2025年線性代數(shù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的概率推理試題一、選擇題（每題3分，共30分）在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)概率推理中，若已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布P(X,Y)，且X與Y條件獨(dú)立，則以下等式成立的是：A.P(X|Y)=P(Y|X)B.P(X,Y)=P(X)P(Y)C.P(X|Y)=P(X)+P(Y)D.P(X,Y)=P(X|Y)P(Y|X)設(shè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中存在變量序列A→B→C構(gòu)成的馬爾可夫鏈，根據(jù)局部馬爾可夫性，以下結(jié)論正確的是：A.A與C獨(dú)立B.A與C關(guān)于B條件獨(dú)立C.A與B關(guān)于C條件獨(dú)立D.B與C關(guān)于A條件獨(dú)立已知矩陣A為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中某變量的條件概率表（CPT）對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣，其維度為3×4，則該變量的父節(jié)點(diǎn)可能有：A.2個(gè)（狀態(tài)數(shù)分別為2和2）B.1個(gè)（狀態(tài)數(shù)為3）C.3個(gè)（狀態(tài)數(shù)分別為1、2、1）D.2個(gè)（狀態(tài)數(shù)分別為3和4）在貝葉斯推斷中，后驗(yàn)分布P(θ|D)的計(jì)算依賴于先驗(yàn)分布P(θ)和似然函數(shù)P(D|θ)，其核心公式的矩陣形式可表示為：A.P(θ|D)=P(D|θ)P(θ)/det(P(D))B.P(θ|D)=P(D|θ)P(θ)/tr(P(D))C.P(θ|D)=P(D|θ)P(θ)/∫P(D|θ)P(θ)dθD.P(θ|D)=P(D|θ)P(θ)·(P(D))?1若貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中某節(jié)點(diǎn)的條件概率表可表示為一個(gè)秩為2的4×5矩陣，則該節(jié)點(diǎn)的概率分布滿足：A.存在2個(gè)線性無關(guān)的概率向量B.所有概率值之和為2C.父節(jié)點(diǎn)狀態(tài)數(shù)必為2D.條件概率表可分解為兩個(gè)低維矩陣的乘積在使用變量消元法進(jìn)行貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理時(shí)，以下操作的線性代數(shù)本質(zhì)是矩陣乘法的是：A.邊緣化操作B.因子乘積操作C.變量排序選擇D.證據(jù)變量賦值設(shè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中變量X的先驗(yàn)分布為均勻分布U(0,1)，似然函數(shù)P(D|X)服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若觀測(cè)數(shù)據(jù)D的樣本均值為x?，則后驗(yàn)分布P(X|D)的期望可表示為：A.(σ2μ+nτ2x?)/(nτ2+σ2)（其中τ2為先驗(yàn)精度）B.(μ+x?)/2C.x?D.μ已知貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合概率分布可表示為因子乘積形式P(X?,X?,X?)=P(X?)P(X?|X?)P(X?|X?)，則對(duì)應(yīng)的概率圖結(jié)構(gòu)為：A.X?←X?←X?B.X?→X?→X?C.X?→X?←X?D.X?—X?—X?（無向邊）在高維貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理中，若參數(shù)空間維度為1000，采用MCMC方法時(shí)通常需要計(jì)算的是：A.1000×1000階協(xié)方差矩陣的逆B.高維積分的數(shù)值近似C.條件概率表的特征值分解D.聯(lián)合概率分布的LU分解設(shè)某貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的概率轉(zhuǎn)移矩陣A滿足A?A=I（單位矩陣），則該矩陣對(duì)應(yīng)的變量具有的性質(zhì)是：A.狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率對(duì)稱B.變量為離散均勻分布C.父節(jié)點(diǎn)與子節(jié)點(diǎn)獨(dú)立D.條件概率表為正交矩陣二、填空題（每空2分，共20分）貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，變量X的條件概率表（CPT）可表示為一個(gè)矩陣，若X有3個(gè)狀態(tài)，其父節(jié)點(diǎn)Y有2個(gè)狀態(tài)且每個(gè)狀態(tài)下X的條件概率分布構(gòu)成列向量，則該CPT矩陣的維度為______。設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率矩陣為[\begin{pmatrix}0.2&0.1\0.3&0.4\end{pmatrix}]，則邊緣概率P(X=1)=，條件概率P(Y=0|X=0)=。在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學(xué)習(xí)中，若采用共軛先驗(yàn)，二項(xiàng)分布似然函數(shù)對(duì)應(yīng)的先驗(yàn)分布是______分布，其參數(shù)更新公式可表示為α'=α+成功次數(shù)，β'=β+失敗次數(shù)，其中α和β為______。設(shè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中某變量的條件概率向量為p=[0.2,0.5,0.3]?，其父節(jié)點(diǎn)的概率向量為q=[0.4,0.6]?，若CPT矩陣為[\begin{pmatrix}0.1&0.3\0.5&0.4\0.4&0.3\end{pmatrix}]，則該變量的邊緣概率為______（用矩陣乘法表示）。變量消元法中，“消元”操作的線性代數(shù)本質(zhì)是對(duì)因子矩陣進(jìn)行______運(yùn)算，其結(jié)果對(duì)應(yīng)于概率分布的______。若貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合概率分布可表示為矩陣乘積形式P=Adiag(B)C?，其中A和C為列滿秩矩陣，則該網(wǎng)絡(luò)的概率分布具有______結(jié)構(gòu)，其秩等于______。三、計(jì)算題（共40分）（12分）已知貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下：[A\rightarrowB\rightarrowC]其中，A的先驗(yàn)概率P(A)=[0.6,0.4]?（狀態(tài)A=0和A=1），B的CPT矩陣為[P(B|A)=\begin{pmatrix}0.8&0.2\0.3&0.7\end{pmatrix}]（行表示B的狀態(tài)，列表示A的狀態(tài)），C的CPT矩陣為[P(C|B)=\begin{pmatrix}0.9&0.1\0.2&0.8\end{pmatrix}]（行表示C的狀態(tài)，列表示B的狀態(tài)）。（1）計(jì)算聯(lián)合概率P(A=0,B=1,C=0)；（2）若觀測(cè)到C=1，求后驗(yàn)概率P(A|C=1)，要求用矩陣乘法表示計(jì)算過程；（3）判斷A與C是否條件獨(dú)立，并說明理由。（14分）考慮一個(gè)二分類問題的樸素貝葉斯模型，輸入特征為二維向量x=(x?,x?)，類別變量Y∈{0,1}。已知：P(Y=0)=0.3，P(Y=1)=0.7x?|Y=0N(0,1)，x?|Y=1N(2,1)x?|Y=0N(1,1)，x?|Y=1N(3,1)（1）寫出似然函數(shù)P(x?,x?|Y=1)的矩陣形式（用協(xié)方差矩陣和均值向量表示）；（2）對(duì)測(cè)試樣本x=(1,2)?，計(jì)算后驗(yàn)概率P(Y=1|x?,x?)，要求保留兩位小數(shù)；（3）若將特征x?和x?的協(xié)方差矩陣替換為[\Sigma=\begin{pmatrix}1&0.5\0.5&1\end{pmatrix}]，說明對(duì)分類結(jié)果的影響（無需計(jì)算具體數(shù)值）。（14分）設(shè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中有三個(gè)變量X、Y、Z，其聯(lián)合概率分布為：[P(X,Y,Z)=P(X)P(Y|X)P(Z|X,Y)]其中X和Y為二值變量（狀態(tài)0/1），Z為三值變量（狀態(tài)0/1/2）。（1）寫出該網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣；（2）若P(X)=[0.5,0.5]?，P(Y|X)為[\begin{pmatrix}0.6&0.4\0.2&0.8\end{pmatrix}]（行Y，列X），P(Z|X,Y)為4×3矩陣（行X,Y組合，列Z狀態(tài)），求Z的邊緣概率分布P(Z)（用矩陣乘法表示）；（3）若觀測(cè)到Z=1，且已知P(Z=1|X,Y)的列向量為[0.1,0.3,0.5,0.7]?，求后驗(yàn)概率P(X=1,Y=0|Z=1)。四、證明題（10分）設(shè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中變量X和Y的父節(jié)點(diǎn)集分別為U和V，且U與V不交。若X和Y關(guān)于其父節(jié)點(diǎn)集條件獨(dú)立，即P(X,Y|U,V)=P(X|U)P(Y|V)，證明X和Y的聯(lián)合概率分布的協(xié)方差矩陣滿足：[\Sigma_{XY}=\text{diag}(P(X|U))\otimes\text{diag}(P(Y|V))]其中?表示克羅內(nèi)克積，diag(·)表示由向量構(gòu)造的對(duì)角矩陣。（提示：利用協(xié)方差矩陣的定義Cov(X,Y)=E[XY?]-E[X]E[Y]?，結(jié)合條件獨(dú)立性進(jìn)行推導(dǎo)。）五、分析題（20分）（10分）在高維貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理中，馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法常被用于近似計(jì)算后驗(yàn)分布。（1）說明MCMC方法中“平穩(wěn)分布”與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)后驗(yàn)分布的關(guān)系；（2）若目標(biāo)分布的協(xié)方差矩陣為病態(tài)矩陣（條件數(shù)>10?），會(huì)對(duì)MCMC采樣效率產(chǎn)生什么影響？如何通過矩陣變換改進(jìn)？（10分）貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的概率推理與線性代數(shù)中的矩陣分解存在密切聯(lián)系。（1）舉例說明CPT矩陣的低秩分解（如Tucker分解）如何簡(jiǎn)化高維概率推理；（2）若某貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合概率矩陣的秩為r，證明其推理復(fù)雜度可從O(2?)降至O(r?)，其中n為變量數(shù)。六、應(yīng)用題（30分）某醫(yī)療診斷貝葉斯網(wǎng)絡(luò)包含以下變量：疾?。―）：{0:無病,1:有病}，先驗(yàn)概率P(D)=[0.95,0.05]?癥狀（S）：{0:無癥狀,1:有癥狀}，CPT矩陣P(S|D)=[\begin{pmatrix}0.9&0.1\0.2&0.8\end{pmatrix}]（行S，列D）檢測(cè)結(jié)果（T）：連續(xù)變量，服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ=5+10D，σ2=4（與D無關(guān)）（8分）計(jì)算邊緣概率P(S=1)和條件概率P(D=1|S=1)。（12分）若患者的檢測(cè)結(jié)果T=12，計(jì)算后驗(yàn)概率P(D=1|T=12)。（提示：似然函數(shù)P(T|D)=N(μ,σ2)，用概率密度函數(shù)近似離散似然）（10分）若醫(yī)院新引入第二個(gè)檢測(cè)指標(biāo)T'，其CPT矩陣為P(T'|D)=P(T|D)+εI（ε為擾動(dòng)項(xiàng)），分析當(dāng)ε→0時(shí)，聯(lián)合檢測(cè)（T,T'）對(duì)后驗(yàn)概率P(D|T,T')的影響（從矩陣秩和條件數(shù)角度說明）。（注：計(jì)算過程中可保留三位小數(shù)，正態(tài)分布概率密度函數(shù)φ(x;μ,σ2)=(2πσ2)?1/2exp[-(x-μ)2/(2σ2)]。）七、拓展題（20分）考慮貝葉斯網(wǎng)絡(luò)與線性代數(shù)的交叉領(lǐng)域，回答以下問題：（10分）定義“概率張量”為多維概率分布的張量表示，若三階概率張量T∈??×?×?表示三個(gè)變