數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)1.理解平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，即(a+b)(a-b)=a2-b2；2.能夠熟練運(yùn)用平方差公式進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能準(zhǔn)確識(shí)別適合用平方差公式計(jì)算的式子；3.在公式的應(yīng)用過(guò)程中，體會(huì)從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，以及轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的平方差形式；4.通過(guò)對(duì)平方差公式的探索和應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神.

從前，有一個(gè)狡猾的地主，把一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給張老漢種植.第二年，他對(duì)張老漢說(shuō)：“我把這塊地的一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒(méi)有吃虧，你看如何?”

張老漢一聽(tīng)，覺(jué)得的確沒(méi)有吃虧，就答應(yīng)道：“好吧.”

回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說(shuō)：“張老漢，你吃虧了!”

張老漢非常吃驚.

你知道張老漢是否吃虧了嗎?aaa-5a+5活動(dòng)一：探究平方差公式計(jì)算下列多項(xiàng)式的積.(1)(x+1)(x-1)=

；(2)(m+2)(m-2)=

；(3)(2x+1)(2x-1)=

；x2-1m2-44x2-1x2-12m2-22(2x)2-12(1)三個(gè)等式的左側(cè)有什么共同特征?(2)三個(gè)等式的右側(cè)有什么共同特征?都是形如a+b的多項(xiàng)式與形如a-b的多項(xiàng)式相乘.都是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.活動(dòng)一：探究平方差公式你能用字母表示具有這樣特殊結(jié)構(gòu)的式子嗎?(a+b)(a-b)=a2-b2思考：你能證明(a+b)(a-b)=a2-b2嗎?

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2

=a2-b2多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式合并同類(lèi)項(xiàng)

對(duì)于具有與此相同形式的多項(xiàng)式相乘，我們可以直接寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果，即：(a+b)(a-b)=a2-b2總結(jié)活動(dòng)一：探究平方差公式(a+b)(a?b)=a2?b2兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.公式變形：(a–b)(a+b)=a2–b2(b+a)(–b+a)=a2–b2平方差公式：1.平方差公式是多項(xiàng)式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=b的特殊情形.2.這里的兩數(shù)可以是兩個(gè)單項(xiàng)式，也可以是兩個(gè)多項(xiàng)式等．注意活動(dòng)一：探究平方差公式你能用幾何法驗(yàn)證平方差公式嗎？觀(guān)察圖形，指出它包含哪些長(zhǎng)方形和正方形，并用等式表示下圖中圖形面積的運(yùn)算：(a-b)(a+b)ababb=-b2a2b2=-b2活動(dòng)一：探究平方差公式你能用運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫張老漢解決問(wèn)題嗎？aaa55aa-5a+5(a+5)(a-5)=a2-25a2

更改之后田地的面積減少了25平方米，所以張老漢吃虧了.活動(dòng)一：探究平方差公式平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(a+b)(a-b)=a2-b2(1)只有相同項(xiàng)或只有相反項(xiàng)是不能用平方差公式的!(2)公式中的字母的意義很廣泛，可以代表常數(shù)，單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.注意相同項(xiàng)相反項(xiàng)=相同項(xiàng)2-相反項(xiàng)2公式左邊：含有一對(duì)相同項(xiàng)和一對(duì)相反項(xiàng)；公式右邊：相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.例1

運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y)教材例題解：(1)(3x+2)(3x-2)

=(3x)2–22=9x2–4；分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即

(3x+2)(3x-2)=

(3x)2-22(a

+b)(a

-b)=a2-

b2注意此處為3x整體的平方，為9x2.例1

運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y)教材例題解：(2)(-x+2y)(-x-2y)

當(dāng)相同項(xiàng)帶有“負(fù)號(hào)”時(shí)，必須用括號(hào)括起來(lái).注意相反看作

b=

(–x)2–(2y)2=x2–4y2.相同看作a分析：在(2)中，可以把-x看成a，2y看成b.例2

計(jì)算：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)；

(2)

(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(3)102×98.教材例題分析：(1)需要先把前兩項(xiàng)利用平方差公式計(jì)算出來(lái)，然后結(jié)果二次利用平方差公式，從而得到最終結(jié)果.解：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)

=(x2-1)(x2+1)=x4-1；滿(mǎn)足平方差公式不滿(mǎn)足平方差公式例2

計(jì)算：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)；

(2)

(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(3)102×98.教材例題分析：(2)中只有前半部分符合公式條件，可以利用平方差公式簡(jiǎn)便運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按照乘法法則進(jìn)行.解：(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1；

不符合平方差公式運(yùn)算條件的，按乘法法則進(jìn)行運(yùn)算.注意例2

計(jì)算：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)；

(2)

(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(3)102×98.教材例題分析：(3)是兩個(gè)數(shù)字相乘，通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)字很有特點(diǎn)，102=100+2，98=100-2，可以利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.解：(3)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996通過(guò)合理變形，利用平方差公式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.總結(jié)經(jīng)典例題例3

計(jì)算：20152-2014×2016分析：把2014×2016變形為(2015-1)(2015+1)，然后根據(jù)平方差公式計(jì)算即可.解：20152-2014×2016=20152-(2015-1)(2015+1)=20152-(20152-12)=20152-20152+12=1.經(jīng)典例題例4

先化簡(jiǎn)，再求值：(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x).其中x=-2，y=3.分析：觀(guān)察原式的特點(diǎn)，首先利用平方差公式可以將其變形得到[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2]，對(duì)上式化簡(jiǎn)，最后將x，y的值代入上述化簡(jiǎn)結(jié)果，即可求出原式的值.解：(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x)=[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2]=9x2-y2-9y2+x2=10x2-10y2當(dāng)x=-2，y=3.原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.教材練習(xí)1.下面的計(jì)算是否正確?如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正?(1)(x+2)(x-2)=x2-2；(2)(-a-2)(a-2)=a2-4；(3)(x+2y)(-x-2y)=x2-4y2；(4)(3a+4b)(3a-4b)=9a2-4b2.解：(1)(x+2)(x-2)=x2-22=x2-4(2)(-a-2)(a-2)=-(a+2)(a-2)=-a2+4將(-a-2)(a-2)變形為-(a+2)(a-2).將(x+2y)(-x-2y)變形為-(x+2y)(x+2y).(3)(x+2y)(-x-2y)=-(x+2y)(x+2y)=-(x+2y)2教材練習(xí)1.下面的計(jì)算是否正確?如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正?(1)(x+2)(x-2)=x2-2；(2)(-a-2)(a-2)=a2-4；(3)(x+2y)(-x-2y)=x2-4y2；(4)(3a+4b)(3a-4b)=9a2-4b2.解：(4)(3a+4b)(3a-4b)=(3a)2-(4b)2=9a2-16b2根據(jù)平方差公式(3a+4b)(3a-4b)=(3a)2-(4b)2.教材練習(xí)2.計(jì)算:(1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3+2a);(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy-1);(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)解：(1)(a+3b)(a-3b)

=

a2–(3b)2

=a2

9b2

(2)(3+2a)(-3+2a)

=(2a+3)(2a-3)

=(2a)2-32

=4a2

9

教材練習(xí)2.計(jì)算:(1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3+2a);(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy-1);(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)解：(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy-1)

=[(xy+1)(xy-1)](x2y2+1)=(x2y2-1)(x2y2+1)

=(x2y2)2-12=x4y4-1(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

=(3x)2-42-(6x2-4x+9x-6)=9x2-16-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5