2025年下學期高一數(shù)學理想信念教育試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）數(shù)學文化與家國情懷中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺。問徑幾何？”（注：1尺=10寸）。若將該問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，可抽象為圓的弦長問題。已知鋸道（弦長）為10寸，鋸深（圓心到弦的距離與半徑的差的絕對值）為1寸，設(shè)圓的半徑為r寸，則滿足的方程是（）A.(r^2=5^2+(r-1)^2)B.(r^2=10^2+(r-1)^2)C.((r-1)^2=5^2+r^2)D.((r+1)^2=5^2+r^2)科技創(chuàng)新與函數(shù)應(yīng)用2025年，我國某量子計算研究團隊成功研發(fā)新型芯片，其運算速度(v)（單位：萬億次/秒）與芯片溫度(t)（單位：℃）的關(guān)系滿足函數(shù)模型(v(t)=-0.1t^2+2t+30)（(0\leqt\leq20)）。為使運算速度達到最大值，芯片溫度應(yīng)控制在（）A.5℃B.10℃C.15℃D.20℃社會發(fā)展與統(tǒng)計分析某社區(qū)為落實“垃圾分類”政策，隨機抽取100戶家庭進行調(diào)查，得到每周垃圾分類正確次數(shù)的頻率分布直方圖（部分數(shù)據(jù)缺失）。已知直方圖中各組的頻率之和為1，且次數(shù)在[12,14)的頻率為0.3，則該組的縱坐標（頻率/組距）為（）A.0.10B.0.15C.0.20D.0.25環(huán)境保護與線性規(guī)劃某工廠生產(chǎn)A、B兩種環(huán)保設(shè)備，已知生產(chǎn)1臺A設(shè)備需消耗鋼材3噸、電力2千瓦時，可獲利5萬元；生產(chǎn)1臺B設(shè)備需消耗鋼材2噸、電力4千瓦時，可獲利6萬元。若該工廠每月鋼材供應(yīng)量不超過60噸，電力供應(yīng)量不超過80千瓦時，則每月生產(chǎn)A、B設(shè)備的最大利潤為（）A.80萬元B.90萬元C.100萬元D.110萬元傳統(tǒng)文化與數(shù)列應(yīng)用《周髀算經(jīng)》中記載“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，體現(xiàn)了勾股定理的思想。若一個直角三角形的三邊長成等比數(shù)列，則其公比(q)滿足（）A.(q^4-q^2-1=0)B.(q^4+q^2-1=0)C.(q^2-q-1=0)D.(q^2+q-1=0)航天工程與立體幾何我國“天宮空間站”的某實驗艙為正四棱柱結(jié)構(gòu)，棱長分別為a、a、b（a<b），其外接球的表面積為(24\pi)。若該實驗艙的體積為16，則a+b的值為（）A.4B.6C.8D.10經(jīng)濟建設(shè)與導數(shù)應(yīng)用某企業(yè)生產(chǎn)一種新能源汽車配件，其成本函數(shù)為(C(x)=0.1x^2+2x+50)（x為產(chǎn)量，單位：千件），銷售單價為p元，且滿足(p=20-0.05x)。為使利潤最大，產(chǎn)量應(yīng)定為（）A.50千件B.80千件C.100千件D.120千件教育公平與概率統(tǒng)計某地區(qū)2025年高一新生中，農(nóng)村學生占60%，城鎮(zhèn)學生占40%。農(nóng)村學生中視力不良率為30%，城鎮(zhèn)學生中視力不良率為50%。現(xiàn)從該地區(qū)高一新生中隨機抽取1名學生，其視力不良的概率為（）A.0.38B.0.42C.0.46D.0.50科技探索與三角函數(shù)2025年“中國天眼”FAST發(fā)現(xiàn)一顆新脈沖星，其輻射強度隨時間變化的規(guī)律可近似表示為(I(t)=10\sin(\omegat+\frac{\pi}{3})+20)（(\omega>0)）。若每隔5小時輻射強度出現(xiàn)一次最大值，則(\omega=)（）A.(\frac{\pi}{5})B.(\frac{\pi}{10})C.(\frac{2\pi}{5})D.(\frac{\pi}{15})鄉(xiāng)村振興與數(shù)列求和某村計劃通過“產(chǎn)業(yè)幫扶”實現(xiàn)經(jīng)濟增長，2025年該村農(nóng)業(yè)產(chǎn)值為100萬元，若每年產(chǎn)值比上一年增長10%，則到2030年（含2030年）的累計產(chǎn)值為（）（參考數(shù)據(jù)：(1.1^5\approx1.61)）A.610萬元B.671萬元C.732萬元D.793萬元文化傳承與幾何證明敦煌莫高窟的壁畫中蘊含豐富的幾何圖案，其中一幅“飛天”壁畫的局部可抽象為菱形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，若(AC=2\sqrt{3})，(BD=2)，則菱形ABCD的內(nèi)切圓半徑為（）A.1B.(\sqrt{2})C.(\sqrt{3})D.2未來發(fā)展與函數(shù)創(chuàng)新定義“理想函數(shù)”：對于定義域D內(nèi)的任意x，都有(f(x)+f(2a-x)=2b)（a、b為常數(shù)），則函數(shù)(f(x))的圖像關(guān)于點（a，b）中心對稱。下列函數(shù)中是“理想函數(shù)”的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\lnx)C.(f(x)=2^x)D.(f(x)=\sinx)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）科技報國我國數(shù)學家華羅庚曾說：“科學的靈感，決不是坐等可以等來的?！彼跀?shù)論領(lǐng)域的研究成果“華氏定理”推動了世界數(shù)學的發(fā)展。若函數(shù)(f(x)=x^3-ax^2+bx+c)在x=1處有極值-1，則a+b=______。社會責任某志愿者團隊為山區(qū)學生捐贈圖書，原計劃捐贈2000冊，實際捐贈時比原計劃多捐了20%，且其中數(shù)學類圖書占實際捐贈總數(shù)的30%，則數(shù)學類圖書捐贈了______冊。工匠精神某工匠用半徑為R的圓形鐵皮制作一個無蓋圓錐形容器，若將鐵皮剪去一個圓心角為(120^\circ)的扇形后，剩余部分恰好圍成圓錐的側(cè)面（不計損耗），則圓錐的高為______（用含R的代數(shù)式表示）。理想信念“青年者，國家之魂?！蹦掣咧虚_展“理想信念”主題教育活動，統(tǒng)計學生參與活動的時長（單位：小時），得到數(shù)據(jù)：3，5，6，6，7，8，9，10。則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）數(shù)學史與家國情懷（10分）（1）簡述祖沖之在數(shù)學領(lǐng)域的主要成就，并說明其對中國古代科技發(fā)展的意義；（2）已知(\pi)的近似值可通過無窮級數(shù)(\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}+\cdots)計算，若取前5項求和，求(\pi)的近似值（精確到0.01）。科技創(chuàng)新與函數(shù)應(yīng)用（12分）某科技公司研發(fā)的智能機器人，其充電時間t（單位：分鐘）與剩余電量y（單位：%）的關(guān)系滿足函數(shù)(y=f(t)=kt+b)（k、b為常數(shù)）。已知當t=0時，y=20%；當t=30時，y=80%。（1）求函數(shù)f(t)的解析式；（2）若機器人的工作時間x（單位：小時）與電量消耗的關(guān)系為(x=\frac{y}{10}-1)（y為充滿電后的電量，y=100%），求該機器人充滿電后可連續(xù)工作的最長時間。社會服務(wù)與統(tǒng)計建模（12分）為了解高中生“志愿服務(wù)”的時長情況，某學校隨機抽取50名學生進行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：時長區(qū)間（小時）[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]頻數(shù)51518102（1）求這50名學生志愿服務(wù)時長的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值代替）；（2）若將時長不低于15小時的學生評為“優(yōu)秀志愿者”，從所有“優(yōu)秀志愿者”中隨機抽取2人，求至少有1人時長在[20,25]的概率。環(huán)境保護與數(shù)列實踐（12分）某城市為治理空氣污染，計劃逐年減少PM2.5濃度。已知2025年的PM2.5濃度為50微克/立方米，從2026年開始，每年的濃度比上一年降低10%。（1）求2030年的PM2.5濃度（精確到0.1微克/立方米）；（2）設(shè)從2025年起，經(jīng)過n年的PM2.5濃度為(a_n)微克/立方米，求數(shù)列({a_n})的前n項和(S_n)，并判斷是否存在正整數(shù)n，使得(S_n\leq300)。航天夢想與立體幾何（12分）我國空間站的“問天”實驗艙有一個長方體實驗柜，長、寬、高分別為4米、3米、2米?，F(xiàn)要在柜內(nèi)放置一個圓柱形樣品容器，容器的底面與實驗柜的底面（長×寬）重合，高與實驗柜的高相等。（1）求容器體積的最大值；（2）若在容器內(nèi)注入液體，液體高度為h米（h≤2），且液體表面恰好形成一個橢圓（當圓柱底面直徑與長方體底面的邊不重合時），求橢圓的離心率。理想信念與數(shù)學創(chuàng)新（12分）定義“信念函數(shù)”：對于任意x、y，都有(f(x+y)=f(x)+f(y)+2025)，且(f(1)=2025)。（1）證明：函數(shù)(g(x)=f(x)+2025)是奇函數(shù)；（2）求(f(2025))的值，并結(jié)合“理想信念”的主題，談?wù)勀銓υ摵瘮?shù)性質(zhì)的理解。參考答案及評分標準（部分）一、選擇題A2.B3.B4.C5.A6.B7.B8.A9.A10.B11.A12.