2025-2026學(xué)年四川省平昌中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知向量五二(一2,1,0)，b=(0,1,2),則2五一方二()

A.(-4,1,-2)B.(4,-l,2)C.(-2,0,-2)D.(-2,2,2)

2.若傾斜角為45"的直線［經(jīng)過兩點/!(一8,m),B(m,4),則m的隹為()

A.-2B.1C.2D.3

3.在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，事件4表示“向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)是5或

6”，事件C表示“向上的點數(shù)小于5”，則下列說法正確的是()

A.,4與8是對立事件B.B與C是對立事件C.A與C是互斥事件D.4與8是互斥事件

4.如圖，在空間四邊形045C中，OA=a>OB=b^^=d點M在。力上，且|OM|=N為的

中點，則而等十()

一，言一

A..1.—-a-2-7b*+.-1c-B.-2cz+-2b--1c

LSL33/

C.-|a+1b+icD.ia+jS-i?

5.在長方體ABCD-A/iGDi中，AB=BC=1,AA1=73,則異面直線AD1與2）當(dāng)所成角的余弦值為（）

6.卜,列命題中正確的是()

A.點M(3,2,1)關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標(biāo)是(一3,2,-1)

B.若直線，的方向向量為3=(1,-1,2),平面a的法向量為沆=(6,4,-1),貝“l(fā)a

C己知。為空間任意一點，A,B,C,P四點共面，且任意三點不共線，若而二m初一"麗+無，則

m=--1

D.若直線!的方向向量與平面。的法向量的夾角為120。，則直線，與平面a所成的角為30°

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7.已知M(3,2,3)是空間一點，直線，過點N(2,l,l)且一個方向向量為五=(-1,-1,0),則M到直線Z的距離為

()

A.1B.V7C.2D.3

8.甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個數(shù)字記為Q,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記

為力,且Q,匕￡{0,1,2,...,9}.若佃-加工1,則稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲,則二人“心

有靈犀”的概率為()

ALB—r—D2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知空間中三個向量己=(1,2,0),S=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),則下列說法正確的是()

A.3與乙是共線向量B.與d同向的單位向量是(卷,等,0)

C.不在G方向上的投影向量是(-1,-2,0)D.五與B的夾角為90。

10.下列說法正確的有()

A.甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是〈J,則題被解出的概率是:

B.若48是互斥事件,則P(AB)=P(A)P(3)

C.已知事件A,8發(fā)生的概率分別為P(A)=]P(8)=3.P(lB)=g則事件A,8相互獨立

D.一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是、

O

11.在正方體48。。-418田山1中，A8=2,E為為。】的中點，F(xiàn)是正方形BaGC內(nèi)部及邊界上一動點，

則下列說法正確的是()

A.平面FBOi平面

B.當(dāng)EF=%時，點產(chǎn)的軌跡長度為亨

C.存在直線E尸與平面8當(dāng)。傳內(nèi)的直線成30。角

D.若G,”分別為4G的三等分點，則|GF|+|H/|的最小值為空

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某種心臟手術(shù)，成功率為0.9,現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計算

器或計算機產(chǎn)生0?9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.9,我們用0表示手術(shù)不成功，1,2,3,4,

5,6,7,8,9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組

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隨機數(shù):812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的

概率為.

13.設(shè)平面a,0的法向量分別為(1,2,-2),(一2,—4#)，若a〃夕，則』=

14.在長方體力8C0-中，AD=AA1=3,AB=4f￡/,6分別是棱6。1，風(fēng):,。6的中點，M是平

面48。。內(nèi)一動點，若直線AM與平面EFG平行，則麗?西的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖.在長方體中,AB=4,40=3,AAt=2.點、E、F.G分別是棱8。、CD、

(1)求證：AG八!/平面GEF：

(2)求直線AG到平面QEF的距離.

16.(本小題15分)

將一次考試所有學(xué)生的成績，做成的頻率分布直方圖如圖所示，第一組成績在［50,60),第二組成績在

［60,70),第三組成績在［70,80),第四組成績在［80,90)第五組成績在［90,100］

(1)求圖中a的值，估計本次考試成績的平均分；

(2)老師準(zhǔn)備將在本次考試中成績排名在前1的同學(xué)定為優(yōu)秀，發(fā)獎鼓勵，估計此次考試成績優(yōu)勝的分?jǐn)?shù)

線：

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(3)若本次考試共20人參加，現(xiàn)計劃從分?jǐn)?shù)低于70分的同學(xué)中隨機抽取2人談心，求2人分?jǐn)?shù)都在[50,60)的

概率.

17.(本小題15分)

某次答辯活動有4道題目，第1題1分，第2題2分，第3題3分，第4題4分，每道題目答對給滿分，答錯不給

分,甲參加答辯活動，每道題都要回答，答對第1,2,3,4題的概率分別為:，i,i,i,且每道題目能否

答對都是相互獨立的.

(1)求甲得10分的概率；

(2)求甲得3分的概率；

18.(本小題17分)

如圖，已知在平行六面體4BCD—48165中，AB=4,AD=4,AAr=5,乙DAB=0,^DAAr=4BA&=

60SM,N分別是AG，Ga的中點.

(1)若對角線4G的長度為/用時，求8的值.

(2)求證：MN1AG.

19.(本小題17分)

在Rt△ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,O,E分別是4上的點，滿足OE/\!/8c且OE經(jīng)過△48。

的重心，將A4DE沿OE折起到AA]OE的位置，使&CJ.C。，”是公。的中點，如圖所示.

(1)求證：AiCl平面8CDE：

(2)求CM與平面4BE所成角的大小：

(3)在線段4C上是否存在點N,使平面C8M與平面BMN成角余弦值為苧？若存在，求出CN的長度；若不

存在，請說明理由.

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參考答案

\.A

2.A

3.B

4.C

5.A

6.0

7.C

S.A

9.BC

\().AC

1l.ARD

12.0.8/g

13.4

14.^/25

15.【詳解】(1)以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(3,0,0),G(|,0,2),G(0,4,2),F(|,4,0),尸(0,2,0),

所以次=(一|,0,2),西=(-1,0,2),(-3,2,0),EF=(-|,-2,0).

所以祐=西，AGf/EC^

又AGC平面GEF,且EGu平面QEF,

??"G〃平面GEF.

(2)???4G〃平面

.?.點4到平面GE網(wǎng)勺距離即為直線AG到平面。止尸的距離.

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33

T西

n-X+-o-X

=-22z4

設(shè)平面的法向量為五=，則32y3

GEF(%,y,z)-X-O-X

n?EF=—2-4

?。?4,則五=(4,-3,3)是平面的一個法向量.

所以點A到平面GE尸的距離為d=愕=接=察?

即直線力G到平面6"的距離為挈.

16.【詳解】(1)由題意得(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=l,解得a=0.005；

本次成績平均分的估計值為(2x55+3x65+7x75+6x85+2x95)x0.005x10=76.5：

(2)老師準(zhǔn)備將在本次考試中成績排名在前［的同學(xué)，定為成績優(yōu)秀，故求第75%分位數(shù)的分?jǐn)?shù)即可，

(0.01+0.0154-0.035)x10=0.6<0.75<(0.01+0.015+0.035+0.03)x10=0.9,

故75腎分位數(shù)在［80,90)內(nèi)，故第75%分位數(shù)的分?jǐn)?shù)為80十喏x10-85分，

U?《3

故此次考試成績優(yōu)秀的分?jǐn)?shù)線為85分.

(3)低于70分的同學(xué)的頻率為(0.01+0.015)X10=0.25,所以低于70分的同學(xué)應(yīng)抽取20X0.25=5人,

其中成績在［50,60)的人數(shù)為20xD.01xl0=2人，

記這5人為a,b,其中a,匕為成績在［50,60)的兩位同學(xué)，

從中任取兩人有(a,b)t(a,A),(a,8),(a,C),(b,A),(b,B),也C),(AB),(A,C),(8,C)共10種取法,

其中2人分?jǐn)?shù)都在［50,60)的取法有1種，

所以2人分?jǐn)?shù)都在［50,60)的概率為余

17.【詳解】(1)解.：因為答對第1，2,3,4題的概率分別為,且題目能否答對都是相互獨立,

根據(jù)相互獨立的概率乘法公式，可得甲得10分的概率為P=|xixlxi=-^-.

(2)解：根據(jù)題意，甲得3分，可分為兩種情況：甲答對第1題和第2題或甲僅答對第3題，

甲答對第1題和第2題的概率為P】=3xgx(1-；)x(1-g=需

甲僅答對第3題的概率為P2=(l-i)x(l-1)xix(l-1)=^,

所以甲得3分的概率為P=匕+P2=卷+2=也

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18.【詳解】⑴設(shè)適=方，而=3,麗*=*三個向量不共線，則⑹瓦遜構(gòu)成空間的一個基底,

且宿

=AB+AD+AAi=a+b+ct

網(wǎng)=卮=器+b+?)2=Ja2+b2+c2+2ab+2b-c+2c-a

=V16+16+25+2x42cos0+2x4x5cos60°4-2x4x5cos60°=V97+32cos6=V113,

則cose=J,e￡(o,n),故。=?.

(2)而=西+物4一g無斯=五+方+乙

則而?福=Qa-?(a4-64-c)=|a24-1a-b+|a-c-ia-b-^S2-c

=+1a?c-:方2-i5-c=1x42+|x4x5cos60°-1x42-^x4x5cos60°=0.

故MN1AC「

19.【詳解】(1)因為在RtA48C中，Z.C=90°,DENJBC,且BC1CD,

所以0E1CD,DELAD,則折疊后，OElAi。，

又勺。u平面小。。，

C\CD=D,AXD,CD

所以O(shè)EJ■平面AiCu平面.41C0,所以0EJ.41C,

乂已知41cleD,(^00/二0且都在面⑶。。^%,所以41cl平面BCDE；

(2)由(1),以CD為x軸，CB為y軸，C4為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C一xyz.

2

因為力。=2。。，故0E=(BC=2,

由幾何關(guān)系可知，

CD=2,A1D=4,ArC=2y/l,

故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0)，&(0,0,2/I),M(1Q,V3),

CM=(l,0,/3),福=(0,3,-2、⑸，=(2,2,-2/3),

設(shè)平面4/E的法向量為元=(x,y,z),則［本竺二°,即13y-2/3z=0

(n-A1E=0(2x+2y-2cz=0

不妨令y=2,則z=，5,x=1,n=(1,2,V3).

設(shè)CM與平面?所成角的大小為e,

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則有sin。=|cos(o7,n)|=端=4=苧,

設(shè)。為CM與平面&BE所成角，故9=%

即CM與平面A18E所成角的大小為余

(3)假設(shè)在線段41c上存在點N,使平面C8M與平面BMN成角余弦值為寸.

在空間直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)