2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷01

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第【卷（選擇題）和第1【卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)全部?jī)?nèi)容。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知直線/與直線垂直，則直線/的傾斜角是（）

2.已知向量"=（1,0,1）,〃=（2,0,-2）,若（妨+與?（〃+妨）=2,則k的值為（）

3.若橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為8,且過點(diǎn)（3,0）,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

，）2，夕？

AXTV",T%＞廣.n尸,

A.—+—=I—+-=1B.—+—=1

4.過直線＞=x+l上一動(dòng)點(diǎn)尸作圓+V=2的一條切線/,切點(diǎn)為4,則線段尸A長(zhǎng)度的最小值為

C.3夜D.V2

5.已知點(diǎn)拋物線C：f=4、，的焦點(diǎn)為凡尸是。上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|十|P@的最小值為（）

6.已知四棱錐的底面A8CZ）為平行四邊形，過點(diǎn)8的平面分別交側(cè)棱PC,PD,PA于E,F,

G三點(diǎn)，若尸G=G4,PE=2EC,則——=（）

FD

A2卜2「3「5

3522

7.設(shè)￡,工分別是雙曲線C:￡-4?=］（〃>（）,〃〉（））的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).過K作一條漸近線的垂

a~b-

線，垂足為P.若/=則C的離心率為（）

6

A.立B.叵C.V7D.巨

223

8.如圖，在楂長(zhǎng)為2的正方體ABC。—A8'CZ>'中，M是正方形88'UC的中心，〃是"VC。內(nèi)（包括邊

界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足=則點(diǎn)夕的軌跡長(zhǎng)度是（）

C.拒D.V14

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知A(1,8,U),8(2,6,9),6(3,4,10),￡>(1,8,14),則()

（1

A.直線48的單位方向向量是一弓,一」

—

B.平面A8C的一個(gè)法向量是（2,1,0）

C.A,及C。四點(diǎn)共面

D.點(diǎn)C到直線A8的距離為6

10.已知直線/:丘-），+女=。，圓Cf+y2_6x+5=0,點(diǎn)P（/,）b）為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.+的最大值為5

B.引的最大值為出

“05

C.天+%的最大值為3+25/5

D.圓心。到直線/的距離最天為4

22

II.已知K、6是雙曲線C:￡-/=1(Q>0*>0)的左、右焦點(diǎn)，以人為圓心，4為半徑的圓與C的一條

漸近線切于點(diǎn)尸，過K的直線/與。交于A、9兩個(gè)不同的點(diǎn)，若C的離心率6=:，則()

A.歸周=2萬

B.|明的最小值為三

C.若|A閭=7,則|A閘=13

D.若4、3同在C的左支上，則直線/的斜率

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共13分.

12.直線/過點(diǎn)4(1,0),4(-1,2)與直線xr2+1=0平行，則這兩條平行直線之間的距離為.

13.在四面體48co中，點(diǎn)G為△A8O的重心，E,F,“分別為AB,BD,D4的中點(diǎn)，且

CE+CF+CH=kCG則實(shí)數(shù)左=.

14.拋物線V=4x的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,拋物線上兩點(diǎn)兒“滿足：0小08=0，過點(diǎn)。作A8的垂線，垂

足為〃，若點(diǎn)Q是圓。：(工十2)2+()，+3『=1的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、注明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知直線/經(jīng)過點(diǎn)尸(3,4).(直線要求化成一般式)

⑴若向量。=(-1,2)是直線/的一個(gè)方向向量，求直線/的方程；

(2)若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線，的方程.

16.(15分)

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是Q1),端點(diǎn)A在圓G：(x-4『+("3)2=4上運(yùn)動(dòng).

⑴求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡G的方程；

⑵設(shè)圓G與曲線G的交點(diǎn)為M、N,求線段A/N的長(zhǎng).

2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第【卷（選擇題）和第1【卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)全部?jī)?nèi)容。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知直線/與直線垂直，則直線/的傾斜角是（）

A.NB.aC.三D.包

3344

【答案】C

【分析】由兩直線垂求出直線/的斜率，然后求得直線,的傾斜角.

【詳解】直線/'的斜率勺=-1,因?yàn)橹本€/與直線/'垂直，所以匕，匕=-1,即匕=1,

設(shè)直線/的傾斜角。，則兀），所以直線/的傾斜角

故選：C.

2.已知向量a=（l,0,l）,8=（2,0「2）,若+妨）=2,則k的值為（）

3

A.1B.-

5

C.2D,1

55

【答案】D

［分析】利用空間向量?數(shù)顯積運(yùn)算律與空間向最數(shù)最積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可求出k的值.

【詳解】由已知得問=廬萬7F=夜,|z?|=722+O2+（-2）2=2x/2,

月.內(nèi)力=lx2+0x0+lx（-2）=0,

由例+孫("U)=2得，嵐+產(chǎn)a石+a石+序2=2,

即2Z+8Z=2,解得女=；.

故選：D

3.若橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為8,且過點(diǎn)(3,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

【答案】C

【分析】分焦點(diǎn)在“軸上或5軸上，兩種情況，結(jié)合橢圓性質(zhì)討論求解即可.

【詳解】因?yàn)榻咕酁?,所以2r=8,即c=4.

若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓過點(diǎn)(3,0),則a=3,

此時(shí)a<c,橢圓不存在，舍去；

若橢圓的焦點(diǎn)在了軸上，橢圓過點(diǎn)(3,0),則〃=3,

此時(shí)從=9，a2=25,所以〃>c,橢圓存在，

故橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為二十￡=1.

925

故選：C

4.過直線y=x+l上一動(dòng)點(diǎn)〃作圓M:(x-5『+丁=2的一條切線/,切點(diǎn)為A,則線段處長(zhǎng)度的最小值為

()

A.6B.4C.3及D.72

【答案】B

【分析】由題意可得=—,則當(dāng)歸取得最小值憶線段Q4長(zhǎng)度的最小，利用點(diǎn)到直線的距

離公式求出歸例|的最小值即可得蟀.

【詳解】圓M:(x—5)2+y2=2的圓心"(5,0),半徑…

由題意可得EALAW,則歸A|二2TAM2=JpMjr?=JPM/-2,

則當(dāng)|PM|取得最小值時(shí)，線段外長(zhǎng)度的最小,

貝l"PML產(chǎn)端^=3立，所以I叫「加可-2=4.

故選:B.

5.已知點(diǎn)N（l/），拋物線C：r=4,，的焦點(diǎn)為凡戶是。上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸N|+|P可的最小值為（）

35

A.—B.2C.-D.3

22

【答案】B

【分析】利用拋物線定義與三角形兩邊之和大于第三邊計(jì)算即可得.

【詳解】過點(diǎn)。作PQ1拋物線C的準(zhǔn)線/：），=-1于點(diǎn)Q,

由拋物線定義可得歸。=|尸耳，

則|叫+1尸川二忱%1+1尸。以陽，

當(dāng)且僅當(dāng)N、P、。三點(diǎn)共線，NQ_L拋物線C的準(zhǔn)線，

即與=1時(shí)，|PN|+|P@有最小值2.

故選:B.

6.已知四棱錐。的底面八8C。為平行四邊形，過點(diǎn)8的平面分別交側(cè)棱PC,PD,PA于E,F,

PF

G三點(diǎn)，若PG=GA,PE=2EC,貝U（）

FD

2235

A.-B.—C.-D.—

3522

【答案】A

—3—

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表示PB，利用共面求出參數(shù)〃J據(jù)此求出即可得解.

【詳解】如圖,

一—————一一.3

35

又B，E,F,G四點(diǎn)共面，所以2+5-m=1,解得機(jī)=9，

22

53PF個(gè)

所以PO='QF,FD=PD-PF=」PF,得？=：.

22FD3

故選：A

7.設(shè)片,尸2分別是雙曲線。：￡-[=1（。＞°力＞°）的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).過尸2作一鳧漸近線的垂

ab“

線，垂足為尸.若N"O=g則C的離心率為（）

6

A且B.叵C.V7D.應(yīng)

223

【答案】D

【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式可得|P用|=仇設(shè)P（x,y）,則可借助面積公式與等面積法得到

4a

\PF\=-j==2bt再利用離心率公式計(jì)算即可得解.

【詳解】不妨設(shè)垂足〃在第一象限，由題意可知尸人與漸近線歷-金=。垂直，

如圖所示，則/￡尸尼=7,

..\bc-Oa\be..

由點(diǎn)到直線的距離公式可得歸用=1/+/=工=〃,乂|。入卜c所以囪

b

y=~ax

設(shè)P(x,y),則SM"”：時(shí)二卜0,得y=弛，從而x=￡,

22cc

由S"A=；0|P用而斗=、2勺，解得|尸用=名，

'Z.5，73

由SOPF、=SOPF1，得2。?尸印抽彳=］他，解得|P￡|=?.

從而可得3=晝，所以離心率e;年［=A=母.

故選：D.

8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A'8'CZ>'中，M是正方形88'CC的中心，P是AA'C'。內(nèi)(包括邊

界)的動(dòng)點(diǎn)，滿足=則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是()

D.x/14

【答案】B

【分析】根據(jù)題FI建立空間直角坐標(biāo)系，再利用題干給出的條件列方程，找出軌跡端點(diǎn)進(jìn)而算出軌跡長(zhǎng)度.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),4(20,2),C'(O,2,2),M(l,2,1),DA=(2,0,2),

DC=(0,2,2),

/、12Ao+2z(.=0/、

設(shè)平面0AC的法向量為〃=(七,％,z0),貝IJ°°令玉=1,貝5=1,z0=-l,故〃=(1J—1),

I/%+2Z°-U

設(shè)P(x,y,z),則。戶=(x,y,z),,i_LOP，，x+y-z=O,

又：PM=PD,yjx2+y2+z2=^(x-l)2+(y-2)2+(z-l)2,整理得x+2y+z=3,

0<x<2

3―2x

x+y-z=0y=亍3-9v3

聯(lián)立方程則.可得OKy-K2,解得OWxW；,

x+2y+z=3x+3

^<2

0<

3

當(dāng)x=0時(shí)，出0,1,1)：當(dāng)工=?時(shí)，P^Q'l

記MD的中垂面為二，又。是.AC'。內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn),

；在空間中滿足=/>￡>,

「?點(diǎn)尸的軌跡是平面。與三角形ACZ>的公共部分,

即點(diǎn)P的軌跡為線段g，則由￡|=J

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知A(l,8,ll),8(269),C(3,4,10),D(l,8.14),則()

(1、

A.直線A8的單位方向向量是(一3-1，1,

B.平面A8C的一個(gè)法向量是(2,1,0)

C.A及C。四點(diǎn)共面

D.點(diǎn)C到直線人8的距離為G

【答案】BC

,AB

【分析】對(duì)于A：利用直線A8的單位方向向量為土工胃，可判斷；對(duì)于B：設(shè)平面A8C的法向量是〃，利

\AB\

n-AB=O

用，可得〃；對(duì)于C：利用向量共面定理與向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷；對(duì)于D：利用空間向量點(diǎn)到

線的距離公式可判斷.

?,AB(\22^1

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)锳8=(l,—2—2),[4耳=3,所以直線"的單位方向向量是網(wǎng)=|j-J或

AB(122)

(注意直線的單位方向向量有2個(gè)，是相反向量)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)干B：設(shè)平面4BC的法向量是「=(.%)，,z),因?yàn)锳8=(l,—2,—2),AC=(2,T,-1),

nAB=O[x-2y-2z=0.、

所以則口:八,令工=2,可得〃=2,1,0),故B正確；

[〃.AC=0[2x-4y-z=0

對(duì)于C：由題意得。。=(-2,4,4),則CO=-2A3,所以4/C,。四點(diǎn)共面，故C正確；

對(duì)于D：AC=(2T,-1),|AC|=74+16+1=721,AC4B=2+8+2=12，

則點(diǎn)C到直線48的距離為JAcf-=/]_(打=6,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.已知直線人履-)，+女=。，圓。：八＞2_6*+5=0,點(diǎn)P(xQb)為圓c上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.片+次的最大值為5

B.&的最大值為坡

%5

C.跖+%的最大值為3+20

D.圓心C到直線/的距離最大為4

【答案】BC

【分析】根據(jù)直線和圓的位置美系、點(diǎn)和圓的位苴關(guān)系等知識(shí)刈選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】對(duì)于A,圓C的方程可化為。=3）'+），2=22,所以圓C的圓心為C（3,0）,半徑廠=2.

|兇=3,2（小,%）是圓上的點(diǎn)，

所以M+云的最大值為（3+2『=25,人錯(cuò)誤.

對(duì)于B,如圖所示，當(dāng)直線OP的斜率大于零且與圓相切時(shí)，&最大,

工0

22石

此時(shí)|0。=3,歸1=2,|0片=石，且％=tanNPOC=B正確.

忑r

對(duì)于C,設(shè)玉=3+2cos0,yo=2sin0,

則4+No=3+2cosd+2sin。=3+2應(yīng)sin^+―J<3+272,

i4J

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)可吃卜，所以C正確.

對(duì)于D,圓心。(3,0)到直線/的距離d=----j=—J==

Jl+k2Jl+k2

當(dāng)2=()時(shí)，4=0,

當(dāng)今。0時(shí),，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.已知C、尸2是雙曲線C:*-￡=l（〃>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，以人為圓心，4為半徑的圓與C的一條

漸近線切于點(diǎn)Q，過6的直線/與C交于4、〃兩個(gè)不同的點(diǎn)，若C的離心率6=：,則（）

A.|明=2/

B.|A8|的最小值為餐

C.若|A閭=7,則|4同=13

D.若A、B同在C的左支上，則直線/的斜率-卜與”

【答案】ACD

【分析】利用焦點(diǎn)到漸近線的距離可得出。的值，再結(jié)合雙曲線的離心率可求得。、。的值，再結(jié)合余弦定

理可求出|「￡|,可判斷A選項(xiàng)；取直線/的斜率為0,求出卜目的值，可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的定義

可判斷C選項(xiàng)；設(shè)直線/的方程為y=Mx+5),將直線/的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及

判別式求出k的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)雙曲線6:：1-/=1(〃〉0力＞0)的一條漸近線為)，=，%，即尿-胡=0,

貝I」E(c,0)到直線bx-ay=0的距離為產(chǎn)二b,

因?yàn)橐园蜑閳A心的圓與/相切于點(diǎn)A所以|。用一5-4,

因?yàn)閑g即鴻，則-即。"6=豹，所以〃

在，尸中,舊瑪|=2c=10,|尸周=4,

22

|心『=|/r/7|+|p/7|_2|^/7|.|p77|cosZp/7/7=100+16-2X10X4X1=52,

所以|防|=2萬，故A正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，A、3兩點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，則|A回=%=6,

323?

又因?yàn)?＜大,即恒目的最小值不可能為彳，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閨A段=7,又a+c=8,且|Agk〃+c,所以A在。的右支上，

所以|前日轉(zhuǎn)|=2=6,所以|明|=|然|+6=7+6=13,故C正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為），=攵（文+5）,

設(shè)點(diǎn)A（X，y）、8（孫必），

),二2(x+5)

2222

聯(lián)立x2),2,p]-^(16-9A:)x-90Z:X-225Z:-144=0,

916

因?yàn)橹本€/與雙曲線。交于右支的兩點(diǎn),

16-9公工0

△=8100/+4(16-9公)(225r+144)>0

-44

所以，工+x_90」,解得&<_彳或D對(duì).

%+116—%233

225^2+144

>0

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線/過點(diǎn)A（l,0），WT，2）與直線x-〃少+1=。平行，則這兩條平行直線之間的距離為

【答案】＞/2/22

【分析】先直線A8的斜率，再利用點(diǎn)斜式求直線48的方程，再利用兩直線平行求出〃?的值，最后利用平

行直線間距離公式計(jì)算.

2

【詳解】直線AB的斜率為一;=-1,則直線AA的方程為），=-（-1）,即工+）」1=0,

因直線4B與直線人="9+1=0平行，則—加=1,得6=T,

k一I

則直線x+y—1=0與x+.V+1=0之間的距離為=立

VT+T

故答案為：V2

13.在四面體A8CO中，點(diǎn)G為△A3。的重心，E,F,〃分別為A8,BD,D4的中點(diǎn)，且

CE+C"CH=kCG，則實(shí)數(shù)%=.

【答案】3

【分析】以CACB,C。為基底，將CE+Cb+C〃,CG均用基底表示出來，利用表示的唯一性即可求出k的值.

【詳解】如圖，連接",

則AG=2GF，

2I2III

^CG=CA+-AF=-CA+-CF=-CA+-CB+-CD

333333t

^CE+CF+CH=-^CA+CB)+-[CB+CD)+-^CD+CA)=CA^CB+CD=3CG,故攵=3.

222

故答案為：3.

14.拋物線y?=4x的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，拋物線上兩點(diǎn)A，B滿足：04。8=0,過點(diǎn)。作A8的垂線，垂

足為〃，若點(diǎn)。是圓C(x+2)2+G，+3)2=l的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|〃Q的最大值為.

【答案】8

【分析】先根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出直線過定點(diǎn)M，進(jìn)而確定點(diǎn)”的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系

求出的最大值.

【詳解】在拋物線V=4x中，若04.08=0,即OA_L<M,根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知直線AB過定點(diǎn)”(4,0).

下面證明：設(shè)A(0,y),B落力)?

44

22

因?yàn)镼4OB=0，則上*?+?)，，=()，)/2二°時(shí)，另乃=一16.

16-

”—二4

直線AB的斜率式_或,+%.

了一了

直線”方程為)r='一。-￥)，

y\+y24y+%y+刈

4

把yg=T6代入得y=-^(x-4).所以直線AB過定點(diǎn)M(4,0),如下圖：

)i+>2

因?yàn)镺"_LAB,所以點(diǎn)”是以O(shè)M為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn).

OM的中點(diǎn)坐標(biāo)為(學(xué),0)=(2,0),l|aW|=lx4=2.

222

則點(diǎn)，的軌跡方程為。-2/+丁=4(xwO).

點(diǎn)，的軌跡是以。(2,0)為圓心，4=2為半徑的圓(除去原點(diǎn))，點(diǎn)。在圓C:(x+2)2+()，+3)2=l上，圓C

的圓心為。(一2,-3),半徑弓=1.

兩圓的圓心距|CD\=J(2+2四+(0+3>=.6+9=725=5.

IHQ|的最大值為圓心距ICD|加上兩圓的半徑,即皿+彳+弓=5+2+1=8.

故答案為：8.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知直線/經(jīng)過點(diǎn)尸(3,4).

(1)若向量。=(-1,2)是直線/的一個(gè)方向向量，求直線/的方程；

(2)若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線，的方程.

【答案】⑴2x+y-10=0；

(2?+y-7=0或4x-3y=0.

【分析】(1)根據(jù)給定的方向向量，求出直線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.

(2)由已知，按截距是否為0,結(jié)合直線的截距式方程分類求解即得.

【詳解】(1)由向量。=(一1,2)是直線/的一個(gè)方向向最，得直線/的斜率左=一2,

又/經(jīng)過點(diǎn)?(3,4),貝“方程為：y-4=-2(.r-3),即：2工+)，-10=0,

所以直線/的方程為2K+)，-10=0.

(2)依題意，當(dāng)直線/過原點(diǎn)時(shí)，而直線/乂過點(diǎn)尸(3,4),

4

則直線/的方程為y=即4x-3.y=0：

當(dāng)直線/不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為x+)，=〃，

則有3+4=a,解得a=7,即直線/的方程為％+>-7=0,

所以直線/的方程為x+)」7=()或4%-31>，=0.

16.(15分)

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是口1),端點(diǎn)A在圓G<+"-3p=4上運(yùn)動(dòng).

(1)求線段AB的中點(diǎn)尸的軌跡G的方程；

(2)設(shè)圓G與曲線g的交點(diǎn)為“、N,求線段A4N的長(zhǎng).

【答案】(1)6-3>+(2)2=1

⑵巫

2

【分析】(1)根據(jù)題意，分別設(shè)出點(diǎn)。與點(diǎn)A的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合圓a的方程，代入計(jì)算，即可

得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，先得到兩圓的公共弦方程，再由弦長(zhǎng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(兒》)，點(diǎn)人的坐標(biāo)為(與，50)，

由于點(diǎn)8的坐標(biāo)為(24),且點(diǎn)尸是線段A5的中點(diǎn)，所以x=%F，丁=怨，

(x=2x-2

于是有n"o[①，

22

因?yàn)辄c(diǎn)A在圓G--4)'+G-3)'=4上運(yùn)動(dòng),即：(x0-4)+(y0-3)=4

把①代入②，得(2戈一2-4>+(2)，-1-3)2=4,整理,得(x-3)2+(y-2)2=l,

所以點(diǎn)〃的軌跡G的方程為(X-3)2+()，-2)2=1.

(2)將圓弓:(》-4)2+()，-3)2=4與圓。2：(1-3)2+()，-2)2=1的方程相減得：2x+2)，-9=0,

由圓。2：(1-3)2+()，-2)2=1的圓心為(3,2),半徑為1,

且（3,2）到直線2x+2），—9=0的距離d」："—9|二f,

V22+224

則|MN|=

17.（15分）

已知橢圓￡=h>0）的左、右焦點(diǎn)分別為匕，%,且過點(diǎn)AUT）,A%?A%=；,過點(diǎn)伙0,-1）的

一條直線與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程;

⑵若SASM=2s八BN,試求直線MN的方程.

【答案】（1）《+￡=1

43

（2）x-2），-2=0或x十2y+2二0

【分析】（1）利用橢圓過已知點(diǎn)以及向量數(shù)量積的條件，結(jié)合嘀圓中的關(guān)系，求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程即可.

（2）先分析特殊情況（直線MN與x軸垂直），再設(shè)出直線的斜截式方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理

得到根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合線段長(zhǎng)度的比例關(guān)系建立方程，求解直線的斜率，進(jìn)而得到直線方程.

【詳解】（I）根據(jù)題意作圖如下：

設(shè)E（-c.0）.￡（c,0）,橢圓0：捺+/1（4>〃>0）過點(diǎn)小|

所以有，+^7=1，48=（一。一1,一'|）泊居=（。-1,一1,

一9（3V3、，99

又則一,一>51'一~2J"

,,|9

所以c=I,WOa2-b2=1?所以-r+—r=1,

b'+14b~

整理得（4"+3）伊-3）=0,因?yàn)椤?gt;o,

所以解得。2=3,.2=4,

故橢圓。的方程為〉p.

（2）根據(jù)題意作圖如下：

若SABM=2S謝，則|叫=2忸N|.

當(dāng)直線MV與x軸垂直時(shí)，其方程為x=0,

則|M@=J5+I,忸N|=J5—I,|照十2忸兇，不滿足題意.

設(shè)直線MN的方程為），="-1,代入橢圓方程得￡+3」=1,

43

整理得3/+4（"—1）2=12,即（3+4公卜2-8"-8=0.

QL

設(shè)M（N，yJ，N（w，%），則％+X2=77亦①,Xi2二三m②.

因?yàn)閨四=2忸N|,7?在直線MV上，且M,N在3的兩側(cè)，

所以MB=2BN，則。一內(nèi)=2（超一0）,所以內(nèi)+2±=。③.

16kQlr

由①③解得代入②，

3+4K3+4K

公\6k（8攵、一8，…1

得解得F，

所以直線MN的方程為），=±gxT,即x_2y_2=0或x+2y+2=O,

綜上，直線MN的方程是x—2y—2=0或x+2y+2=0.

18.（17分）

折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)."菱角''折紙教程：如圖I，將一張長(zhǎng)方形的紙條用虛線分成

6個(gè)全等的等腰直角三角形，沿著虛線折疊便可得到?個(gè)如圖2所示的“菱角”A8CPQ.

P(E)

0(。)

圖2

⑵試判斷該“菱角”所有的頂點(diǎn)是否在同一個(gè)球面上，并說明理由;

（3）求二面角P-AQ-C的余弦值.

【答案】（I）證明見解析:

（2）不是，理由見解析;

（3）y.

【分析】（1）首先利用線面垂直證明得平面4CP,則BP_LAC,同理得8Q_LAC,最后利用線面垂

直的判定即可證明;

（2）假設(shè)所有頂點(diǎn)在同意球面上，計(jì)算得08工0P即可得到矛盾點(diǎn)，則證明結(jié)論;

（3）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)平面的法向量，最后利用面面角的空間向量求法即可得到答案.

【詳解】（1）由題可知，BP工CP.BP工AP,CPcAP=P,CRAPu平面ACP,

則BPJ_平面八CP,ACu平面ACP,所以8PJ.AC,同理可得BQ_LAC.

因?yàn)?Pc8Q=8,8P,3Qu平面8PQ,所以AC_L平面8PQ.

（2）由題可知，該"菱角”由兩個(gè)正三楂錐夕-ABC,。-/WC組成，旦AB=6BP=6BQ.

根據(jù)對(duì)稱性，可知P，Q在平面ABC內(nèi)的投影為V4BC的中心。.

若該"菱角"所有的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則。為球心，連接80.

不妨令他=2,則五,08=—————=—,OP=\lBP'-OB2=—

2sinZACB33

因?yàn)镺BHOP,所以該菱角''所有的頂點(diǎn)不在同一個(gè)球面上.

（3）由（2）知VA8C的中心為。，過。作AC的平行線，易得該直線與。。兩兩垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

令XB=2,得尸0,0,用電。,用A得

,1,0,c孑7。

則PQ=0,0,-,AQ=,AC=(0,-2,0).

設(shè)平面APQ的法向量為〃?=(N，y,zJ,

Z|

P。?機(jī)=0—=&

rti-，可得，令玉=6，得/〃=(百,1,0卜

4Q?〃？=()9%一義一&\=0、

I31131

設(shè)平面ACQ的法向量為〃=(4分,z2),

\/5X\/6Z=()

AQn=0—2-y2--2

ttr，可得

ACn=0

-2y2=0

令％=品,