

A.y=2(x4-4)--7

C.y=(j-2r-11D.1/=2(1+2產(chǎn)-15

9.如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1,那么這個正三角形的邊長為（）

A.2瓜

B.3/

C.1/

D.2

io.如圖是二次函數(shù)V-+?十「的圖象，它與無軸的一個交點為1-1川），其y,

對稱軸為直線了-1.下列結(jié)論：①〃V”②而r>U;③加+b,（）；/

④iw+力+「>。.其中正確的結(jié)論是（）一（7%

A.①B.①②C.①③D.①②④

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.拋物線,V--2J-l.r+3與〉軸的交點坐標(biāo)是___.

12.的半徑為5“〃，點。到直線48的距離為d,當(dāng),/=時，與相切.

13.已知“=2^-：”+1,當(dāng)了=|時，函數(shù)值為.

第2頁，共19頁

14.拋物線"-（i--.?「過1-1,小和g川j兩點，那么該拋物線的對稱軸是____.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO,中，直線48經(jīng)過點.16.山，/加.⑴，（）t

的半徑為2（。為坐標(biāo)原點），點P是直線44上的一動點，過點。作?。的一B

條切線產(chǎn)。，0為切點，則切線長尸。的最小值為——./

三,解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題7分）

如圖，c。是?。的直徑，點。是線段48的中點，.ir=8c

II）求證:IACDWLBCD；

L求證：4B是?。的切線.

17.（本小題7分）

已知一條拋物線的頂點坐標(biāo)為I2.11,且過點11.-i.

小求此拋物線的解析式；

2直接寫出當(dāng)x取何范圍的值時，二次函數(shù)的圖象位于x軸上方.

18.（本小題7分）

如圖，力打是?。的直徑，弦〃于點￡,若打上、，AI2.

1求線段OE的長；

L求弦C。的長.

第3頁，共19頁

22.（本小題13分）

綜合與實踐

［問題情境］小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查

了附近4氏C,。，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：

售價（元/盆）日銷售量（盆）

A2050

B3030

C1854

D2246

E2638

［數(shù)據(jù)整理］

”請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照售價從小到大的順序重新整理，填寫在卜表中:

售價（元/盆,118——30

日銷售量（盆）

54——30

［模型建立］

2設(shè)口銷售量為y,售價為x,根據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，估計x與y之間的函數(shù)關(guān)系，求解析式；

［拓廣應(yīng)用］

小I根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？

23.（本小題14分！

綜合與實踐

素材：一張邊長為4的正方形紙片

步驟1：對折正方形紙片44。。，使48與CO重合，得到折痕￡凡把紙片展平.

步驟2：再一次折疊紙片，點力落在點G處，并使折痕經(jīng)過點R得到折痕pE,點尸在邊力4上，過點尸

作,45的垂線交射線EG于點〃.

第5頁，共19頁

H

D

C

DD

⑴如題1圖，若點，落在邊CO上，直接寫出乙1/2.的度數(shù)；

12］如題2圖，設(shè).1『二j,〃〃=。，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達式;

；3l如題3圖，?。為的外接圓，若?〃與邊8c相切，求G”的長.

第6頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???/M、P8分別切?。于力、B兩點,

PA-PB，

?/PA6,

PB=6，

故選：H.

由P/、P8分別切?。于力、8兩點，根據(jù)切線長定理得『APB6,于是得到問題的答案.

此題重點考查切線長定理，證明IW。。是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)：二次項系數(shù)”<“，開口方向向下；一次項系數(shù)人=1),對稱軸為y軸:

常數(shù)項是拋物線與y軸的交點的縱坐標(biāo).

根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，和y軸的交點可得相關(guān)圖象.

【解答】

解：.?二次項系數(shù)〃?I),

??.開口方向向下，

?次項系數(shù)人一”，

，對稱軸為y軸，

?.?常數(shù)項，1,

圖象與y軸交于陽.1),

故選H.

3.【答案】B

【解析】解：?.?圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，

選項正確,

故選：B.

確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案.

本題考查了確定圓的條件，確定圓要首.先確定圓的圓心，然后也要確定半徑.

第7頁，共19頁

4.【答案】C

【解析1解：,?正方形的對角線把正方形分成四個全等的直角三角形，

??頂點處的周角被分成四個相等的角，W，l)

,這個正方形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)9U的整數(shù)倍后，就能與它自身重合，

因此，這個角度至少是，川.

故選：C.

根據(jù)正方形的對角線把正方形分成四個全等的直角三角形與旋轉(zhuǎn)對稱圖形的性質(zhì)解答.

本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫

做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.

5.【答案】C

【解析】解：(胃是?。的直徑，是弦,CDl垂足為.“，

AVBM，4?-4/)-/W?

無法判斷O”=Ml),

故選：C.

垂直于弦的直徑平分弦及弦所對的兩條弧，根據(jù)垂徑定理即可這行判斷，

本題考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】A

【解析】解:由圓周角定理得：乙山「\(X'\-11271,

?四邊形48CZ)是?。的內(nèi)接四邊形，

??.」10C4—W1NJ,

L.XBC1NJ711119,

故選：A

根據(jù)圓周角定理求出,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出MK

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了根據(jù)實際列函數(shù)關(guān)系式.需注意第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎(chǔ)上降價的.原價為

第一次降價后的價格是-門，第二次降價是在第?次降價后的價格的基礎(chǔ)上降價的，為

ax(l-<r)=a(l—

第8頁，共19頁

【解答】

解：由題意得第二次降價后的價格是，“I-rl；

則函數(shù)解析式是“一“I-C

故選I).

8.【答案】D

【解析】解："2.r2*S/7

=2(/+lr)-7

=2(/4--Lr+4)-8-7

2ITI2r15,

故選：D.

利用配方法杷二次函數(shù)的一般式化為頂點式.

本感考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確運用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】A

【解析】解：如圖，?。是「的內(nèi)切圓，?。切4B于F,切4C于E,切8c于。，連接力。，OB,

則,4。過C因為等邊三角形的內(nèi)切圓的圓心再角平分線上，也在底邊的垂直平分線上、

,lAbr是等邊三角形,

.?”是1〃「的內(nèi)切圓，

..LOBC,■ar,

?（）切BC于。,

???"〃〃=or,

/OD1,

/.OB-2，

第9頁，共19頁

2

在直角三角形中,由勾股定理得：BDxO/P0D\2-I1\，，

同理求出

即2V3

故選：A

畫出圖形，連接/1O,04,則4。過。，求出/()〃，：“，求出04,根據(jù)勾股定理求出8D,同法求出

CD,求出6c即可.

本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，含3()度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心等知識點的

應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意求出08的長度，題目比較典型，是一道比較好的題目.

10.【答案】C

【解析】解：「二次函數(shù)1/”/-，〃+―(I的圖象開口向下，

.?."<0,故①正確.

.?二次函數(shù)?自+，⑺的圖象交y軸十原點上方，

,\c>0.

又.?拋物線的對稱軸是直線，:1,

2a

：.b=-2a>0.

」.，小,(I,故②錯誤.

?「二次函數(shù)V+—一W的圖象的對稱軸是直線，:1,，加?。二”，故③正確.

又當(dāng)了I時，Vnb4r”,h-2〃，

+r=().

又5a<0?

/.+c<0.

又「?hbr=l(ki2H?(w?「，

故④錯誤.

綜上，正確的結(jié)論有①③.

故選：C.

依據(jù)題意，由二次函數(shù)圖象和性質(zhì)即可解決問題.

本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

11.【答案】(0,3)

第10頁，共19頁

【解析】解：了=11時，y:：，，

所以，拋物線與），軸交點坐標(biāo)是ID.3L

故答案為：

令.r=U,求出y的值，即可得到與j，軸的交點.

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，本題主要是與y軸交點的求法，需熟記.

12.【答案】5cm

【解析】解：.「?。的半徑為5c陽，

?.點0到直線48的距離為5c加時，直線48與的位置關(guān)系是相切，

故答案為：

設(shè)圓。的半徑是R，點。到.直線44的距離是力當(dāng)〃時，豆線與圓相切；當(dāng)，，?二"時，直線與圓相交；

當(dāng),，〃時，直線與圓相離：根據(jù)以上結(jié)論判斷即可.

本顧考杳了對育線與圓的位胃關(guān)系的理解和運用，育線與圓的位置關(guān)系有三種：當(dāng)"〃時，直線與圓相

切；當(dāng)“</?時，直線與圓相交；當(dāng)“〉/?時，直線與圓相離.只要比較圓心到直線的距離d和圓的半徑〃

的大小即可.

13.【答案】0

【解析】解：V二2M-："+1,

當(dāng)J=I時，J7-2x12-3X1+1-0.

故答案為：（）,

根據(jù)函數(shù)值的求法，直接將?-1代入函數(shù)關(guān)系式得出即可.

此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，圖象上點的坐標(biāo)適合解析式是解題關(guān)鍵.

14.【答案】直線了=2

【解析】解：.點ILu和③山是拋物線“儲一?與x軸的兩個交點，

?.點Il.r和㈠川）關(guān)于對稱軸對稱，

.二對稱軸為直線」-['2.

故答案是：直線/=2.

根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸經(jīng)過兩點I1J八和皿山的中點，于是可得到拋物線的對稱軸為直

線-2.

本題考查了拋物線與x軸的交點，根據(jù)已知點的縱坐標(biāo)相等得到關(guān)于對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】yn

第11頁，共19頁

【解析】解：連接OP、OQ,如圖所示.

,1修0),

OU6,OA=(>.

?是?。的切線，

工0Q工PQ,

由勾股定理知：()1-OQ-PQ］，

..當(dāng)/OLIB時,線段產(chǎn)。最短.

在R<I?！ㄖ?，()B()\6,

/.AIf-\().卜?OH--、,(/?<-'=(；、2>

Ao

PQ然小,y/O^OQ1一J(3v攵尸-2?■vTi.

故答案為：、ii.

首先連接OP、()0,根據(jù)切線的性質(zhì)可知OQPQ,由勾股定理可得VQ一(〃八OQ-,所以當(dāng)(〃L1〃

時，線段尸0最短；接下來在R11(〃，中，根據(jù)面積公式可求出。。的值，再結(jié)合勾股定理即可求得答案.

本題主要考查的是切線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定PQ最短的情況.

16.【答案】證明：(1),??點。是線段的中點,

,ADBD,

在“D與〃廠"中，

(AC-BC

<CDCD,

{AD=BD

(2),?,點。是線段”的中點，

」.CDLi。，

第12頁，共19頁

.(7)是?。的直徑,

."I是?。的切線.

【解析】打由點。是線段44的中點，得到.1。H1),根據(jù)全等三角形的判定定理得到結(jié)論；

2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到1〃，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論.

本題考查了切線的判斷，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理，全等三角形

的判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解；(1廠「拋物線頂點坐標(biāo)為I2.11,

?.可設(shè)該拋物線解析式為“川/-21-4-1.

.?拋物線過點ILi，

>?—uII?2''-?I>

解得：“=-1,

??拋物線解析式為V-J,1；

:，由：11知，拋物線解析式為1/-.r-2：r'-1.

令，，0,則Ir?2P?1-0.

解得了2--3；

因為拋物線0=-匕+2『+1的開口向下，所以當(dāng)-3<了V-1時，二次函數(shù)的圖象位于x軸上方.

【解析】h根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)可設(shè)該拋物線解析式為!/</：r-21-+1再將點II代入，求出。的值,

即得出該拋物線解析式：

(21令！/",解得：/2或一I,即可求解.

本題考查的是函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，涉及到二次函數(shù)的基本性質(zhì)，難度不大.

18.【答案】解：“：，???/〃.8,AE2,

：.AB10，

二.(M=5，

,OEOAAE523：

(2)vCDlXB,

,CD2CE,

第13頁，共19頁

在由△口"中，由勾股定理得：(/=I，

.?.CD=2CE=8.

【解析】1根據(jù)/〃x,W2,求出直徑.1。HI,即可得半徑。.15,即可得出答案;

:L根據(jù)勾股定理得出CE,根據(jù)垂徑定理得“工一，即可求出答案.

本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵.

19.【答案】3解：如圖，力。即為所求.

2證明：直線/與?。相切于點。，

/XDLl，

.\AD(K\

?,.S4c=NOCA

0.4-OC,

zcx'.u

:.￡D\C

,平分/〃.14.

【解析】1根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可.

2根據(jù)切線的性質(zhì)可得(M'」，則可得.1〃,，則二(Ml再由.011'()('\,可得

-OK,即可知4c平分.

本題考查作圖■基本作圖、切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識

解決問題.

20.【答案】解：⑴?.(/與?。相切,

WP90，

,\MCB\^BCP!KJ,

,.?0C-08，

-.UNF-.\IJ(\

第14頁，共19頁

?z￡ABC=24BCP，

：.COCH2mL

?一〃CP??r,即3/8('/'=MT，

.?.N"，Ji,

LOCB2.B(PGO：；

2)如圖,連接。E,

“。為?。的直徑，

,-.ZDBC=90\

?/E是弧8。的中點,

.?屈-漉’

/.￡DCE-Z八

在山”/〃中，BF.3,

.?.CF=2BF=6.

【解析】11）由切線的性質(zhì)可得NOC/>=90°，由（M'=C8可得B乙43a結(jié)合,「2ZBCP,

川得/“，+zBC『,ar,求出/Bcp,3（r,SB=MBCP工

，根據(jù)圓周角定理得到.f『，由七是弧8。的中點，得到而加，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

即可得到結(jié)論.

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

-9+364-r=0

21.【答案】解：1）把〃⑶0）,CS3）分別代入［-/得

解得｛M'

,拋物線解析式為“-.r'.2.r43；

1..?/--x2+2r+3=

?.拋物線的頂點尸的坐標(biāo)為UI);

(2)當(dāng)時，->+2,=0,

解得/11).r■3,

..1：l.lli,

設(shè)直線BC的解析式為'/”，J?”,

第15頁，共19頁

把/*：，?),r(c分別代入得＜°,

[n-J

解得(小二L

Iri=3

.?.直線AC的解析式為V：.r3,

當(dāng)/IHt,yJ?32,

AD(1.2),

設(shè)Qd+3),

.的面積等于面積的2倍，

.?.；x(3+l)x|-f+3|=2x；xlx("2),

解得，2或，I,

?.Q點的坐標(biāo)為(21)或(I.1).

【解析】11先利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，然后杷一般式化為頂點式得到尸點坐標(biāo)：

2先解方程r?3?3=I)得.111JH,再利用待定系數(shù)法求出直線8c的解析式為U=/-3,則可

確定〃(L2i,設(shè)+則利用三角形面積公式得到；x(3+l)x|-f+3|=2x；xlx(l-二，

然后解方程求出人從而得到。點的坐標(biāo).

本題考查了拋物線與X軸的交點：把求二次函數(shù)u“J「是常數(shù)，〃，山與X軸的交點坐標(biāo)問

題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于X的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

22.【答案】202226504638

【解析】解：根據(jù)銷售單價從小到大對應(yīng)排列得下表:

售價(元/盆)182022263()

口銷售量(盆)5450463830

故答案為：20,50；22,46：26,故.

」觀察表格可知銷售量是售價的一次函數(shù)；

設(shè)銷售量為y盆，售價為x元，y"*b,

把"入得:｛黑；：：；；：

解得：｛二』

u=-2x+90.

小由題意，設(shè)定價為加元，

第16頁，共19頁

.每天能夠獲得的利潤lm-1?)2…則

=-2m2+120m-1350

=-2(m-3O『+45O.

?/-2<(),

，當(dāng),〃30時,每天能夠獲得的利潤最大,最大值為450

??售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤，最大利潤為450兀.

；11根據(jù)銷伊單價從小到大對應(yīng)排列即可；

,觀察表格可知銷售量是售價的一次函數(shù)，設(shè)銷售量為y盆，售價為X元，y匕，6,把1卜.31,⑶二川

代人求出完整解析式即可；

⑶依據(jù)題意，設(shè)定價為/〃元，從而每天能夠獲得的利潤-1成-2〃，一-2im??)-?「山，進

而由二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷得解.

本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用.從表格中獲取信息、正確求出一次函數(shù)、列出一元二次方程求解是

解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：ll)/TP￡加，理由如下:

PH四邊形力8。。是正方形，

mZDAPH90，

四邊形APHD是矩形,

：.APDH,

由折疊的性質(zhì)得.IEDE,AEGE,IPG7\Z1-ZE6P-90.

/)//(:P，ND=./3/??M，ZONE=/<；/>〃n??■/(；〃〃，

/〃〃