第4模塊

三角形第十四章相似考向分布考頻課標要求1.相似三角形的性質與判定

1.了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割.2.通過具體實例認識圖形的相似.了解相似多邊形和相似比.3.掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.4.了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似.*了解相似三角形判定定理的證明.2.相似三角形的實際應用

考向分布考頻課標要求3.位似圖形的性質及作圖

5.了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方.6.了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小.7.在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標(有一個頂點為原點)分別擴大或縮小相同倍數(shù)時所對應的圖形與原圖形是位似的.8.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.

相似三角形的性質與判定

答案

D判定三角形相似的方法(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或其他兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似.(2)條件中若有一組對應角相等，可再找一組對應角相等或再找此角所在的兩邊對應成比例.若已知角為直角時，還可以考慮證明斜邊、直角邊對應成比例.(3)條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等或第三邊對應成比例.

(2)△AEF∽△ACD.

相似三角形的實際應用典例2如圖，利用標桿DE測量樓高BC，點A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C.若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，則樓高BC是多少米？

應用三角形相似解決實際問題(1)建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題；(2)找到相似三角形并證明；(3)根據相似三角形的性質列出等式，代入數(shù)值后計算；(4)不能直接計算時，設出未知數(shù)，列方程(組)求解.變式訓練2

如圖，小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿AB的高.在某一時刻，他們在陽光下分別測得該建筑物OB的影長OC為16m，OA的影長OD為20m，小明的影長FG為2.4m，其中O，C，D，F(xiàn)，G五點在同一直線上，A，B，O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF為1.8m，求旗桿AB的高.

1.常見位似圖形的形式位似圖形的性質及作圖2.位似圖形與相似圖形的聯(lián)系：位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.3.位似圖形的性質(1)位似圖形的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比；(2)位似圖形對應點的連線所在直線交于一點，這點就是位似中心；(3)位似圖形的對應線段平行(或在同一條直線上)且比值相等；(4)位似圖形是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質.4.位似變換的坐標特征：在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(－kx，－ky).典例3在平面直角坐標系中，已知△AOB的頂點分別為A(2，1)，B(2，0)，O(0，0).若以原點O為位似中心，以2為相似比將△AOB放大，則點A的對應點的坐標為

.解析

如圖，觀察圖象可知，點A的對應點的坐標為(4，2)或(－4，－2).答案

(4，2)或(－4，－2)

D1.[2024·黑龍江哈爾濱]如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F.若AE∶EB＝1∶2，DF＝3，則FC的長為(

)A.6 B.3 C.5

D.9第1題圖

A2.[2024·江蘇連云港]如圖，網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似圖形的為(

)A.甲和乙 B.乙和丁

C.甲和丙 D.甲和丁【解析】觀察題圖可得，甲和丁對應角相等，對應邊成比例，它們的形狀相同，大小不同，故是相似圖形.D3.[2023·四川南充]如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿的高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退(保持腳、鏡子和旗桿底端在同一直線上)，直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小菲的眼睛離地面的高度為1.6m，同時測得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿的高度為(

)A.6.4m B.8m C.9.6m D.12.5m第3題圖B

第4題圖

5.[2024·江蘇常州]如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線分別交邊AB，CD于點E，F(xiàn).若AD＝8，BE＝10，則tan∠ABD＝

.第5題圖

6.[2024·四川宜賓]如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長是

.

7.[2024·廣東廣州]如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求證：△ABE∽△ECF.

C

9.[2025·四川成都]如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在邊AC上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，則tan∠ACB的值為

；點E在BC的延長線上，連接DE，若∠E＝∠ABD，則CE的長為

.【解析】如圖，作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分別為H，G，F(xiàn).∵∠DFH＝∠FHG＝∠HGD＝90°，∴∠GDF＝90°，∴四邊形DFHG為矩形，∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH.4

10.[2024·內蒙古赤峰]數(shù)學課上，老師給出以下條件，請同學們經過小組討論，提出探究問題.如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上的一個動點，過點D作DE⊥BC于點E，延長ED交BA的延長線于點F.請你解決下列問題：(1)求證：AD＝AF.證明：∵AB＝AC，∴∠