高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（人教B版）

全解全析

（考試時間：120分鐘，分值：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教B版選擇性必修笫一冊第一章?第二章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知點(diǎn)41,2）,8（也4）,直線相的傾斜角為若sina=也，則用的值為（）

A.3B.-1C.3或一1D.3或1

【答案】C

【詳解】由sina=YZ得，。=?或。=學(xué).

244

當(dāng)。=丁時，kAB==1,解得m=3；

4m-\

37r4-2

當(dāng)a"時，k=-----=-1,解得〃?=一1.

4ABm-\

綜上，機(jī)的值為3或T.

故選:C.

2.已知空間中點(diǎn)4（1,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,3）,若力，B,C,力四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)力的值為

（）

23-23

A.《--C.-D.萬

【答案】B

【詳解】因?yàn)?（1,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,3）,㈤,

所以方二(-1,2,0),衣=(T,0,3),JD=(OJ,2),

因?yàn)?優(yōu)C。四點(diǎn)共面，所以血與衣，而共面，即存在唯一實(shí)數(shù)對(xj),使得布=xX+y而,

所以(一1,2,0)=(r,0,3x)+(0,乂為)=(一占y,3x+為)，

-1=-x

3

所以2=y,解得x=l,),=2”=g

0=3x+Ay

故選：B

3.已知MB。的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為〃，力，c,。為4C邊上一點(diǎn)，且力。=8。=1,8=2,當(dāng)N/DB

在變化時，點(diǎn)S?總在橢圓三+二=1(〃?>0,〃>0)上，則該橢圓的長軸長為()

mn

A.6B.672C.35/2D.3

【答案】A

【詳解】由cos44O8+cosN4)C=0及余弦定理，得匚止C+女上二乏=(),

2x1x12x2x1

整理得/+2/=9,

即1+上=1，故該橢圓的長軸長為2血=6.

故選：A

，

4.已知三校柱月6C-46IG中，ZJ,J5=ZJ1JC=60,BA±CA,441==4C=2,M是4G的中點(diǎn)，貝ij

國=()

A.幣B.2&c.VioD.

【答案】C

【詳解】由于赤=福+菊=怒+，(語+而)=麴+，(方+工),

22

所以

="封+京初+%工旃砌+環(huán)羽+環(huán)%

=^22+1(22+224-0)+2x2x1+2x2xl=Vi0,

故選：C

5.已知橢圓￡和雙曲線G有相同的焦點(diǎn)片，序“是它們的一個公共點(diǎn)，且若G的離心率為

巫，則G的離心率為（）

4

A.巫B.3

C/D.叵

2246

【答案】A

【詳解】如圖:

斗

設(shè)橢圓C：二十二=1,雙曲線G：J"-1

-7—r-1

q，b~m-n--

因?yàn)樗鼈冇邢嗤慕裹c(diǎn),所以以2b1■nr21，12-c2.

不妨設(shè)時點(diǎn)在第一象限，且|凡用二，，M周小

因?yàn)镸點(diǎn)在橢圓G上，

一-2/^,cos—=4c2p.2

所以J】2，23=>1

（+q=2aU

又￡_巫=c,

a4V13

…/16,2）122

c--cj=—?.

又M在雙曲線G上，

2

..[+t1-2txt2cos—=4<7片

所以（2123=>1:…一叫.

h—k=2inU

所以3X￡C，=4卜2一〃/）=m2=^c2=ni=-^=c

所以雙曲線G的離心率為：6=￡=姮.

ra2

故選:A

6.如圖所示的多面體是由底面為44。。的正方體被截面EFG〃所截而得到的，其中4?=4C=4,AE=\,

CG=4,8產(chǎn)=2.則二面角〃一AC-1的余弦值為（）

55c1

【答案】B

【詳解】解：由題可得以力為原點(diǎn)，以為X，J'，N軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

則。(0,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),￡(4,0,1),尸(4,4,2),G(0,4,4)

設(shè)，（0,0,4），由反EG,“共面可得存在實(shí)數(shù)大〃使得：GH=ZEF+/JFG

0=-4/7

所以(0,-4,/?-4)=/1(0,41)+〃(-4,0,2)=(-4〃,4/1"+2〃)，則一4=4/1,解得〃=3,所以“(0,0,3)

/?—4=2+2〃

又DH1平面ABCD,所以麗=（0,0,3）是平面ABCD的一個法向量

設(shè)平面。的法向量為3=（.*乂z）,又第=（-4,0,0）,衣=（0,4,-3）

BCn=0-4.r=0

所以__=>[4y-3z=0'令z=4,則〃=（。,3,4）

HCn=0

~DHn124

所以cosDH,n=由圖可知二面角”-AC-4為銳角

網(wǎng)同3XV32+425

4

所以二面角，的余弦值為不

故選：B.

7.若過圓匚/+/-61=0內(nèi)不同于圓心的點(diǎn)P恰好可以作5條長度為正整數(shù)的弦，則所有符合條件的點(diǎn)?

構(gòu)成的區(qū)域的面枳為（）

27兀

D.~4~

【答案】B

【詳解】由/+/-6；1=。得（x-3?+y2=9,所以圓C的圓心為C（3,o）,半徑,-3,

因?yàn)橹睆绞亲铋L的弦，所以點(diǎn)尸在圓內(nèi)，過點(diǎn)P的弦中，直徑是最長的弦，長度為2/=6,

以下分析過點(diǎn)尸的最短的弦，

由垂徑定理知弦|力用=2ylr2-d2=2的--2,其中d為圓心C到弦的距離，

要使得力8最短，則d最大，

由圖可知，dSCP,當(dāng)。0_1_弦時取到等號，所以當(dāng)CP_L弦時，〃最大，弦長48最短，

根據(jù)圓的對稱性，這5條長度為止整數(shù)的弦長度分別是4,5,6,5,4,

要使得有兩條長度為4的弦，則最短弦長小「4,要使得沒有長度為3的弦，則最短弦長大「3,

因此，過點(diǎn)。的最短的弦長/w（3,4）,

所以點(diǎn)P落在以C（3,0）為圓心，斗徑分別為有和地的圓所夾的圓環(huán)內(nèi),

2

（廠、2,

所以該區(qū)域的面積為冗浮一（正『二:花，

7

\2/,4

故選：B.

8.已知點(diǎn)。為拋物線/=8%上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓。:。-5）2+/=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為“，N,則

cos/MPN的最小值為（）

A6

BD,Ti

2-I

【答案】D

【詳解】圓（X-5）2+貫=1的圓心。的坐標(biāo)為（5,0）,半徑為1,

因?yàn)镻M,/W為圓。的切線，切點(diǎn)分別為M,N,

所以CNJ.PN,CM1PM,PM=PN,CM=CN,

所以△PA/C二△PNC,

1\MC\1

W『\：)、NMPC=ZNPC=—/MPN,sinZ；WPC=y—f=r—?,

2/C|rA

<2\/2\2421

設(shè)P,則忸C「=--5+t2=--——+25=—(Z2-8)2+24,

111,8J64464v7

當(dāng)『=8時，|PC|min=2>/6,此時sin/M/W最大，

乂外函數(shù)尸而》在?上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)/=8時,即網(wǎng)1,±2&)時，/"PC最大,

此時/MPN最大，cos/MPN最小,

11

則（cosNMPNLn=1-2sin2ZA/PC=l-2x

12

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在空間直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)。(0,0,0),6)4=(-1,2,1),麗=(一1,2,-1),則()

A.囪=2

B.配與宓夾角的余弦值為叵

7

C.8c是等腰直角三角形

D.與。丘平行的單位向量的坐標(biāo)為半，-乎或，乎，乎

636J1636

【答案】ABD

【詳解】A：=55-04=(0,0-2),則網(wǎng)=2,對；

B：壇=沅-麗=(3,1,0),jc=0C-dl=(3,l,-2),

貝啊卜m?邳g所以cos衣衣=奇贏=舟『早

對;

D：與次平行的單位向量為』嬴-士*答,即傳,-當(dāng)用或卜器當(dāng)用,對;

C根據(jù)A、B的分析過程，知△,48C三條邊長各不相等，所以不是等腰直角三角形，錯.

故選：ABD

￡.￡=1(〃>0)與雙曲線。2：，-1=1伍>0)的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)2是兩曲線的一個

10.已知耳,乃是橢圓G：+

a22

交點(diǎn)，q,6分別為G，G的離心率，則()

A.a>bB.ete2<1

D.g+g是個定值

c.APKA是直角三角形

e\C2

【答案】ACD

【詳解】選項A,因?yàn)镃i，。?有公共的焦點(diǎn)，得力-2=〃+2,

即/=/+4>〃2,乂”>0,b>0,所以可得.故A正確；

選項B,因?yàn)镚，G有公共的焦點(diǎn)，可得。2=/+4,e；=仁三="2,4=與匚，

a"/r+4o

得它"槳票"忌廬"即故B錯誤；

選項C,因?yàn)樾　?有公共的焦點(diǎn)，可得。2=從+4,不妨設(shè)點(diǎn)P在第?象限，由橢圓和雙曲線的定義得,

|尸川+|尸周=2%仍用-歸周=2￡,所以歸用=4+6,=歸父+歸周2=252+〃)=4/+8,

222

內(nèi)周2=4C=4(/>+2)=4Z>+8,

所以儼片「+|尸寸=比周2,故鳥是直角三角形，故C正確：

選項D,因?yàn)镚，G有公共的焦點(diǎn)，可得。2=/?+4,弓2=之￡=空2,4=空

a'b'+4"b'

,.?11〃+4y2〃+4.1,

因此一?+—?=”~~-+TS~~-=_7S—-=2,故D正確.

e；e；b~+2b~+2Zr+2

故選：ACD.

11.(多選)己知。為圓。：/+爐=4上的動點(diǎn)，直線/：4x+3j-12=0與工，y軸分別交于"N兩點(diǎn)，Q

為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為,4,B,則()

A.若點(diǎn)C(0,l),則|PM|+|PC|的最小值為屈

B.的最小面積是4

C.若409=120。，則。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)或償

D.四邊形3。8周長的最小值為勺叵+4

5

【答案】ACD

【詳解】由題意得M(3,o),r(O,4),C(O,l),因?yàn)辄c(diǎn)C(O,l)在圓內(nèi)，點(diǎn)M(3,o)在圓外,所以可知|P"|+|PC|

的最小值,

即為當(dāng)M,P,C三點(diǎn)共線時MG的值，|MC|=QF*=加，A正確;

卜12|12

由題意得“（3,0）,N（0,4）,圓。的圓心（0,0）到直線/的距離4=

4^^T

所以點(diǎn)尸到該直線距離的最小值為弓-2=],所以（S,-w需=gxJ32+42X1=1,B錯誤;

1/16911..

當(dāng)Z.AOB-120°時，44QB』60°NBQO=NAQO=30。,所以smN/Q。=后=5,所以|?=4.

L絲

設(shè)。D，則|「了二6二解得D或|2；'所以點(diǎn)°的坐標(biāo)為（0,4）或償，-考C正確;

4.Y+3y-12=0,[y=4_2812525；

r="25，

四邊形。力的周長為4+忸。|+3°|,因?yàn)殁?|=?。|,所以四邊形。4。8的周長為4+2|4。|.

設(shè)|O0|=f,之弓），當(dāng)OQ_LMN時，00|取得最小值，此時|45-，|02|2一4也取得最小值,

則|40=戶?，則四邊形。力?！鞯闹荛L為2，^N+4，

則當(dāng)/取最小值g時，四邊形。力。8的周長最小，最小值為包+4,D正確.

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知直線V=x+2與圓F+V=4相交于刊、N兩點(diǎn),則|叔叫=.

【答案】272

【詳解】圓/+丁=4的圓心為（0,0）,半徑〃=2則圓心到直線P=X+2的距離d=了：_]>=五

所以|MN|=2介_42=2應(yīng).

故答案為：2后

13.如圖，長方體48CO-48￡D］中，48=2,AD=\,AA.=2,O為底面48c。的中心，點(diǎn)P為上

的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則當(dāng)△尸4。的面積最小時，線段OP的長為

【詳解】如圖以所在的直線分別為'J/軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

。(0,0,0),40,0,2),0(；,1,0),0(0,0,2),及(1,2,2),

則而=(一/1,一2)麗=(1,2,0),

設(shè)P(a,b,2),則而=(W仇0),

因?yàn)榧碔瓦瓦，所以：=?，得b=2a,

所以尸(。,2。,2)(()<?<1),則彳>=僅一1,2。,0),

設(shè)點(diǎn)〃到4。的距離為4，則

二("1)+2行

羽葩

=(a-l)2+4a2----------------

-+1+4

m4

4

=5j+

21

96/—48。+20

=，

21

所以當(dāng)”=一志=!時,”取得最小值，此時△尸4。的面積取得最小值，

2x964

所以尸（；,；,2）,

14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，〃（，明〃）是橢圓C：上+/=1上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，圓O：/+『=/與直線八

4-

14

〃吠+，9=，交于A,8兩點(diǎn)，/與工軸、N軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且切1+不下=4,則△048面積的

取值范圍為.

【答案】居

【詳解】由題可知/與X軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，N?.

14..?2J2

由而十所i可得A等=4.

因?yàn)槭ń小ǎ┦荂上的點(diǎn),所以《+/=[,則”=]

又。0,所以f=l.

][2=1二_1

設(shè)0到/的距離為4,則/=I、…則一版”-；7T7.

、mm1+]"'

由Ov〃/v4,可得:</vl,|/國=2。1一"2,

則^OAB=^AB\.d=加…）_；J+；,所以s@s€[o,l].

故答案為：（。,.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）如圖，M,N分別是四面體O49C的棱CM,8C的中點(diǎn)，。是MN上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，

M=a^AB=b,~AC=c-

(1)以｛],/),1｝為基表示而:

⑵若同=W=1,同=/,NOAB=NOAC=g,NCAB=g求|而|的最小值.

【詳解】(1)而=麗+說=那+;而=_;而+;阿+赤+麗)

=—AO+——AO+AB+

2312

111_r1/-7\-1

23]22、〃

2-1工1-「八

366

(2)\OQ^[--a+-b^-c\=^2+^-b\^-c2-hb-h-c+^-

?I366J936369918

詠(2)*，.........................................................................“分

故當(dāng)4=2時，|而「取得最小值：，所以|而L,二；.........................................13分

16.(15分)已知兩直線4：x-2y+4=0,6：4x+3y+5=0.

(1)求直線4與6的交點(diǎn)戶的坐標(biāo);

(2)求過直線44交點(diǎn)「，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程;

(3)若直線4：a、+2y-6=0與直線44能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X—2y+4=0fx=-2,、

【詳解】(1)由題意得，4X+；+5=O'解得J=1，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一21)...............................3分

(2)設(shè)所求直線為/,

(i)當(dāng)直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時，設(shè)直線方程為2+匯=1,M—+-=1,解得/=-1,

，直線/的方程為T+々?，即x+y+l=O：...........................................6分

-1-1

(ii)當(dāng)直線/在兩坐標(biāo)軸上的械距為0時，設(shè)直線方程為，則1=AX(-2),解得％=—g,

..?直線/的方程為y=—即x+2y=o.

綜上，直線/的方程為x+y+l=O或x+2y=0............................................8分

(3)(i)當(dāng)直線4與4平行時，不能構(gòu)成二角形，此時ax(2)2x1=0,解得。--1；........10分

(ii)當(dāng)直線。與。平行時，不能構(gòu)成三角形，此時4x3-2x4=0,解得“=g；...............12分

(iii)當(dāng)直線4過4與4的交點(diǎn)時，不能構(gòu)成三角形，此時ax(-2)+2xl-6=0,解得a=-2.

綜上，當(dāng)。工―I,且〃工；，且〃工—2時,能構(gòu)成三角形.......................................15分

17.（15分）已知四棱錐產(chǎn)一/8CD,AD〃BC,AB=BC=\,AD=3,PEJ.AD于點(diǎn)、E,DE=PE=2

⑴若點(diǎn)廠在線段左'上，且平面0CO,證明：F是PE中點(diǎn).

(2)若44"L平面尸ED,求直線PA與平面尸CQ所成角的正弦值.

【詳解】(1)過點(diǎn)、F作FG//DE,交。。于G、連接CG,

因?yàn)榱//8C,所以/G//8C,所以及CEG四點(diǎn)共面，....................................3分

因?yàn)?b//平面尸C。，6尸u平面8CG斤，平面〃。。。平面8。6尸=。6,

所以8F//CG,又FGHBC,所以四邊形8CG/是平行四邊形，..............................5分

所以Q=8C=l=goE,所以EG分別是尸耳尸力的中點(diǎn)，

即尸是PE中點(diǎn)得證.........................................................................7分

(2)因?yàn)?8J_平面尸PEu平面PEQ,所以48J_PE,

又PE上AD,ADcAB=A,力。，/4u平面/8CQ,

所以PE_L平面/8CQ,...............................................................................................................................9分

連接底，因?yàn)椤–///E,BC=AEf所以四邊形力5CE是平行四邊形，

所以CE//BA,所以CE_LQE...................................................................................................................11分

以E為原點(diǎn)，分別以ECERE尸所在直線為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系E-乎,

如圖.

則N(0,T,0)a(l,T,0),C(l,0,0),D(0,2,0),E(0,0,0),P(0,0,2),

方2),1=(1,0,-2),3二(-1,2,0),

設(shè)亓=(x/,z)是平面尸CO的法向量，則

n-PC=0x-2z=0

—,即〈-x+2k0'令I(lǐng)，則U，

iiCD=0

所以方二(2,1,1)是平面PCD的一個法向量....................................................13分

設(shè)直線08與平面尸CO所成角為4則

\PBn\|2-1-2|1

‘I?麻/赤訪丁

即直線尸4與平面PCO所成角的正弦值是1.............................................................................................15分

6

18.已知直線/"+2)%一(4+1)y"3=0(我R)恒過定點(diǎn)C,且以。為圓心的圓與直線3x+4y-20=0相

切.

(1)求圓C的一般方程；

⑵設(shè)過點(diǎn)?(-2,0)的直線與圓。交于A,8兩點(diǎn)，判斷|4|?|尸耳是否為定值.若是，求出這個足值；若不是,

請說明理由.

【詳解】(1)由(左+2)%-(左+l)y-3=0(AwR)可得〃(x-y-l)+(2x-y-3)=0,

x-y-\=0

當(dāng)。時，解得x=2,j，=l,

2x-y-37=0

故直線恒過定點(diǎn)C(2,l),.........................................................................................................................2分

,、|6+4-20|10

所以圓心C(2,l)到切線3t+4y—20=0的距離4=1,32+42=彳=2,

即圓的半徑為2,..........................................................................................................................................4分

所以圓的方程為：(x-2)2+(y-l)2=4,

故圓的一般方程為r+y2-4x-2y+1=0................................................................................................6分

(2)點(diǎn)尸(一2,0)到圓心。的距離|PC|=J(2+2)2+1=后>2,故點(diǎn)。在圓外，.................8分

如圖，

過點(diǎn)。(-2,0)的直線與圓。相交時斜率存在，故設(shè)過點(diǎn)。的直線方程為y=4x+2),

代入圓的方程可得。+公)/+(4--2￡-4卜+必2-4"+1=0.............................................................10分

當(dāng)A=(4爐一2左一4『一4(1+公)(4A2-4〃+1)>0時，

設(shè)』(和必)，4(.為)，貝1卜+七=4-了：；2匕中2=[皆"，..........................13分

1rA1IA

所以|P*?|08|=Jl+如|再+2卜Jl+/|七+2|

=(1+"2)卜*2+2(項+巧)+4]

軟2—44+1.4一4二+24

+2x---------；—+4

=（'）…二\+k2

=\4k2-4k+\+S-Sk2+4k+4+4k21=13.

即為定值1317分

19.已知動點(diǎn)。到點(diǎn)尸(6,0)的距離與它到直線/:x=￥的距離的比值為”,記。的運(yùn)動軌跡為曲線E.

(1)求石的方程.

⑵設(shè)/、N是七與x軸的交點(diǎn)，。是E上異于M、N的一點(diǎn)，直線MQ、AQ的斜率分別為人、內(nèi).證明:

攵的為定值.

(3)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)力B、C是E上異于A的兩點(diǎn)，若直線力〃與彳C的斜率之和為-6，求

△OBC的面積的最大值.

2

7(X-V3)+/=73

【詳解】(1)設(shè)尸(x,y),由題可知您一—-F,

X-------

3

整理得二+)/=1,即E的方程為E+y2=l..................................................2分

44

(2)囚為，W、％是￡與“軸的交點(diǎn)，。是￡_L異于A/、N的一點(diǎn)，

由(1)可知，不妨設(shè)M(—2,0),N(2⑼,。(”0)叱±2),

又。("0乂％。±2)在E上，所以4%；=1,4分

所以四弄去

故“人為定值,定值為一；