第1章三角形第4課時(shí)直角三角形的性質(zhì)1.5等腰三角形

直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)1.(2023湖南株洲中考)一技術(shù)人員用刻度尺(單位:cm)測量某

三角形部件的尺寸.如圖,已知∠ACB=90°,點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn),

點(diǎn)A,B對應(yīng)的刻度為1,7,則CD=

()

B

A.3.5cm

B.3cm

C.4.5cm

D.6cm解析由題圖可得AB=7-1=6(cm),∵∠ACB=90°,點(diǎn)D為線段

AB的中點(diǎn),∴CD=

AB=3cm.故選B.2.(2025江蘇常州武進(jìn)月考)如圖,一根木棍斜靠在與地面(OM)

垂直的墻(ON)上,設(shè)木棍中點(diǎn)為P,若木棍A端沿墻下滑,且B沿

地面向右滑行,在此滑動(dòng)過程中,點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離

()A.變小

B.不變

C.變大

D.無法判斷

B

解析根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出

OP=

AB,即點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不變.3.(2025江蘇蘇州吳中期中)如圖,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=∠ADB=90°,AB=10,M是AB的中點(diǎn),連接MC,MD,CD,若CD=6,則△MCD的周長為

()

A.13B.14

C.15D.16

D

解析根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出

CM=DM=

AB=5,又因?yàn)镃D=6,所以△MCD的周長為16.4.已知直角三角形斜邊上的中線是2.5cm,斜邊上的高是2cm,

則這個(gè)直角三角形的面積是

cm2.5解析根據(jù)題意得直角三角形的斜邊長為2.5×2=5(cm),則其

面積為

×5×2=5(cm2).故答案為5.5.【學(xué)科特色·教材變式】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=

BC,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,點(diǎn)F在BC上,且AE=CF.(1)求證:DE=DF,DE⊥DF.(2)若AC=2,求四邊形CEDF的面積.解析

(1)證明:如圖,連接CD.∵AC=BC,∠ACB=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∠A=∠B=45°.∵D為AB的中點(diǎn),∴BD=CD,CD平分∠ACB,CD⊥AB,∴∠DCF=45°.在△ADE和△CDF中,

∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°,即DE⊥DF.(2)∵△ADE≌△CDF,∴S△AED=S△CFD,∴S四邊形CEDF=S△EDC+S△CFD=S△EDC+S△AED=S△ADC.∵D是AB的中點(diǎn),∴S四邊形CEDF=S△ACD=

S△ACB=

×

×2×2=1.

含30°角的直角三角形的性質(zhì)6.如圖,在臺(tái)風(fēng)中,一棵樹的樹干在離地面4米處折斷倒下,倒下

部分與地面成30°角,這棵樹在折斷前的高度為

()

A.6米B.8米C.12米D.15米

C

解析根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一

半,知這棵樹折斷部分的長度為8米,因?yàn)檎蹟嗵庪x地面4米,所

以折斷前樹的高度為12米.7.(2025江蘇南通通州月考)如圖,在△ABC中,∠B=∠C=30°,

AD⊥AB交BC于點(diǎn)D,BC=12,則BD=

.8解析∵∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°,∵AD⊥AB,∴∠BAD=90°,∴∠CAD=30°=∠C,BD=2AD,∴AD=CD,∴BD=

BC,∵BC=12,∴BD=8.

8.(2025江蘇揚(yáng)州高郵期中,★★☆)如圖,△ABC中,∠C=90°,

AB=10,AC=8,BC=6,線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D,E分別在邊AC,BC上

滑動(dòng),且DE=4,若點(diǎn)M,N分別是DE,AB的中點(diǎn),則MN的最小值

為

()A.2B.3C.3.5D.4

B

解析如圖,連接CM,CN,

△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,BC=6,∵DE=4,點(diǎn)M,N分別是DE,AB的中點(diǎn),∴CN=

AB=5,CM=

DE=2,當(dāng)C,M,N在同一直線上時(shí),MN取最小值,∴MN的最小值為5-2=3.9.(2024河南鄭州楓楊外國語學(xué)校期末,★★☆)有一艘輪船由東向西航行,在A處測得西偏北15°方向上有一燈塔P,繼續(xù)航行20海里后到B處,又測得燈塔P在西偏北30°方向上.如果輪船航向不變,那么燈塔與船之間的最近距離是____海里.10解析如圖,過P作PD⊥直線AB于D,則PD的長就是燈塔與船

之間的最近距離,∵PD⊥AB,∴∠PDB=90°,∵∠PBD=30°,∠PAB=15°,∴∠APB=∠PBD-∠PAB=15°,∴∠APB=∠PAB,∴PB=AB=20海里,在Rt△PBD中,∠PBD=30°,∴PD=

PB=10海里.10.(2025江蘇蘇州吳江月考,★★☆)如圖,在四邊形ABCD中,

∠ABC=∠ADC=90°,E為對角線AC的中點(diǎn),連接BE,ED,BD.若

∠BAD=56°,則∠EDB的度數(shù)為_____度.34解析根據(jù)已知條件可以判斷EA=EB=EC=DE,∴∠DAE=∠ADE,∠EAB=∠EBA,根據(jù)三角形外角的性質(zhì),可得∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE,同理∠BEC=2∠BAE,∴∠DEB=2∠DAE+2∠BAE=2∠DAB=112°.∴∠EDB=

×(180°-112°)=34°.11.(2025江蘇無錫實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,★★☆)如圖,∠ABC=∠ADC

=90°,E,F分別是AC,BD的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥BD.(2)若∠BAD=30°,AC=10,求BD的長.

解析

(1)證明:如圖,連接BE,DE.∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中點(diǎn),∴BE=

AC,DE=

AC,∴BE=DE.∵F是BD的中點(diǎn),∴EF⊥BD.(2)由(1)可知,AE=BE=DE,∴∠BAE=∠ABE,∠EAD=∠EDA.∵∠BEC=∠BAE+∠ABE,∠CED=∠EAD+∠EDA,∴∠BEC+∠CED=∠BAE+∠ABE+∠EAD+∠EDA=2(∠BAE+∠EAD)=2∠BAD=2×30°=60°.∵BE=ED,∴△EBD是等邊三角形,∴BD=BE=

AC,∵AC=10,∴BD=

×10=5.

12.【新課標(biāo)·推理能力】(2025江蘇無錫江陰期中)如圖1,在銳

角三角形ABC中,CD,BE分別是AB,AC邊上的高,M,N分別是線

段BC,DE的中點(diǎn).(1)求證:MN⊥DE.(2)連接DM,ME,猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系,并證明你的猜想.

(3)當(dāng)∠BAC變?yōu)殁g角時(shí),如圖2,(1)(2)中的結(jié)論是否都成立?若

成立,直接回答,不需證明;若不成立,請說明理由.解析

(1)證明:如圖1,連接DM,ME,∵CD,BE分別是AB,AC邊

上的高,M是BC的中點(diǎn),∴DM=

BC,ME=

BC,∴DM=ME,又∵N為DE的中點(diǎn),∴MN⊥DE.(2)∠DME=180°-2∠A,證明:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∵DM=ME=BM=MC,∴∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠A)=2∠A,∴∠DME=180°-2∠A.(3)結(jié)論(1)成立,結(jié)論(2)不成立,理由:如圖2,連接DM,ME,在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠