成考（專升本）高數(shù)（一）定義、極限、連續(xù)性C

O

N

T

E

N

T

S目

錄定義極限連續(xù)性01020301定義函數(shù)的基本概念函數(shù)是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，其中一個(gè)變量稱為自變量，另一個(gè)變量稱為因變量。函數(shù)表示每個(gè)自變量值都有唯一確定的因變量值。函數(shù)是數(shù)學(xué)中的基本概念，是微積分研究的基礎(chǔ)。函數(shù)的表示方法函數(shù)可以通過(guò)公式、表格、圖形或文字描述來(lái)表示。函數(shù)的符號(hào)表示通常為

f(x)，其中

x

是自變量，f(x)

是對(duì)應(yīng)的因變量。函數(shù)也可以用映射的概念來(lái)表示，即

fA

→

B，其中

A

是定義域，B

是值域。函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)可以有各種性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。函數(shù)的單調(diào)性描述了函數(shù)值隨自變量增加或減少的變化趨勢(shì)。函數(shù)的奇偶性描述了函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性。函數(shù)的分類函數(shù)可以根據(jù)其表達(dá)式和性質(zhì)分類，如線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。函數(shù)也可以根據(jù)其定義域和值域的特征進(jìn)行分類。特殊函數(shù)，如三角函數(shù)、反三角函數(shù)等，在數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用。函數(shù)的定義極限的概念極限描述了當(dāng)自變量趨近某一值時(shí)，函數(shù)值趨近某一確定的值。極限可以用來(lái)研究函數(shù)在某一點(diǎn)的行為趨勢(shì)。極限是微積分中的基礎(chǔ)概念，用于導(dǎo)數(shù)和積分的定義。極限的運(yùn)算規(guī)則極限運(yùn)算包括和、差、積、商的極限運(yùn)算規(guī)則。極限的運(yùn)算規(guī)則可以幫助簡(jiǎn)化極限的計(jì)算。極限的運(yùn)算規(guī)則有時(shí)需要考慮未定式的處理。無(wú)窮小的概念無(wú)窮小是指絕對(duì)值小于任意正數(shù)的變量。無(wú)窮小量在極限過(guò)程中逐漸趨近于0。無(wú)窮小在微積分中用于研究函數(shù)的局部行為。無(wú)窮大的概念無(wú)窮大是指絕對(duì)值大于任意正數(shù)的變量。無(wú)窮大量在極限過(guò)程中無(wú)限增大。無(wú)窮大在微積分中用于描述函數(shù)值無(wú)限增長(zhǎng)的情況。極限的定義連續(xù)性的基本概念連續(xù)性描述了函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)沒(méi)有斷點(diǎn)的性質(zhì)。連續(xù)的函數(shù)可以在其定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)間取值。連續(xù)性是微積分中的重要概念，是導(dǎo)數(shù)和積分存在的基礎(chǔ)。間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)包括無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。連續(xù)點(diǎn)的分類連續(xù)點(diǎn)分為可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和無(wú)窮間斷點(diǎn)?？扇ラg斷點(diǎn)可以通過(guò)定義函數(shù)值來(lái)補(bǔ)上。跳躍間斷點(diǎn)的兩側(cè)極限存在但不相等。連續(xù)性的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上具有最大值和最小值。01020304連續(xù)性的定義02極限無(wú)窮小乘以無(wú)窮大的極限無(wú)窮小乘以無(wú)窮大可能得到有限數(shù)、無(wú)窮大或不存在結(jié)果取決于無(wú)窮小和無(wú)窮大變化的快慢需要具體分析無(wú)窮小的比階和無(wú)窮大的增長(zhǎng)速度無(wú)窮小除以無(wú)窮小的極限無(wú)窮小除以無(wú)窮小的極限可能得到有限數(shù)、無(wú)窮大或不存在常用洛必達(dá)法則或泰勒展開(kāi)求解需要分析無(wú)窮小的比階和變化趨勢(shì)極限的四則運(yùn)算法則極限的和、差、積、商遵循相應(yīng)的運(yùn)算法則在極限運(yùn)算中，常數(shù)可以提出乘除運(yùn)算需保證分母極限不為零復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限可以通過(guò)先求內(nèi)函數(shù)極限再求外函數(shù)極限得到內(nèi)外函數(shù)連續(xù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)極限等于內(nèi)函數(shù)極限代入外函數(shù)需注意內(nèi)外函數(shù)的定義域及極限存在性極限的基本性質(zhì)極限存在準(zhǔn)則03判定極限存在的準(zhǔn)則包括夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界定理等使用準(zhǔn)則需保證函數(shù)滿足特定條件準(zhǔn)則適用于未直接求解的極限問(wèn)題極限的夾逼定理04夾逼定理適用于函數(shù)在某一側(cè)或兩側(cè)被其他函數(shù)夾逼的情況當(dāng)兩側(cè)函數(shù)的極限相同時(shí)，中間函數(shù)的極限存在且相等需要找到合適的夾逼函數(shù)進(jìn)行證明變量代換02對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行變量代換簡(jiǎn)化表達(dá)式利用變量代換將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知極限的形式需要保持代換后的函數(shù)極限形式不變直接求解01直接代入求解極限值對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)直接計(jì)算即可得到極限注意分母不為零的情況極限的求解方法01020304無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較可以通過(guò)求比值極限進(jìn)行比值趨于零表示其中一個(gè)無(wú)窮小是另一個(gè)的高階無(wú)窮小比值不趨于零時(shí)，無(wú)窮小同階或低階無(wú)窮小的等價(jià)替換等價(jià)無(wú)窮小替換可以簡(jiǎn)化極限表達(dá)式等價(jià)無(wú)窮小需滿足一定條件才能替換常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小包括$x

\to

0$時(shí)$\sin

x

\sim

x$等無(wú)窮大的比較無(wú)窮大的比較可以通過(guò)求倒數(shù)的極限進(jìn)行倒數(shù)趨于零表示原函數(shù)是無(wú)窮大比較無(wú)窮大時(shí)需注意其增長(zhǎng)速度無(wú)窮大的等價(jià)替換無(wú)窮大的等價(jià)替換需保持函數(shù)的無(wú)窮大性質(zhì)替換后的函數(shù)需保持原有增長(zhǎng)速度等價(jià)替換在求極限時(shí)簡(jiǎn)化計(jì)算無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系03連續(xù)性01函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是指該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)是指該區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性可以通過(guò)極限的ε-

δ定義來(lái)嚴(yán)格描述函數(shù)連續(xù)性的定義利用極限的運(yùn)算法則判斷通過(guò)繪制函數(shù)圖像直觀判斷使用連續(xù)性的定義和性質(zhì)進(jìn)行證明函數(shù)連續(xù)性的判定方法連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）也是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)常數(shù)函數(shù)是連續(xù)的一次函數(shù)是連續(xù)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在任何點(diǎn)都是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則030204函數(shù)連續(xù)性的判定間斷點(diǎn)的分類可去間斷點(diǎn)：間斷點(diǎn)兩側(cè)極限存在且相等跳躍間斷點(diǎn)：間斷點(diǎn)兩側(cè)極限存在但不相等無(wú)窮間斷點(diǎn)：間斷點(diǎn)兩側(cè)極限至少一側(cè)為無(wú)窮大Part

01可去間斷點(diǎn)可通過(guò)定義函數(shù)值等于兩側(cè)極限的值來(lái)“去除”間斷點(diǎn)若函數(shù)在某點(diǎn)有可去間斷點(diǎn)，則該點(diǎn)可被補(bǔ)充為連續(xù)點(diǎn)處理可去間斷點(diǎn)可以使函數(shù)在更廣泛的區(qū)間內(nèi)連續(xù)Part

02跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單定義來(lái)消除函數(shù)在跳躍間斷點(diǎn)兩側(cè)的極限值存在但不相等跳躍間斷點(diǎn)常見(jiàn)于分段函數(shù)Part

03無(wú)窮間斷點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)附近的值趨于無(wú)窮大無(wú)窮間斷點(diǎn)通常無(wú)法通過(guò)定義來(lái)消除常見(jiàn)于分母為零且有奇點(diǎn)的情況Part

04間斷點(diǎn)的處理連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)也是連續(xù)的反函數(shù)的連續(xù)性要求原函數(shù)是單調(diào)且連續(xù)的反函數(shù)的連續(xù)性對(duì)于理解函數(shù)性質(zhì)很重要連續(xù)函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性依賴于各組成部分的連續(xù)性若內(nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值的范圍內(nèi)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)連續(xù)復(fù)合運(yùn)算的連續(xù)性可以用于證明復(fù)雜函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算兩