第五章二元一次方程組

5.4二元一次方程與一次函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

A學(xué)習(xí)目標(biāo)與重難點(diǎn)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的解.

2.通過思考和操作，建立“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)，培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力.

3.通過自主探索，揭示方程和圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的科學(xué)精神,

進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：二元一次方程（組）和一次函數(shù)的關(guān)系：

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想意識(shí)

A預(yù)習(xí)自測(cè)

一、知識(shí)鏈接

I.若兩個(gè)變量x,y間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成的形式,

則稱y是x的一次函數(shù).

2.若兩條直線互相平行，則這兩條直線中的k.

3.關(guān)于x的一元一次方程都可以變形為kx+b=O（k/））的形式，方程kx+b=O的解即為函數(shù)y=kx+b

當(dāng)時(shí)x所對(duì)應(yīng)的值，從圖象上看，則為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的.

4.解二元一次方程組的方法有L

二、自學(xué)自測(cè)

（本節(jié)課內(nèi)容預(yù)習(xí)自測(cè)，設(shè)置3-5個(gè)練習(xí)，選擇題或填空題均可，題目難度相對(duì)簡(jiǎn)單）

教學(xué)過程

合作交流、新知探究

探究一；二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

問題1.方程x+y=5的解有多少個(gè)？寫出其中的幾個(gè).

問題2.以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)在一次函數(shù)y=-x+5的圖象上

嗎？

問題3.在一次函數(shù)圖象上任取幾個(gè)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)適合方程x+y=5嗎？它們是方程的解嗎？

問題4.以方程x+y=5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與一次函數(shù)y=-x+5的圖象相同嗎？

探究小結(jié)：

x+y=5是二元一次方程，變形成y=-x+5稱為一次函數(shù)。函數(shù)圖像上的點(diǎn)都是二元一次方程的解。

小試牛刀

1.把下列二元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)

（1）y-2x=1；（2）2y+x=4

2.以方程2x+y=5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與一次函數(shù)的圖像相同

3.如圖所示的四條直線，其中直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-2y=2的解的是（）

探究二，用圖像法解二元一次方程組

1、作y=5-x的圖像，取兩點(diǎn)（，）,（

出一次函數(shù)y=5-x的圖象

2、作y=2x-l的圖像，取兩點(diǎn)（，），（

出一次函數(shù)丫二件％蟒墨5

3、解方程組［2x-y=\

I

解得：?

思考：方程組的解和相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系?

【方程組的解就是兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)】

小試牛刀

1.以一個(gè)二元一次方程組中的兩個(gè)方程作為一次函數(shù)畫圖像，所得兩條直線（）

A.有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)B.沒有交點(diǎn)C.只有一個(gè)交點(diǎn)D.以上都有可能

2.根據(jù)下列圖象，說出哪些方程組的解.

探究三：兩直線平行十方程組解的關(guān)系

1、在同一耳角坐標(biāo)系的，一次函數(shù)y=x+

的圖象有怎廂位置頭系？

2、方程組解的情況如何？

3、探究小結(jié)

歸納：對(duì)于兩條直線

當(dāng)klrk2時(shí)，兩直線交于一點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的二元一次方程組有一組解.

當(dāng)kl=k2bl#）2時(shí)，兩直線互相平行，無交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的二元一次方程組無解.

當(dāng)kl=k2bl=b2時(shí)，兩直線重合，無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的二元一次方程組無數(shù)個(gè)解.

小試牛刀：

1.已知二元一次方程組［ax-y+b=°的解為貝ij函數(shù)丫=1^+15和丫=1^的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為______-

Ikx-y=O

2.以2x-；y=5方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)的圖象用同.

3..圖中的直線y=x+4和直線y=2x+l的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1,3）則該坐標(biāo)可以看作方程組的解。

y=-2x+3

y=2x

三、課堂練習(xí)、鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.若方程組沒有解，由此一次函數(shù)y=2~x與y=-x的圖像必定().

A.重合B.平行C.相交D.無法判斷

2.有一組數(shù)同時(shí)適合方程x+y=2和x+y=5嗎？【】圖象之間有何關(guān)系？【

3.直線y=ax+b和直線y=bx+3a的交點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-1),則a=,b

4、用圖象法解方程組：

（得）

5.直線尸-2x+3與直線y=2x的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解是

6.方程組/y=ax+4的解是f'=4則直線y=ax+4與直線y=bx+4的交點(diǎn)坐標(biāo)是______—

Ly=hx+4Ly=。

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線//y=x+3與直線/,：y=mx+n交于點(diǎn)A(-l,b),則

關(guān)于X、y的方程組的解為()\|/

y=mx+n\1/

x=2x=2x=-l

y=ly=-l尸2

能力提升：

8.一顧客準(zhǔn)備辦理上網(wǎng)業(yè)務(wù)，發(fā)現(xiàn)有兩種收費(fèi)方式：方式A以每分鐘0.1元的價(jià)格按上網(wǎng)時(shí)間計(jì)費(fèi)；

方式B除收月基費(fèi)20元外再以每分鐘0.05元的價(jià)格按上網(wǎng)E寸間計(jì)費(fèi)。顧客選擇那種收費(fèi)方式更劃算

呢？

CD:y=x+b

SMBD=2

拓展遷移:

9.如圖，已知直線=分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,B,直線分別與x軸、

y軸交于點(diǎn)C,D,且直線AB與CD相

交于點(diǎn)P,.

(l)求b的值和點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求AADP的面積.

四、總結(jié)反思、拓展升華

利用圖像法求二元一次方程組的解一般步驟：

1、將兩個(gè)方程化成一次函數(shù)形式；

2、畫出兩個(gè)一次函數(shù)圖象；

3、找到兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解

若兩條直線相交，則交點(diǎn)就是二元一次萬程組的解；

若兩條直線平行，則二元一次方程組無解.

若兩直線重合是二元一次方程組有無數(shù)個(gè)

五、【作業(yè)布置】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

I.如圖，若宜線)'=占*+4與直線〉=4相交于點(diǎn)A,則方程組?

的解是()

y=k2x+b2

x=-2fx=3J人=2(x=-2

A.l)'=3B.V，=_2C.b'=3口.U=-3

2.小亮在用作函數(shù)圖象的方法解二元一次方程組時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出如圖所示的圖象，他解的

這個(gè)方程組可能是（）

第1題第2題第3題

3.如圖，已知一次函數(shù)尸ax+b和尸kx的圖象相交于點(diǎn)P,則根據(jù)圖象可得二元一次方

程組[y=ax+b的解是（）

IKx-v=O

4.以一個(gè)二元一次方程組中的兩個(gè)方程作為一次函數(shù)畫圖象，所得的兩條直線（）

A.有一個(gè)交點(diǎn)B.有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)C.沒有交點(diǎn)D.以上都有可能

y=-x+2

5.以方程組二川的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在，）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.若直線4經(jīng)過點(diǎn)（0,4）,4經(jīng)過點(diǎn)（3,2）,且4與《關(guān)于x軸對(duì)稱，則4與4的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(-2.0)B.(2,0)C.(-6.0)D.(6.0)

3x=T+y\x=—1

7.方程組的解為；所以點(diǎn)㈠'D是直線--------與直線-----------的交點(diǎn).

8.直線y=kx-2和y=2x+k的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則k=.

能力提升：

9如圖，已知A（3,1）與B（l,0）,PQ是直線y=x上的一條動(dòng)線段且PQ=J],

（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+BQ最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

拓展遷移:

2I

10.已知一次函數(shù)y=可%+。和％=-弓工+〃的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(2O),且與y軸分別交于點(diǎn)B,點(diǎn)C.

求4ABC的面積.

11.如圖，一次函數(shù)L:y=kx+b(kX0)的圖象經(jīng)過A(0,4)和D(4,0)兩點(diǎn)，一次函數(shù)L:y=x+l的圖象

I2

與x軸交于點(diǎn)C,直線相交于點(diǎn)B連接AC.

的值：

⑵求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)求△ABC的面積.

課堂練習(xí)參考答案:

1、B

2、沒有；平行

3、a=-l,b=l

4、x=2

y=6

“a

6.、(4,0)

7、A

8、方法一：設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為x分鐘，收費(fèi)為y元。

方式A:y=0.lx方式BY=0.05X+20

解方程組y=O.lx

y=0.05x+20

rx=4(x)

得V

_y=40

故交點(diǎn)坐標(biāo)為（400,40）。

由圖象知:

當(dāng)0<x<400時(shí)，選方式A省錢;

當(dāng)x=400時(shí)，選方式A或B都一樣

當(dāng)x>400時(shí)，選方式B省錢。

方法2：設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為x分，方式B與方式A兩種計(jì)費(fèi)的差額yB-yA為y元,

得y=-0.05x+20,當(dāng)差額為0是即

-0.05x+20=0得：x=400

故直線與x軸的交點(diǎn)為（400,0）

由圖象知：

x（分）

當(dāng)0<X<40()時(shí)，y>0,選方式A省錢；

當(dāng)x二400時(shí)，y=0,選方式A或B都一樣；

當(dāng)x>400時(shí)，y<0,選方式B省錢

9、解答提不;

(1)求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)A(-2,0),B(0,1);根據(jù)三角形ABD的面=2和A,B的坐標(biāo),求出D點(diǎn)坐標(biāo)，即

可求出b.再把兩個(gè)二元一次函數(shù)聯(lián)立成方程組，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)。

(2)三角形ADP的面積二三角形ABD面積+三角形BDP面積或等于三角形ACI)面積十三角形ACP面枳

答案是：(l),b=-l；P(4,3)

(2),6

課外作業(yè)參考答案:

9、解析】:作B點(diǎn)關(guān)于PQ的對(duì)稱B1,BQ;BjQ,B(l,0);B[(0,1);

過A點(diǎn)作MN〃PQ,并將A點(diǎn)沿MN向下平移五單位得A-由于A(3,1),AA,=V2.

AA,(2,0),則四邊形AA.PQ是平行四邊形，得到AP=QA1如圖；

AP+PQ+BQ=QA1+PQ+BQ],由于PQ是固定值，只有當(dāng)儲(chǔ)、Q、1“三點(diǎn)共線時(shí)AP+PQ+BQ值最小。E((0,1);A

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?(2,0)用待定系數(shù)法求出A?B1的解析式y(tǒng)=-0.5x+l,與直線y=x聯(lián)立解方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，Q(Q，Q)