2025-2026學年上學期高一數(shù)學蘇教版期中必刷常考題之從函數(shù)觀點看一

元二次方程和一元二次不等式

一.選擇題（共6小題）

I.（2025?蔡甸區(qū)校級開學）已知關于x的一元二次方程扇-（2A-1）x+A-2=0有兩個不相筆的實數(shù)根，

則實數(shù)Z的取值范圍是（）

A.々>-/B.kV.

C.攵>一,且后0D./eV/且后0

2.（2024秋?和田縣期末）不等式-3，+7x-2V0的解集為（）

A.（3，2）B.（-8,g）u（2,+8）

11

C.（―2-W）D?（2,+co）

3.（2025秋?廣元校級月考）如圖，已知二次函數(shù)），=&1+法+。（存0）的圖象頂點在第一象限，且經(jīng)過A

（-1,0）、B（0,1）兩個點.則下列說法正確的是（）

①必cVO；②TVaVO：③OVbVl：@0<a+b+c<2.

A.①②B.①③④C.?@@D.①②③④

4.（2025?烏蘭察布校級三模）已知/（x）=ax2+bx是定義在3,甸上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）

11I1

A.—nB.-C.-5D.一

3322

5.（2025?譙城區(qū)校級開學）已知內(nèi)、只是一元二次方程.d+3x-〃=0的兩個不相等的實數(shù)根，刀、刈是一

元二次方程f-3x-〃=0的兩個不相等的實數(shù)根，其中〃>（）.若陽-刈=2|m-刈，則n的值為（）

A.8B.9C.12D.18

6.（2025?曲靖一模）已知集合A={x[（x-6）（x-10）<0},8={6,7,8,9,10},則（）

A.[6,7,8,9,10}B.{7,8,9}

C.(6,10)D.(7,9)

二多選題（共3小題）

（多選）7.（2025秋?臨潭縣校級月考）下列說法正確的是（）

A.命題：V.veR,?>-1的否定是：3AGR,?<-1

B.一元二次不等式2Z/+依-得V0對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)攵的取值范圍是（?3,0］

C.X2>v2是的必要而不充分條件

D.,〃（0是關丁人的方程計〃,=0有正負根的充耍條件

（多選）8.（2025秋?長子縣校級月考）已知關于x的不等式/+歷+區(qū)0的解集為爛?4或啟3｝,則（）

A.。>0

B.a+b+c>0

C.不等式bx+c>0的解集為｛小V12｝

D.不等式ex1-bx+a<0的解集為｛x|一/Vx<^）

（多選）9.（2024秋?遵義校級期末）已知不等式〃/+法+c>0的解集為｛x|2Vx<3｝,則以下選項正確的

有（）

A.abc>0

B.a+b+c>0

C.函數(shù)/（X）=ax1+bx+c有兩個零點2和3

D.c/+/zr+aV（）的解集為fx|無<￡或工刃｝

三.填空題（共3小題）

10.（2025秋?臨潭縣校級月考）已知關于x的一元二次不等式法-cVO的解集為｛x|3VxV5｝,則不等

式cW+bx-a>0的解集為.

II.（2025秋?豐順縣校級月考）已知函數(shù)/（%）=J2A校+月％+?的定義域為實數(shù)集R,則實數(shù)々的取值范

圍為.

12.（2025秋?浦東新區(qū)校級月考）任意在［0,I］都是不等式/+（〃-4）x+20-2a>0的解，求實數(shù)〃的

取值范圍.

四.解答題（共3小題）

13.（2025?蔡甸區(qū)校級開學）已知二次函數(shù)），=f-6x+5.

（1）求二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸；

（2）當1穌6時，函數(shù)的最大值和最小值分別是多少？

(3)當日夕+3時，函數(shù)的最大值為〃?，最小值為ri,若m-n=3,求t的值.

14.(2025秋?臨河區(qū)校級月考)若二次函數(shù)/(x)滿足/(0)=1,/(x+1)-/(x)=2x-1.

(I)求/(x)的解析式；

(II)若對于任意實數(shù)x,不等式/(幻Nor恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

15.(2024秋?貴州校級期末)已即集合A={x|-2V爛6},8={小2-2加計〃尸?1V0}.

(1)若加=5,求集合ADB；

(2)已知〃：xEA,q：xEB,是否存在實數(shù)相，使〃是夕的必要不充分條件，若存在實數(shù)〃?，求出加

的取值范圍：若不存在，請說明理由.

20252026學年上學期高一數(shù)學蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之從函數(shù)

觀點看一元二次方程和一元二次不等式

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

題號123456

答案CBDDDB

二.多選題（共3小題）

題號789

答案ADBCDACD

一.選擇題（共6小題）

1.（2025?蔡甸區(qū)校級開學）已知關于x的一元二次方程〃-（2A-1）x+A-2=0有兩個不相等的實數(shù)根,

則實數(shù)&的取值范圍是（）

A.k>-B.k<]

C.上>一]且寫0D.女（/且后0

【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)的判斷方法可直接構造不等式組求得結(jié)果.

【解答】解：由題意得：仁&-1）2-他"2）〉。,

解得：—/且原0.

故選：C.

【點評】本題主要考查一元二次方程的根的分布，屬于基礎題.

2.（2024秋?和田縣期末）不等式?3f+7x-2V0的解集為（）

A.號，2）B.（-8,寺）U（2,+8）

11

C.(―2*—2)D.(2,+oo)

【考點】解一元二次不等式.

【專題】整體思想：綜合法；不等式的解法及應用；運算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的因式分解和不等式的性質(zhì)求解一元二次不等式的解即可.

【解答】解：由?3『十7X-2<0可得3/-7A+2>0.

所以x>2或3<上

所以不等式的解集為(-8,芻u(2,+8).

故選：B.

【點評】本題主要考查了二次不等式的求解，屬「基礎題.

3.(2025秋?廣元校級月考)如圖，己知二次函數(shù).v=/+/w+c(存0)的圖象頂點在第一象限，且經(jīng)過A

(-1,0)>B(0,1)兩個點.則下列說法正確的是()

①HcVO；②-W0；③OVbVl；?0<a+b+c<2.

A.①②B.①③④C.???D.①②③④

【考點】由二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式或參數(shù).

【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.

【解答】解：由圖象可知二次函數(shù)圖象開口向下，則

因為圖象與y軸交點為4(0,1),所以c=l>0,

頂點在第一象限，對稱軸％=-/>0,

又因為。<0,所以〃>0,

所以McVO,故①正確；

因為圖象經(jīng)過A(-1,0)>B(0,1)兩個點，

所以{:二：+，=°，解得人="1，

因為〃V0,b>0,

所以?1VaVO,故②正確：

由-1VaVO得OV〃+1V1,即0V/?VI,故③正確：

因為圖象頂點在第?象限，且經(jīng)過A(-1,0),

由二次函數(shù)的對稱性可知與x軸另一個交點的橫坐標在(I,+oo)上，

所以當x=1時，?+/?+(,>0,

又因為-IVaVO,0V力VI,c=\,

所以0V〃+加V2,故④正確，

綜上所述，①②③④正確.

故選:D.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔迎.

4.(2025?烏蘭察布校級三模)已知/(x)是定義在［2〃-3,4〃］上的偶函數(shù)，那么a+b的值是()

1111

A.—}B.-C.一亍D.-

3322

【考點】二次函數(shù)的圖象及其對稱性.

【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維.

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)區(qū)間的對稱性，可求出。，再根據(jù)偶函數(shù)/(x)=/(-x),求出從從而求出什反

【解答】解：因為/(x)=/+法是定義在［2〃-3,44］上的偶函數(shù)，所以區(qū)間［2。-3,43關于原點對

稱，

則2a-3+4〃=0,解得a=i,

又/(1)=f(I),即a+b=ab,所以b=(),

故a+b=

故選：D.

【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題.

5.(2025?譙城區(qū)校級開學)已知川、r是一元二次方程f+3x-〃=0的兩個不相等的實數(shù)根，為、刈是一

元二次方程.r-3x-n=0的兩個不相等的實數(shù)根，其中H>0.若田-刈=2|473|,則n的值為()

A.8B.9C.12D.18

【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的圖象，拋物線與x軸的交點，即可結(jié)合函數(shù)圖象求解.

［解答］解：將方程x^+3x-”=()和f-3X-〃=0轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=9+3x-〃和)，=.1-3x-”，

如圖所示，

兩條拋物線都交于點(0,-〃)，開口方向和形狀均相同，

因為陽?X4|=2|X2~A3|,

所以OR=OC=AB=CD,

因為兩條拋物線的對?稱直線分別為x=-翔X=1

□Q

所以08=0C=AB=CD==

所以4=3,即C(3,0),

將點C代入y=f+3x?〃，得：〃=18.

故選：O.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

6.(2025?曲靖一模)已知集合A={x［(x-6)(x-10)<0},B={6,7,8,9,10},則ArB=()

A.{6,7,8,9,10}B.{7,8,9)

C.(6,10)D.(7,9)

【考點】解一元二次不等式；求集合的交集.

【專題】整體思想；綜合法；集合；運算求解.

【答案】B

【分析】先求出集合A,然后結(jié)合集合交集運算即可求解.

【解答]解：A={x\(x-6)(x-10)<0}=(6,10),8={6,7,8,9,10),

則AC8=[7,8,9).

故選:B.

【點評】本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎題.

二.多選題(共3小題)

(多選)7.(2025秋?臨潭縣校級月考)下列說法正確的是()

A.命題：V.vGR,?>-1的否定是：B.reR,?<-1

B.一元二次不等式2k/+以-2V0對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)4的取值范圍是(-3,01

C.?>y2是x>y的必要而不充分條件

D.是關于x的方程x2-2x+m=0右一正一負根的允要條件

【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系；求全稱量詞命題的否定；運用基本不等式求最值.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】AD

【分析】根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關系，可判斷A；根據(jù)一元二次不等式恒成立，數(shù)形結(jié)合

可求2的取值范圍，判斷8；通過舉反例可判斷C根據(jù)一元二次方程根的分布可判斷D

【解答】解：對于A,命題“VxER,/>-1”的否定是FxWR,?<-故A正確；

對于B,因為2上工2+依-看<0是一元二次不等式，故后0,

因為一元二次不等式2k/+收TV0對一切實數(shù)x都成立，

O

(k<0

所以，3，解得-3VAV0,故8錯誤;

J=/C2_4X2/CX(-^)<0

對于C,由可得RAM，例如(-2)2>(-1)2,但-2V-1；

x>)，也不能推出了>)2,例如1>?2,而12V(-2)2：

所以是“x>y，的既不充分也不必要條件，故。錯誤；

對于D,關于x的方程X2-2x+m=0有一正一負根，則兩根之積機<0,

所以加V0”是“關于x的方程?-Zv+/n=O有一正一負根”的充要條件，故。正確.

故選：AD.

【點評】本題考查命題的否定的求法及方程由一正根一負根的充要條件的應用，屬于基礎題.

（多選）8.（2025秋?長子縣校級月考）已知關于k的不等式ar2+尻+40的解集為爛-4或啟3},則（)

A.67>0

B.a+b+c>（）

C.不等式樂+c>0的解集為{小V12}

D.不等式ex2-bx+a<0的解集為{%|一寺V%<^}

【考點】解一元二次不等式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式的解法及應用；運算求解.

【答案】BCD

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)，再依次判斷各項的正誤.

【解答】解：因為關于x的不等式ad+公+cW）的解集為{注長-4或忘3},

所以-4和3是方程/+公+c=o的兩個實根，且對應的二次函數(shù)圖象開口向下，則。V0,選項4錯誤；

-4+3=-2

由根與系數(shù)的關系得0,所以〃=a,c=-12a,

-4X3，

因為a+b+c=a+a-\2a=-10?,a<0,所以a+b+c>0,選項B正確；

不等式/?x+c>0可化為ax-12a>0,因為t/VO,所以xV12,選項C正確；

不等式ex1-bx+a<（）可化為-12/tv2-ai+aVO,又a<0,

所以⑵2+x-l<。，即（4x-I）（3x+l）<0,解得一選項。正確.

D4

故選：BCD.

【點評】本題考查了一元二次不等式的解法和應用，是基礎題.

（多選）9.（2024秋?遵義校級期末）已知不等式/+法+c>0的解集為32?3},則以下選項正確的

有（）

A.abc>0

B.a+b+c>0

C.函數(shù)/（x）=ax2-+bx+c有兩個零點2和3

D.c/+法+a<0的解集為任或無“}

【考點】解一元二次不等式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解.

【答案】ACD

【分析】由題意a<0,方程a$+6+c=O的根為2和3,由另達定理可知h>0,c<0,判斷A：結(jié)合一

次函數(shù)的圖象知當x=l時，y<0,判斷B；由不等式的解集為{x|2Vx<3},判斷C；由韋

達定理可知〃=-5mc=6"，代入cf+Zzr+aVO,求解不等式即可.

【解答】解：不等式a?+也+c>0的解集為{x|2VxV3},

所以根據(jù)一元二次不等式解法可知

AC

且一刀=5,—=6>0,/?>0,c<0>則"（?>（）,4正確；

aa

由二次函數(shù)），=〃/十〃.i十c的圖象知當人=1時，y<0,故〃十〃十「<0,6錯誤：

方程ax2+hx+c=0的根為2和3,。顯然正確；

bC

由—=5,-=6可知：b=-5a,c=6〃，

Qa

代入c.P+At+aVO,得6at2-5ax+a<0,

由〃V0可得6/-5犬+1>0,解得或x*,

故ex2Iz?.ritz<0的解集為3%v4或%D正確.

故選：ACD.

【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)應用，考查計算能力，屬于基礎題.

三,填空題（共3小題）

10.（2025秋?臨潭縣校級月考）已知關于x的一元二次不等式a&^-cYO的解集為{M3V/V5},則不等

式cjT+bx-a>0的解集為fxl—,OrV—g}.

【考點】解一元二次不等式.

【專題】集合思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解.

【答案】{x|—'〈XV—g}.

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定對應方程的根和二次項系數(shù)的正負，利用韋達定理將兒。用

。表示，再化簡所求的不等式并求解.

【解答】解：已知不等式依2十取一?！?。的解集為但3〈入<5},所以。>0,且方程aP十陵-。二。的兩根

為3,5,

根據(jù)韋達定理一1=3+5,-^=3x5,所以匕=-8小c=75a,

不等式cx2+bx-a>0可化為-15加-8aL。>0,即isf+gx+lV0,解得一2<Y<—i,

所以不等式cx^+bx-a>0的解集為國一X%V-權

故答案為:{x|-1<x<-1}.

【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，韋達定理，是基礎題.

II.(2025秋?豐順縣校級月考)已知函數(shù)/(%)=J2kx2+kx+1的定義域為實數(shù)集R,則實數(shù)&的取值范

圍為［0,6］.

【考點】一元二次不等式恒成立問題；復合函數(shù)的定義域.

【專題】計算題：整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】［0,6］.

【分析】利用一元二次不等式恒成立的條件即可求解.

【解答】解：因為函數(shù)f(x)=扭^7￡7］的定義域為實數(shù)集R,

所以2k/+kx+,20在R上恒成立，

3

當4=0時，->0,恒成立；

4

(2k>0

當原0時，則有.3，解得()〈任6；

zJ=k2-4x2A：x4<0

4

綜上，實數(shù)k的取值范圍為［0：6］.

故答案為：［0,61.

【點評】本題考查了一元二次不等式的恒成立問題，屬于中檔題.

12.(2025秋?浦東新區(qū)校級月考)任意x€［0,I］都是不等式/+(a-4)戶20-2〃>0的解，求實數(shù)〃的

取值范圍(?8,10).

【考點】一元二次不等式恒成立問題；對勾函數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】(~00,10).

【分析】由題可轉(zhuǎn)化為了+(〃-4)x+2()-2a>()在工［()，I］上恒成立，令1=2-四1,2］,只需要。

<(什學)〃而即可，再利用對勾函數(shù)函數(shù)得到最小值即可.

V

【解答】解：由題知，即不等式/+(〃-4)x+20-24()在陽0,1］上恒成立，

則(x-2)a>-?+4x-20,又疣［0,1］,

所以x?2V0,可得.<弋4歲20二一(二2)；+16,―(%一)+三，

X-/X—ZX—L

所以令f=2-尤［1,2］,

可得什干在［1，2］上恒成立，

只需要。V（/+~2~）加”即可，

因為'=七+半在［1，2］上單調(diào)遞減，

所以y加〃=2+學=10?

所以aV］（）.

故答案為:（-00,10）.

【點評】本題考查基本不等式的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

四,解答題（共3小題）

13.（2025?蔡甸區(qū)校級開學）已知二次函數(shù)），=』-6"5.

（1）求二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸；

（2）當15經(jīng)6時，函數(shù)的最天值和最小值分別是多少？

（3）當二爛什3時，函數(shù)的最大值為小，最小值為〃，若加-〃=3,求1的值.

【考點】二次函數(shù)的最值.

【專?題】對應思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】（1）（3,-4）,%=3；

（2）最大值為5,最小值為-4；

（3）"3一遮或次.

【分析】（1）解析式化成頂點式即可求得；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求得最大值和最小值；

（3）分三種情況討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值機卻最小值〃，進而根據(jù)〃?-〃=3得到關于/

的方程，解方程即可.

【解答】解：（1）???>=』-6I+5=（x-3）2-4,

???對稱軸為x=3,頂點坐標為（3,-4）.

（2）2頂點坐標為（3,-4）,

，當x=3時，1y最小值=-4；

???當l<r<3時<y隨著x的增大而減小，

?,*當x=1時，y最大值=0,

??,當3〈爛6時，y隨著x的增大而增大，

???蘭ix=6時'y城大使=5；

綜上所述，當13區(qū)6時，函數(shù)的最大值為5,最小值為-4.

(3)當i<x<t+3時，對/進行分類討論：

①當03V3時，頂點的橫坐標在取值范圍內(nèi)，，/2=-4,

當時，在x=/時，〃?=尸-6/+5,

m-n=r-6什5+4=3-6/十9,即3-6/+9=3,

解得：0=3-6，b=3+再(不合題意，舍去)；

3

當2vt<3時，在x=t+3時，〃?=戶-4,

.*./?/-/?=?-4+4=d，即?=3,

解得：A=V5,二-遍(不合題意，舍去)；

②當什3V3時，即，VO,y隨著x的增大而減小，

當x=1+3時，n=(/+3)2-6(/+3)+5=尸-4,

當x=t時，〃?=?-6f+5，

：.rn-n=r-6t+5-(r-4)=-6r+9,，-6r+9=3,

解得：/=1(不合題意，舍去)；

③當侖3時，)，隨著x的增大而增大，

當x=z時，/"=「-6/+5,

當犬=什3時，〃?=(/+3)2-6(什3)+5=/2-4,

Aw-??=?-6r+5-(r-4)=-6r+9,即-6什9=3,

解得：/=1(不合題意，舍去”

綜上所述：t=3-6或V5.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

14.(2025秋?臨河區(qū)校級月考)若二次函數(shù)/(/)滿足/(0)=1,/(x+1)-/(X)=2x7.

(I)求/(X)的解析式：

(II)若對于任意實數(shù)x,不等式/(x)Nax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【考點】一元二次不等式恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】(I)/(x)=X2-2V+1；

(II)[-4,0].

【分析】(I)設出/(x)=。1+/狀+小結(jié)合給定條件建立方程，求解參數(shù)，得到函數(shù)解析式即可；

(H)將/(x)加x轉(zhuǎn)化為(〃+2)戶1加，利用判別式建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.

【解答】解：(I)設/Ci)=ax2+bx+c,〃和，

因為/(0)=1,所以c=1,

此時f(x)=a^+bx+\,

因為/(x+1)-f(x)=2x-1,

所以。(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+hx+\)=2r-l,

化簡得2ax+a+b=2x-1,

解得a=l,b=-2,則/(x)=?-2x+l,

即f(x)的解析式為f(x)=f-2x+l；

(II)由上問知/(x)=』?2x+l,而對于任意實數(shù)x,

由f(-v)>ax成立，得到“v2-2.v+l>av,

即x2,-(a+2)x+l>0,

所以A=(a+2)2-4<0,

解得-4WaW0,

綜上，實數(shù)a的取值范圍是[-4,0].

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

15.(2024秋?貢州校級期末)已如集合A={x|-2Vx￡6},D={x^-2mx+m2-l<0}.

(1)若m=5,求集合ADB；

(2)已知〃：xGA,q：xWB,是否存在實數(shù)陽，使〃是夕的必要不充分條件，若存在實數(shù)〃?，求出機

的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【考點】解一元二次不等式；必要不充分條件的應用.

【專題】整體思想；綜合法；集合：運算求解.

t答案】(1)AnB={.r|4<x<6}；

(2){/??|-\<m<5}.

【分析】(1)當加=5時，求出集合B,利用交集的定義可求得集合AC&

(2)求出集合從分析可知，集合6是集合A的真子集，可得出關于實數(shù)機的不等式組，解之即可.

【解答】解；(1)當〃1=5時，5={A|A-2-I0X+24<0)={A|4<X<6},

因為A=3-2〈啟6},故AD8=34Vx<6}.

2

(2)由/-2/nr+m-1=Cx-m-1)(x~w+1)<0可得nt-1<x<m+\f

即B={x\m-I<x<7?+I},

因為〃是夕的必要不充分條件，則集合8些4,

所以,廣12,解得一］05,

17714-1<6

因此,實數(shù)m的取值范圍是{M?1%E5}.

【點評】本題主要考查了集合的基本運算，還考查了充分必要條件與集合包含關系的應用，屬于基礎題.

考點卡片

1.求集合的交集

【知識點的認識】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與8的交集，記作AQB.

符號語言:AQB={x\xeA,且xWB}.

八「由實際理解為：人是A且是￡中的相同的所有元素.

當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運算性質(zhì)：

①AnB=8nA.(2)/100=0.③An4=A.④ACI8GA,AQBQB.

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混用；求交

集的力法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)袖、韋恩圖.

【命題方向】

掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

已知集合A={xWZ|rH20},B={x|?-x-6<0},則408=()

解：因為A={x￡Z|"整0}={x€ZLa-1},^={4r-.v-6<0)={x|-2<x<3},

所以ACW={-1,0,1,2}.

故選：D.

2.必要不充分條件的應用

【知識點的認識】

必要不充分條件是指如果條件。成立，則條件P必然成立，但條件P成立時，條件Q不一定成立.用符

號表示為Q=p,但尸分Q.這種條件在數(shù)學中表明某個條件必須滿足才能保證結(jié)果成立，但單靠這個條件

不能完全保證結(jié)果成立.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不

可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生

答題時往往混淆二者的關系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

若p=q為假命題且q=p為真命題，則命題〃是命題q的必要不充分條件：

【命題方向】

充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容,

多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣.

設p：|<X<1;q：若4是〃的必要不充分條件，則實數(shù)〃的取值范圍是()

1

4(0,2)

8(0,1]

G。,今

D.[0,1]

解：〃：-<r<l,q：a<x<a+\,

又???〃的必要不充分條件是q,

，p=q,反之則不能，

I1?flS

0<a<

當〃=()時，q：0<x<\?滿足p的必要不充分條件是q,

當〃=/寸，q：~<x<I，滿足〃的必要不充分條件是鄉(xiāng)，

??.叱.W

故選：

3.求全稱量詞命題的否定

【知識點的認識】

一股地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：

全稱命題p：VxWM,p(x)它的否命題「p：3.WGM,(刈).

【解題方法點撥】

寫全稱命題的否定的方法：(1)更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；(2)將結(jié)

論否定，比如將改為值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題.

【命題方向】

全稱量詞命題否定的求解在代數(shù)卻幾何中廣泛存在.例如，代數(shù)中關于實數(shù)性質(zhì)的全稱命題的否定，幾何

中關于圖形性質(zhì)的全稱命題的否定等.這類題型要求學生能夠靈活運用邏輯思維進行否定命題的改寫和判

斷.

寫出命題“V.iWZ,REN”的否定：.

解：因為特稱命題的否定為全稱命題，

所以命題“MiWZ,MWN”的否定是FAWZ,HWN”,

故答案為：3AGZ,MWN.

4.運用基本不等式求最值

【知識點的認識】

基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或

等于它們的算術平均數(shù).公式為：>\[ab(a>0,/?>0),變形為。后2或者這

【解題方法點撥】

在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應用均值不等式的形式.例如，要求代數(shù)式x+l的

最小值，可以利用均值不等式％+]工2從而得出最小值為2,并且在x=\時取到最小值.需要注意

的是，運用不等式時要確保代入的數(shù)值符合不等式的適用范圍，并進行必要的等號條件驗證.

【命題方向】

均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設計等.例如，求解一個代數(shù)

式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大.這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求

解，并能正確代入和計算.

已知正數(shù)a,b滿足a+h=1,則+14-Jb+1■的最大值是.

解：因為正數(shù)〃，。滿足。+0=1,

所以a+l+A+l=3,

則7STT+VF+T<2#+1產(chǎn)1=V6,

當且僅當4=方二:時取等號.

故答案為：瓜

5.二次函數(shù)的最值

【知識點的認識】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量

的變化而變化.它的般表達式為：（“翔）

【解題方法點撥】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可

能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物線

的焦點、準線和曲線的平移.

二次函數(shù)的最值出現(xiàn)在頂點處.對于/（x）=（ix2+bx+c,最值為根據(jù)。的正負判斷最值類型.

-計算頂點X坐標X=

-計算頂點處的函數(shù)值/■（-/）.

-根據(jù)a的正負判斷最值類型（最大值或最小值）.

【命題方向】

主要考查二次函數(shù)最值的計算與應用題.

設〃為實數(shù)，若函數(shù)y=-/-2r+3在區(qū)間山，2］上的最大值為今，則。的值為.

解：函數(shù)），=-7-2x+3=-（x+l）2+4,對稱軸為x=-l,

當aS-1時，則x=-l時，函數(shù)取得最大值為4,不滿足題意：

當-1〈把2時，則x=a時，函數(shù),，=-7-2x+3在區(qū)間［a,2］上的最大值為竺，

4

即-a2-2a+3=字，解得a=—2或。=—,（舍），

綜上，。的值為一1

故選：C.

6.二次函數(shù)的圖象及其對稱性

【知識點的認識】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量

的變化而變化.它的一般表達式為：y=a?+/>+c（。翔）

【解題方法點撥】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可

能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開11方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物線

的焦點、準線和曲線的平移.

①開口、對稱軸、最值與工軸交點個數(shù)，當〃>0(V0)時，圖象開口向上(向下)；對稱軸工=一名；

最值為：/(一/)；判別式當△=()時，函數(shù)與龍軸只有一個交點；△>()時，與x軸有兩

個交點；當△<()時無交點.

②平移：當y=a(x+b)2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y=a(X-1+Z?)2+c；

-確定對稱軸x=-^~.

4VV

■確定頂點坐標(一/，/'(一務).

-根據(jù)a的正負確定開LIh向.

-繪制拋物線，標注對稱軸與頂點.

【命題方向】

考查二次函數(shù)圖象的繪制及其對稱性的判斷與應用題.

如圖為二次函數(shù)y=-』+/u-+c的圖象，則下列說法正確的是()

A.方程1=0的解集為｛-1,1)

B.不等式bW-ex-1<0的解集為[一1，1]

C.不等式-』+法+侖0解集為[1，4]

81

D.函數(shù)y=ex2-x+b的最大值為二；

解：由圖可知，方程-/+/?x+c=o的解為Xl=1,X2=4,

則力=5,-C=4,即人=5,c=-4,

對于A,方程Z?/-ex-1=0即為5/+4x-I=0,解得x--I或工,

S

所以方程力X2-CX-1=0的解奧為{-1,1},故A正確；

對于B,不等式bx2--ex-1<()即為5f+4x-1<0,

由A選項知，不等式的解集為[-1,故B錯誤；

對于C,不等式-x1+bx+c^O即為-.r2+5x-4>0,解得1Sv*,

所以不等式-，+治+*0解集為[1,4],故C正確；

對于D,y=cj?-x+b=-4A-2-x+5,

[81

當.工=-五時，函數(shù)取得最大值77,故。正確.

o16

故選：ACD.

7.由二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式或參數(shù)

【知識點的認識】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量

的變化而變化.它的一般表達式為：y=(ix2+bx+c(〃#))

【解題方法點撥】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可

能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物線

的焦點、準線和曲線的平移.

這里面略談一下他的一些性質(zhì).

①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當。>0(<0)時，圖象開口向上(向下)；對稱軸犬二一懸

4a

最值為：/(一白)；判別式△=序-4",當△=()時，函數(shù)與％軸只有一個交點；△>()時，與x軸有兩

個交點；當△<()時無交點.

②根與系數(shù)的關系.若△K),且川、X2為方程的兩根，則有xi+x2=-旨.m=泉

③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以f=2〃y的焦點為(0,與)，準線方程為)=-或含義為拋物線

上的點到到焦點的距離等于到準線的距離.

④平移：當y=a(x+Z?)?+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成(x-1+/?)2+c；

■根據(jù)題目提供的信息設定二次函數(shù)的一般形式/(x)=aP+h+c.

-代入已知條件(頂點、對稱軸、開口方向等)，建立方程組.

-解方程組，求出a,b,c參數(shù).

【命題方向】

涉及二次函數(shù)解析式或參數(shù)的求解，常見題型包括已知頂點與某點，求解析式或參數(shù).

已知二次函數(shù)/(x)=?-2(A-1)x+4.

(I)若fG)為偶函數(shù)，求/。)在L3,1］上的值域；

(2)當尤［1,2］時，f(X)>以恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)/(工)=^-2(?-I).r+4,為二次函數(shù)，其對稱軸為x=〃-1.

若ya)為偶函數(shù)，則。7=0,解可得。=1,

則f(x)=f+4,又由-3S0,則有49(x)<13,

即函數(shù)/(x)的值域為［4,13］.

(2)由題意知46［1,2］時，f(x)恒成立，即』-(3。-2)X+4>0；

方法一：所以3a-2V與勺亙成立，

因為xRl,2J,

%2+44

所以=x+->2=4,當且僅當％=g即x=2時等號成立.

XX

所以3a-2<4,解得。<2,所以a的取值范圍是(-8,2).

方法二：令g(x)=/-(3a-2)x+4,

所以只需g(x)而〃>0,對稱軸為％=等±

4

“

當--

<1-

23g(x)min=g(1)=7-3a>0,

-

7

得

解M<

3?>

4

故a-<

3,

當IV與2V2,即gva<2時，9(%)m也=9(寫馬=4一創(chuàng)言>0,

解得一反Va<2,

4

故一Va<2,

3

3a—2

當----->2,即位2,g(x)〃而=g(2)=12?6。>0,

解得aV2,舍去.

絳上所述，〃的取值范圍是(-8,2).

8.解一元二次不等式

【知識點的認識】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是d+^+cOO或

axI+bx+c<0(a不等于0)其中a.v+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

特征

當A=扇?4。。>0時，

一元二次方程0^+/?^+￡?=0有兩個實根，那么aj?+bx+c可寫成a(x-x\)(x-.r2)

當△=b2-4ac=()時，

一元二次方程ax1+bx+c=0僅有一個實根，那么af+bx+c可寫成a(k-xi)2.

當A=lT-4ac<0時.

—元二次方程ax1+bx+c=0沒有實根，那么a^+bx+c與x軸沒有交點.

【解題方法點撥】

例1：一元二次不等式fVx+6的解集為.

解：原不等式可變形為(x-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案為：(-2,3).

這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ad+以+cVO的形式；然后應用了特征

當中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解.

【命題方向】

一元二次不等式ax^+bx+cX)

-將不等式轉(zhuǎn)化為av2+云+c=()形式，求出根.

?根據(jù)根的位置，將數(shù)軸分為多個區(qū)間.

-在各區(qū)間內(nèi)選擇測試點，確定不等式在每個區(qū)間內(nèi)的取值情況.

綜合各區(qū)間的解，寫出最終解集.

不等式f-2丫>0的解集是()

解:不等式2t>0整理可得/(x-2)>0,可得X>2或xVO,

{xjxVO或x>2}

9.一元二次不等式恒成立問題

【知識點的認識】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元一次不等式.它的一般形式是aF+hx+c>0或

加+版+《<0（〃不等于o）其中+/u-+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

特征

當A=.?4ac>0時,

一元二次方程ax1+bx+c=0有兩個實根，那么a.'C+bx+c可寫成a（x-x\）（x-.r2）

當A=b2-4ac=0時，

一元二次方程ax2+bx+c=0僅有一個實根