第十七章因式分解

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào):

一、解答題

1.分解因式：

(1)a5——a3b2+—ab4.

216

2.分解因式：

(l)x3-9x;

(2)%2—18X+27.

(3)9(m+n)2—3(m-n)(m+n)；

(4)x(x-.

3.1閱讀與思考1

整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項(xiàng)式依2+bx+c(aw0)分解因式呢？

我們已經(jīng)知道：

L

^alx+c^a1x+c^=ala2X+alc2x+a2clx+cic2=+(^^+a2cx)x+QG.反過(guò)來(lái)，就得到:

A1a2爐+(%c?+%cJx+C]C2=(平+°])(%了+02).

我們發(fā)現(xiàn),二次三項(xiàng)式加+法+。(。40)的二次項(xiàng)的系數(shù)。分解成4%，常數(shù)項(xiàng)。分解成。傷，

并且把q,%,G，c?如圖1所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到％J+a*，如

果4c2+電。的值正好等于依2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)6,那么ax2+bx+c就可以分解為

(qx+cJS^x+Cz),其中q,J位于圖的上一行，a2,c?位于下一行.

像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十

字相乘法”.

例如，將式子尤2一無(wú)一6分解因式的具體步驟為:首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積,

即1=1x1,把常數(shù)項(xiàng)-6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按圖

2所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1x(-3)+lx2=-l,恰好等于一次項(xiàng)

的系數(shù)-1,于是d-x-6就可以分解為(x+2)(x-3).

(1)請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，用“十字相乘法”分解因式：X2+X-6=;

【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式:

(2)@2X2-5X-1=;?12x2-llxy+2y2=；

【探究與拓展】

答案第2頁(yè)，共39頁(yè)

①類比我們已經(jīng)知道：(平+4乂生,+2)=01a2盯+4b2%+a2bly+貼2.

反過(guò)來(lái)，就得至!j：a^a^xy+a1b2x+a2bxy+b]b2=(平+4)(生,+4).

(3)請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試下面進(jìn)行分解因式：①2孫+3y+2x+3=

②若。、Z?均為整數(shù)，且。、人滿足6a〃+8〃—15々=308,求a+b的值.

4.多項(xiàng)式乘法：(x+〃)(x+b)=x2+g+?x+必，將該式從右到左使用，即可得到“十字相

乘法”分解因式的公式％2+(a+Z?)x+必=(x+a)(x+Z?).

示例：分解因式d+5X+6=%2+(2+3)X+2X3=(X+2)(X+3).

嘗試分解因式：

(l)x2+6x-27=;

(2)6x2—7x—3=;

(3)20(x+y)2+7(x+y)-6=.

二、填空題

5.分解因式：(x+2乂尤-3)(x+4)(x-5)+13=.

6.多項(xiàng)式6/一11/+尤+4可分解為.

7.^20-14A/2+^20+14>/2=?

8.一個(gè)正整數(shù)x能寫成x=/-/(。，6均為正整數(shù))，則稱x為“美滿數(shù)”，a,6為x的一

個(gè)美滿分解，并規(guī)定：尸(力=?.如果一個(gè)兩位正整數(shù)(十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，交換其

個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)與原數(shù)是4752的一個(gè)美滿分解，則尸(4752)的值

為.

三、解答題

9.利用因式分解計(jì)算：

(1)1032+103X194+972;

(2)20212-20202+20102-20092.

10.分解因式：

(l)(a2+b2)2-4a2b2

(2)(x-l)(x+3)+4

(3)a3+Icrb+ab1

答案第4頁(yè)，共39頁(yè)

11.把下列各式因式分解:

⑴2a3一8加；

(2)2/-126+18°;

(3)(x2+16y2)2-64x2y2.

12.分解因式：

(1)rr^n—9mn；

(2)(X2+4)2-16.X2；

(3)x2-4y2-x+2y；

(4)(2〃z-a)?-10〃(2〃z-〃)+25〃2.

13.因式分解:

(1)ma2-3ma—4m;

(2)(X2+4)2-16X2；

(3)TX3+16x?-16x;

(4)a2(x-y)+4Z>2(y-x).

14.分解因式：

(l)4x(x-y)2-12(x-y)3；

(2)9〃-24316/；

(3)ma2—18ml—40m;

(4)3A2-27

答案第6頁(yè)，共39頁(yè)

15.(1)分解因式：mn2-10mn+25m;

(2)計(jì)算：一(工+2)(%-2).

16.把下列各式因式分解:

(1)4/-4/"/；

(2)(2x)—(爐+1).

17.因式分解

⑴移3_%3y

(2)-2m2—20m-50

⑶(a-4—/

(4)(7a—8Z?)(Q-2Z?)+(Q-8Z?)(a-2/7)

18.分解因式：

(1)3X3-12X;

(2)(1+my—(〃z+1)(〃z—1)；

(3)利用因式分解計(jì)算：1242-48x124+242.

19.利用分解因式計(jì)算：1+24（52+1乂54+1）（58+11.「（532+1）.

20.材料1：將一個(gè)形如f+px+g的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足4=〃加且

答案第8頁(yè)，共39頁(yè)

p=7"+".則可以把Y+px+q因式分解成(x+rn)(x+〃)，例如：

(T)x~+3x+2=(x+l)(x+2)；

(2)x?-2x-8=(x—4)(x+2).

材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+l.

解：將“x+y”看成一個(gè)整體，令x+y=A,則原式=A2+2A+l=(A+iy,再將“A”還原,

得：原式=(x+y+l)2.

上述解題用到“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)

題：

⑴根據(jù)材料1，把f一工一2分解因式；

(2)結(jié)合材料1和材料2,完成下面小題：

①分解因式：(x-y)2+5(x-y)+4；

②分解因式：(加+凡)?！?〃-6)+5.

21.因式分解：(x+y)+2(x+y)+l

解：令4=》+九(解題過(guò)程將“x+y”看成整體的“整體思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的一種思想

方法.)

則原式=片+2人+1

=5+1)2

將4=》+丫代入得:

原式=(尤+y+l)2

⑴仿照上述方法因式分解：(X-1)2+3(X-1)

⑵若。為正整數(shù)，說(shuō)明代數(shù)式(。-1)(4-2)(4-3)(4-4)+1的值為一個(gè)整數(shù)的平方.

22.閱讀材料，解答后面的問(wèn)題.

分解因式(x,+3尤—3)(*2+3x+4)—8:

觀察代數(shù)式：代數(shù)式中有兩部分都包含爐+3-因此可以考慮將這部分看作一個(gè)整體

設(shè)定新變量：設(shè)f=V+3x

進(jìn)行換元：將f代入原代數(shù)式，則原代數(shù)式變?yōu)?-3)?+4)-8,得到r+-20

因式分解簡(jiǎn)化后的代數(shù)式：對(duì)〃+-20進(jìn)行因式分解

①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：〃=/.-20=(+5)x(Y),'+：

t—4

②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：=>5L4/=I

rx-4

③橫向?qū)懗鰞梢蚴?，得?+5)(-4)

還原變量：將/還原Y+3X,得至1](犬+3苫+5乂/+3工一4)

進(jìn)一步分解，得至lj，+3x+5)(x+4)(x-l)

上述這種因式分解的方法稱為“換元法”.

⑴分解因式卜2+》+1乂/+了+2)―12時(shí)，設(shè)y=/+x,則原代數(shù)式化為」

⑵模仿上述方法分解因式：(Y+X+1)(%2+X+2)-12.

答案第10頁(yè)，共39頁(yè)

23.類比推理是一種推理方法，即根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，作出它們?cè)谄渌卣?/p>

上也可能相似的結(jié)論，即用類比的方法提出問(wèn)題及尋求解決問(wèn)題中的途徑和方法.

請(qǐng)用類比的方法，解決以下問(wèn)題：

(1)①已知=1一',，q==…，則依據(jù)此規(guī)律工1、=_;

1x222x3233x434n{n+i)一

②請(qǐng)你利用十字相乘法進(jìn)行因式分解：尤2+5犬+6=_;

(2)若。、Z;滿足a?—2a+1+〔2a—耳=0.求

1]]]_________1_________

Tb+(a+1).優(yōu)+1)+(a+2)?伍+2)+(a+3).伍+3)+…+(a+2021)?伍+2021)的值；

(3)受此啟發(fā)，解方程--------+-一-----+--}-----+--------=.

x2+9x+20尤2+1lx+30x2+13x+42x~+15x+56x2+28

24.材料1：將一個(gè)形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足?！ㄇ?=力切,

則可以把V+px+q因式分解成(x+機(jī))(x+〃).例如f+3x+2,具體做法是先分解二次項(xiàng)

系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上

角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，這種方法稱為“十字相乘法”.

這樣，我們可以得到：f+3x+2=(x+l)(x+2).

材料2：分解因式：(x+yy+2(x+y)+l

解：將“x+y”看成一個(gè)整體，令x+y=K,則原式=K2+2K+l=(K+iy,再將“K”還原，

得：原式=(x+y+l)’

上述解題用到“整體思想”和“換元思想”，整體思想和換元思想是數(shù)學(xué)解題中常見的兩種思想

方法.

【遷移運(yùn)用】

(1)利用上述的十字相乘法，將下列多項(xiàng)式分解因式：

①尤2+5尤+6;②2/+2x-12

(2)結(jié)合材料1和材料2,對(duì)下面小題進(jìn)行因式分解：

①"-"+4(尤-田+3；②(2a+36)2-4(20+36)-12.

20202-2026)(20202+4037)x2021

25.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

2017x2019x2022x2023

答案第12頁(yè)，共39頁(yè)

26.因式分解

(l)(x+l)(x+2)(x+3)(x+6)+%?；

(2)(x+^-2xy)(x+^-2)+(xy-l)2.

27.分解因式

⑴3。W+9『-108加；

(2)2b3—/-6)+5。-10原+3；

(3)4x2-14xy+6y2-7x+^-2；

(4)計(jì)算:rm

28.閱讀下列文字與例題，并解答：

將一個(gè)多項(xiàng)式分組進(jìn)行因式分解后，可用提公因式法或公式法繼續(xù)分解的方法稱作分組分解

法.例如：以下式子的分解因式的方法就稱為分組分解法.

a1+2ab+b2+ac+bc

原式=(儲(chǔ)+2歷+匕2)+(1。+/7。)

—(a+6)+c(a+Z?)

=(a+b)+6+c).

⑴試用“分組分解法”因式分解：冗2—/+xz—片.

(2)已知四個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c,d,滿足awb,cwd,并且〃2+〃c=3左，/+bc=3Z,C2+QC=6左，

d2+ad=6k,同時(shí)成立.

①當(dāng)左=1時(shí)，求a+c的值；

②當(dāng)左。0時(shí)，用含〃的代數(shù)式分別表示》c,d.

29.在有理數(shù)范圍分解因式

(l)m(x-y)2-x+y

(2)25(%-y)2—10(y—x)+l

(3)(爐+5X+2)(%2+5x+3)—12

(4)a?—2〃+Z??—2b+2ab+1

答案第14頁(yè)，共39頁(yè)

《第十七章因式分解》參考答案

1.(1)—〃(2Q+Z?)(2〃-/?)

16

(2)(m+3)(m—l)(m—3)(m+l)

【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法和公式法因式分解.

(1)先提公因式，再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可；

(2)先利用平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式即可.

【詳解】(1)解：—a%?----ab，

216

二》(16八

=\a(2〃+b)2(2Q-Z?)2；

(2)解：(m2-3)2-4m2

=(病-3+2機(jī))(m2~3-2mj

=(m+3)(m—l)(m—3)(m+l).

2.(l)x(x+3)(x-3)

(2)3(x-3『

(3)6(m+n)(m+2n)

(4)(x-y)(x2-xy+y)

【分析】本題主要考查了分解因式：

(1)先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可；

(2)先提取公因數(shù)3,再利用完全平方公式分解因式即可；

(3)先提取公因式，然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，最后提取公因數(shù)2分解因式即可；

(4)先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：Xs-9x

=x^x2-9)

=x(x+3)(x-3)；

(2)3f-18尤+27

=31-6x+9)

=3(元-3汽

(3)9(/M+n)2-3(/M—n)(7M+n)=3(7"+")[3(n/+〃)一(〃2-")]

=30九+〃)(3〃？+3〃―7篦+〃)=3(7〃+”)(2m+4”)

=6(m+n)(m+2n)；

(4)原式=(x-y)[尤(尤-y)+y]

=(尤一y)(尤2一孫+,).

3.(1)(x-2)(x+3)；(2)①(2x—7)(x+l)；②(3x-2y)(4x-y)；(3)?(2.v+3)(v+1)；

②a+6=—14

【分析】本題考查十字相乘法進(jìn)行因式分解，理解“十字相乘法”的內(nèi)涵是正確解答的關(guān)鍵.

(1)利用如圖1、圖2,仿圖3的“十字”可以對(duì)f+》一6進(jìn)行因式分解；

(2)①利用如圖1、圖2的“十字”可以對(duì)2r_5-7進(jìn)行因式分解;②利用如圖1、圖2的“十

字”可以對(duì)12/-11孫+2/進(jìn)行因式分解；

(3)①利用題中的“十字”可以對(duì)多項(xiàng)式2沖+3y+2x+3進(jìn)行因式分解；②利用如圖4所示

的“十字,,可以對(duì)多項(xiàng)式6奶+助_15”308進(jìn)行因式分解為(3。+4)(26-5)=288,然后結(jié)合

有理數(shù)的乘法運(yùn)算分析求解即可.

【詳解】

AIx3+lx(-2)=l,

x+x—6=(x—2^x+3),

故答案為：(x-2)(x+3).

答案第16頁(yè)，共39頁(yè)

2-7

(2)①：

I，X1

/.2X2-5X-7=(2X-7)(X+1)；

.?.3x(-l)+4x(-2)=-ll,

/.12x2-llxy+2y2=(3x-2y)(4x-y),

故答案為:(3x-2y)(4x-y)；

(3)①根據(jù)題意得：

2x\/3

X

2孫+3y+2%+3=(2尤+3)(y+l),

故答案為：(2x+3)(y+l)；

②6ab+8Z?—15a=308，

：.(3a+4)(2〃—5)=308-20,

???(3a+4)(2Z?—5)=288,

???〃、丁均為整數(shù),

???2A-5為奇數(shù)，3〃+4不能為3的倍數(shù)，

???當(dāng)3a+4=32,2b—5=9時(shí)，。=?/=7,不符合題意;

當(dāng)3a+4=-32,2/?—5=—9時(shí)，a=-12,b=-2,符合題意;

**?a+b=—14.

4.(l)(x+9)(x-3)；

⑵(2x-3)(3x+l)；

(3)(4x+4y+3)(5x+5y-2).

【分析】本題主要考查了用十字相乘法因式分解，理解因式分解——十字相乘法的運(yùn)算方法

是解題的關(guān)鍵.

(1)仿照例題方法分解因式即可；

(2)仿照例題方法分解因式即可；

(3)把x+y看成整體，然后仿照例題方法分解因式即可.

【詳解】(1)解:尤2+6X-27

=X2+[9+(-3)]X+9X(-3)

=(x+9)(x-3),

故答案為:(x+9)(x-3)；

(2)解：6/-7X-3

=(2x-3)(3x+l),

故答案為：(23-3乂3彳+1)；

(3)解：20(x+y)2+7(x+y)-6

=[4(x+y)+3][5(x+y)_2]

=(4x+4y+3)(5x+5y-2),

故答案為：(4x+4y+3)(5x+5y-2).

5.(%2—x—19)(x2—%—7)

【分析】本題主要考查了利用十字相乘法分解，首先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則把原式整

理，可得：原式=(尤2-尤-6)卜2_彳-20)+13,再把看作一個(gè)整體，利用多項(xiàng)式乘以

多項(xiàng)式的法則展開，可得：原式=(爐--26(/-耳+133,把-尤看作一個(gè)整體利用十

字相乘法分解因式即可.

【詳解】解：(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+13

二(x?-x-6)(x?—%—20)+13

答案第18頁(yè)，共39頁(yè)

=(無(wú)2—無(wú))一26(無(wú)？一x)+133

=(x?-x-19)(x?-x-7),

故答案為：(Y一尤一19)仁7-7).

6.(萬(wàn)一1)(31)(2尤+1)

【分析】根據(jù)分解因式的方法，先把11尤2變成6/+5》2,再根據(jù)提公因式法和十字相乘法分

解因式即可.

【詳解】解析：原式=6》3一6/-5V+x+4,

=6x2(x-1)-(x-l)(5x+4),

=(彳_口(6%2_5x_4)

=(x-1)(3%-4)(2%+1).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法一提公因式法和十字相乘法，解決此題的關(guān)鍵是要想

到把11爐分開用.

7.4

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，和的立方公式，設(shè)0=#20-140，

[=[20+140，則可得到/+/=40，ab=2,根據(jù)和的立方公式得到

(fl+Z?)3=a3+b3+3ab(^a+b),進(jìn)而推出(4+6丫=40+6(a+6)，貝!J設(shè)x=a+b,貝!J/=40+6x,

則可推出(x-4乂V+4%+10)=0,據(jù)此可得答案.

【詳解]解：i^a=^20-14^>?=#20+140，

3=20-14應(yīng)+20+14夜=40,岫=#20-14應(yīng)x320+14忘=W400-392=2，

/.(a+6)3

=[3+3a2人+3ab2+Z?3

=tz3+Z?3+3ab[a+b)

=a，+3+6(a+Z?)

=40+6(a+Z?)

設(shè)x=〃+Z?,則％3=40+6無(wú)，

**?x3—6x—40=0,

(x-4)(Y+4x+10)=0,

2

.?.(X-4)[(X+4X+4)+6]=0,

?，.(x-4)[(x+2)+6J=0,

x—4=0,

??x-4

a+b=4，

#20-14及+#20+14近=4?

故答案為：4.

717

8.—或一.

174

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“美滿數(shù)”的定義列出關(guān)于〃、人的方

程組.

先設(shè)出原兩位正整數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，根據(jù)新數(shù)與原數(shù)是4752的一個(gè)美滿分解列出

方程組，可得(帆+〃)(加-〃)=48,求出加、〃的值，進(jìn)而得出廠(4752)的值.

【詳解】解：設(shè)原兩位正整數(shù)的十位數(shù)字為加，個(gè)位數(shù)字為〃(機(jī)＞〃,根，〃均為正整數(shù))，則原

數(shù)為10口+幾，新數(shù)為10幾+加，

新數(shù)與原數(shù)是4752的一個(gè)美滿分解，a=10m-}-n,b=10n+m

又va2-b2=(。+b)(a-b)=4752,

將a=10機(jī)+〃，〃=10〃+加代入。2—b2=(a+b)(a—b)=4752,

a?—b2=[(10m+n)+(lOn+m)][(10m+ri)—(lOn+m)]

=ll(m+n)x9(m-M)=99(m+n)(m—zz)=4752

可得：=48(相〉〃，機(jī)，〃均為正整數(shù))

此方程有兩組符合題意的解，

答案第20頁(yè)，共39頁(yè)

m=lm=8

分別為:w=l或

〃=4

m=la=71

當(dāng)時(shí)，

b=17’

??/(4752)=3

m=8a=84

當(dāng)〃=4時(shí)，

Z?=48,

尸（4752）金=Z,

'7484

717

綜上，尸（4752）的值為3或;.

717

故答案為：行或I.

9.(1)40000

(2)8060

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用,

（1）將原式轉(zhuǎn)化為103a+2x103x97+972,然后利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行

有理數(shù)的乘方運(yùn)算;

（2）將原式利用結(jié)合律進(jìn)行分組（202F—2020?)）+（20102-20092）,然后利用平方差公式進(jìn)

行因式分解，再進(jìn)行乘法和加法運(yùn)算;

掌握利用公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：1032+103X194+972

=1032+2X103X97+972

=(103+97)2

=20()2

=40000；

(2)20212-20202+20102-20092

=(20212-2020Z)+(20102-20092

=(2021+2020)x(2021-2020)+(2010+2009)x(2010-2009)

=4041x1+4019x1

=4041+4019

=8060.

10.(l)(a+b)2(a-b)2

(2)(%+以

(3)。(。+/?)2

【分析】本題考查的是用公式法分解因式，熟練掌握公式是關(guān)鍵

(1)運(yùn)用平方差公式和完全平方公式分解即可；

(2)先用多項(xiàng)式的乘法將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)后，用完全平方公式分解；

(3)先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可

【詳解】(1)解:(a2+b2^-4a2b2

=(a2+b2^~(2ab)2

—(a?+b?+(片+/-2ab)

=(6Z+Z?)2(6Z-Z?)2;

(2)解：(1一1乂%+3)+4

=x2+3龍—x—3+4

=爐+2%+1

=(%+1)2；

(3)解：a3+2a2b+ab1

=a(a2+2ab+b2)

=〃(Q+b)2.

11.(l)2a(a+2b)(a—2b)

⑵2a(a-3)2

⑶(尤+4?5-44

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵:

(1)先提公因式，再利用平方差公式法進(jìn)行因式分解即可；

答案第22頁(yè)，共39頁(yè)

(2)先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；

(3)先用平方差公式再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解。

【詳解】(1)解：原式=2。(/_4〃)

(2)原式=2〃(々2-6〃+9)=2](々-3)2.

(3)原式=(%?+16丁)2_仁孫尸

二(f+16/+8⑹(爐+16丁-8孫)

=(%+4y)2(x-4y)2.

12.(l)mAi(m+3)(m—3)

⑵(X-2)2(X+2)2

⑶(x-2y)(x+2y-l)

(4)4(加-3〃)

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)先提公因式，再用平方差公式進(jìn)行因式分解；

(2)先用平方差公式再用完全平方公式進(jìn)行因式分解；

(3)先添括號(hào)分組，再把前兩項(xiàng)用平方差公式分解因式，最后再提公因式;

(4)先用完全平方公式，再提公因式進(jìn)行因式分解.

【詳角軍】(1)角星：nv'n—9mn

=rnnyri1-9)

=OTi(m+3)(m—3)；

222

(2)解：(X+4)-16X

=(兀2+4-4,(12+4+4%)

=(X-2)2(X+2)2；

⑶解：x2-4y2-x+2y

=(x2-4y2)-(x-2y)

=(x+2y)(x-2y)-(x-2y)

=(x-2y)(x+2y-l)；

(4)解：(2m—n)2—10n(2m—w)+25zi2

=(2m—n—5n)2

二(2m-6n)2

=4(m—.

13.(l)m(tz-4)(6z+l)

(2)(x+2)2"—2)2

⑶-4X(X-2)2

(4)(x-y)(tz-2b)(a+2b)

【分析】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解.因

式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.因式分解

必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止.

(1)先提取公因式，再用十字相乘法分解；

(2)先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解；

(3)先提取公因式，再用完全平方公式分解；

(4)先提取公因式，再用平方差公式分解

【詳解】(1)ma1—3ma—4m

=m[a1-3a-

=m(6i—4)(tz+l)

(2)(X2+4)2-16X2

=6+4『—(4x)2

=(爐+4+4%)(%2+4一4%)

答案第24頁(yè)，共39頁(yè)

=(X+2)2(X-2)2

(3)-4d+16J?-16x

=-4%(爐一4%+4)

=-4x(x—2)2

(4)a2(x-^)+4Z72(y-x)

=?2(x—y)-4&2(J;-y)

=(x->)(/-4/)

=(x_y)(a_2Z?)(Q+2Z?)

14.⑴4(x-y/(-2x+3y)

(2)(3a—"J

(3)用(a+2)(a-20)

(4)3(a+3)(a-3)

【分析】本題考查了因式分解的知識(shí)，掌握因式分解是解題的關(guān)鍵.

(1)提取公因式4(x-然后即可求解；

(2)根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；

(3)先提取公因式加，再根據(jù)十字相乘法即可因式分解；

(4)先提取公因式3,再根據(jù)平方差公式即可求解；

【詳解】(1)解：4%(x-y)2-12(x-j)3

=4(x-j)2[x-3(尤-川

=4(x-y)2(1_3九+3,)

=4(x-y)2(-2x+3y)；

(2)解：9a2-24ab+16b2

=(3〃-4Z?)2；

（3）解：ma2—18ma—40m

=/"(a?-18a—40^

=zn(a2-18a+81-121)

=-9『-ll2J

=7〃(a+2)(a-2O)；

(4)解:3a2-27

=3(6-9)

=3(a+3)(a-3)；

15.(1)m(n-5)2；(2)-2x+5

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，完全平方公式，平方差公式，提公因式法與公式法的

綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式.

(1)先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；

(2)利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：(1)原式=〃?("2-10,+25)

=5)-；

(2)原式=尤?-2x+l-(x?-4)

=—2x+1—x~+4

=-2x+5

16.(l)a(2b-a)~

(2)-1)

【分析】本題考查了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用是解

題的關(guān)鍵.

(1)先提公因式“，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；

(2)先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，然后再利用平方差公式進(jìn)行分解即可解答；

【詳解】(1)解：原式=。(462一4"+")

答案第26頁(yè)，共39頁(yè)

=a(2b-；

⑵解：原式=4/-*2一i

=3X2-1

=(6無(wú)+1)(6元-1).

17.⑴孫(y+x)(y—x)

⑵-2(〃Z+5)2

(3)(o+6)(a-3b)

(4)8(a-2&)2

【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法因式分解和公式法因式分

解.

(1)先利用提公因式法進(jìn)行因式分解，再利用公式法進(jìn)行因式分解；

(2)先利用提公因式法進(jìn)行因式分解，再利用公式法進(jìn)行因式分解；

(3)利用公式法進(jìn)行因式分解；

(4)利用提公因式法進(jìn)行因式分解.

【詳解】(1)解:xy3-x3j

=xy(y2-x2)

=xy(j+x)(y-x)；

(2)解:—2m2—20m—50

=-2(〃/+10m+25)

=一2(根+5)\

(3)解：(。-方-仍？

=(a—6+2Z?)(a—b—2Z?)

=(a+b)(a-3Z?)；

(4)解：(7a—8b)(a—2b)+(a-8&)(a—2b)

=(a—2b)(7a—Sb+a—8Z?)

=(a-2b)(8a-16/?)

=8(a-2b)(a-2b)

=8(a-2/

18.(l)3x(x+2)(x-2)

(2)2(m+l)

(3)10000

【分析】本題考查了因式分解.

(1)先提取公因式3無(wú)，再根據(jù)平方差公式分解因式即可；

(2)先提取公因式(加+1),再計(jì)算加減即可；

(3)逆用完全平方公式計(jì)算即可.

【詳解】⑴解:原式=3x(/-4)

=3x(龍+2)(x-2)；

(2)解：原式=(〃?+1)[(優(yōu)+1)-(〃2-1)]

=(Z?+1)(Z77+1—77Z+1)

=2(M7+1)；

(3)解：原式=124?-2*124x24+24?

=(124-24)2

=1002

=10000.

19.5s4

【分析】本題考查分解因式，平方差公式，將原式中24變形為(52-1),再利用平方差公式

進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：1+24(52+124+1乂58+1)...「F+l)

答案第28頁(yè)，共39頁(yè)

=1+(52-1)(52+1)(54+1*8+l).....(532+1)

=l+(54-l)(54+l)(58+l).....(532+1)

=l+(58-l)....-(532+l)

=1+/t

=l+564-l

=564.

20.(l)(x-2)(x+l)；

(2)①(x-j+1)(x-y+4)；②+〃-1)(m+“-5)

【分析】此題考查因式分解，將某多項(xiàng)式重新設(shè)定未知數(shù)，分解因式，

(1)直接根據(jù)材料1,仿照例題即可求解；

(2)①令A(yù)=x-y,仿照例題即可求解；

②令B=m+n,先計(jì)算乘法，再因式分解即可.

【詳解】(1)解：X2-X-2=(X-2)(X+1)；

(2)解：①令A(yù)=x-y,

則原式=T+5A+4=(A+l)(A+4),

所以(尤一?+5(x-y)+4=(x-y+l)(x-y+4)；

②令B=m+n,

則原式=3(3-6)+5

=B2-6B+5

=(B-l)(B-5),

所以原式=(根+1)(m+5).

21.(1)(x-1)(%+2)

(2)見解析

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)示例的整體思想解決問(wèn)題.

(1)令〃=%-1,代入式子得+；

(2)(a-l)(a-2)(。-3)(。-4)+1=(片-5。+4)(片-5a+6)+l,a2—5?+4=x,原式

=x(x+2)+l=(x+l)2=(/-5a+5)2,據(jù)止匕證明.

【詳解】⑴解：令

(%-1)+3(%-1)=〃2+3Q

=a(a+3)

=(x-l)(x-l+3)

=(x-l)(x+2)；

(2)(a-l)(a-2乂々-3)(a-4)+l

=(a?—5a+4)-5Q+6)+1,

令^a?—5a+4=%,

原式=x(%+2)+l

=x?+2%+1

=(尤+1)2

—(Q2—5Q+5)2,

所以代數(shù)式(。-。(。-2)(4-3)(。-4)+1的值為一個(gè)整數(shù)的平方.

22.(1)/+3y-10

(2)(尤2+x+5)(x+2)(x-1)

【分析】本題主要考查了因式分解，整體思想，換元思想，十字相乘法，掌握換元法和十字

相乘法是解題的關(guān)鍵.

(1)利用換元法即可得出結(jié)果；

(2)模仿上述方法逐步進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)〉=尤2+了，則原代數(shù)式化為

(y+l)(y+2)-12=y2+3y+2-12=/+3y-10,

答案第30頁(yè)，共39頁(yè)

故答案為：/+3y-10；

(2)解：對(duì)y2+3y-10進(jìn)行因式分解

y+5

①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：y2=yy,-10=(+5)x(-2),、

%/+5

②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：X―5y-2y=3y

/X-2

③橫向?qū)懗鰞梢蚴?，得?y+5)(y-2)

還原變量：將y還原/+尤,得到任+%+5)任+》_2)

進(jìn)一步分解得到，+x+5)(x+2)(x-l)

以，(x?+x+l)(x?+x+2)-12=(廠+x+5)(x+2)(x-1).

23.(1)(T)----------；(2)(x+3)(x+2)；

n〃+1

(3)X=-J

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、因式分解與解分式方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，

理解裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用以及熟練求解分式方程.

(1)①類比題材即可得解，②類比題材即可因式分解；

(2)根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性得a=l,b=2,然后代入所求式子利用裂項(xiàng)相消法即可

求解；

(3)利用拆項(xiàng)法因式分解后再利用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)方程，解化簡(jiǎn)后的分式方程即可.

?.?類比得E

nn+1

②d+5x+6=%2+2%+3%+6=%（%+2）+3（%+2）=（%+3乂%+2）.

故答案為：①-------；②（％+3）（尤+2）；

nn+1

（2）解：*.*a,Z?滿足a?—2〃+l+|2a—母=0,即（a—以+|2〃一4二0

：?々-1=0,2a—b=0,

解得：a=l,b=2.

11111

-----1----------------1----------------—|-----------------F???H

a-b(〃+l)?(b+l)(Q+2>(/?+2)(〃+3)?(b+3)--------(?+2021).(/?+2021)

11111

=-----+------+------+------+???+

1x22x33x44x52022x2023

11111111______1

=1—I——I——I—-+???+

22334452022~2023

2023

2022

2023

2022

故答案為:

2023

11114

(3)解:—；-----------17-------------15-----------------H--------------=-------

x+9尤+20x+1lx+30x+13x+42x+15x+56x+28

11114

(x+4)(x+5)(x+5)(x+6)(x+6)(x+7)(x+7)(x+8)x2+28

111111114

--------------1---------------1---------------1---------------..------

x+4x+5x+5x+6x+6x+7x+7x+8x+28

11_4

%+4x+8f+28

4_4

x2+12x+32x2+28

%?+28—d+12x+32，

-12x=4,

1

經(jīng)檢驗(yàn)，X=是原方程的解,

...原方程的解為X=-；.

24.⑴①（尤+2）（x+3）；②（尤+3）（2尤-4）；

（2）（T）（x—y+l）（x—y+3）；（2）（2a+36+2）（2a+36—6）.

【分析】本題主要考查了用十字相乘法分解因式、換元法分解因式.解決本題的關(guān)鍵是閱讀

材料中提供的解題思路，仿照材料中提供的思路分解因式.

⑴①仿照材料1的供的思路把1分解成1x1,把6分解成2x3,分別寫在十字交叉線的右上

角和右下角，然后交叉相乘，可得Ix2+lx3=5,所以分解因式可得*+5x+6=（x+2乂龍+3）；

②仿照材料1的供的思路把2分解成1x2,把-12分解成-3x4,分別寫在十字交叉線的右

上角和右下角，然后交叉相乘，可得-3x2+lx4=-2,所以分解因式可得

答案第32頁(yè)，共39頁(yè)

2x2+2x-12=(x-3)(2x+4)；

(2)①設(shè)x-y=p,則原式化為"+4p+3,仿照⑴中的方法用十字相乘法分解因式，再把

P還原即可;

②設(shè)2a+36=4,則原式化為/一的-12,仿照⑴中的方法用十字相乘法分解因式，再把“

還原即可.

【詳解】(1)①解：X2+5X+6,

.t.x2+5x+6=(x+2)(x+3)；

②解：2/+2尤一12,

.-.2^2+2X-12=(X+3)(2X-4)；

(2)①解：(x—yy+4(尤-y)+3,

設(shè)x—y=p,

則原式化為p?+4p+3,

|1X3+1X1=4|

.1p2+4p+3=(/+l)(p+3),

把P還原可得：(x-yf+4(x-y)+3=(x-y+l)(x-y+3)；

②：解(2a+3〃)2-4(2a+3b)-12,

設(shè)2。+3Z?=q,

則原式化為「一4鄉(xiāng)-12,

1、、/—6

1X(-6)+1義2=-4

/./_4q_12=(q-6)(q+2),

把鄉(xiāng)還原可得：(2a+3Z?)2—4(2a+3b)—12=(2a+3b—6)(2〃+3b+2).

25.2021.

【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，先設(shè)2020=〃，然后通過(guò)十字相乘法因式分解進(jìn)行解

答即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握十字相乘法因式分解的應(yīng)用.

【詳解】解：設(shè)2020=。，

—(J—6)(〃2+2〃-3)(〃+1)

則原式=

—3)(〃—1)(〃+2)(〃+3)

(4—3)(〃+2)(Q+3)(I—+

(Q—3)(〃—1)(Q+2)(〃+3)'

=a+1,

???原式=2020+1=2021.

26.⑴(兀2+6+6%)

⑵(1)2(y—丁

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵：

(1)分別求出(X+D(X+6),(X+2)(%+3),把(尤2+6)作為一個(gè)整體，進(jìn)行多項(xiàng)式乘以多

項(xiàng)式的計(jì)算，再利用完全平方公式法進(jìn)行因式分解即可；

(2)將x+y作為一個(gè)整體，進(jìn)行多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算，完全平方公式的計(jì)算，進(jìn)而得

至-(2+2盯)(*+丫)+2盯+*2/+1,把2孫+/;/+1轉(zhuǎn)化為(孫+1)一，再利用完全平

方公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)解：原式=(X+1)(X+6)(X+2XX+3)+X2

=(尤2+7x+6)(x?+5x+6)+尤2

=(X2+6)+7x(/+6)+5x(/+6)+35%2+x2

答案第34頁(yè)，共39頁(yè)

=(f+6)+12x(f+6)+36M

=卜2+6+6k)；

(2)原式=(%+y)2—2(%+y)—2孫(x+y^+4xy+x2y2—2xy+l

=(%+?—(2+2盯)(x+y)+2盯+%2y2+1

二(九+4—2(A^+l)(x+y)+(Ay+l)2

=(^x+y—xy—lf

=(x-l)2(y-l)2.

27.⑴3(7(。+3)2e-3『

(2)(2Z>-l)(Z>2-5<7-3)

(3)(4x-2y+l)(j;-3y-2)

(4)85

【分析】本題主要考查了因式分解、因式分解的應(yīng)用，靈活運(yùn)用因式分解的方法是解題關(guān)鍵.

(1)綜合利用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解即可；

(2)利用分組分解法進(jìn)行因式分解即可；

(3)利用分組分解法進(jìn)行因式分解即可；

11(x+1)4+—

(4)先利用公式法分解尤4+(和+從而可得一「工的值，最后再代入計(jì)算

x+4

即可.

【詳解】(1)解：3a伊+9)，108加

=3a(Z?2+9)2-36Z?2

=34伊+9+6可僅2+9-6可

=3a(6+3)2(6-3)2.

(2)解:2b3-b2-6b+5a-10ab+3

=（2Z73-Z72）+（5a-10aZ2）-（6Z2-3）

=&l2(2Z?-1)+567(1-2Z?)-3(2Z;-1)

=/?2(2&-l)-5^(2/7-l)-3(2Z;-l)

=(2b—D僅2—5〃—3)

(3)解：4x2