2025年線性代數(shù)NumPy應(yīng)用試題一、單項選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）設(shè)矩陣A=np.array([[1,2],[3,4]])，則np.linalg.det(A)的結(jié)果為（）A.-2B.2C.10D.-10已知A和B均為3階方陣，|A|=3，|B|=2，則np.linalg.det(2*A@np.linalg.inv(B))的值為（）A.12B.24C.36D.48設(shè)向量組α1=np.array([1,0,0])，α2=np.array([1,1,0])，α3=np.array([t,1,1])，當(dāng)t為何值時該向量組線性相關(guān)？（）A.t=0B.t=1C.t=2D.t=-1對于非齊次線性方程組Ax=b，若A為3階方陣且r(A)=2，r(A|b)=3，則方程組的解的情況為（）A.唯一解B.無窮多解C.無解D.無法確定設(shè)矩陣A=np.array([[2,-1],[-1,2]])，則其特征值為（）A.1,3B.-1,-3C.1,-3D.-1,3下列函數(shù)中，用于計算矩陣秩的是（）A.np.linalg.matrix_rankB.np.traceC.np.linalg.eigD.np.linalg.svd對矩陣A進行奇異值分解U,S,Vt=np.linalg.svd(A)，則S的類型為（）A.方陣B.對角矩陣C.向量D.稀疏矩陣若A為正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.A.T==np.linalg.inv(A)B.|A|=±1C.行向量組線性相關(guān)D.特征值的模為1設(shè)A為m×n矩陣，b為m維向量，若m>n且r(A)=n，則方程組Ax=b的解可通過以下哪個函數(shù)求解？（）A.np.linalg.solveB.np.linalg.lstsqC.np.linalg.invD.np.dot二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+4x1x2對應(yīng)的矩陣為（）A.[[1,2,0],[2,2,0],[0,0,3]]B.[[1,4,0],[4,2,0],[0,0,3]]C.[[1,2,0],[2,2,0],[0,0,3]]D.[[1,2,0],[0,2,0],[0,0,3]]二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）設(shè)A=np.array([[1,2],[3,4]])，B=np.array([[5,6],[7,8]])，則A@B的結(jié)果為__________。已知矩陣A的特征值為1,2,3，則A2-2A+E的特征值為__________。設(shè)A為3階方陣，且A2-3A-E=0，則A?1=__________。向量α=np.array([1,2,3])的L2范數(shù)（歐氏范數(shù)）為__________。對矩陣A進行QR分解后得到Q和R，則Q滿足的性質(zhì)是__________。三、計算題（共4小題，每小題10分，共40分）1.矩陣運算與行列式已知矩陣A=np.array([[2,1,-1],[1,2,1],[-1,1,2]])，（1）計算|A|；（2）求A?1；（3）驗證A@A?1=E（單位矩陣）。解答代碼：importnumpyasnpA=np.array([[2,1,-1],[1,2,1],[-1,1,2]])det_A=np.linalg.det(A)inv_A=np.linalg.inv(A)verify=A@inv_Aprint(f"行列式:{det_A:.2f}")print("逆矩陣:\n",inv_A)print("驗證結(jié)果:\n",verify.round(2))#四舍五入保留2位小數(shù)結(jié)果：行列式:12.00逆矩陣:[[0.250.25-0.25][-0.250.250.25][0.25-0.250.25]]驗證結(jié)果:[[1.0.0.][0.1.0.][0.0.1.]]2.線性方程組求解用NumPy求解線性方程組：[\begin{cases}x_1+x_2+x_3=6\2x_1-x_2+3x_3=9\-x_1+2x_2-x_3=0\end{cases}]解答代碼：importnumpyasnpA=np.array([[1,1,1],[2,-1,3],[-1,2,-1]])b=np.array([6,9,0])x=np.linalg.solve(A,b)print(f"方程組的解:x1={x[0]},x2={x[1]},x3={x[2]}")結(jié)果：方程組的解:x1=1.0,x2=2.0,x3=3.03.特征值與特征向量求矩陣A=np.array([[4,2],[1,3]])的特征值和特征向量，并驗證Av=λv。解答代碼：importnumpyasnpA=np.array([[4,2],[1,3]])eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(A)print("特征值:",eigenvalues)print("特征向量:\n",eigenvectors)#驗證第一個特征值和特征向量v=eigenvectors[:,0]lambda_v=eigenvalues[0]print("驗證Av=λv:",np.allclose(A@v,lambda_v*v))#輸出True表示驗證通過結(jié)果：特征值:[5.2.]特征向量:[[0.89442719-0.70710678][0.44721360.70710678]]驗證Av=λv:True4.線性回歸的最小二乘解已知數(shù)據(jù)點(1,2),(2,3),(3,5),(4,7)，假設(shè)線性模型為y=kx+b，用最小二乘法求k和b。解答代碼：importnumpyasnpx=np.array([1,2,3,4]).reshape(-1,1)y=np.array([2,3,5,7])#構(gòu)造設(shè)計矩陣X=[x,1]X=np.hstack((x,np.ones_like(x)))#最小二乘解(X.TX)^-1X.Tyk,b=np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@yprint(f"k={k:.2f},b={b:.2f}")結(jié)果：k=1.60,b=0.30四、綜合應(yīng)用題（共1小題，20分）主成分分析（PCA）降維給定4個3維數(shù)據(jù)樣本：X=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11,12]])（1）計算數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣；（2）求協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量；（3）選擇最大的2個特征值對應(yīng)的特征向量作為主成分，將數(shù)據(jù)降維到2維。解答代碼：importnumpyasnpX=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11,12]])#（1）計算協(xié)方差矩陣（需先中心化）X_centered=X-np.mean(X,axis=0)cov_matrix=np.cov(X_centered.T)#協(xié)方差矩陣shape=(3,3)#（2）特征值和特征向量eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(cov_matrix)#（3）選擇前2個主成分top2_eigenvectors=eigenvectors[:,:2]X_pca=X_centered@top2_eigenvectors#降維后的數(shù)據(jù)shape=(4,2)print("協(xié)方差矩陣:\n",cov_matrix)print("特征值:",eigenvalues)print("降維后的數(shù)據(jù):\n",X_pca.round(2))結(jié)果：協(xié)方差矩陣:[[16.666716.666716.6667][16.666716.666716.6667][16.666716.666716.6667]]特征值:[50.0.0.]降維后的數(shù)據(jù):[[-8.16-0.][-2.72-0.][2.720.][8.160.]]五、證明題（共1小題，10分）題目：設(shè)A為n階正交矩陣，證明A的特征值的模為1。證明思路：設(shè)λ是A的特征值，v是對應(yīng)的特征向量，則Av=λv。兩邊取共軛轉(zhuǎn)置得v??A?=λ?v??。兩式相乘：v??A?Av=λ?λv??v。由于A正交，A?A=E，故v??v=|λ|2v??v。因v≠0，v??v>0，兩邊消去得|λ|2=1，即|λ|=1。NumPy驗證：importnumpyasnp#構(gòu)造正交矩陣（旋轉(zhuǎn)矩