第二章方程（組）與不等式（組）第一部分?jǐn)?shù)與代數(shù)第二節(jié)二元一次方程（組）及其應(yīng)用1

二元一次方程（組）的有關(guān)概念種類定義二元一次方程含有

，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是

，這樣的方程叫做二元一次方程

二元一次方程的解一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程組方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個方程的

，叫做二元一次方程組的解

兩個未知數(shù)1公共解例1

（2025·瀘州）《九章算術(shù)》是中國古代一部重要的數(shù)學(xué)著作，在“方程”章中記載了求不定方程（組）解的問題.例如方程x＋2y＝3恰有一個正整數(shù)解x＝1，y＝1.類似地，方程2x＋3y＝21的正整數(shù)解的個數(shù)是（

）

A.1B.2C.3D.4C

故選C.本題考查了二元一次方程的特解，解決此類問題的關(guān)鍵是先用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)，再根據(jù)要求進(jìn)行取值.

B－2

12

二元一次方程組的解法方法定義代入法在二元一次方程組中選取一個適當(dāng)?shù)姆匠?，將一個未知數(shù)用含____________

的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法

加減法當(dāng)二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)

時，將兩個方程的兩邊分別

，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法

另一個未知數(shù)互為相反數(shù)或相等相加或相減例2

①×2，得2x－2y＝4③，

2（1＋m）＋4（m－1）＝3分析：將x＝1＋m，y＝m－1代入2x＋4y＝3中，得到2（1＋m）＋4（m－1）＝3，按照解一元一次方程的方法求出m.解：小明在解第（1）問的二元一次方程組時，過程如下：第1步，由x－y＝2，可設(shè)x＝1＋m，－y＝1－m，即y＝m－1；第2步，將x＝1＋m，y＝m－1代入2x＋4y＝3中，得到2（1＋m）＋4（m－1）＝3；

第4步，即可求出方程組的解.

將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的消元思想是解方程組的主要思路；解方程組時選擇代入法還是加減法要根據(jù)方程組中未知數(shù)系數(shù)的特點：（1）在二元一次方程組中，若一個未知數(shù)能很好地表示出另一個未知數(shù)時，一般采用代入法；（2）當(dāng)兩個方程中的某個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時，或者系數(shù)均不為1時，一般采用加減法.4.（2025·任丘）若x－y＋2＝0，則用含有y的代數(shù)式表示3x－1應(yīng)為（

）A.3y－1 B.3y＋1 C.3y－7 D.3y＋7C

D

②×2，得2x－4y＝4③，③－①，得－3y＝3，解得y＝－1.把y＝－1代入①，得2x＋1＝1，解得x＝0.

3

二元一次方程（組）的應(yīng)用列方程（組）解決實際問題的一般步驟與列一元一次方程解決實際問題類似例3

（2025·吉林）吉林省長白山盛產(chǎn)人參，為促進(jìn)我省特色經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價分別為每盒25元和20元.某游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元.求該游客購買甲種商品和乙種商品的盒數(shù).分析：設(shè)游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，根據(jù)游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元列方程組即可解得答案.解：設(shè)游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，

答：游客購買甲種商品6盒，購買乙種商品4盒.本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組.7.（2025·黑龍江）為促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校計劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動，其中足球80元/個，籃球120元/個，共有多少種購買方案（

）A.6 B.7 C.4 D.5C

D

A10.（2025·安慶）圖案設(shè)計活動1：在數(shù)學(xué)活動課上小明提出利用邊長相等的等邊三角形和正方形設(shè)計出一些圖形，如圖1.觀察圖形填寫表格：正方形個數(shù)12345…m三角形個數(shù)471013a…n活動2：同學(xué)們觀察小明的圖形后，發(fā)現(xiàn)小明的設(shè)計有些參差不齊，于是他們動手設(shè)計圖形，小芳利用等邊三角形和正方形設(shè)計出自己稱心的圖形，如圖2.小芳為了探究自己設(shè)計的圖形中正方形和等邊三角形個數(shù)的關(guān)系，也設(shè)計了如下表格：正方形個數(shù)46810…s三角形個數(shù)2468…2k問題解決：根據(jù)以上活動完成下列各題：（1）a＝

16

，n＝

3m＋1

（用含m的代數(shù)式表示）；

解：由表格數(shù)據(jù)可知：n與m成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)n＝km＋b（k≠0），

∴n＝3m＋1.當(dāng)m＝5時，a＝3×5＋1＝16，故答案為16；3m＋1.（2）直接寫出s關(guān)于k（k為正整數(shù)）的函數(shù)關(guān)系式；解：由表格數(shù)據(jù)可得，s與2k成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)s＝k1·2k＋b1（k1≠