第五節(jié)函數(shù)的概念與性質(zhì)解答題專項(xiàng)

【題型歸納】

＞題型01、函數(shù)表示及其圖像問題

＞題型02：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)用

＞題型03：函數(shù)的最值問題

＞題型04：函數(shù)的對稱性和周期性問題

＞題型05：塞函數(shù)

＞題型06：抽象函數(shù)

＞題型07：函數(shù)壓軸問題

【題型探究】

題型01、函數(shù)表示及其圖像問題

【例1】.(25-26高一上?上海?期中)⑴已知是一次函數(shù)且3〃x+l)-2/(x-l)=2x+17,求的解析式;

(2)已知/(/+/?)=f+十,求/(力的解析式；

(3)若對任意實(shí)數(shù)x,均有〃”—2/(—x)=9x+2,求/(x)的解析式.

【答案】

(I)/(x)=2x+7(xeR)

（2）/（x）=＜-2（x＞2）

(3)/(x)=3x-2(xeR)

【分析】根據(jù)求函數(shù)解析式的三種方法：待定系數(shù)法，配湊法，解方程組法，分別求解(I)(2),(3)小題.

【詳解】(1)(待定系數(shù)法)???/("是一次函數(shù)，可設(shè)外力=4—可”工0),

由題可知：3[a（x+l）+可-2[a（x-l）+〃|=2x+l7,即以+（5a+b）=2x+17,

a—242—2

因?yàn)閤wR,所以,解得

5a+b=\7b=l'

所以函數(shù)外力的解析式為/(x)=21+7(xwR).

（2）（配湊法）/（42+3）=/+3=（、2+*]—2,

Xx2+-V^2

x~

當(dāng)且僅當(dāng)丁=J,即X=±1時等號成立.

x-

設(shè)/=/+=,則/N2,A/（r）=r2-2（r>2）,

.X

???函數(shù)/（力的解析式為/（力=9—2（x22）.

(3)(解方程組法)???/(X)-2/(T)=9X+2,①

???/(T)-2/(X)=9(T)+2,②

由①+2x②得-3/(力=一9工+6,/./(.r)=3x-2.

???函數(shù)的解析式為=3x—2]xeR）.

2、

—,x<0,

x

【變式1】.（25-26高一上?全國?單元測試）已知函數(shù)/（"=<-x,0<x<2,

-X2-3X,X>2.

2

⑴求〃。），"2）的值;

⑵若/（m）=T，求機(jī)的值；

⑶作出函數(shù)/（x）的大致圖象，并求/（力48的解集.

【答案】⑴"0）=0，/（2）=-4

⑵-2或1或3+近

（3）作圖見解析，（7,8]

【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得；

（2）根據(jù)分段函數(shù)解析式，分類討論，分別計(jì)算可得；

（3）根據(jù)函數(shù)解析式，可作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)解析式分類討論可求得不等式的解集.

-,x<0

X

【詳解】(1)因?yàn)?(%)=<-x,0<x<2,

-X2-3X,X>2

、2

所以"0)=0，/(2)=1X22-3X2=^.

,、2

(2)當(dāng)機(jī)<0時，/(m)=-=-l,解得加=-2

m

當(dāng)0WHV2時,f(m)=-m=-1,解得〃?二1；

當(dāng)，“V2時，/(〃?)=5〃?~—3〃?=—1,解得加=3+J7或3—J7(舍去).

綜上所述，的值為-2或1或3+b.

(3)作出函數(shù)/("的圖象如圖所示:

7

當(dāng)x?-0)時，/(x)=*W8恒成立；當(dāng)x40,2)時，/(X)=TW8恒成立；

X

當(dāng).￥￡[2,”)時，/(x)=^x2-3x<8.即/6x16<0,得2VxV8.

綜上所述，/(力48的解集為(—,8].

【變式2].(24-25高一上?河南?期中)(I)已知函數(shù)/(2-a=7^7,求函數(shù)/(?)的定義域;

(2)求y=2x-Jx-l的值域;

(3)已知/(4+l)=x+2?,求/(x)的解析式.

【答案】⑴[0,16]；⑵段內(nèi)):⑶/U)=x2-l(x>l).

O

【分析】(I)求出函數(shù)/(2一幻的定義域，再結(jié)合抽象函數(shù)定義域求出/(4)的定義域.

(2)配方，借助二次函數(shù)性質(zhì)求出值域.

(3)利用換元法求出解析式.

【詳解】(1)函數(shù)〃2—幻=-4一爐中,4-x2>0,解得—24x42,

函數(shù)/(2-x)的定義域?yàn)閇-2,2],則042r44,

函數(shù)/(?)中，()KX/7K4,解得0JW16,

所以函數(shù)八五)的定義域[0,16].

(2))=2(J^T)2—Gi+2=2(J^T—g2+號之整，當(dāng)且僅當(dāng)/=U時取等號，

48816

所以)，=2x-Jx-l的值域是口，”).

O

(3)令7=4+1,貝|J/N1,X=(LI)"

由/(4+1)=X+2&,^/(/)=(/-1)2+2(/-1)=/2-1,

所以f(X)的解析式是f(x)=x2-l(x>l).

題型02：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)用

雷是定義在(-口)上的奇函數(shù)，且/

【例2】.(22-23高一下?福建?期中)兩數(shù)/(x)=

⑴求/(x)的解析式:

⑵證明外可在(T1)上為增函數(shù)；

(3)解不等式〃…l)+〃，)v0.

【答案】⑴

1"I"X

(2)證明見解析

⑶(叫

(1A2

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義求得b=0,由/5=與求得。=1,即可求解解析式;

(2)根據(jù)單調(diào)性定義，按照步驟證明即可；

-1<r-l<l

(3)由奇函數(shù)、單調(diào)性解不等式得?-1<T<1,求解即可.

—17T

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(燈=署［是定義在(-11)上的奇函數(shù)，

所以〃一力二一〃力，即含3=菅3,解得人=0,此時/3=備，

1

2/I12a2

又/所以.5尸一(］丫'=丁解得"=1，

1+l2j

所以〃耳二六;

王々二(%一/)(1-%占)

(2)任取內(nèi),七?-1,1),且不<毛，則/(3)一/(%)=

22

1+婿1+引(1+X,)(1+X2)

因?yàn)閣(T』)，所以(1+工；)(1+毛)>0，1-％x,>0,

因?yàn)榘?lt;々，所以內(nèi)一々<0，所以/(5)一/(七)<0,

所以〃x)在(T1)上為增函數(shù);

(3)因?yàn)楹瘮?shù)/("是定義在(T1)上的奇函數(shù),

所以由/(1)+&)<0,得“I)<-/(，)=f(T),

乂因?yàn)椤υ?Tl)上為增函數(shù)，所以T<T<I,解得

/-I<-r

所以原不等式的解集為

【變式1].(24-25高一上?廣東江門?期中)已知函數(shù)/(x)=^^的圖象過點(diǎn)(1/)，且/(3)=|.

(1)求實(shí)數(shù)。和匕的值；

(2)判斷函數(shù)/。)的奇偶性，并利用定義證明;

(3)判斷函數(shù)/(x)在(2,+00)上的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論.

【答案】(1)4=2,“二。

(2)奇函數(shù)，證明見解析

⑶減函數(shù)，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)給定條件，列出方程求出。，〃值.

(2)由(1)求出/(x),再利用奇函數(shù)的定義推理判斷.

(3)利用單調(diào)函數(shù)的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】⑴由/⑴的圖象過點(diǎn)(U),得/⑴=用詈=審=1,又/(3)=鬻=喘、

聯(lián)立解得：a=Zb=0.

2x

(2)由(1)知函數(shù)巾)=七,因此/⑴是奇函數(shù)?證明如下:

2x(—x)—2]

/⑴的定義域?yàn)镽,對于小R,一。,小加用工廠177P⑴,

所以/")是奇函數(shù).

（3）函數(shù)函數(shù)在（2,+oo）上是減函數(shù).證明如下:

2

2.X12X22xl（l+x2）-2x2（l-xl）

設(shè)2<%<.，則〃內(nèi)）-/（々）=

i+#i+考（i+x；）（i+￥）一

=2（%一工2）+2%七（占一%）=2,（N一&）（1-XW）

（1+4）0+4）

由2VAi<x2,得用一毛<0/+x；>0,1+^2>0,1-xAx2<0,

囚止匕/（4）一/（出）>。，即/（勺）>/（々），

所以函數(shù)/*）在（2,xo）上是減函數(shù).

【變式2].（24-25高一上?四川瀘州?期末）已知定義在（-2,3-0上的函數(shù)八幻二華之圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

⑴求戶2的解析式；

（2）判斷并用定義證明f（x）的單調(diào)性；

（3）解不等式/（2r+l）+/（r-2）>0.

【答案】（1）/（力=丁:

4-x~

（2）“X）在（-2,2）上單調(diào)遞增，證明見解析

⑶IM

【分析】（I）由關(guān)于原點(diǎn)對稱可得八。）=0,再結(jié)合（-2,3-〃）關(guān)于原點(diǎn)對稱，計(jì)算即可；

（2）借助定義法證明即可得；

（3）結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得.

【詳解】（1）由題意可得/（0）=安*=0,

4—0

即。=0,-2+3-a=0,故a=1,

即〃6=士，此時有/（一力=曰=-〃"，

故關(guān)于原點(diǎn)對稱，故a=l,人=0

即的解析式為“力二/:；

4-X

（2）/（可在（-2,2）上單調(diào)遞增；證明如下：

令-2X2,則小5力小一育=爺笳臀

4（內(nèi)一w）+X%2（%一%）=（4+%為）（內(nèi)一馬）

（4-引（4-W）一（4-引（4一4j

由一2VxiV%2<2,貝!）4+再X2>0，王一工2<0，（4-^2）（4-%2）>0,

故（芍）v0,即/（%）在（-2,2）上單調(diào)遞增;

（3）由題意可得了（力為奇函數(shù),則有/⑵+1）>—2）=/（2一）,

2/+1>2-/

又因?yàn)?（刈在（—2,2）上單調(diào)遞增，則有-2<2，+1<2,解得;</<：,

-2<2-/<2

所以原不等式的解集為

題型03：函數(shù)的最值問題

【例3】.（24-25高一匕云南昭通?期末）已知函數(shù)/*）=士?經(jīng)過（L2）,(-1,-2)兩點(diǎn).

ax+b

⑴求函數(shù)〃X）的解析式；

（2）判斷函數(shù)f（x）在（1,+8）上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明；

（3）當(dāng)X』］：］時，〃止/。），求實(shí)數(shù)加的最小值.

42_

【答案】（l）/（x）=x+，

X

（2）在（Lxo）上單調(diào)遞增，證明見解析

叫

【分析】（1）由點(diǎn)代入解析式，列出方程求解即可；

（2）由單調(diào)性的定義作差即可求證；

（3）利用單調(diào)性求得最值，即可求解；

【詳解】（1）,/。）=2,/（-1）=-2,

—^=2一,

a+hp,a-1、1

c，2解1nz得L：.f（x）=x+-.

2cZ>=0x

-----=一2

「a+b

（2）/a）在a+8）上單調(diào)遞增，證明如下:

任取4，勺e（l，+8），且百<42，

1工內(nèi)一、

則/(%)-/(占)=X]+一-^+-=(%—占)

X工X1)中2

???王,x2G（l,4-o））,且凡<巧，

xx>

/.西一天<0，\2'?芭超-1>0,

.?,/（X1）-/（A2）＜O,即

所以函數(shù)/（X）在（L+⑹上單調(diào)遞增.

（3）由（2）知函數(shù)/*）在（1,一）上單調(diào)遞增，

由對勾函數(shù)性質(zhì)得八#在（0,D上單調(diào)遞減，

???函數(shù)f。）在x上的最大值為力口=#,

142J⑷4

1717

由小”（x）知機(jī)之/（x）z，?.?根之二，所以用的最小值為一.

44

【變式1].（22-23高一上?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)/。）=紇蕓是定義在上的奇函數(shù)，且/6）=-2.

⑴求。力的值;

⑵判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給出證明；

（3）設(shè)創(chuàng)制=6+5-2女，若對任意的％e[-g]],總存在修引0,1]，使得了區(qū)廳以修）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】（1）〃=4/=0

（2）單調(diào)遞減，證明見解析；

⑶（f4].

【分析】（1）利用/（。）=。與/61）=-：4求出。力的值并驗(yàn)證即可.

（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.

（3）求出函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值，再結(jié)合已知列出K等式，求出實(shí)數(shù)人的范圍.

【詳解】⑴由函數(shù)/（幻=々名是定義在【一?』上的奇函數(shù)，得八。）=6=0,

ar+122

1

-ax14~0'~A4

貝丫⑴二一；，又/（5=一,于是?4=_,解得a=4,

2145〃（＞+]5

4

島’"田=一盤『島=即個）是奇函數(shù),

所以。=4力=0.

（2）函數(shù)/*）=-：絲7在[-杲]上的單調(diào)遞減，理由如下：

4X2+122

任意與凡近―5，；］,且是＜七,

為(4￡+1)-8(44+1)

則小一⑷…鼎-島）=4

(4x；+l)(4x；+l)

=44菁人（占一4）一（々一*）二4（占一人）（4%占一1）

（4*+1）（4尺+1）~.（4x；+l）（4x；+l），

得毛-玉>0,4%々-“0,4%；+l)0,4x；+1>0,

則篇T：*二卜。,即/（十一/（*2）＞。，因此/U）＞/32）

所以函數(shù)"r）=-在［-2之上的單調(diào)遞減?

4x+122

（3）由對任意的％總存在&引°，1］，使得/a）wg（S）成立,

得“X）在［-■上的最大值不大于四）在。“上的最大值,

4r111

由函數(shù)在上的單調(diào)遞減‘得?。?/%）"

當(dāng)&=0時，g（x）=5,1￡5恒成立,因此2=0；

當(dāng)A＞0時，g（x）=H+5-2人在［0,1］上單調(diào)遞增，g（x）1Mx=g6=5-Z,

則145-攵，解得攵44,因此0＜女44：

當(dāng)“＜0時，g（x）=H+5-24在［0,1］上單調(diào)遞減,g（K）max=g（0）=5-2k,

則1＜5—2k,解得女＜2,因此女＜0,

所以實(shí)數(shù)%的取值范圍是（一%4］.

【變式2］.（24-25高一上?重慶?期中）已知函數(shù)/*）是定義在［-3,3］上的奇函數(shù)，滿足/⑴=，當(dāng)-3"4（）時,

有/。）="

x+9

⑴求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）判斷了。）的單調(diào)性，并利用定義證明；

⑶若對V.il-3,3］,都有/34〃/-2?,〃十;對Vae［-2,2］恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）/（幻=息

x~+9

（2）在卜3,3］上為增函數(shù)，證明見解析

(3)(^o.-4]{0}o[4,-Foo)

【分析】（1）根據(jù)/（。）=0,/⑴=［求出8=0,〃=2,再檢驗(yàn)即得解;

（2）函數(shù)/*）在［-3,3］為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明;

（3）分析得到/_2am>0對任意的。e［-2,2］恒成立，解不等式組J"二十~’即得解.

nr-4771>0

【詳解】⑴函數(shù)/（幻是定義在［-3,3］上的奇函數(shù)，

則/（。）=0,即1=0,解得6=0,

又因?yàn)榇ǎ?!，BP/（-1）=-1=--1,解得〃=2,

JJ1VZ

經(jīng)檢驗(yàn)可得，。=2符合題意.

2Y

所以當(dāng)-3WXW0時，/U）=-^—,

+3

令xw（Q3|,貝|J-X￡［-3,0）,

所以/（t）=；=—/（?,

x1+9

9v

則當(dāng)xw（0,3］J（x）=』

r+9

綜上所述，/（幻=三；

廠+9

（2）函數(shù)/@）在［-3,3］上是增函數(shù).

證明如下：

任取3，/w［-3,3］且％〈再,

則/（X）-f（x）=

2A|十yA>?y

_2X1%；+18X］--1S.v,_2xtx2（x2-X））-18（x2-A,）

=（X；+9）（￡+9）=（x；+9）（x；+9）

：2*2一內(nèi)）（斗々-9）

一（x：.9）（x；+9）'

因?yàn)橐?"<x2<3,

所以占一%>。，玉玉-9<0,

2(X-X,)(X,X,-9)

2<0,gp/U.)</(^),

(x；+9)(x；+9)

故/⑴=三3在?上為增函數(shù);

（3）由（2）可知，函數(shù)），=/。）在區(qū)間［-3,3］上單調(diào)遞增,

所以八。皿=/（3）=；，

由于/（x）&-2am+g對Dxe［-3,31恒成立,

則>-+/3）111ax=；對任意的。引一2,2］恒成立,

即"/一2卬〃>0對任意的〃e［-2,2］恒成立，

構(gòu)造函數(shù)晨。）=-2%+癡，其中aw［-2,2］,

^(-2)>0nr+4m>0

所以

乂2)20nr-4m>0

解得〃區(qū)T或m=0或〃?24,

所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是（/，YI⑼14,田）.

題型04：函數(shù)的對稱性和周期性問題

【例4】.（24-25高一上?重慶沙坪壩?期末）己知函數(shù)/⑴=f-ar+a+1.

⑴若/G+2）為偶函數(shù)，解不等式：/（打工10；

（2）已知函數(shù)“X）在口,y）上的最小值為2a,求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】⑴但一1"<5}

（2）1

【分析】（I）分析可知，函數(shù)/（力的圖象關(guān)于直線x=2對稱，由二次函數(shù)的對稱性可求得。的值，然后利用一元

二次不等式的解法解不等式/（x）410即可；

（2）對實(shí)數(shù)”的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)/（“在［1,位）上的單調(diào)性，結(jié)合/（"m=2〃可求得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)。（％+2）為偶函數(shù),即〃2-力=〃2+引，

所以，函數(shù)/（力的圖象關(guān)于直線1=2對稱，所以，|=2,可得。=4,

所以，/（力=丁-44+5,

由可得/一4］一5￡0,解得—1KXK5,

因此，不等式/（x）QO的解集為{止1"<5}.

（2）由于/（"的圖象為開口向上，對稱軸為直線x=］,討論如下：

若即a>2時，函數(shù)外力在，（上單調(diào)遞減，在［*+8］上單調(diào)遞增，

2L2」/

此時=-:+"+1=2〃，可得a?+4a-4=0,解得〃=±2&一2（舍）;

若即。<2,此時函數(shù)f（x）在［1,3）上為增函數(shù)，

則/(Ekn=/(l)=2=2ana=l,合乎題意.

綜上，a=\.

【變式1].(24-25高一上?廣東佛山?期末)已知函數(shù))，=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函

數(shù))，="工+〃)一Z?為奇函數(shù)，若函數(shù)f(x)=x+-^.

X—1

⑴求曲線y=/3的對稱中心；

⑵判斷/(人)在區(qū)間(1,3)上的單調(diào)性，并用定義證明.

【答案】⑴(L1)

(2)單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】(1)首先設(shè)函數(shù)g(9=fa+i)-i,判斷函數(shù)g。1是奇函數(shù)，即可判斷函數(shù)的對稱中心;

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法，即可證明.

【詳解】(1)設(shè)g(x)=/(x+l)—l=：x+l+——1=%+—,

XX

則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椴?XHO｝，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且g(T)=_X+卷=_(x+g)=_g|

R，

所以g(x)=〃x+l)-l為奇函數(shù)，

所以函數(shù)外力的對稱中心為(1,1).

(2)函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減.

證明：Vxpx2e(l,3),且王＜々，

4(—卜…

則/(%)/(X2)=x,+占+

玉一112刃[Xj-1X,-

二(N-2)十＞(N-巧h4仇一內(nèi))

)U-l)(x2-l)

因?yàn)槲鱻(1,3),所以％—I,%-]w(0,2)，G-1)(占-1)￡(0,4),(%-1)(9_1)_4<0,

又西<12,所以內(nèi)一&<。，所以“與)一/(w)>0,即〃內(nèi))>/伍)，

所以函數(shù)“力在(1,3)上單調(diào)遞減.

【變式2].(23-24高三上?山西晉中?開學(xué)考試)設(shè)/(“是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x,恒有

/(x+2)=-/(^)?當(dāng)xe[0,2]時，/(x)=2x-x2.

⑴求證:/(x)是周期函數(shù);

(2)當(dāng)xw[2,4]時,求/(力的解析式；

⑶計(jì)算/(0)+〃1)+/(2)+…+”2023).

【答案】(1)證明過程見解析

⑵/(X)=X2-6.￥+8

(3)()

【分析】(1)根據(jù)己知等式，利用賦值法進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)/(x+2)=-/(x)=/(工+2+2)=-/(工+2)=/。+4)=/(力，

所以：/(力是以4為周期的周期函數(shù)；

(2)當(dāng)xe卜2,0]時，因?yàn)?(6函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(x)=-f(-x)=42(-X)-(-X)2]=X2+2X,

當(dāng)xc[2,4]時，/(X)=/(X-4)=(X-4)2+2(X-4)=X2-6X+8；

(3)/(0)=0,/(1)=1,/(2)=0,/(3)=-1,

因?yàn)楹瘮?shù).f(力的周期為4,

所以〃0)+/(l)+/(2)+…+/(2023)=506x[/(0)+/(l)+/(2)+/(3)]=0.

題型05：然函數(shù)

【例5】.(25-26高一上?全國?期中)已知某函數(shù)/(x)=(〃/+/〃一])『”在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(1)求實(shí)數(shù)〃1的值;

⑵若存在/w[L2],使得f⑺-(3.+W+3WO能成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍：

（3）求關(guān)于X的不等式＜X+片-。的解集.

【答案】（1）〃7=1

⑵---，一

./

（3）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)幕函數(shù)的定義列方程，解出機(jī)的值，再根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性檢驗(yàn)，即可得到答笑;

（2）分離變量，再結(jié)合基本不等式可得。的范圍：

（3）代入/（"=/,化簡，因式分解，按兩根的大小關(guān)系分類討論，即得答案.

【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)/（"=（＞+初一1b"為暴函數(shù)，

所以M-1=1,解得/〃=1或m=-2.

當(dāng)機(jī)=1時，/（X）=X2,在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意；

當(dāng)〃?=-2時，/（“）=",在（“+8）上單調(diào)遞減，不符合題意;

所以/〃=1.

（2）因?yàn)?。）一（及/+1"+3工0,即轉(zhuǎn)化為一一（3々+1），+3工0,

由參變量分離法可得3。型+；-1,其中所以，

由基本不等式可得1+：_整2舊-1=26-1,

當(dāng)且僅當(dāng)/=：（1342）時，即當(dāng)/=6時，等號成立，所以〃之若二1,

o5/a_I、

綜上可知，實(shí)數(shù)”的取值范圍為。c會f，+8.

./

（3）由（I）知=由/（x）＜x+/-a,

得X2-X-（a2＜0zz＞（X-6Z）［x+（^-l）］＜0.

當(dāng)a=l-a,即〃=；時，不等式/7-（/一力＜。無解；

當(dāng)。＜1—。，即時，不等式/一?-（。2-4＜0解為a＜x＜\-a^

當(dāng)”＞1-4,即時，不等式/一］一（/一〃）＜（）解為1一々＜工＜々

綜上可得，當(dāng)。=g時，不等式f一6（/一〃）＜0解集為。；

當(dāng)時，不等式/一工一(/一4)<0解集為(〃,1一〃)；

當(dāng)。4時，不等式丁_—(〃2一力<0解集為(]一。⑷

【變式11(24-25高一下?廣西貴港?期中)已知昂函數(shù)"r)="-5m+7)/T,且/(X)+/(T)=O.

⑴求/[x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=：,且g(〃)+gS)=〈，小〃均為正數(shù)，求/(。)+/(〃)+4的最小值.

J(X)+z2

【答案】(l)f(0=X

(2)8.

【分析】(1)令前面括號內(nèi)得1，求出〃?后再驗(yàn)證即可；

(2)根據(jù)題意求出/(。)+/(份+4的表達(dá)式后利用基本不等式的乘1法可得.

【詳解】(1)

因?yàn)榘缀瘮?shù)/3=(陽2-5而+7)/)所以病一5而+7=1,解得，〃=2或〃?=3.

當(dāng)〃2=2時，/(x)=x,滿足/(x)+f(r)=o,

當(dāng)〃7=3時，f[x}=x2,不滿足f(x)+f(T)=O,所以/(x)=x.

(2)

由(I)得g(x)=一!二.由g(〃)+月(。)=:，得一二

x+22a+2b+22

因?yàn)?(〃)+/(b)+4=4+b+4=〃+2+6+2,

LLtIC1CC/C.rj11、〃+2a+2'

所以a+2+"2=2("2+"2)^7r/「2(2+.+彳).

T7tIAI十"&LUI、Ib+2〃+2-歷+2。+2-

又a，匕均為正數(shù)，所以——+-->2,---------=2,

a+2b+2Na+2h+2

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=2時，等號成立，

所以/(〃)+/。)+4N2(2+2)=8,即/⑷+f(力+4的最小值為8.

【變式2].(24-25高一上?山東威海?期末)已知暴函數(shù)/(幻=(>-皿-5b"的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)

g(x)=/(x)+3?

X

(1)判斷g(x)在U，y)上的單調(diào)性并證明；

⑵設(shè)函數(shù)力(])=/(x)-ax,A={y"=g(x),x2及}.若Vxw"2],h(x)eA,求〃的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)g(x)在上單證遞增；證明見解析

(2)卜8，一(

【分析】(1)根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)確定陰的值，進(jìn)而確定函數(shù)g(x)的解析式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明.

(2)先根據(jù)函數(shù)儀x)的單調(diào)性，確定集合人，再分情況討論二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，根據(jù)條件列出不等式

求參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)由〃7〃一5=1=>(加+2)(〃?-3)=0,所以"?=一2或，〃=3,

由幕函數(shù)/(力的圖象關(guān)于下軸對稱，所以6=3.

故

所以8(力=丁+-^.

函數(shù)在口,e)上單調(diào)遞增，下面用單調(diào)性定義證明：

設(shè)14%<舄，

則g(%)_g(N)=石+!—--AT]=(W-X)(W+N)11AT

&內(nèi)X&I,^2)kx\x2,

因?yàn)??西</，所以％+工2>0,x2-x1>0,x]x2>\,所以1一~7"二>。，

%?毛

(11

所以(七一內(nèi))(工2+不)1一一；—7>0,即g(W)>g(N).

I'X2)

所以函數(shù)g(X)=f+9在工+00)上單調(diào)遞增.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在[五產(chǎn))上單調(diào)遞增，且g(0)=2+g=|,

所以g(%)2g(a)=：,4=：，+8).

對〃(6=』一0￥,xe[l,2],

當(dāng)^41即時，〃(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，所以〃(⑼之力⑴印―。，

53

由4—=>?<.

當(dāng)1<界2即2<”4時，/心)在《上單調(diào)遞減，在p2上單調(diào)遞增，所以Mx)"]["}

由八二一?之工，無解.

當(dāng)即時，〃(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，所以人(同之刈2)=4-2〃，

53

由Mx)wA=4_2a25=aW：,這與矛盾，無解.

3

綜上可知：u.

故。的取值范圍是：.

題型06：抽象函數(shù)

【例6】.(24-25高一上?安徽亳州?期末)已知函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)“。，位)，且滿足

(1)判斷函數(shù)/(人)的奇偶性并證明：

(2)若〃2)=；,求/(1024)的值：

⑶若X>1時，解不等式

【答案】(1)偶函數(shù)，證明見解析

⑵-4

(3)卜詞4一加)

【分析】(1)利用“賦值法“，可求/⑴，再令丁=-1,可得“力與/(一)的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性.

(2)利用f(2)=g,結(jié)合〃個)=/⑴+/(y)—1,可求/(1024)的值.

(3)先用定義證明函數(shù)在(。,e)上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，再結(jié)合函數(shù)

的定義域可解不等式.

【詳解】(1)令x=l,5=一1,則/⑴=1;

令x=T,y=-lt則/(-1)=1

令y=7，得/(-x)=/(x),又xe(—,0)u(0,4<c),

故y=/(x)(%*o)為偶函數(shù).

<2)因?yàn)?(孫)=f(x)+/(y)T,

所以〃1024)=/3。)=/(29)+/(2)-1

=/(2K)+2/(2)-2=/(27)+3/(2)-3=-=10-/(2)-9=-4.

/\

(3)任取巧,天?0,田)，則8氣,則±>1,則f(W)=〃xJ+f衛(wèi)

內(nèi)\xiJ

故)，=j(x)(XH。)在(0,+8)上為減函數(shù)

由⑴知），=/（刈（x4o）為偶函數(shù)，且/⑴=1

所以〃2x+l）＞l,等價于〃|2x+l|）〉y⑴,故|2x+l|vl,

解得-lev。

又y=/（x）的定義域?yàn)椋?°°，。）11（。,+?＞）,故2x+l/0,所以xw-g

原不等式的解集為（-"SU，。）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式時，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把函數(shù)不等式化為代數(shù)不

等式是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1].（24-25高一上?重慶?期中）已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,對任意的x,"R都有/3）="耳/、3,且

x＜0時，/（x）＜0,x＞l時，

⑴求〃1）的值并判斷函數(shù)的奇偶性；

⑵討論了（.I）的單調(diào)性并證明：

⑶若/（4）=16,/（x）/（x+l）-4/g+6）"對任意的,問0,1]成立，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

【答案】（1）/⑴=1,奇函數(shù)

（2）增函數(shù)，證明見解析

（3）（-oo,-41[4,+Q0）

【分析】（1）對已知式中的X，）'依次賦值，求得了⑴=1，/（-D=-l,利用奇偶性定義證明即得；

（2）先證明x＞（）時，/（%）＞0,由y=/。）是R上的奇函數(shù)，可得/（（））=0,再由函數(shù)的單調(diào)性定義證明在

在（0,+勸上單調(diào)遞增，再由奇函數(shù)即得/（力為R上的增函數(shù)；

（3）通過賦值法，將題設(shè)不等式化成?+外之/（2奴+12）,再利用/（力在R上是增函數(shù)將其化成

f+（l—2a）x-122（）對任意的ae[O,l]成立問題，結(jié)合一次函數(shù)的圖象即可求得.

【詳解】（I）因?qū)θ我獾膞,）*R都有〃沖）=/（x）/（y）.

當(dāng)x＞l時，令），=1,則/（x）=/（x）/⑴，因/㈤＞1,則/⑴=1；

再令x=），=T,則/⑴=/（-1）/（一1）,即/2（T）=],因/（-1）＜。，則/（一1）=一|.

令y=7,則/（一幻=/（一1）/（幻=一/3）,故尸/。）是奇函數(shù).

（2）/（X）在R上是增函數(shù).以下提供證明：

當(dāng)Ovxvl時，一>1,則八一)>1,由川)=，*?-)=>*)/(一)=1,可得0</(幻<1,

XXXX

又/(1)=1>0,且X>1時，/(x)>1,故X>()時，f(x)>o.

又因〃”是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(。)=0.

任取外>占>0，則工>1,從而/件]>1

~~/(A2)=/(X2)/I—

f(Xl)-f(X2)=f^―~f(X2)=f(X2)f>0

\X2X27\\X2)

.??/(xj>/(%),.?./(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又因〃力是R上的奇函數(shù)，則在(e,o)上單調(diào)遞增，且〃0)=0,

故/(6在R上是增函數(shù)；

(3)在/(沖)=〃x)f(y)中，令x=y=2,可得了(4)=/(2)=16,因/(2)>0,則/(2)=4,

由/(%)f(x+l)-4f(如+6)Z0可得〃X)/(X+1)N〃2)/3+6),

即/(x2+x)>/(2ru+12)

因“X)在R上是增函數(shù)，即得/+(]—2a)x-12N0對任意的成立,

設(shè)g(a)=-2xa+x?+X-12,

Jg(0)=/+x—12N0

解得x24或;vWY

、^(1)=x2-x-12>0

即實(shí)數(shù)x的取值范圍為(f，T][4,-KO).

【變式2].(24-25高一上?云南大理?期中)已知函數(shù)外力的定義域?yàn)镽,并且滿足下列條件：對任意都

有/(x+),)=/(x)+/G,)，/(2)=-2,當(dāng)x>0時，/(x)<0.

(1)求〃0)J(-2)；

(2)證明：f(x)為奇函數(shù):

⑶解不等式/（xJ2x）-/（3x+4）+2>0.

【答案】（1）/（0）=。，/（-2）=2；

（2）證明見解析:

（3）（-1,6）,

【分析】（1）由題意賦值x=y=0得”0）=0,再賦值x=2和），=-2即可求解〃-2）=2.

（2）賦值），=-工結(jié)合奇函數(shù)定義即可證明.

（3）先由函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)””在R上單調(diào)遞減，再結(jié)今〃2）=-2即可將不等式等價轉(zhuǎn)化為

f-2X<3X+6,解該不等式即可得解.

【詳解】（1）令x=y=0,貝1」/（。）=/（。）+/（0）=2/（0）,/./（0）=0,

令x=2,"2則/（0）="2）+"-2）,

./（0）=0,/（2）=-2,.?./（—2）=2.

（2）?.函數(shù)/"）的定義域?yàn)镽,則定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

二對任意,都有〃x+y）=f（x）+/（y）,

由（1）知，/（0）=0.

令5=一%則〃X7）=/（X）+“T）=。，即〃T）=—"x）,

??J（x）是奇函數(shù).

（3）仁取內(nèi),XJ￡R,且%>%，所以X—占>°，則由題意得了（八一赴）<0,

所以/（%）=/（苔-W+9）=/（'一七）+/（馬），

???/（8）</3），m）在R上為減函數(shù).

因?yàn)椤?）=-2'一/（3x+4）+2-一版）一〃3%+4）-，（2）>0

=/（A-2-2x）>/（3x+4）+/（2）<=>/（x2-2x）>/（3x+6）<=>x2-2x<3x+6

<=>x2-5x-6<0?解得一l<x<6,

.?./（/一2X）-/（3工+4）+2>。的解集為（—1,6）.

題型07：函數(shù)壓軸問題

【例7】.(22-23高一上?四川廣安?期中)已知函數(shù)，(力=三'是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，且〃1)=(,

(1)求外。的值

⑵判斷/(“在［-2,2］上的單調(diào)性，并證明.

(3)設(shè)g(x)=&+2H+l(辦0)若對任意的％?-2,2］,總存在zWT2］,使得/(%)“?)成立，求實(shí)數(shù)%的取值

范圍.

【答案】(1)。=4力=0；

⑵/(?在卜2,2］上單調(diào)遞增，證明見解析；

一(5］「5］

(3)2十8,一副七,+力

【分析】(1)由定義在［-2,2］上的奇函數(shù)滿足/(())=(),結(jié)合/(1)=!列方程即，可求出實(shí)數(shù)的值；

(2)用定義法證明即可：

(3)將問題轉(zhuǎn)化為/G)minNg(W%，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)能成立巨題，然后進(jìn)行分類討論即可.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/")=藝3是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，

,-./(0)=1=0,即8=0,又/(1)=6=",即0=4,

?J')/

經(jīng)檢驗(yàn)，該函數(shù)為奇函數(shù)，

故a=4,Z?=0.

(2)/(力在02,2］上單調(diào)遞增,

證明如下：

任取一2<9&2,

毛［；+/1)一巧卜;+/1)

222

X)+4x2+4(V+4)(xj+4)

XR2+4%一々xJ一48入丙(W-8)一4(X2—內(nèi))(玉占一4)(.馬一與)

22

(V+4)(v+4)(V+4)(x,+4)(V+4)(X2+4)

其中J石一4<O,/一%>0,所以/(%)一/(毛)<0=/(%)V/(七)，

故"X)在［-2,2］上單調(diào)遞增.

(3)由(1)知在[—2,2]上單調(diào)遞增，則/(力由=/(-2)=-；，

任意的玉w[-2,2]，總存在毛e[—1,2],

使得f⑺*伍)成立等價于”內(nèi)).>g5)*，即-卜g(占)min，

：.-^>kx2+2kx+\\k*0),xe[-l,2]

即存在不￡卜1,2]使得4"2+8人+5W0成立，

令〃(力=4小+8履+5,

①當(dāng)△=64k2_4x4kx5=0，即女=；時，〃(力=0的根為x=-l符合題意；

②當(dāng)△=64kJ4x4kx5<0且上>0時，即0<女<q時，〃(x)>0恒成立，不符合題意；

③當(dāng)A=64爐一4x4Zx5<0且左<0時，ke0；

④當(dāng)4=64*2-4x4Mx5>0且2<0時，即攵<。時，

,"⑺的對稱軸為x=T,且存在xe[T2]使得〃(x)?0成立，

.?/(2)40即16左+16Z+5K0,解得AK—卷，

⑤當(dāng)A=64/一4x4攵x5>0且4>0時，即時，因?yàn)椤?弓的對稱軸為x=-l,所以符合題意，

(5]「5、

綜上所述，實(shí)數(shù)2的取值范圍為：kc-oo,--V丁+8.

【變式1].(24-25高一上.四川.期中)對于函數(shù)〃x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)J滿足/(￡)=-/('),則稱/(")

為“局部反比例對稱函數(shù)

(1)用定義證明函數(shù)/(x)=—+x在(1,+8)為單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)已知函數(shù)〃x)=x+g,試判斷是不是“局部反比例對稱函數(shù)并說明理由；

⑶若/(刈=/-2〃氏+〃-7是定義在區(qū)間(0,+8)上的“局部反比例對稱函數(shù)”，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵/(M不是“局部反比例對稱函數(shù)”，理由見解析

⑶[1-次4

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)1<玉</，用作差法證明/(毛)>/4);

(2)根據(jù)題意，由“局部反比例對稱函數(shù)”的定義，判斷方程/([)=-/(力有無實(shí)數(shù)解即可；

（3）根據(jù)題意，由“局部反比例對稱函數(shù)”的定義，方程/［￡|=

-/⑴在（。，+8）有解,令，='+/,將問題轉(zhuǎn)化為

X

方程『-2〃〃+2（/〃2-8）=。在［2,+8）上有解，再根據(jù)一元二次方程根的分布求解.

【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，/（x）=^+x（.r>l）,設(shè)1