2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)物聯(lián)網(wǎng)與數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題5分，共60分）物聯(lián)網(wǎng)傳感器數(shù)據(jù)采集：某智慧教室溫濕度傳感器每5分鐘采集一次數(shù)據(jù)，一天內(nèi)共生成288組數(shù)據(jù)。若采用等間隔抽樣選取12組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，則抽樣間隔應(yīng)為（）A.12分鐘B.60分鐘C.120分鐘D.240分鐘函數(shù)模型應(yīng)用：智能灌溉系統(tǒng)中，土壤濕度y（%）與灌溉時(shí)間t（分鐘）的關(guān)系滿足二次函數(shù)y=-0.1t2+3t+20，當(dāng)t=（）時(shí)，土壤濕度達(dá)到最大值。A.10分鐘B.15分鐘C.20分鐘D.25分鐘線性規(guī)劃優(yōu)化：某物聯(lián)網(wǎng)工廠需調(diào)度A、B兩種設(shè)備加工零件，A設(shè)備每小時(shí)耗電3度，生產(chǎn)5個(gè)零件；B設(shè)備每小時(shí)耗電2度，生產(chǎn)3個(gè)零件。若每天供電量不超過100度，要使日產(chǎn)量最大，A設(shè)備應(yīng)工作（）小時(shí)。A.20B.25C.30D.33概率統(tǒng)計(jì)：某智能手環(huán)記錄用戶30天的睡眠數(shù)據(jù)，其中深度睡眠超過4小時(shí)的天數(shù)占60%，現(xiàn)隨機(jī)選取5天，至少有3天深度睡眠達(dá)標(biāo)（>4小時(shí)）的概率為（）A.0.3456B.0.5443C.0.6826D.0.8208向量運(yùn)算：在物聯(lián)網(wǎng)定位系統(tǒng)中，設(shè)備A的坐標(biāo)為(2,3)，設(shè)備B的坐標(biāo)為(5,7)，則向量AB的模長(zhǎng)為（）A.4B.5C.6D.7三角函數(shù)應(yīng)用：某智能路燈根據(jù)日照強(qiáng)度自動(dòng)調(diào)節(jié)亮度，亮度L（cd）與時(shí)間t（小時(shí)，0≤t≤24）的關(guān)系為L(zhǎng)=1000sin(π/12t)+1500，則一天中亮度最大值與最小值之差為（）A.500B.1000C.1500D.2000集合與數(shù)據(jù)篩選：某智能家居系統(tǒng)記錄了500條設(shè)備故障數(shù)據(jù)，其中“傳感器故障”集合A有120條，“通信故障”集合B有80條，A∩B有30條，則至少有一種故障的設(shè)備數(shù)為（）A.150B.170C.200D.230數(shù)列模型：某物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備電池容量隨使用天數(shù)n（天）的變化為等比數(shù)列，首項(xiàng)a?=1000mAh，公比q=0.95，則第10天的電池容量約為（）A.598mAhB.630mAhC.735mAhD.820mAh不等式應(yīng)用：智能溫室中，番茄生長(zhǎng)適宜溫度為15℃≤T≤30℃，當(dāng)外界溫度為t℃時(shí)，室內(nèi)溫度T=1.2t+5。若要滿足番茄生長(zhǎng)需求，外界溫度t的范圍是（）A.[8.3,20.8]B.[10,25]C.[12.5,22.5]D.[15,30]空間幾何體：某物聯(lián)網(wǎng)基站信號(hào)覆蓋范圍為底面半徑50米、高30米的圓錐體，則該區(qū)域的體積為（）立方米（π取3.14）A.78500B.157000C.235500D.314000數(shù)據(jù)分析：某超市智能貨架系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)10種商品的日銷量（單位：件）為：52,60,45,55,70,65,58,48,50,62，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.55B.56C.57D.58復(fù)數(shù)應(yīng)用：物聯(lián)網(wǎng)通信中，信號(hào)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)z=a+bi表示，若z?=3+4i（正常信號(hào)），z?=1+2i（干擾信號(hào)），則有效信號(hào)z?-z?的模長(zhǎng)為（）A.√5B.√10C.2√5D.5二、填空題（每題6分，共30分）數(shù)據(jù)擬合：某智能手表記錄的心率數(shù)據(jù)（次/分鐘）為：72,75,78,81,84，其線性回歸方程為?=bx+a，則b=______。邏輯推理：某物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)有3個(gè)傳感器，若至少2個(gè)正常工作則系統(tǒng)穩(wěn)定。單個(gè)傳感器故障率為0.1，則系統(tǒng)穩(wěn)定的概率為______。幾何計(jì)算：智慧停車場(chǎng)的監(jiān)控?cái)z像頭視角為60°，鏡頭焦距為10cm，若要覆蓋寬度為10米的車道，攝像頭安裝高度應(yīng)為______米（精確到0.1）。分段函數(shù)：智能電表收費(fèi)規(guī)則為：月用電量≤100度時(shí)，單價(jià)0.5元/度；超過100度部分單價(jià)0.8元/度。若某用戶月電費(fèi)82元，則用電量為______度。概率分布：某物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備在1000次通信中成功950次，用頻率估計(jì)概率，連續(xù)3次通信至少失敗1次的概率為______。三、解答題（共60分）18.智能農(nóng)業(yè)中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（12分）某智慧大棚采用物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)監(jiān)測(cè)黃瓜生長(zhǎng)，其單株產(chǎn)量P（kg）與光照強(qiáng)度I（klx）的關(guān)系為P=0.002I2-0.03I+0.2（I≥5）。（1）求產(chǎn)量P關(guān)于光照強(qiáng)度I的導(dǎo)數(shù)P’(I)，并解釋其物理意義；（2）當(dāng)光照強(qiáng)度為何值時(shí)，單株產(chǎn)量達(dá)到最大值？最大值為多少？解析：（1）P’(I)=0.004I-0.03，物理意義為光照強(qiáng)度每增加1klx，產(chǎn)量的變化率（kg/klx）。（2）令P’(I)=0，解得I=7.5klx。此時(shí)P=0.002×7.52-0.03×7.5+0.2=0.1125-0.225+0.2=0.0875kg。19.物聯(lián)網(wǎng)定位與平面向量（12分）在智慧校園中，3個(gè)物聯(lián)網(wǎng)基站A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,0)、(4,0)、(0,3)，某學(xué)生攜帶的終端設(shè)備到A、B、C的距離分別為3、√5、2。（1）求終端設(shè)備的坐標(biāo)(x,y)；（2）計(jì)算向量AB與AC的夾角余弦值。解析：（1）由距離公式列方程組：x2+y2=9（到A的距離）(x-4)2+y2=5（到B的距離）兩式相減得-8x+16=-4→x=2.5，代入得y2=9-6.25=2.75→y=±√11/2（因在校園內(nèi)取正值），坐標(biāo)為(2.5,√11/2)。（2）向量AB=(4,0)，AC=(0,3)，cosθ=(AB·AC)/(|AB||AC|)=0/(4×3)=0。20.概率統(tǒng)計(jì)與智能交通（14分）某城市智能交通系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)早高峰時(shí)段（7:00-9:00）的車流量數(shù)據(jù)：|時(shí)間段|7:00-7:30|7:30-8:00|8:00-8:30|8:30-9:00||--------|-----------|-----------|-----------|-----------||車流量|300輛|450輛|500輛|350輛|（1）計(jì)算該時(shí)段平均車流量及方差；（2）若采用分層抽樣從4個(gè)時(shí)段中抽取8輛汽車分析，求7:30-8:00時(shí)段應(yīng)抽取的車輛數(shù)；（3）用頻率估計(jì)概率，隨機(jī)選取1輛汽車，其處于車流量≥450輛時(shí)段的概率為多少？解析：（1）平均車流量=(300+450+500+350)/4=400輛；方差=[(300-400)2+(450-400)2+(500-400)2+(350-400)2]/4=8750。（2）分層抽樣比例=8/(300+450+500+350)=0.005，7:30-8:00時(shí)段抽取450×0.005=2.25→3輛（向上取整）。（3）車流量≥450輛的時(shí)段為7:30-8:00（450輛）和8:00-8:30（500輛），頻率=(450+500)/1600=950/1600=0.59375。21.線性規(guī)劃與物流調(diào)度（12分）某物聯(lián)網(wǎng)物流中心需用甲、乙兩種貨車運(yùn)輸貨物，甲車載重8噸，油耗10L/百km；乙車載重5噸，油耗6L/百km?，F(xiàn)有貨物50噸，從A地到B地距離200km，如何調(diào)度車輛使總油耗最低？解析：設(shè)甲、乙車數(shù)量分別為x、y，則約束條件：8x+5y≥50（x,y∈N），目標(biāo)函數(shù)油耗Q=200/100×(10x+6y)=20x+12y。可行域頂點(diǎn)：(0,10)→Q=120；(7,0)→Q=140；(5,2)→Q=20×5+12×2=124。最優(yōu)解：甲0輛，乙10輛，總油耗120L。22.數(shù)學(xué)建模與智能家居（10分）某智能窗簾根據(jù)日照角度θ（0°≤θ≤90°）自動(dòng)調(diào)節(jié)開合度d（%），實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：|θ（°）|30|45|60|90||--------|----|----|----|----||d（%）|20|50|80|100|（1）建立d關(guān)于θ的線性回歸方程?=bx+a；（2）預(yù)測(cè)當(dāng)日照角度為75°時(shí)，窗簾開合度為多少？解析：（1）計(jì)算得θ?=56.25，d?=62.5，b=(Σ(θi-θ?)(di-d?))/Σ(θi-θ?)2≈1.2，a=d?-bθ?≈62.5-1.2×56.25≈-8.75，方程為?=1.2θ-8.75。（2）當(dāng)θ=75°時(shí)，d=1.2×75-8.75=81.25%。四、拓展探究題（共20分）23.物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用某智慧社區(qū)部署了500個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電池壽命X（月）服從正態(tài)分布N(18,42)。（1）求電池壽命在14-22個(gè)月之間的節(jié)點(diǎn)數(shù)量；（2）若要保證95%的節(jié)點(diǎn)至少工作1年（12個(gè)月），電池壽命均值需提高多少？（參考數(shù)據(jù)：Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772）解析：（1）X~N(18,16)，P(14≤X≤22)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)=2Φ(1)-1=0.6826，節(jié)點(diǎn)數(shù)量≈500×0.6826≈341個(gè)。（2）設(shè)新均值為μ'，則P(X≥12)=0.95→P(X<12)=0.05→(1