高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷01（全國(guó)通用）

全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章?第三章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.集合N={xeN|0<x<4}的子集個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】先用列舉法寫出集合/={1,2,3},得出元素個(gè)數(shù)，再利用公式計(jì)算其子集個(gè)數(shù).

【詳解】由已知得集合/={1,2,3},共有3個(gè)元素，所以其子集個(gè)數(shù)為23=8.

故選：D.

2.函數(shù)/（x）=J4-X+—二的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（2,4]B.（-8,4]

C.（一8,2）U（2,+S）D.（一8,2）口（2,4]

【答案】D

【分析】根據(jù)根式函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求法求解.

f4-x>0

【詳解】由、c解得xV4且"2,

所以“X）的定義域?yàn)椋?叫2）“2,4].

故選：D

3.不等式的解集是（）

A-[壯°<?B.卜卜丹或x>g

C.卜<[D.卜卜>,

【答案】B

【分析】先將不等式-x]]-x]>0變形為卜-;/x-j>0,再求出變形后的一元二次不等式的解，即

可得解.

【詳解】原不等式&_,&7卜0可化為（W*0,

解得或X>g,

所以不等式—xJ>0的解集為|x卜<；或x>g1.

故選：B.

4.函數(shù)〃x）=J--x（%>1）的最大值為（）

1-X

A.-1B.3C.1D.-3

【答案】D

【分析】利用配湊法，結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)閤>l,所以x-l>0,

所以x+工=（x-l）+—1+122、卜一1>'+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-l=—1即x=2時(shí)取等號(hào).

x-1''x-13'x-1x-1

所以一1'+占]4一3，即/（x）V-3（當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)），

所以〃x）的最大值為—3

故選：D

5.《南京照相館》、《浪浪山小妖怪》、《長(zhǎng)安的荔枝》位列2025年我國(guó)暑期檔票房前三名.高一（1）

班共有28名同學(xué)，有15人觀看了《南京照相館》，有8人觀看了《浪浪山小妖怪》，有14人觀看了《長(zhǎng)

安的荔枝》，有3人同時(shí)觀看了《南京照相館》和《浪浪山小妖怪》，有3人同時(shí)觀看了《南京照相館》

和《長(zhǎng)安的荔枝》，沒(méi)有人同時(shí)觀看三部電影.只觀看了《長(zhǎng)安的荔枝》的人數(shù)為（）

A.6人B.7人C.8人D.9人

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用容斥原理，結(jié)合韋恩圖列式求解.

【詳解】不妨將觀看了《南京照相館》、《浪浪山小妖怪》、《長(zhǎng)安的荔枝》的同學(xué)分別用集合4瓦。表

不，

設(shè)同時(shí)觀看了《浪浪山小妖怪》和《長(zhǎng)安的荔枝》有X人,

在相應(yīng)的位置填上數(shù)字，則9+3+3+(8-3-x)+x+(14-3-x)=28,解得x=3,

因此同時(shí)觀看了《浪浪山小妖怪》和《長(zhǎng)安的荔枝》有3人，

所以只觀看了《長(zhǎng)安的荔枝》的人數(shù)為14-3-3=8人.

故選：C

6.己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽J(l+x)=/(3-x),且/(x)在［2,+8)上單調(diào)遞減，則不等式〃2x-3)＞〃3)

的解集是()

A.(-℃,3)B.(-8,2)C.(3,+00)D.(2,3)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱性及單調(diào)性求解函數(shù)不等式.

【詳解】由函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽J(l+x)=〃3-x),得函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

又函數(shù)/(x)在［2,+8)上單調(diào)遞減，則不等式f(2x-3)＞。(3)o|2x-3-2|＜|3-2|,

即解得2＜尤＜3,所以所求不等式的解集為(2,3).

故選：D

7.己知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足〃x+4)=冗j,當(dāng)0<x<4時(shí)，若〃x)=<2x+&(a>0,b>0),JL

i7

“2025)=1,則上+：的最小值是()

ab

A.3+V2B.2+V2C.3+2V2D.2+3收

【答案】C

1717(12、

【分析】根據(jù)已知條件求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求得。+6=1,化土+：—+工=—+三(。+勾，再利用基本不

等式即可求解最小值.

【詳解】由"X+4)=焉得“X+4+4)=〃1+4)=/(切，

即〃x+8)=/(x),所以了=〃x)的周期為8,

/(2025)=/(8x253+l)=f(y)=a+b=\,

1212/訃rb2a

—+——+—(Q+6)=3H------1------

ababV7ab

1r\

因?yàn)镼>0,b>0,所以一>0,——>0,

ab

由基本不等式有：3+-+—>2.p^+3=3+272,

ab\ab

憶=生儲(chǔ)=血一1

當(dāng)且僅當(dāng)。6,即「時(shí)，等號(hào)成立.

.+6=1[b=2-42

故選：C.

8.已知"X)是定義在R上的偶函數(shù)，若任意為62?[0,+⑹且玉>x?時(shí)，恒成立,且

/(3)=0,則滿足/(加+3)W"/+6機(jī)的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[-6,0]B.[0,1]C.[-3,2]D.[-2,2]

【答案】A

【分析】由條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-x2,依次判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性和奇偶性，將待解不等式轉(zhuǎn)化為

/(m+3)-(m+3)2<-9,再利用g(3)=-9,將其化成g(機(jī)+3)Wg(3),即可利用單調(diào)性和奇偶性解決.

【詳解】由17〃>西+馬可得了(西)一/62)>*；-后,即/區(qū))-》；>/(%)-制，

設(shè)g(x)=/(x)-,則有g(shù)(xJ>g(X2),因再>z，則g(x)在[0,+oo)上單調(diào)遞增，

又“X)是定義在R上的偶函數(shù)，g(-x)=/(-x)-(-x)2=/(x)-x2=g(x),故g(X)為R上的偶函數(shù).

由/(%+3)V??+6加可得/(m+3)-(m+3)2<-9,

而g⑶=/(3)-9=一9,即g(加+3)Wg⑶，

由函數(shù)g(x)的單調(diào)性和奇偶性,可得|加+3R3,解得-6V加V0.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.若a>b,貝!]℃2>慶？B.若a，>6c2,則a>b

C.若a>b,c>d,則ac>6t/D.若a>b,則

ab

【答案】ACD

【分析】由不等式的性質(zhì)及特殊值逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)c=0時(shí)，℃2>於2顯然不成立，錯(cuò)誤；

對(duì)于B,ac2>be2,可知(？>0,所以a>b,正確；

對(duì)于C,取。=2,6=l,c=T,d=-2,此時(shí)ac=6d,錯(cuò)誤;

對(duì)于D,取q=2,6=-1,此時(shí)錯(cuò)誤；

ab

故選：ACD

10.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的增函數(shù)，則函數(shù)了=/（忖-1|）-1的圖象可能是（）

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性結(jié)合平移得出函數(shù)性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)閥=〃|x|）是R上的偶函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)/（X）是定義在R上的增函數(shù)，則V=〃|X|）是（0,+co）

上的增函數(shù)，

所以昨/（IX-11）-1圖象是關(guān)于X=1對(duì)稱的,且在（1,+勸單調(diào)遞增，

故選:BC.

11.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為人的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[同，即

k]={5〃+H〃eZ#=0,l,2,3,4},給出如下四個(gè)結(jié)論，正確的是（）

A.2026e[l]

B.-3e[3]

C.Z=[0]u[l]u[2]u[3]u[4]

D.“整數(shù)。力屬于同一，類，，，的充要條件是e[0]”

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A求2026除以5的余數(shù)即可判斷，對(duì)于B由-3=5x（-1）+2即可判斷，對(duì)于C整數(shù)集中的數(shù)

被5除的余數(shù)為0,1,2,3,4,即可判斷，對(duì)于D若兩個(gè)數(shù)屬于同一“類”，則對(duì)應(yīng)的余數(shù)相同，則

a-be[0],當(dāng)"6e[0]時(shí)，得a=5"+6,即回=回進(jìn)而求解.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?026+5=405……1,所以2026e[l],故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)?3=5x(-l)+2,所以-3?2],故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)檎麛?shù)集中的數(shù)被5除的余數(shù)為0,1,2,3,4,所以Z=[0]U[1]32]33]34]，故C正確;

對(duì)于D：若兩個(gè)數(shù)屬于同一“類”，則對(duì)應(yīng)的余數(shù)相同，其差能被5整除，故be[0]：

當(dāng)a-6e[0]時(shí)，a-b=5n,ncZ,所以a=5〃+6,所以同=回，

即整數(shù)凡6屬于同一“類”，故D正確.

故選：ACD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.寫出使得命題“Vxe(0,+a)),x+->m”是假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)m的值______.

【答案】3(答案不唯一，滿足機(jī)>2的都可以)

【分析】由全稱量詞命題為真求出根，再取否定即可.

【詳解】由x>0,^x+->2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

X

則命題“Vx6(0,+oo),x+—>m”為真命題，m<2,

x

因止匕命題“Vxe(0,+oo),xH—之機(jī)''是假命題，m>2,

X

所以所求實(shí)數(shù)加的一個(gè)值為3.

故答案為：3

13.已知函數(shù)〃同=卜丘二fc二;的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,則實(shí)數(shù)左的取值范圍為.

【答案】[0用

【分析】利用一元二次不等式恒成立的條件即可求解.

【詳解】要使“X)有意義，則有2H2+近+、20,

3

???函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,2丘2+丘+120在R上恒成立,

3

當(dāng)人°時(shí),-.0,恒成立;

2左〉0

當(dāng)左。0時(shí)，則有v3解得0<^<6；

△=左29一4x2左x—VO

4

綜上，實(shí)數(shù)人的取值范圍為[0,6].

故答案為：[0,6].

14.設(shè)xj,2>0,M=max{xy+—,z+—,y+z+—},則M的最小值為_(kāi)__.

zyx

【答案】3

【分析】由題意可得3M恒大于三個(gè)式子的和，再結(jié)合均值不等式求出和的最小值即可

[221]

【詳解】因?yàn)锳/=max〈孫+—,z+—,y+z+—>,x/,z>。，

Iy燈

……221111「2J—111』「下八

所以3Af>xy-\---F2H---\-y+z+—=xy-\---1---1---1-y+2z+—>55ixy-----'y+2j2z--=9,

zyxyyxz\yyxNz

故當(dāng)且僅當(dāng)％=>=2=1取等號(hào).

故答案為：3

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

已知集合/={1,3,。2},8={1,°+2}.

(1)若/c8={l,4},求集合/口5,4門8；

(2)設(shè)。=N,若0；8={3},求實(shí)數(shù)°的值.

【答案】⑴{1,3,4},{1,4}

⑵2

【分析】(1)根據(jù)題意，得到4e/且4e8,列出方程組，求得。的值，得到集合4臺(tái)，結(jié)合集合交集和

并集的運(yùn)算，即可求解；

(2)根據(jù)題意，得到/=4+2,求得。的值，驗(yàn)證集合的互異性，進(jìn)而得到答案.

【詳解】(1)解：由集合/={1,3,1},8={1,“+2},

2

(a=4

若/C8={1,4},可得4e4且4e8,貝爪。十？—〃解得〃=2，

所以/={1,3,4},8={1,4},可得故NUB={l,3,4},/n8={l,4}.

(2)解：由集合/={1,3,*,8={1,°+2},

若二8={3},則/=0+2,解得a=2或a=-l,

當(dāng)a=2時(shí)，/={1,3,4},8={1,4},滿足[3={3}；

當(dāng)。=-1時(shí)，5={1,1},不滿足集合中元素的互異性，舍去，

綜上所述，實(shí)數(shù)。的值為2.

16.(15分)

已知函數(shù)/口_1)=/：2;+",且〃T)=_2.

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

⑵求函數(shù)/■(》)在；,2上的最值.

【答案】(l)〃x)=x+J(xwO)

(2)最小值為2,最大值為g

【分析】(1)法一：根據(jù)/(-1)=-2求出。的值，利用換元法求/(x)的解析式即可；

法二：根據(jù)配湊法得到/(x)=*：+”,根據(jù)/(-1)=-2求出。的值，即得到解析式.

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)/(外在［；2］上的單調(diào)性，進(jìn)而求得最值.

【詳解】⑴方法一：因?yàn)?(-1)=-2,令=即x=0,

所以〃T)=02-[「J”,則一a=_2,解得a=2,

所以/(XT)/：；,

令，=%—1,/wO,則％=，+1,

則/⑺=(/+1)2-2(/+1)+2f+1

==^+—，,w°，

所以函數(shù)〃x)的解析式為〃x)=x+：(xw0).

方法二：由題意/(x_I)=x22x+a=(xl『l+a,所以〃司=』-1+。

X—1X—1X

又〃-1)=-2,所以二^=-2,解得a=2,

—1

所以/M=^±l=x+1,即函數(shù)“X)的解析式為〃x)=x+L(xwO).

XXx

(2)由(1)知/(x)=x+g(xwO),任取不，x2G[1,2],且石</，

1、

gX1xx-1

則/(再)一/(工2)=玉+---/+一=X1-X2+--x2

演Ix2Jx,x2王％2>

因?yàn)?<3<42,卒2>1,所以/(芭)-/(々)<0,gp/(x1)</(x2),

所以函數(shù)“X)在［1,2］上單調(diào)遞增，

同理，任取工3,€,旦當(dāng)<》4，則/@3)-/&)=(%3-匕)［里」

因?yàn)?</<匕，x3x4<1,所以/(9)_/(七)>0,即/(演)>/(無(wú)4),

所以函數(shù)〃x)在1,1上單調(diào)遞減，

故“X)在1,1上單調(diào)遞減，在［1,2］上單調(diào)遞增,

又〃1)=2,/(^=/(2)=|,

故/卜)在A，21上的最小值為2,最大值為鼠

"」2

17.(15分)

已知函數(shù)〃x)=生:，且"0)=1,設(shè)g(x)=/］］.

XI1yXy

⑴求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)用定義法判斷g(x)的單調(diào)性.

【答案】⑴g(x)=U

⑵g(x)在區(qū)間(-8,-1)和(TO)和(0,+8)上分別單調(diào)遞減

【分析】(1)直接根據(jù)題意代入求值即可；

(2)根據(jù)定義法判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性即可.

【詳解】⑴因?yàn)?(o)=%=1,所以0=1,貝1/(力=三］,

+1x+2

故g(x)=/

+1x+1

(2)易得g(x)的定義域?yàn)?Vx；,x2e(-℃,-i)U(-i,o)U(o,+oo),

匹+2X+2x-x

則g(xj-g(x2)=221

玉+1x2+1(七+1)(9+1)'

①當(dāng)再<%<-1時(shí)，再+1<0,工2+1<0,工2—再>°,

則g(xJ-g(X2)>0,即g(xj>g(x2)，

故g(x)在區(qū)間(-8,-1)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)一1<玉</<0時(shí)，Xj+1>0,x2+1>0,x2-Xj>0,

則g(xj-g(x2)>。，即g(±)>g(x2),

故g(x)在區(qū)間(-1,0)單調(diào)遞減，

③當(dāng)0<再<%2時(shí)，%1+1>0,X24-1>0,X2-%1>0,

則g(xJ-g(X2)>0,即g(xj>g(x2),

故g(X)在區(qū)間(o,+8)單調(diào)遞減，

綜上，g(x)在區(qū)間(-8,-1)和和(T0)和(0,+8)上分別單調(diào)遞減.

18.(17分)

已知函數(shù)"X)的定義域?yàn)閷?duì)任意/ve(T,l),都有〃")-/3)=/(產(chǎn)］,并滿足對(duì)任意

x15x2e(-l,O］,當(dāng)X產(chǎn)Z時(shí)，都有"&)―/(~)>0.

再-x2

(1)求/(o)的值，判斷“X)的奇偶性并給出證明；

(2)解不等式：/(1+x)-一x+；j>0；

⑶記max{a,3表示°,6中較大的值，若對(duì)Wxe(-l,l),都有max，(x),/+加|x|+。卜0,求實(shí)數(shù)加的取值范

圍.

【答案】(1)0;/(均為偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析；

⑵［心…上；

⑶_|',+c0］.

【分析】(I)賦值后求出〃0)=0,令丫="再由偶函數(shù)的定義得證；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及偶函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組求解；

(3)由題意轉(zhuǎn)化為求Vxe(-1,1),/+機(jī)|刈+：20,換元后分離參數(shù)，利用基本不等式求最值得解.

【詳解】(1)/(x)為偶函數(shù)，證明如下：

因?yàn)椤癤)的定義域是(7,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

令…=0,則〃0)-/(0)=/(0),所以"0)=0,

令丫=一〃，貝IJ/(〃)-/(-")=/(^^)=/(0)=0,

所以〃")=/(-"),所以"X)為偶函數(shù).

(2)不妨設(shè)由」(為)一、(%)>0,得/(占)</G2),

X］一工2

則“X)在(-1,0］上單調(diào)遞增，又“X)是定義在(-1.1)上的偶函數(shù).

所以“X)在［0,1)上單調(diào)遞減.

則〃l+x)-/］-x+￡|>0可變形為/(1+必>小+￡|=小-￡|,

—1<1+X<1

貝人一i＜一》+萬(wàn)＜i,解得一5＜》＜一彳.

|l+x|<

故所求不等式解集為卜＜X＜一；

(3)由(1)(2)知/(x)1mx=0,

VxG(-1,1),x2+m|x|+-^＞0,^/=|X|G[0,l),Z2++-^＞0,

當(dāng)1=0時(shí)，meR；當(dāng)”0時(shí)，機(jī)+,恒成立，故加+：

因?yàn)閒曰=2,當(dāng)且僅當(dāng)/=：時(shí)等號(hào)成立，故機(jī)2一].

9tV9/333

綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍是-|，+s)

19.(17分)

已知集合/={%嗎，應(yīng)}(%?2),其中qeZ(i=l,2,左)，新定義1個(gè)性質(zhì)G：若對(duì)任意的xe/,必

有-xe/,則稱集合/具有性質(zhì)G.由/中元素可構(gòu)成兩個(gè)點(diǎn)集P和0：P=\^x,y)\x&A,y&A,x+y&A\,

Q={(x,y)\xeA,y^A,x-yeA],其中尸中有加個(gè)元素，。中有"個(gè)元素.

⑴已知集合J={0,l,2,3}與集合K={-1,2,3}和集合￡={“了=/一2工+2},判斷它們是否具有性質(zhì)G,若有，

則直