2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)重點難點突破試題一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（一）函數(shù)單調(diào)性與極值問題例題1：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$在區(qū)間$(2,3)$上單調(diào)遞減，求實數(shù)$a$的取值范圍。解題思路：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6ax+3$，由單調(diào)性可知$f'(x)\leq0$在$(2,3)$上恒成立；分離參數(shù)得$a\geq\frac{x^2+1}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，設(shè)$g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，需滿足$a\geqg(x)_{\text{max}}$；求$g(x)$在$(2,3)$上的最大值：$g'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x^2}>0$，故$g(x)$單調(diào)遞增，$g(3)=\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$，因此$a\geq\frac{5}{3}$。（二）導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例題2：曲線$y=x\lnx$在點$(e,e)$處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為多少？解題思路：求導(dǎo)得$y'=\lnx+1$，切線斜率$k=y'(e)=\lne+1=2$；切線方程為$y-e=2(x-e)$，即$y=2x-e$；與坐標(biāo)軸交點：$x=0$時$y=-e$；$y=0$時$x=\frac{e}{2}$；三角形面積$S=\frac{1}{2}\times\left|\frac{e}{2}\right|\times|-e|=\frac{e^2}{4}$。二、三角函數(shù)與三角恒等變換（一）三角函數(shù)圖像與性質(zhì)例題3：函數(shù)$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+1$的最小正周期、對稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間。解題思路：周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$；對稱軸：令$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi$，解得$x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$；單調(diào)遞增區(qū)間：令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$，解得$-\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{12}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$。（二）三角恒等變換綜合題例題4：已知$\tan\alpha=2$，求$\frac{\sin2\alpha+\cos^2\alpha}{1+\cos2\alpha}$的值。解題思路：利用二倍角公式化簡：$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$；原式$=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha}{2\cos^2\alpha}=\frac{2\tan\alpha+1}{2}=\frac{2\times2+1}{2}=\frac{5}{2}$。三、立體幾何與空間向量（一）空間幾何體體積與表面積例題5：一個正三棱錐的底面邊長為$2$，側(cè)棱長為$\sqrt{3}$，求其體積和表面積。解題思路：底面正三角形面積$S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}$；高$h$：頂點在底面射影為中心，底面中心到頂點距離$d=\frac{2}{\sqrt{3}}$，則$h=\sqrt{(\sqrt{3})^2-\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}{3}$；體積$V=\frac{1}{3}S_{\text{底}}h=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{15}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}$；側(cè)面積：每個側(cè)面為等腰三角形，高$h_{\text{側(cè)}}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}$，$S_{\text{側(cè)}}=3\times\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，表面積$S=\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。（二）空間線面位置關(guān)系證明例題6：在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，求證：$AC_1\perp$平面$A_1BD$。解題思路：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為$1$，坐標(biāo)：$A(0,0,0)$，$C_1(1,1,1)$，$A_1(0,0,1)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$；向量$\overrightarrow{AC_1}=(1,1,1)$，$\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{A_1D}=(0,1,-1)$；證明垂直：$\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{A_1B}=1\times1+1\times0+1\times(-1)=0$，$\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{A_1D}=0$，故$AC_1\perpA_1B$且$AC_1\perpA_1D$；由線面垂直判定定理得證。四、數(shù)列與不等式綜合（一）遞推數(shù)列求通項例題7：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，求通項公式$a_n$。解題思路：構(gòu)造等比數(shù)列：設(shè)$a_{n+1}+\lambda\cdot3^{n+1}=2(a_n+\lambda\cdot3^n)$，對比系數(shù)得$\lambda=-1$；則${a_n-3^n}$是以$a_1-3^1=-2$為首項，$2$為公比的等比數(shù)列；$a_n-3^n=-2\times2^{n-1}=-2^n$，故$a_n=3^n-2^n$。（二）不等式恒成立問題例題8：若不等式$x^2-ax+1>0$對任意$x\in[1,2]$恒成立，求實數(shù)$a$的取值范圍。解題思路：分離參數(shù)得$a<x+\frac{1}{x}$，設(shè)$f(x)=x+\frac{1}{x}$，需$a<f(x)_{\text{min}}$；$f(x)$在$[1,2]$上單調(diào)遞增（導(dǎo)數(shù)$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}\geq0$），$f(x)_{\text{min}}=f(1)=2$；故$a<2$。五、解析幾何初步（一）直線與圓的位置關(guān)系例題9：已知圓$C$：$(x-1)^2+(y+2)^2=4$，直線$l$：$3x+4y+m=0$，若直線與圓相切，求$m$的值。解題思路：圓心$(1,-2)$，半徑$r=2$；相切條件：圓心到直線距離$d=r$，即$\frac{|3\times1+4\times(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$；解得$|m-5|=10$，$m=15$或$m=-5$。（二）圓錐曲線定義應(yīng)用例題10：已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。解題思路：離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$；將點$(2,1)$代入橢圓方程：$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$；標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。六、概率與統(tǒng)計（一）古典概型與幾何概型例題11：從$1,2,3,4,5$中任取$2$個數(shù)，求兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率。解題思路：總基本事件數(shù)$C_5^2=10$；和為偶數(shù)的情況：兩奇或兩偶，奇數(shù)有$1,3,5$（$3$個），偶數(shù)有$2,4$（$2$個）；符合條件的事件數(shù)$C_3^2+C_2^2=3+1=4$，概率$P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。（二）統(tǒng)計圖表分析例題12：某班$50$名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖中，$[80,90)$組的頻率為$0.3$，求該組的頻數(shù)及直方圖中對應(yīng)矩形的高。解題思路：頻數(shù)$=50\times0.3=15$；組距為$10$，矩形高$=\frac{\text{頻率}}{\text{組距}}=\frac{0.3}{10}=0.03$。七、數(shù)學(xué)建模與實際應(yīng)用例題13：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為$2000$元，每件產(chǎn)品可變成本為$10$元，售價為$30$元，若要獲利不少于$10000$元，至少需生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解題思路：設(shè)生產(chǎn)$x$件，利潤$L=30x-(2000+10x)=20x-2000$；由$20x-2000\geq10000$，解得$x\geq600$，即至少生產(chǎn)$600$件。八、難點突破專題：含參問題分類討論例題14：討論函數(shù)$f(x)=ax^2-2x+1$的零點個數(shù)。解題思路：當(dāng)$a=0$時，$f(x)=-2x+1$，有$1$個零點$x=\frac{1}{2}$；當(dāng)$a\neq0$時，判別式$\Delta=4-4a$：$\Delta>0$（$a<1$且$a\neq0$）：$2$個零點；$\Delta=0$（$a=1$）：$1$個零點；$\Delta<0$（$a>1$）：無零點。九、易錯點警示定義域優(yōu)先原則：研究函數(shù)性質(zhì)時需先確定定義域，如$f(x)=\log_2(x^2-1)$的定義域為$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$；三角公式符號問題：使用誘導(dǎo)公式時注意角所在象限，如$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$，$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$；空間幾何證明嚴(yán)謹(jǐn)性：證明線面平行需注明“平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行”。十、綜合提升訓(xùn)練例題15：已知函數(shù)$f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax(\omega>0)$的最小正周期為$\pi$，且在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值為$\sqrt{2}$，求$\omega$的值及函數(shù)$f(x)$在該區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間。解題思路：$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{4}\right)$，周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\Rightarrow\omega=2$；$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$，在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上，$2x+\frac{\pi}{4}\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]$；最大值為$\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{2}=\sqrt{2}$，符合題意；單調(diào)遞減區(qū)間：令$\fr