2025-2026學(xué)年上海市閔行區(qū)九校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，共24分，每題只有一個選項正確）

1.（4分）已知線段。=3,c=12,如果線段b是線段a和c的比例中項（）

A.±6B.6C.36D.-6

2.（4分）下列各組圖形不一定相似的是（）

A.兩個等腰直角三角形

B.兩個含有100°內(nèi)角的等腰三角形

C.兩個含有50°內(nèi)角的等腰三角形

D.兩個含有50°內(nèi)角的直角三角形

3.（4分）已知RtZX/IBC中，ZC=90°,AC=4,那么下列各式中，正確的是（）

9999

A.sinJ=—B.cos/（="C.tanA=—D.cotA=—

3333

4.（4分）在△48C中，點。、E分別在邊力8、AC上，聯(lián)結(jié)OE（）

A.DE//BCB.ZAED=ZB

C.AE：AD=AB：ACD.AE：DE=AC：BC

5.（4分）下列命題中，正確的是（）

A.如果e為單位向量，那么a=|ale

B.如果a、b都是單位向量，那么軟=b

C.如果軟=-b?那么a〃b

D.如果|a|=|b|，那么a=b

6.（4分）如圖，一塊矩形木板4BCO斜靠在墻邊，OCVOB,B,C,D,。在同一平面內(nèi)，AB=\,ZBCO

=a，則點/到OC的距離為（）

A.tana+4sinaB.tana+4cosa

C.sina+4cosaD.cosa+4sina

第1頁（共25頁）

二、填空題（本大題共12題，每題4分，共48分）

7.（4分）如果a：b=2：7,那么代數(shù)式土M的值是.

8.（4分）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是4：9,那么它們的對應(yīng)中線之比等于.

9.（4分）如果在比例尺為1：1000000的地圖上，力、8兩地的圖上距離是1.8厘米，那么4、8兩地的實

際距離是千米.

10.（4分）計算：5（a-b）-（a+b）=?

U（4分）一個三角形框架的模型的邊長分別為20厘米、30厘米、40厘米，木工將一根長270厘米的木

條鋸成三段，首尾依次相連做成一個與模型相似的三角形框架，那么所制作的三角形框架的最短邊長為

厘米.

12.（4分）點8是在線段力。上，且力爐=8C?4。，如果4C=\2crn,那么14的長為

13.（4分）一段公路路面的坡度為i=l：2.4,如果某人沿著這段公路向上行走了260米，那么此人升高

了米.

14.（4分）如圖，已知人〃/2〃/3,直線48分別交八、b、h于4、M、B,直線CO分別交八、b、八于C、

15.（4分）如圖，。上是△48C的中位線，M是。E的中點，則SgMN：S四邊形Q8C，w=

16.（4分）如圖，在平行四邊形/4C0中，點E在邊BC上,如果44=6,BC=3EC

第2頁（共25頁）

AD

F

17.（4分）如圖，在中，NAPB=120°,C＞。在邊力4上，且△PC。是邊長為4的等邊三角

形.

AC

18.（4分）如圖，在RtZ\"C中，ZC=90°,4C=8,點。是邊N4的中點.把Rl△44c繞點C旋轉(zhuǎn)

得到△/IAICI，其中力1、Bi分別為點力、4的對應(yīng)點.如果△力mI。的一個銳角的頂點在射線。。上,

那么BBi的長是.

三、解答題（本大題共7題，共78分）

19,（10分）計算：2cos45°-3tan300sin600產(chǎn)”尊

cos60

20.（10分）如圖，在梯形ABCD中,48〃CQ,點E是邊CO的中點，聯(lián)結(jié)8七交對角線4C于點F,設(shè)足=%,

AD=n.

（1）AC=；AF=；（用m、n表示）

（2）求作：正在］1方向上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）

DEC

/\

21.（10分）已知：如圖，在△力8C中，AB=AC=5,。是邊18上一點，且tan/OC8=S.

第3頁（共25頁）

（1）試求cosB的值;

（2）試求△8CO的面積.

22.（10分）為了監(jiān)控大橋下坡路段車輛行駛速度，通常會在下引橋處設(shè)置電了眼進(jìn)行區(qū)間測速，如圖,

離地面的鉛垂高度尸。為16米，區(qū)間測速的起點為下引橋坡面點力處；區(qū)間測速的終點為下引橋坡腳

點8處，此時電子眼的俯角為53°（力、B、P、。四點在同一平面）

（1）求路段80的長;

（2）當(dāng)下引橋坡度，?=1：3時，如果測速路段48限速30而德?，小汽車用時2秒勻速通過電子眼區(qū)間

測速路段48（參考數(shù)據(jù)：tan530*4sin53°^0.8?cos53°^0.6,tan27°^0.5,sin270^0.45,cos27°

~0.89,710:^3.2)

23.（12分）己知：如圖，在△48C中，點。在邊川？上，且NACD=NB=NB4E.

⑴求證:翁嚙

2

（2）當(dāng)點E為C。中點時，求證：

CE2AD

24.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與工軸交于點4點。的坐標(biāo)是（1,0）,聯(lián)

結(jié)BC.

（1）求△/1BC的面積；

（2）如果點。在線段AC上，且NCBO=NC4D,求點。的坐標(biāo)；

第4頁（共25頁）

（3）如果點P在直線y=x+4上，且△48。與△P08相似，求線段8P長度.

25.（14分）如圖，在等腰△/1BC中，AB=AC=\5,tanZABC=—?聯(lián)結(jié)CO,以CO為底邊作等腰△CZ）E

3

（點E與點8在直線。兩側(cè)），聯(lián)結(jié)力￡

（1）求邊8C的長；

（2）當(dāng)點。在線段/以上時，設(shè)線段4。的長為小△力?！甑拿娣e為/

（3）當(dāng)△4EC是直角三角形時，求x的值.

第5頁（共25頁）

2025-2026學(xué)年上海市閔行區(qū)九校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

題號123456

答案BCDDCD

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，共24分，每題只有一個選項正確）

1.（4分）已知線段。=3,c=12,如果線段力是線段a和c的比例中項（）

A.±6B.6C.36D.-6

【解答】解：???線段b是線段4、C的比例中項,

/.tr=acf

Vtz=3?<?=12,

???加=36,

解得：6=6（負(fù)數(shù)舍去），

故選：B.

2.（4分）下列各組圖形不一定相似的是（）

A.兩個等腰直角三角形

B.兩個含有100°內(nèi)角的等腰三角形

C.兩個含有50°內(nèi)角的等腰三角形

D.兩個含有5（）。內(nèi)角的直角三角形

【解答】解：/、兩個等腰直角三角形一定相似；

B、兩個含有100°內(nèi)角的等腰三角形一定相似；

C、兩個含有50°內(nèi)角的等腰三角形不一定相似：

D、兩個含有50°內(nèi)角的直角三角形一定相似.

故選：C.

3.（4分）已知RtZV13C中，ZC=90°,JC=4,那么下列各式中，正確的是（）

9999

A.sinJ=—B.cos/（=-C.tan^=~D.cotA=-=-

3333

【解答】解：?.?NC=900,BC=6,

AB=2413^

第6頁（共25頁）

A.

AB13

B.cos4=￡>=2y；

AB13

C.taivl=^-=—；

AC3

故選：D.

4.（4分）在△力SC中，點。、￡分別在邊力夕、力C上，聯(lián)結(jié)。E（）

A.DE//BCB.4AED=NB

C.AE：AD=AB：ACD.AE：DE=AC：BC

【解答】解：如圖，

力、*：DE//BC,

???△/!〃七s△/4a故本選項錯誤：

B、VZAED=ZB,

:.△ADEs/\ACB,故本選項錯誤；

C、???/￡：AD=ABxAC,

:.AADEsAACB,故本選項錯誤；

D、AE：DE=AC：8c不能使△4OE和△力〃。相似.

故選：Q.

5.（4分）下列命題中，正確的是（）

A.如果e為單位向量，那么a=|ale

B.如果;、3都是單位向量,那么;=E

C.如果之=-b.那么!〃E

D.如果它=值，那么2=3

【解答】解：A.如果之，且Z與；方向相同時；=|；￡

第7頁（共25頁）

B、如果a、b，那么a=b.

C、如果獲，貝IJ向量獲的大個相等，那么

D、若|獲那么弱E，但是方向不一定相等，即Z=E，故本選項不符合題意.

故選：C

6.（4分）如圖，一塊矩形木板NBCO斜靠在墻邊，OC1OB,B,C,D,。在同一平面內(nèi)，AB=\,ZBCO

=a,則點力到0c的距離為（）

A.tana+4sinaB.tana+4cosa

C.sina+4cosaD.cosa+4sina

【解答】解：作于點￡,作力尸_LO4于點E

?：0C工OB,:?NAFB=NAE()=NBOC=90°,

???四邊形力石。尸是矩形，

；?AE=FO,

???四邊形48co是矩形，AB=\,

AZJ5C=90°,BC=AD=4,

〈NBCO=a,

：.ZCBO=W-a,

AZ/1^F=18O0-AABC-ZCBO=\^0-90°-(90°-a)=a,

在RlZX/8/7中，F(xiàn)B=AB*cosZABF=cosa,

在RtA5OC中，8O=8C?sin/8CO=6sina,

；?AE=FO=尸8+8。=cosa+4sina,

點A到OC的距離等于cosa+4sina,

故選：D.

第8頁（共25頁）

二、填空題（本大題共12題，每題4分，共48分）

7.（4分）如果公b=2：7,那么代數(shù)式文二生的值是.

b7

【解答】解：???〃：6=2：7,

?.?a_一7

b7

?b-a7-85

b78

故答案為：￡.

7

8.（4分）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是4：9,那么它們的對應(yīng)中線之比等于4：9.

【解答】解：???兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是4：9,

???這兩個相似三角形的相似比為5：9,

???它們的對應(yīng)中線之比等于4：3.

故答案為：4：9.

9.（4分）如果在比例尺為1：1000000的地圖上，A.8兩地的圖上距離是1.8厘米，那么4、8兩地的實

際距離是18千米.

【解答】解：設(shè)實際距離為x厘米，

根據(jù)題意，得1：10000（）0=1.7：x,

解得：x=1800000,

?"、8兩地的實際距離是18千米,

故答案為：18.

10.（4分）計算：5（a-b）-（a+b）=_4aji_6b—?

【解答】解：5（a-b）-（a+b）

=5a~6b-a-b

=4a-6b-

第9頁（共25頁）

故答案為：3a-6b.

11.（4分）一個三角形框架的模型的邊長分別為20厘米、30厘米、40厘米，木工將一根長270厘米的木

條鋸成三段，首尾依次相連做成一個與模型相似的三角形框架，那么所制作的三角形框架的最短邊長為

60厘米.

【解答】解：設(shè)制作的三角形框架的最短邊長為工厘米，

???三角形框架的模型的邊K分別為20厘米、30厘米，

???三角形框架的模型的周長為：20+30+40=90（厘米），

則三角形框架的模型與制作的三角形框架的周長比為：90：270=1：3,

???20：x=5：3,

解得：x=60,

???制作的三角形框架的最短邊長為60厘米，

故答案為：60.

12.（4分）點4是在線段力C上，且如果4c=12c〃?，那么月4的長為（?6+6而）.cm.

【解答】解：設(shè)4則BC=（12-x）cm.

■:AB2=BOAC,

?4=（12-X）X12,

解得x=-3+6函或-4-6代，

：.AB=（-8+6函）cm.

故答案為：（-3+675）?

13.（4分）一段公路路面的坡度為i=l：2.4,如果某人沿著這段公路向上行走了260米，那么此人升高

了100米.

【解答】解：設(shè)此人升高了x米，

???公路路面的坡度為i=l：2.6,

???此人行走的水平距離是2.4x米，

由勾股定理得：/+（2.4x）3=2602,

解得：x=100（負(fù)值舍去）,

故答案為：100.

14.（4分）如圖，已知/l〃/2〃/3,直線/出分別交八、/2、，3于力、〃、B，直線分別交八、/2、八于。、

N、D,力M=4,歷8=6,那么ND=5.4.

第10頁（共25頁）

ABCD

?.?―4=_-C-N-，

4+89

解得CN=35,

:.ND=CD-CN=9-3.8=5.4

故答案為：34

15.（4分）如圖，。&是△48C的中位線，必是OE的中點，則SADWN：S^.DRCM=1：15

【解答】解：???。七為△48。的中位線，

J.DE//BC,DE=L,

2

:?/NDM=/B,/NMD=/NCB,

：.4NDMS/\NBC,

?，必為。七的中點，

即相似比為1：4,

26

*,?S4NDM:S&v”c=3：16>

則SADMN：S四邊形DBCM=1：15.

故答案為：1：15.

16.（4分）如圖，在平行四邊形力8c。中，點E在邊8c上，如果48=6,BC=3EC9

第11頁（共25頁）

AD

F

【解答】解：???四邊形"CO是平行四邊形，AB=6,

：.CD//AB,CD=AB=6,

???點E在邊8C上，4E的延長線交QC的延長線于點立

:.FC〃AB,EB=BC?EC=4EC,

:.AFCEsAABE,

?FC-EC-EC_1

**ABEB2EC3,

，F(xiàn)C=LB=7,

2

:?DF=FC+CD=9,

故答案為：9.

17.（4分）如圖，在△口8中，NAPB=120：C、。在邊力4上，且△PCQ是邊長為4的等為三角形，

或8.

:,PC=CD=PD,NCPD=NPCD=NCDP=60°,

VZCPD=60°,NAPB=120°,

；?N4PC+NBPD=-/CPD=120°-60°=60°,

VZPCD=ZPZ)C=60°,

???N8OP=1800-ZPDC=120°,ZJCP=1800-ZPCD=120°,

：,ZPAC+ZAPC=\^0°-ZACP=60°,

:.NBPD=/PAC,

同理可得N力PC=NP8O,

???△ACPs^PDB,

AAC_=PC_,即工=_4_,

PDBD414-X-5

第12頁（共25頁）

解得x=2或8,

經(jīng)檢驗x=4或8是分式方程的解.

故答案為：2或8.

18.（4分）如圖，在Rt△/4。中，ZC=90°,力C=8,點。是邊力3的中點.把Rt△48c繞點C旋轉(zhuǎn)

得到△小8iG，其中小、8i分別為點力、8的對應(yīng)點.如果△小以。的一個銳角的頂點在射線CQ上,

那么BB】的長星—空叵或12恒—.

【解答】解：在RtA48C中，Z/1C5=9O°,JC=8,

由勾股定理得：45=JBC之+AC42+,=I。，

???點。是邊48的中點，

：.DC=DA=DB=^4B=5,

3

???4DAC和△Q8C都是等腰三角形，

:?/A=/DCA,ZABC=ZDCB,

當(dāng)△小歷。的一個銳角的頂點在射線co上時，有以下兩種情況:

①當(dāng)點由在射線CO時，設(shè)心生與8C相交于點E,如圖1所示:

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZC^151=ZJ,ZAsB\Ci=ZABC,ASCI=AC=S,&G=8c=6,A(yB\=AB=\0,

ZA\C(yB\=ZACB=90°,

第13頁（共25頁）

：.ZC\A3B\=ZDCA,

：.A\Bi//AC,

；?/CEBi=NACB=90°,

即4I84_L8C,

由三角形的面積公式得：SAftnr=L134]?CE=LIC]?47CI，

25

.?,XxiO*C￡=-l-,

32

.??"=竺

7

:?BE=BC-CE=6-絲=2,

55

在RtZ\C5iE中，由勾股定理得：84=也（；]302=

22

在中，由勾股定理得：8歷=A/B8E+BE=，（號）2+號）2=呼"；

V237

②當(dāng)點在射線C。時，設(shè)小治與4c相交于點R過點、B1作B1H工BC于點H,如圖6所示:

圖2

VZAIB]C6=ZABC,ZABC=ZDCB,

ZA\B\Ci=^DCB,

；?A\B1〃BC,

???N4%=N/C8=90°,

BPJC±JiZ?i，

由三角形的面積公式得：SAaDr=?山喈1C5,

△y22

.?蔣X10-CF=yX8X3?

乙乙

???。尸=純

5

在RtA5C3/中，由勾股定理得：仍尸=JB1C22-CF2=《62_（絲）3=段,

第14頁（共25頁）

'：ACLA\Bi，BTHtBC于點H,NACB=90°,

???四邊形創(chuàng)是矩形，

：.BSH=CF=2^.,CH=BIF=坦,

55

:?BH=BC-CH=6-11=11,

54

2227

在中，由勾股定理得：BB\=^B6H+BH=^（^-）+（-^-）=^^

綜上所述：“施的長是紅叵或絲叵.

55

三、解答題（本大題共7題，共78分）

以。。分）計算：2cos45。-3tan3。。sin6。。篇2?

Fot450

【解答】解：2cos45°-3tan30°sin600

cos600

V2-V3_VL.X

-hRAX---htz\x7\xH

2327_

2

=V2-y+2

乙

20.（10分）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,點E是邊CD的中點，聯(lián)結(jié)BE交對角線AC于點F,設(shè)瓦二%,

（2）求作：正在益、三方向上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）

?*-DC=fAB=y^

?*-AC=AD+DC=n+^-m-

丁點E是邊CO的中點,

第15頁（共25頁）

；?CD=8CE,

：.ABzCE=3：1.

?:AB"CD,

:AABFSACEF,

，空區(qū)&

CFCE

???AF4AC，

4

???屈:4正小章.

454

故答案為：n《m；ym+^-n-

(2)如圖，標(biāo)，疝分別為AF在in、n-

（2）試求△ACT）的面積.

?：AB=AC,

：,BE=CE=^BC=^

22

在Rt△力BE中，COS8=EL=￡

BA7

(2)作DF1BC于凡如圖，

在RtZ\C。/中，tan/OC尸=或=3

CF5

設(shè)=3x,則C尸=5萬，

第16頁（共25頁）

在中，J￡=757-42,

tan^=-^-=—,

BE4

在RtZ\8。/中，tan8=1L=3,

BF5

而DF=3x,

：,BF=4x,

???BC=BF+CF=5x+5x=9x,

即6x=8,解得x=&,

：.DF=3x=^

6

/.S^BCD=1X0"X3C=Sx型2

243

B-----Fl------

22.（10分）為了監(jiān)控大橋下坡路段車輛行駛速度，通常會在下引橋處設(shè)置電子眼進(jìn)行區(qū)間測速，如圖，

離地面的鉛垂高度P0為16米，區(qū)間測速的起點為下引橋坡面點力處；區(qū)間測速的終點為下引橋坡腳

點8處，此時電子眼的俯角為53°（4、B、P、。四點在同一平面）

（1）求路段3。的長；

（2）當(dāng)下引橋坡度/?=1：3時，如果測速路段力4限速304加兒小汽車用時2秒勻速通過電子眼區(qū)間

測速路段44（參考數(shù)據(jù)：tan53°能生，sin530心0.8,cos53°^0.6,tan270a0.5,sin270^0.45,cos27°

QB

【解答】解：（I）???在坡角點4處時，電子眼的俯角為53°,

:?/QPB=9D0-53°=37°,

?；NPQB=90°,

第17頁（共25頁）

???NP80=53°，

V￡2-=tantan53°,

BQ

12（米）,

3

答：路段8。的長約為12米:

(2)如圖，過點力作/1C_L6。丁點C,

則四邊形4C0。是矩形,

：.AD=CQ,DQ=AC,

???引橋坡度i=5：3,

?.?AC■—_—1,

BC3

設(shè)4C=x米，則8c=34米，

在RtZ\4C5中，由勾股定理得：48rAe246c5rx?+⑶/=板.

：,PD=PQ-DQ=(16-x)米，

???在面點N處,此時電子眼的俯角為27°,

:?/APD=9。。-27°=63°,

VZADP=9^,

:"PAD=T1°,

V.￡2.=tanZ^￡）=tan270,

AD

：,AD=-PP。-（32-6x）（米）,

tan2700.5

，：CQ=BC+BQ=（3x+12）米,

A3A-+12=32-4x,

解得：x=4,

：.AB=y/lQx^\2.S（米）,

第18頁(共25頁)

???該車的平均速度為口=也且=6.2（米/秒）=23.04加?/人

2

V23.04W/Z<30A7W/A,

工小汽車沒有超速.

23.（12分）已知：如圖，在。中，點。在邊48上，且N/ia）=N8=N8/i￡.

（1）求證:

BCAC

（2）當(dāng)點石為CO中點時，求證：0

CE2AD

【解答】證明：(1)VZACD=ZB=ZBAE,ZBAC=ZBAE+ZCAE,

/.ZAED=ZBAC,

?：NDAE=NB,

工AAEDs^BAC,

.AD=DE

**BCAC,

(2)?:NADE=NCDA,NDAE=N4CD,

:?△DAES/\DCA,

?.?AE.DE

ACAD

,：DE=EC,

.AE=AC

**CE記’

.AE2-AC8

CE2AD2

VZDAC=ABAC,/ACD=/B,

:?△ACDsAABC,

.\AC2=AD^AB,

第19頁（共25頁）

?AE3_AD?AB_空

EC2AD2AD

24.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線），=x+4與x軸交于點力，點。的坐標(biāo)是（1,0）,聯(lián)

結(jié)BC.

(1)求。的面積;

如果點力在線段8c上，且NCBO=NC4D,求點。的坐標(biāo);

(3)如果點P在直線y=x+4上，且△力BC與△PO8相似，求線段8P長度.

【解答】解：（1）???直線），=/4與x軸交于點兒與），軸交于點8,

令x=0,則y=8,

:.B(0,4),

：?OB=5,

令y=0,則x=-4,

：,A(-7,0),

???CM=4,

???點C的坐標(biāo)是（3,0）,

：,OC=\,

C=O/4+OC=8,

JAABC的面枳=LXXC?O3=Wx;

22

<2）設(shè)直線8。的解析式為,=/〃力”,

,:B(0,5),0),

.(m+n=0

，，ln=5

m=-4

解得:

n=4

???直線BC的解析式為y=-2什4,

NCBO=NC4D,點。在線段8C上，設(shè)力。與y軸交于點E,

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\*OA=OB=4,2coB=/EOA,

又?：ZCBO=/CAD,

:?△CBO妾AEA。｛ASA）,

：?0E=0C=6,

?"（0,1）,

設(shè)直線力￡的解析式為y=Ax+b,

/f-7k+b=0t

**tb=l

k=￡

解得:

b=l

???直線AE的解析式為丁=乎+1,

y=-4x+2

聯(lián)立y=-4x+4,得:1?

y="x+3

12

17

解得:

四'

17

???點D的坐標(biāo)為

(3)如圖，過點P作P￡_Ly軸于點E,

?；04=08,

AZABO=ZBAO=45°,

:.PE=BE,

第21頁(共25頁)

X

ySo\x

圖3

???F在直線y=x+4上，*0=60=4",

設(shè)P（x,.r+4）,

：.PE=BE=\x\,

???吁伍1，