2025年下學期高一數(shù)學解決問題能力試題（二）一、函數(shù)與實際應(yīng)用（共30分）1.環(huán)境保護中的函數(shù)模型（15分）某工廠為減少碳排放，計劃投入資金進行技術(shù)改造。已知改造后碳排放減少量(y)（噸/月）與投入資金(x)（萬元）的函數(shù)關(guān)系為(y=kx+b)。當投入10萬元時，每月減少碳排放30噸；投入20萬元時，每月減少碳排放50噸。（1）求(k)和(b)的值，并解釋其實際意義；（2）若該工廠每月可用于改造的資金不超過50萬元，求最多可減少的碳排放量；（3）已知每噸碳排放權(quán)交易價格為120元，若工廠希望通過減排獲得每月不低于4000元的收益（收益=減排量×碳價-投入資金），求投入資金(x)的取值范圍。2.物流優(yōu)化問題（15分）某電商企業(yè)計劃在A、B兩地建立倉庫，向甲、乙兩個配送中心供貨。已知A倉庫最多可存儲1200件商品，B倉庫最多可存儲800件商品。甲配送中心每日需600件，乙配送中心每日需1000件。從A倉庫向甲、乙配送的單位運費分別為10元/件和15元/件；從B倉庫向甲、乙配送的單位運費分別為12元/件和8元/件。設(shè)從A倉庫向甲配送中心運輸(x)件商品，每日總運費為(z)元。（1）寫出(z)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；（2）當(x)為何值時，總運費最低？最低運費是多少？（3）若乙配送中心的需求量增加200件，其他條件不變，重新計算最低運費。二、數(shù)列與數(shù)學建模（共30分）3.人口增長預(yù)測（15分）某城市2025年初人口為100萬，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，人口年增長率為1.2%，且每年新增就業(yè)崗位數(shù)量與當年人口數(shù)量成正比，比例系數(shù)為0.005。設(shè)第(n)年初的人口為(a_n)萬，新增就業(yè)崗位為(b_n)萬個。（1）寫出數(shù)列({a_n})的遞推公式，并判斷其類型；（2）求2030年初的人口數(shù)量（精確到0.1萬）；（3）計算從2025年到2030年新增就業(yè)崗位的總和。4.設(shè)備折舊問題（15分）某工廠購買一臺生產(chǎn)設(shè)備，原價80萬元，預(yù)計使用壽命5年，殘值5萬元。（1）若采用直線折舊法（每年折舊額相同），求第(n)年的設(shè)備價值(v_n)（(1\leqn\leq5)）；（2）若采用雙倍余額遞減法（年折舊率為直線法的2倍，最后兩年改為直線折舊），求第3年末的設(shè)備價值；（3）已知設(shè)備每年的維護費用與設(shè)備價值成正比，比例系數(shù)為0.02。分別計算兩種折舊方式下5年的總維護費用，并比較哪種方式更經(jīng)濟。三、立體幾何與空間想象（共25分）5.倉儲貨架設(shè)計（15分）某倉庫貨架為正四棱柱結(jié)構(gòu)，底面邊長為2米，高為5米。貨架分為3層，每層高度相等，層間有水平隔板。（1）求貨架的體積和表面積（不考慮隔板面積）；（2）若在貨架頂部安裝一個監(jiān)控攝像頭，能覆蓋貨架內(nèi)部所有區(qū)域，求攝像頭的安裝位置（需說明理由）；（3）若將貨架底面邊長增加(x)米（(x>0)），高不變，當體積增加20立方米時，求(x)的值，并計算此時貨架的側(cè)面積。6.空間幾何體體積計算（10分）一個幾何體由圓柱和圓錐組成，圓柱底面半徑為3厘米，高為8厘米，圓錐底面與圓柱上底面重合，頂點到底面的距離為6厘米。（1）求該幾何體的體積；（2）若將圓錐替換為同底的半球，求新幾何體的表面積。四、概率統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析（共25分）7.產(chǎn)品質(zhì)量檢測（15分）某工廠生產(chǎn)的電子元件分為A、B、C三個等級，合格率分別為98%、95%、90%，三個等級的產(chǎn)量占比分別為60%、30%、10%。（1）從該廠產(chǎn)品中隨機抽取一件，求該產(chǎn)品為合格品的概率；（2）若已知抽取的產(chǎn)品為合格品，求其為A等級的概率；（3）現(xiàn)隨機抽取10件產(chǎn)品，設(shè)其中合格品數(shù)量為(X)，求(X)的數(shù)學期望和方差。8.學習時間與成績相關(guān)性分析（10分）某班級40名學生的每周數(shù)學學習時間（單位：小時）與期末成績（單位：分）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：學習時間區(qū)間[0,5)[5,10)[10,15)[15,20]人數(shù)515128平均成績55688290（1）計算該班級的平均學習時間和平均成績；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)判斷學習時間與成績的相關(guān)性（正相關(guān)/負相關(guān)/無相關(guān)），并說明理由。五、三角函數(shù)與優(yōu)化（共20分）9.建筑遮陽設(shè)計（10分）某建筑窗戶高度為2米，在窗戶上方安裝一個水平遮陽板，遮陽板寬度為(L)米，與窗戶上沿的垂直距離為0.5米。當太陽光線與水平面夾角為(\theta)時，遮陽板在窗戶上的投影高度為(h)米，滿足(h=0.5\tan\theta-L)（(0<\theta<\frac{\pi}{2})）。（1）若夏至日正午太陽高度角(\theta=75^\circ)，要使投影高度(h=0)，求遮陽板寬度(L)；（2）若遮陽板寬度(L=1)米，求當(\theta=60^\circ)時的投影高度，并判斷此時陽光是否會直射到窗戶底部（窗戶底部到地面高度為1米）。10.運動軌跡問題（10分）一個物體在平面直角坐標系中運動，其位置坐標((x,y))隨時間(t)（秒）的變化規(guī)律為：(x=2\cost)，(y=\sint)（(t\geq0)）。（1）判斷該物體的運動軌跡類型，并求出軌跡方程；（2）求(t=\frac{\pi}{4})時物體的速度方向（用與x軸正方向的夾角表示）。六、綜合應(yīng)用與創(chuàng)新（共30分）11.新能源汽車續(xù)航優(yōu)化（15分）某新能源汽車電池容量為60kWh，在勻速行駛時，耗電量（單位：kWh/百公里）與速度(v)（單位：km/h）的關(guān)系為(C(v)=0.01v^2-0.5v+20)（(20\leqv\leq100)）。（1）求耗電量最低時的速度；（2）若汽車以60km/h的速度行駛，續(xù)航里程是多少？（續(xù)航里程=電池容量/耗電量×100）（3）若行駛過程中存在逆風阻力，耗電量增加(0.005v)kWh/百公里，求此時的最低耗電量及對應(yīng)速度。12.校園綠化規(guī)劃（15分）某校計劃在一塊長100米、寬80米的矩形空地上進行綠化，規(guī)劃如下：中央建一個圓形花壇，半徑為(r)米；花壇周圍鋪設(shè)寬度為2米的環(huán)形步道；剩余區(qū)域種植草坪，草坪面積不低于總面積的60%。（1）寫出草坪面積(S)關(guān)于(r)