3.1勾股定理的探究

題型一、勾股定理的認(rèn)識

題型二、以直角三角形三邊為邊長的面積問題

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題型三、用勾段定理解三角形

題型四、勾股定理與數(shù)軸

題型五、勾股定理與網(wǎng)格問題

勾股定理

題型一、勾股定理與題折問題

的探究（能力提升題型二、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

1）題型三、利用勾股定理求解級段的平方

拓展培優(yōu)

A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題.

題型一、勾股定理的認(rèn)識

1.（24-25八年級?山東濟(jì)寧?期中）設(shè)m方是直角三角形的兩條直角邊，若該直角三角形的周長為9,斜邊

長為4,則外的值是（）

A.5.5B.5C.4.5D.6

2.（24-25八年級?廣東廣州?期中）如圖，直線AO_LO8,垂足為O,線段40=8,80=6,以點(diǎn)X為圓心，

川？的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)C,則OC的長為（）

3.（24-25八年級?黑龍江佳木斯?階段練習(xí)）已知〃、仄c是Rt^ABC的三邊（c為斜邊）,若a：b=34c=10,

則尸,b=.

4.（23-24八年級?湖北十堰?期中）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)4,8,點(diǎn)。是與方向成直角的8C方向上一點(diǎn),

測得2C=80m?AC=170m,貝!]4〃兩點(diǎn)間的距峻?為m.

1/42

5.（24-25八年級?費(fèi)州黔東南?期中）在Rt△48C中，ZC=90°.

（1）若c=13,b=5,則。=；

（2）已知〃:。=3:4,。=15,求。、b的值.

題型二、以直角三角形三邊為邊長的面積問題

6.（24-25八年級?云南曲靖?期末）如圖，P,Q,M均為正方形：必跖為直角三角形，夕的面積為10,Q

的面積為30,則M的面積為（）

A.20B.40C.200D.10710

7.124-25八年級?云南昆明?期末）如圖，在V/8C中，4CB=90。,分別以力C灰?，"為直徑向外作半圓,

面積分別為E，$2,$3，若S[=8兀,$2=24兀，則其為（）

A.16nB.32兀C.40兀D.64兀

8.（24-25八年級?四川涼山?期末）如圖，以Ra/8C的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，設(shè)〃神=%

SMCE=S2，S“F=",S“BC=S,則它們之間的關(guān)系正確的是（）

2/42

D

=

A.5(=5,+53B.S?S|+S2Sy

C.S=S1+S,D.S=S]

9.（24-25八年級?湖北襄陽?期末）如圖，四邊形A、B、。、1）、E都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，若正方形A、B、C的面積依次為5,14,6,則正方形。的邊長為.

10.（24-25八年級?陜西安康?期末）如圖，在四邊形"CO中，4DAB=NBCD=90°,分別以四邊形48CQ

的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為mb,c,d.若a+d=12,求b+c的值.

題型三、用勾股定理解三角形

11.（24-25八年級?廣東江門?階段練習(xí)）如圖，在△/出。中，C為BD上一點(diǎn),AC=AB=2M，BC=4,

CD=5.求力。的長.

9

12.（2025八年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在V48C中，CQ_L4?于點(diǎn)。，JC=4,BC=3,DB=-.

5

3/42

c

⑵求4）的長；

13.（24-25八年級?寧夏銀川?期中）如圖，在V48C中,ADJ.BC于點(diǎn)D,E為AC上一點(diǎn)，BF=AC,DF=DC.

⑴求證：VDDF^JADC.

（2）已知/C=10,。尸=6,求/尸的長.

題型四、勾股定理與數(shù)軸

14.（24-25八年級?廣西南寧?期末）利用勾股定理可以作出長為無理數(shù)的線段.如圖，OA=5,過點(diǎn)A作直

線/_LCM,在/上取點(diǎn)8,使48=1,以點(diǎn)O為圓心，08的長為半徑作弧，與數(shù)軸止半軸交于點(diǎn)C,那么

點(diǎn)C表示的是（）

-一￥

一：\

2，”「‘二.」力Uc.

012345

A.5.3B.V24C.50D.V26

15.（24-25八年級?江西上饒?階段練習(xí)）如圖，04=06,OC=4,8C=I,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是.

16.（24-25八年級?山東濟(jì)寧?期中）若在數(shù)軸上以點(diǎn)A為圓心，邊長為1的正方形的對角線長為半徑作半圓,

該半圓與數(shù)軸的右交點(diǎn)為點(diǎn)C，若點(diǎn)。表示的數(shù)是3,則點(diǎn)8表示的數(shù)為?

4/42

1

17.（24-25八年級?河南焦作?期中）如何在數(shù)軸上作出表示行的點(diǎn)？我們可以這樣做：如圖1,在數(shù)軸上找

出表示。與2的點(diǎn)，分別記為點(diǎn)4與點(diǎn)C,作4C_L4C,且BC=1,以點(diǎn)力為圓心，48長為半徑畫弧，

交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)*,則點(diǎn)"表示的數(shù)即為石.參照上述方法，在圖2的數(shù)軸上畫出表示-而的點(diǎn)，并

說明該點(diǎn)表示的數(shù)是-x/H.

mi圖2

題型五、勾股定理與網(wǎng)格問題

18.（24-25八年級?山東聊城?期中）如圖，每個小正方形的邊長為1,V/1BC的三邊a,b,c中無理數(shù)是（）

A.aB.bC.cD.a,b

19.（24-25八年級?安徽合肥?期中）如圖，圖中小正方形的邊長為1,V/4C的三個頂點(diǎn)都在不正方形的頂

點(diǎn)上，則其三邊。、氏C的大小關(guān)系正確的是（）

D.a>b>c

20.（24-25八年級?新疆喀什?期末）正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).以

格點(diǎn)為頂點(diǎn).

5/42

⑴在網(wǎng)格中畫一個長為而的線段;

⑵證明你畫的線段為場.

能力提升題

題型一、勾股定理與翻折問題

21.（24-25八年級?河北石家莊?期末）如圖,矩形力8。。邊沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在6C上的“處,

已知/出=4,△川廠的面積為6,則EC等于（）

22.（24-25八年級?云南文山?期末）如圖，在V/8C中，NC=90。，點(diǎn)。為8c邊上一點(diǎn)，將△/（?/）沿力。翻

折得到V4C'。，若點(diǎn)C'在4B邊上,AC=6,BC=8,則8C的長為（）

23.（23-24八年級上?四川樂山?期末〉如圖，折疊長方形的一邊40,使點(diǎn)。落在8c邊上的點(diǎn)尸處，Z?C=10cm,

AB=8cm,則萬尸=cm.

6/42

24.（23-24八年級?四川瀘州?期中）如圖,在長方形N8C。中，43=8、/Q=10,點(diǎn)E為。C邊上的一點(diǎn),

將V4。后沿直線AE折疊，點(diǎn)。剛好落在8c邊上的點(diǎn)尸處.

⑴求8尸的長;

⑵求△/!￡?廠的面積.

題型二、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

25.（24-25八年級?安徽合肥?期中）如圖，V/出C和△EC。都是等腰直角三角形，ZACB=NECD=90。，AECD

的頂點(diǎn)。是△/JOB的斜邊48上的點(diǎn)，連接4E.

⑴求/以C的度數(shù)；

⑵求證：AD2+BD2=2CD2

PC

⑶若8。=34。，請直接寫出演；的值.

BD

26.（24-25八年級?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，在丫46。中，/IB=AC,乙BAC=a,點(diǎn)。是直線8c上一

點(diǎn)，連接力D,將線段彳。繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段力/，連接CE,DE.

圖①圖②

⑴如圖①，當(dāng)a=60。，且點(diǎn)。在線段AC上時，線段4。和CE之間的數(shù)量關(guān)系是二

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（2）如圖②，當(dāng)a=90。，且點(diǎn)。在線段8c上時，猜想線段月。、CD、。七之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明;

題型三、利用勾股定理求解線段的平方

27.（24-25九年級下?北京?開學(xué)考試）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)在研究等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖，在V44。中，若4DJ.BC,BD=CD,則有N5=NC；

備用圖

證明：VAD1BC,BD=CD,

/.AB=AC（依據(jù)：―①一）

/.Z5=ZC（依據(jù)：―②一）

（2）某同學(xué)順勢提出一個問題：既然"=即知48+M5C+CQ.若把（1）中的條件8。=。。替換

為AB+BD=AC+CD,還能推出/4=NC嗎？

基干此，社團(tuán)成員小軍、小民進(jìn)行了探索研究，發(fā)現(xiàn)確實(shí)能推出/〃=NC,并分別提供了不同的證明方法.

小軍小民

證明：VAD1BC,

:?AADB與AADC均為直角三角

證明：分別延長08,DC至E,F兩點(diǎn),使得......

形

根據(jù)勾股定理，得……

請你填寫（1）中的推理依據(jù)，并選擇（2）中小軍或小民的證明方法，把過程補(bǔ)充完整.

28.（24-25八年級上?貴州貴陽?期中）對角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美〃

四邊形力3C。，對角線4C,BD交于點(diǎn)0.

C

(1)若40=2,60=3,CO=4,DO=5,請求出力於，BC?,8'，0片的值.

8/42

（2）若48=6,CO=10,求4。2+力。2的值.

⑶請根據(jù)（1）（2）題中的信息，寫出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論.

29.（2025?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，在Rt△43C中，ZC=90°,JC=3,BC=4,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)

長為半徑畫弧，分別交/C,4“于點(diǎn)M,N,分別以“，N為圓心，大于?A為V的長為平徑畫弧，兩弧

2

交于點(diǎn)P,作射線彳尸交8c于點(diǎn)。，再用尺規(guī)作圖作出。于點(diǎn)E,則。。的長為（）

如圖，在RtZS/18C中，ZC=900,AC=6,8c=8,以點(diǎn)力為圓心，適當(dāng)長為

CD

半徑畫弧,

30.（24-25八年級上?福建漳州?期中）如圖1,將一個等腰三角形/18C紙板沿垂線段40,進(jìn)行剪切，

得到三角形①②③，再按如圖（2）所示的方式拼放，其中EC與8。共線.若BD=3,則的長為（）

31.（2025?內(nèi)蒙古?二模）如圖，兩條平行線乙，之間的距離為2,線段在《上滑動，且"=2,C為4上

任意一點(diǎn)，則C<+C8的最小值為.

32.（24-25八年級上?四川成都?期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高15cm,在容器

內(nèi)壁離容器底部4cm的點(diǎn)8處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿3cm的點(diǎn)力處,

9/42

若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為21cm,則該圓柱底面周長為一cm.

33.（24-25八年級上?江蘇常州?期中）如圖，直角三角形408中，力。=6,8。=8，歷是08的上的一點(diǎn),

若將△力ZM7沿4M折疊,點(diǎn)B恰好落在力。所在:直線上點(diǎn)夕處.

⑴求邊川？的長;

（2）求。M的長;

⑶在力。所在直線上找一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)尸、〃、8'為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出。戶的長.

34.（24-25八年級上?四川內(nèi)江?期末）（1）課堂上,老師提問：求773+加牙區(qū)的最小值.聰明的

小明結(jié)合勾股定理的相關(guān)知識，利用構(gòu)圖法解出了此題，他的做法如下:

②過點(diǎn)C在線段CO上方作4CLC。，使力。=3；過點(diǎn)。在線段CO下方作3。_LC。，使80=9；

③在線段C。上任取一點(diǎn)。，設(shè)CO=x；

④根據(jù)勾股定理計算可得，AO=,BO=（請用含x的代數(shù)式表示，不需要化簡）；

⑤如圖2,過點(diǎn)8作4。交幺。的延長線于H,則C4'=8O=9,84'=CQ=16,連接/月交CO于點(diǎn)。',

當(dāng)A、0、8三點(diǎn)共線時（即。在O,處），取得最小值.即為所求代數(shù)式的最小值.請根據(jù)小明的

做法，求歷？+116-4+81的最小值.

（2）請結(jié)合第（1）問，直接寫出］（牙一1）2+25+1（工一】6）2+9的最小值.

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3.1勾股定理的探究

題型一、勾股定理的認(rèn)識

題型二、以直角三角形三邊為邊長的面積問題

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題型三、用勾段定理解三角形

題型四、勾股定理與數(shù)軸

題型五、勾股定理與網(wǎng)格問題

勾股定理

題型一、勾股定理與題折問題

的探究（題型二、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

1）題型三、利用勾股定理求解線段的平方

拓展培優(yōu)

題型一、勾股定理的認(rèn)識

1.（24-25八年級?山東濟(jì)寧?期中）設(shè)m方是直角三角形的兩條直角邊，若該直角三角形的周長為9,斜邊

長為4,則外的值是（）

A.5.5C.4.5

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理，由直角三角形的周長和斜邊長可得兩直角邊之和，結(jié)合勾股定理和完全平方

公式即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：8+4=9,

a+b=5

：.(a+b)2=a2+2ab+b2=25

Va2+b'=4'=16,

???2?=25-16=9,

/.ab=4.5,

故選：C.

2.（24-25八年級廣東廣州期中）如圖，直線垂足為O,線段/。=8,4。=6,以點(diǎn)4為圓心,

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的長為半徑畫弧，交射線40于點(diǎn)C,則。。的長為（）

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

由勾股定理得48=Jof+0^2,求出力8=力。，由。。=/C-49即可求解.

【詳解】解：?.FO_LO8,

.?.408=90，

?.70=8,80=6,

AB=>JAO2+OB2

=\jS2+62=10，

:.AC=AB=\Q,

OC=AC-AO=2.

故選：A.

3.（24-25八年級?黑龍江佳木斯?階段練習(xí)）已知a、。是Rt△46c的三邊（c為斜邊），若柒b=34c=10,

則",b=.

【答案】68

【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)a：6=34c=10,可列出方程（3x『+（4x）2=102,解出方程即可得力

答案.

【詳解】解：在RtZ\48C中，a：Z>=3：4,c=10,

設(shè)a=3x,b=4x,則（3x）~+（4x）2=io?,

解得：x=2或x=-2（舍去），

故a=6,6=8.

故答案為：6,8.

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4.（23-24八年級?湖北十堰?期中）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)力，8,點(diǎn)C是與方向成直角的8c方向上一點(diǎn),

測得8C=80m,JC=170m,則44兩點(diǎn)間的距離為m.

【答案】150

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，宜接利用勾股定理進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：由題意，得：ZABC=90°,

由勾股定理，得：AB=ylAC2-BC2=V1702-802=150；

故答案為：150.

5.（24?25八年級?貴州黔東南?期中）在RtA45C中,ZC=90°.

（1）若c=13,b=5,PBJa=；

（2）已知a:6=3:4,c=15,求。、力的值.

【答案】（1）12

⑵a=9,6=12

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉定理的內(nèi)容并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.

（1）己知直角三角形中的斜邊與一條直角邊，求另一條直角邊，利用勾股定理即可求解：

（2）由題意設(shè)a=3x,b=4x,由勾股定理建立方程，利用平方根的定義求出x即可求解.

【詳解】（1）解：???/+/=/,。=13,b=5,

?*,a-y/c2-b~-J132-5,=12；

故答案為：12；

（2）解：a:b=3:4,

.??設(shè)。=3x,b=4x.

乂?：a?+b?=c2，c=l5,

.?.（3x）2+（4x）2=15：

BP?=9,

1.x=3（舍去負(fù)值）

a=9,b=\2.

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題型二、以直角三角形三邊為邊長的面積問題

6.（24-25八年級?云南曲靖?期末）如圖，P,0,"均為正方形，為直角三角形，。的面積為10,Q

的面積為30,則M的面積為（）

C.205/2D.loVio

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形的面枳公式結(jié)合勾股定理就可發(fā)

現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形的面積和，即可求解.

【詳解】解：:P,0,M均為正方形，DEE為直角三角形，P的面積為10,。的面積為30,

r.DE2=\0,EF2=3^DE2+EF2=DF'2,

.-.M=￡）F2=10+30=40;

故選：B.

7.124-25八年級?云南昆明?期末）如圖，在V/l8c中，4c8=90。，分別以力。,8c,為直徑向外作半圓,

面積分別為S”S2，S3,若工=8兀,￡=24兀，則其為（）

A.16兀B.32兀C.40兀D.64兀

【答案】B

【分析】本題考查勾股定理和圓的面積，解題關(guān)鍵是將勾股定理和圓的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用.

根據(jù)圓的面積公式及勾股定理得出其=￡+邑，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???在用"4C中，ZC=90°,分別以＞C、BC、48為直徑向外作半圓，它們的面積分別記

15/42

作，、SkS3,

在心△48C中，AB2=AC2+

：.-AB2=-AC2+-BC2,

888

即￡=$+S2,

S3=8兀+24兀=32兀,

故選：B.

8.（24-25八年級?四川涼山?期末）如圖，以RS48C的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，設(shè)工的=5,

SNCE=S”Sm=5,S“3c=S，則它們之間的關(guān)系正確的是（）

A.S1=S2+S3B.5=51+52+53

C.S=Si+S2D.S=Sj

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理可得4c?+8。2=力加，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行分析即可求解.

【詳解】解：中，4cB=90°,

故心+BC』"；

,??△/出。是等腰直角三角形，46是斜邊，

/.AD=BD,

貝1」482=力。2+8。2=2%。2，

:.AD2=-AB2

21

故5］二」＜￡）2=_1442,

24

2222

同理，S2=^BE=^BCfS3=^-AF=^-AC,

16/42

222

丁AC+BC=AB，

則月廣，

444

^S}=S2+S3,

故選：A.

9.（24-25八年級?湖北襄陽?期末）如圖，四邊形A、B、C、D、￡都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，若正方形A、8、C的面積依次為5,14,6,則正方形。的邊長為.

【答案】5

【分析】本題主要考查了勾股定理，算術(shù)平方根，由題意可知：SA+SB=SE，SC+SE=S〃,代入計算正方

形。的面積，然后利用算術(shù)平方根即可求解，熟練勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知：SA=SE,SC+SE=SD,

???正方形A、B、。的面積依次為5,14,6,

SD=S4+SB+Sc=5+14+6=25,

???正方形。的邊長為岳=5，

故答案為：5.

10.（24-25八年級?陜西安康?期末）如圖，在四邊形力8c。中，4DAB=NBCD=90°,分別以四邊形48CQ

的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為。，b,c,d.若G+C/=12,求6+c的值.

【答案】12

【分析】本題主要考查的是勾股定理的靈活運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是利用兩個直角三角形公共的斜邊.利用勾

股定理的幾何意義解答.

【詳解】解：如圖，連接4。,

17/42

在直角AABD和公BCD中，BD2=AD2+AB，=CD2+BC2,

即a+d=6+c,

,?*G+d=12,

+c=12.

題型三、用勾股定理解三角形

11.（24-25八年級?廣東江門?階段練習(xí)）如圖，在△44。中，C為8。上一點(diǎn)，AC=AB=2下,BC=4,

CD=5.求］。的長.

【答案】AD=yfb5

【分析】本題考查/等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握這兩個知識點(diǎn)是關(guān)鍵；過點(diǎn)A作4E_L8C于點(diǎn)E,

則由等腰三角形的性質(zhì)得8石=?！?2,由勾股定理求得力E,再由勾股定理即可求得力O.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作/EJLBC于點(diǎn)E,

?:AC=AB=2后,BC=4,

：.BE=CE=-BC=2,

2

在中，由勾股定理得力￡=,力爐一鳥后2=4；

在Rt△力石。中，DE=CE+CD=2+5=7,

由勾股定理得AD=>JAE2+DE2=V65.

18/42

A

9

12.（2025八年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在V48C中，CDJ.4B于點(diǎn)、D,AC=4,BC=3,DB=—.

5

⑴求CD的長；

（2）求力。的長；

12

【答案】（1）=

【分析】本題主要考查了勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理.

（1）在RtZ\C8。中，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可；

（2）在RtZ\C4D中根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可.

【詳解】（1）解:在V/8C中，CZ）_L49于點(diǎn)Q,

故任RtZXCAQ中，

(2)在V48c中，CDt/lB于點(diǎn)D,

故在RtZ\C4。中,

13.（24-25八年級?寧夏銀川?期中）如圖，在V/18C中，ADJ.BC于點(diǎn)、D,E為AC上一點(diǎn)、,BF=AC,DF=DC.

19/42

A

E

（1）求證：VBDF^ADC.

（2）已知彳C=10,。尸=6,求此1的長.

【答案】（1）見解析

（2）2

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵:

（1）直接利用HL證明三角形全等即可；

（2）全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出力力的長，線段的和差求出力尸的長即可.

【詳解】（1）證明：VAD1BC,

：.2BDF=Z.ADC=90°,

???BF=AC,DF=DC,

...尸且△力QC（HL）；

（2）/會△4OC（HL）,

CD=DF=6.

在Rt△力CO中，AC=10,CD=6,

???AD=ylAC2-CD2=8>

JAF=AD-DF=2.

題型四、勾股定理與數(shù)軸

14.（24-25八年級?廣西南寧?期末）利用勾股定理可以作出長為無理數(shù)的線段.如圖，04=5,過點(diǎn)A作直

線/_LQ4,在/上取點(diǎn)8,使48=1,以點(diǎn)。為圓心，08的長為半徑作弧，與數(shù)軸正半軸交于點(diǎn)C,那么

點(diǎn)C表示的是（）

1：\

*廠二?1衣c.

012345

20/42

A.5.3B.x/24C.5x/5D.V26

【答案】D

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式.

由題意可知：OB=OC,NO=90。,再根據(jù)勾股定理求出OB,從而求出0C,然后設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x,

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，列出關(guān)于x的方程，解方程即可.

【詳解】解：由題意可知：OB=UC,

???直線/JLO4,

.?.N歷10=90。，

由勾股定理得：OC=OB=slOA2+AB2=yj52+\2=x/26?

設(shè)點(diǎn)。表示的數(shù)為x,

\x\=>/26.

x=7^或-而（不合題意舍去），

???點(diǎn)。表示的數(shù)是而，

故選：D.

15.（24-25八年級?江西上饒?階段練習(xí)）如圖，04=08,OC=4,肥=1,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是.

【分析】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸.根據(jù)勾股定理求得08的長，根據(jù)數(shù)軸即可求點(diǎn)力表

示的數(shù).

【詳解】解：???04=08，OC=4,8c=1,BC1OC,

***OA=OB=\/l2+42=V17，

??.數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是-J萬，

故答案為：-岳.

16.（24-25八年級?山東濟(jì)寧?期中）若在數(shù)軸上以點(diǎn)4為圓心，邊長為1的正方形的對角線長為半徑作半圓，

21/42

該半圓與數(shù)軸的右交點(diǎn)為點(diǎn)C,若點(diǎn)C表示的數(shù)是3,則點(diǎn)8表示的數(shù)為

【答案】4-國-&+4

【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及勾股定理，掌握作圖方法是解題的關(guān)鍵.先求出圓的半徑，從而得出力C

長度，進(jìn)而得出點(diǎn)A表示的數(shù)，即可得出點(diǎn)8表示的數(shù).

【詳解】解：?正方形的邊長為1,

二?圓的半徑為+『=y/2?

：.AC=y[2>

???點(diǎn)C表示的數(shù)是3,

???點(diǎn)A表示的數(shù)為3-夜，

二點(diǎn)8表示的數(shù)為3-&+1=4-、味

故答案為：4-V2.

17.（24-25八年級?河南焦作?期中）如何在數(shù)軸上作出表示石的點(diǎn)？我們可以這樣做：如圖1,在數(shù)軸上找

出表示。與2的點(diǎn)，分別記為點(diǎn)/與點(diǎn)C,作8C_L4C,且8。=】，以點(diǎn)/為圓心，力“長為半徑畫弧，

交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)夕，則點(diǎn)8'表示的數(shù)即為公.參照上述方法，在圖2的數(shù)軸上畫出表示-右的點(diǎn)，并

說明該點(diǎn)表示的數(shù)是-g.

圖1圖2

【答案】見解析

【分析】本題考查了勾股定理、實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識，由勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在數(shù)軸上找出表示0與3的點(diǎn)，分別記為點(diǎn)力與點(diǎn)C,作8C_LAC,且8。=2,以點(diǎn)力為圓

心，48長為半徑畫弧，交數(shù)軸負(fù)半軸廣點(diǎn)。，則點(diǎn)。表示的數(shù)即為-JF.

,/BC1AC,

22/42

,?AB=\jAC'+BC'=+2'=VTJ?

???點(diǎn)￡）位于點(diǎn)4的左側(cè),

題型五、勾股定理與網(wǎng)格問題

18.（24-25八年級山東聊城?期中）如圖，每個小正方形的邊長為1,V48c的三邊。，6,C中無理數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理、無理數(shù)，在網(wǎng)格圖中作線段C。，根據(jù)每個小正方形的邊長為1，可得：CD=4,

力B=4,AD=3,BD=\,利用勾股定理求出4c=5,8C=M，由網(wǎng)格圖可知力3=4,根據(jù)無理數(shù)的

定義可知無理數(shù)是

【詳解】解：如下圖所示，在網(wǎng)格圖中作線段。，

則CO=4,48=4,AD=3,BD=1,

在RaXCZ）中，AC=y]AD2+CD2=X/32+42=5?

在RtA。?！爸?BC-ylCD2+DD2-Vl2+42->fl7>

a=yf\7?6=5,c=4,

23/42

V44C的三邊明b,。中無理數(shù)是a.

故選:A.

19.（24-25八年級?安徽合肥?期中）如圖，圖中小正方形的邊長為1,V48C的三個頂點(diǎn)都在個正方形的頂

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理，無理數(shù)的大小比較.根據(jù)勾股定理分別求出三邊。、水。的大小，再比

較，即可.

【詳解】解：a==V10,b=V22+I2=5/5,b=122+32=V?3?

V>/i3>VlO>75，

c>a>b.

故選：A

20.（24-25八年級?新疆喀什?期末）正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).以

格點(diǎn)為頂點(diǎn).

⑴在網(wǎng)格中畫一個長為而的線段:

24/42

（2）證明你畫的線段為我.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查利用勾股定理畫圖.

（1）借助格點(diǎn)，根據(jù)勾股定理構(gòu)長為而的線段即可;

（2）利用勾股定理進(jìn)行證明即可.

【詳解】（1）解：線段48即為邊長為而的線段；

（2）解：為直角三角形，AC=4,BC=2,

?*-AB=\lAC2+BC2="2+2?=x/20?

B能力提升題,

題型一、勾股定理與翻折問題

21.（24-25八年級?河北石家莊?期末）如圖，矩形48CO邊力。沿折痕力E折疊，使點(diǎn)力落在8C上的尸處,

己知力8=4,尸的面積為6,則EC等于（）

【答案】B

【分析】本題考查了矩形與翻折、三角形的面積公式、勾股定理.

先根據(jù)三角形的面枳公式求得6F的長，然后根據(jù)勾股定理可求得彳歹=5,由翻折的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可知

BC=5,故此EC=2,最后在△￡/《+?,由勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：:四邊形/SCO是矩形,

25/42

ACD=AB=4,AD=BC,Zfi=ZC=90°,

:S^ABF=6,

二AB,BF=6,即:x43/=6.

解得：BF=3,

在Ra/8/中，AF=y]AB2+BF2=\l42+32=5-

由甜折的性質(zhì)可知：BC=AD=AF=5,ED=FE.

.?.凡？=5-3=2.

設(shè)DE=EF=x,則EC=4-x.

在RtZ\MC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2,

：.X2=4+（4-X）2.

解得：x=

2

：,CE=~.

2

故選:B.

22.（24-25八年級?云南文山?期末）如圖，在V44。中，NC=90。，點(diǎn)。為8C邊上一點(diǎn)，將“CQ沿力。翻

折得到VX。'。，若點(diǎn)C'在48邊上，4C=6,8c=8,則8C'的長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理，圖形的翻折變換，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先在V48C中由勾股定理求出力8=10,再利用翻折的性質(zhì)求出力C=6,再求BC的長.

【詳解】??.在V48C中，NC=90>,AC=6,8C'=8,

:.AB=^AC2+BC2=s/6:+82=10^

由翔折的性質(zhì)知，AC1=AC=6,

BC,=AB-AC,=\0-6=4.

26/42

故選：B.

23.（23-24八年級上?四川樂山?期末）如圖，折疊長方形的一邊彳￡>,使點(diǎn)0落在8C邊上的點(diǎn)尸處,5C=10cm,

45=8cm,則石尸=cm.

月；

F

【答案】5

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由矩形的性質(zhì)可得AD=BC=10cm,CO=AB=8cm,=ZC=ZD=90°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=EF、

力戶=/。=10cm,由勾股定理可得8/=6cm、FC=4cm,設(shè)DE=EF=x,則EC=8-x,最后利用勾股定

理求解即可.

【詳解】解：???四邊形/8CO為長方形，

.??AD=BC=10cm,CO=AB=8cm,Z5=ZC=ZD=90°,

???折疊長方形的一邊40,使點(diǎn)。落在8c邊上的點(diǎn)尸處，

；?DE=EF,AF=AD=\0cm,

,BF=LF2-AS=V102-82=6cm，

???尸。=8。-8/=10—6=4cm,

設(shè)DE=EF=x,則EC=8-x,

在RtZXEFC中，由勾股定理得”:2+EC2=E尸，gfJ42+（8-x）2=^2,解得：x=5,

:.EF=5cm.

故答案為5.

24.（23-24八年級?四川瀘州?期中）如圖，在長方形N8C。中，,48=8、2。=10,點(diǎn)E為。C邊上的一點(diǎn),

將VNOE沿直線AE折疊，點(diǎn)。剛好落在8C邊上的點(diǎn)尸處.

27/42

⑴求8b的長；

⑵求“E尸的面積.

【答案】⑴8尸的長為6：

⑵25

【分析】本題考查了翻折變換(折疊問題)與矩形的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，結(jié)合圖形求

解是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得OC=8,力。=10,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到/尸=力。=10,DE=EF,在Ra/8產(chǎn)

中，利用勾股定理易得4尸=6；

(2)設(shè)。E=x,則"'=x,￡C=3-x,在RtZXCE/中，利用勾股定理可求出x的值，結(jié)合圖形求面積即可.

【詳解】(1)解：???在長方形/88中，川？=8、JD=10,

???DC=8,JZ)=10,ZD=Z^=ZC=90°

又?:將VADE沿直線4E折疊，

AAF=AD=\Q.DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

在RhUM中，BF=y]AF2-AB2=>/102-82=6；

(2)由(1)得尸。=8。-8/=10-6=4,

設(shè)DE=x,則EF=x,EC=8-x,

在RtaCE廠中，EF2=FC2+EC2，

x2=42+(8-x)',

解得x=5,

即DE的長為5,

:.EF=5,

???△,4E廣的面積為：7x10x5=25.

2

題型二、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

28/42

25.（24-25八年級?安徽合肥?期中）如圖，V48C和△ECQ都是等腰直角三角形，4C8=NECO=90。，&ECD

的頂點(diǎn)。是△力C3的斜邊43上的點(diǎn)，連接力E.

⑴求/E4C的度數(shù)；

⑵求證：AD2+BD2=2CD2

（3）若4。=3/。，請直接寫出P去C的值.

BD

【答案】⑴45。

⑵見解析

⑶ECV5

BD3

【分析】本題考查等腰三角形的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)

與判定是解題的關(guān)鍵;

(1)證明“ECGA8QC(SAS),得出NE/C=N/8C=4￡即可求解;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，推出/反。=90。，根據(jù)勾股定理結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論:

（3）設(shè)BD=AE=34D=3a,則48=4”，利用勾股定理列式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：???"C8與/S都是等腰直角三角形，

/.NECD=/ACB=90°,/CED=ZEDC=/ABC=/CAB=45°,

EC=DC,AC=BC,

ZECD—NACD=Z.ACB-NACD,

:ZCE=NBCD.

(SAS).

/.AE=BD,^EAC=^ABC=45°；

(2)證明：?.?/C48=45°,ZEAC=45°,

29/42

ZEJC+ZC/15=90°,

即NEW。=90。.

AD2+AE1=DE'

在AEC￡)中，?.?82+。6=?！?

/.2CD~=DE1,即心+8》=2CO2；

(3)解：設(shè)8Q=4E=3力。=3a,WOAB=4a,

vAD1+BD2=2CD2，即a2+(3a/=2CD2,

解得CD=EC=#a.

EC_4s

26.(24-25八年級?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，在V/8C中，AB=AC,N64C=a,點(diǎn)。是直線BC上一

點(diǎn)，連接力。，將線段/￡＞繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)。得到線段力石，連接CE,DE.

圖①圖②

⑴如圖①，當(dāng)。=60。，且點(diǎn)。在線段8c上時，線段8。和CE之間的數(shù)量關(guān)系是二

(2)如圖②，當(dāng)a=90。，且點(diǎn)O在線段8C上時，猜想線段8。、CD、OE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

【答案】⑴8O=CE

(2)BD2+CD2=DE2,證明見解析

【分析】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

掌握全等三角形的判定性質(zhì).

(1)由將線段4)繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段花，得力。=力￡,N歷1C=ND4E=60。，從而

/BAD=NCAE,故△48Z)g"CE(SAS),得BD=CE；

(2)根據(jù)AB=AC,a=90°，得N8=NBCA=45。，由18。四△/ICE(SAS),即知NB=ZACE=45°,BD=CE,

從而NDCE=NBC4+乙4CE=90。,有CE?+CD?=DE2,故BD?+CD?=DE2.

【詳解】(1)解：BD=CE,理由如F：

如圖：