2025-2026學(xué)年山西省部分學(xué)校高三（上）9月調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={久|log2久W1},B={x|5x>1},則AUB=（）

11

A.（-,2]B.（『+8）C.（0,2]D.（0,+8）

2.若是“/一4%+3vo”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)q的取值范圍是（）

A.（-8,1]B.（-8,1）C.[3,+oo）D.（3,+oo）

n2,

3.已知函數(shù)/（%）=群五+>0且a。1）是奇函數(shù)，則/（2）=（）

1011

A.1B.3C.yD.y

111

4.若。=32而/=點(diǎn),c=93則下列說法中正確的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

5.本?福特定律一一在大量10進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以數(shù)九（九6N*）開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率P（7i）滿足1-P（n）=

1g坐，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)

據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.若⑺w"雪:;;黎s（卜eN*）,則實(shí)數(shù)k的最大值為（）

A.6B.5C.4D.3

f—x2+3ax+4,x<1

6.已知函數(shù)/(%)=在[-攝+8）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

匕，1

「212-211

A」一一?B.(-8,一引C.[D.(—oo,]]

7.已知函數(shù)/（久）的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于直線x=—3對(duì)稱且/（x+3）=/（久一3）,當(dāng)[0,3]時(shí)，/（%）=

2^+2%-11,則下列說法不正確的是（

A.函數(shù)”久）為偶函數(shù)B.函數(shù)/(%)在[-6,-3]上單調(diào)遞增

C.函數(shù)人%）的圖象關(guān)于直線％=3對(duì)稱D./(2026)=-7

8.已知關(guān)于%的方程?=|支仇無|有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

1

A.{a\a=0或a>—}B.{a|0<a<-}

111i

D

C.{La[1—2e<ci<—eJ}-回區(qū)Wa

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

第1頁(yè)，共18頁(yè)

9.下列說法中正確的有()

A./(x)=|%|與g(x)={+：表示同一個(gè)函數(shù)

B.函數(shù)f(x)=VTT2-3的定義域是[-2,0)U(0,+8)

C.命題p：a3xeR,xex+l<0"的否定是「p：”Vx0R,xex+1>0”

D.若/(久)=|x—2|—x,貝次(/6))=0

10.下列說法中正確的有()

A.若a〉b,則a3>按B.若x>0,貝H+W有最小值2

X+Z

<2.若￡1<6,則9>7D.若XCR,則島帝'最大值1

11.已知函數(shù)/0)=尤3+1/+2,則下列說法正確的有()

A.當(dāng)aK1時(shí)，/(久)只有極大值，無極小值

B,若函數(shù)/(久)在％=0處取到極大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0)

C.當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)/(久)在區(qū)間(血,爪+2)內(nèi)取到最大值，則實(shí)數(shù)6的取值范圍為(-3,-1)

D.不存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)既有最大值又有最小值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)函數(shù)/(x)=al-x+1,若/'(久)>4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

13.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)XW0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，則不等式/(1ogM2x-5))>

2

/00比9)的解集為.

14.已知直線y-kx+m與曲線y=|+mx相切，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知集合2={x\a-1<%<3-2a},B={x|筌及<1].

(1)若力CB=4求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)p：x&A,q：xEB,若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(x)=4alnx+2x2—l(aGR).

第2頁(yè)，共18頁(yè)

(1)若a=—搟，求函數(shù)八支)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(x)=xlnx—^x2—2x+a(a￡R).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(久)的極值；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(x)=e%~eX,g(x)=竺竽，.

(1)證明：［g(x)］2-［/(x)2=i；

(2)求不等式f(3x-1)+/(x-4)<0的解集；

⑶若函數(shù)%(久)=27ng(2%)-2/(%)-3的圖象在區(qū)間［0,m3］上與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(%)=x—3lnx---a(a6/?).

(1)當(dāng)Q>0時(shí),求函數(shù)f(a)的值域；

(2)若f(x)在［表,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)％1，冷是/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：/+&+6伉3>2a+6+6仇2.

第3頁(yè)，共18頁(yè)

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4=(x|log2x<1}=(0,2]；

由5%>1=%>",所以8=(！,+8).

所以4U8=(0,2]U(1,+8)=(0,+8).

故選：D.

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可確定集合4再根據(jù)并集的計(jì)算法則求AUB.

本題主要考查并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由/一4久+3<0可得1<x<3.

因?yàn)椤皒<a”是一4%+3<0”的必要不充分條件，

所以集合(1,3)1-oo,a),

所以a>3.

故選：C.

轉(zhuǎn)化為根據(jù)集合之間的關(guān)系求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題主要考查了充分必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，所以/(—?)=—/(久)，即熹^+a=—(品+a)，

變形可得：轡^+告+2a=0,即號(hào)苧+2a=0,所以—a2+2a=0.

1—axax—lax—i

解得a=2或a=0(舍去)，所以/(x)=豕，■+2.

所以/(2)=^2^1+2=與.

故選：C.

根據(jù)/(-%)=-/(久)，代入化簡(jiǎn)得到—a?+2a=0,解出后得到函數(shù)解析式，最后再代入計(jì)算即可.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：令人久)=等(x>0),則/'/(x)=與興，

令f/(%)=0可得1—Inx=0,即％=e,

第4頁(yè)，共18頁(yè)

當(dāng)0<%Ve時(shí)，/7(%)>0,故函數(shù)/(%)在(0,e)上單調(diào)遞增;

當(dāng)久>e時(shí)，//(%)<0,故函數(shù)/(%)在(％+8)上單調(diào)遞減，

所以f(3)</(e),即等<等,即m<Znei

又函數(shù)y=仇第在(0,+8)上為增函數(shù)；

11

所以3百<",即cvb；

111111

因?yàn)镼=32io=(25)IO=22,c=96=(32)6=33,

11

2

對(duì)a,c兩邊同時(shí)6次方，即4=(22)6=23=8；c6=(33)6=3=9,

又a>0,C>0,故Q<C;

綜上可得：a<c<b.

故選：B.

先對(duì)a,c利用指數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再同時(shí)6次方，即可比較大小，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函

數(shù)的單調(diào)性比較b,c的大小.

本題考查構(gòu)造函數(shù)法在比大小中的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.【答案】C

【解析】解：由1—P(幾)=lg含，

可得PO)=1g手，

所以￡：=/⑺=lg(1X|X…X竽)=lg(fc+1),

gcpI\vZ°g23xZ°g325_'°。225―「°。225―/0925_?r

所Xlg(K+)-2+log225-log2A+log225~log2W0~log210一嗚〉，

fc+1<5,所以k<4,k6N*,

所以實(shí)數(shù)k的最大值為4.

故選：C.

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：由題意，/(X)在［—3,+8),

如圖，

第5頁(yè)，共18頁(yè)

則［2—2，解得—《WaW—點(diǎn)

13a+3>1ss

故選：A.

利用分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性及分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，

解出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.

本題主要考查由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于力，因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)的定義域?yàn)镽,其函數(shù)圖象關(guān)于直線％=-3對(duì)稱，所以八久-3)=/(—比-3),

又/'(%+3)=f(x-3),所以/(x+3)=/■(-x-3),變形可得/(x)=f(-久)，即該函數(shù)為偶函數(shù)，故N

正確；

對(duì)于8,因?yàn)?(X+3)=/(久—3),變形可得f(x+6)=”久)，所以函數(shù)/(X)是以6為一個(gè)周期的函數(shù)，

當(dāng)工€［—6,—3］時(shí),x+6E［0,3］,因?yàn)楫?dāng)xe［0,3］時(shí)，f(x)=2x+2x-ll,

易得此時(shí)函數(shù)f(x)在［0,3］上單調(diào)遞增，因6是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，

故函數(shù)/(x)在［-6,-3］上也單調(diào)遞增，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x=-3對(duì)稱，

所以/(久一3)=/~(-x-3),又函數(shù)/(久)是偶函數(shù)，所以/1(%)=/(-x),

則/"(X—3)—/［—(x—3)］—f(3—x),而f(—x—3)=/［—(—久—3)］=/(久+3),

故/(x+3)=/(-乂+3),即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，故C正確；

對(duì)于。，/(2026)=f(337x6+4)=f(4)=/(-4)=/(-4+6)=/(2),

又x￡［0,3］時(shí)，f(x)=2久+2x—11,

故/'(2026)=f(2)=22+2x2-11=-3,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

由“久+3)=f(x-3)可得函數(shù)的周期性，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得到函數(shù)的奇偶性可判斷AC；對(duì)于B,根據(jù)

函數(shù)在xe［0,3］的函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)的周期性，即可判斷函數(shù)在［-6,-3］上的單調(diào)性；最后根據(jù)周期性

第6頁(yè)，共18頁(yè)

與奇偶性求出/(2026)即可判斷。.

本題考查函數(shù)奇偶性和周期性的判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：因?yàn)槌?x>0,

所以Q=x2\lnx\,

x2lnx,x>1

令f(%)=x2\lnx\=

—x2lnx,0<x<1"

當(dāng)?shù)谥?時(shí)，/(%)=x2lnx,

則//(%)=2xlnx+x=x(2lnx+1)>0,

即/(%)單調(diào)遞增；%趨于+8,/(%)趨于+8,

2

當(dāng)0<%V1時(shí)，/(x)=—xlnxf

f/(%)=-2xlnx—x――x(2lnx+1)，

令f/(%)=0,則有21nx+1=0,

所以仇％=—：，解得/=今,

當(dāng)xe(0,4)時(shí)，2lnx+l<0,/z(x)>0,即/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)％C(盍,1)時(shí),2lnx+1>0,/7(x)<0,即/(%)單調(diào)遞減,

所以f(%)在第=看處取得極大值，

且得)=-(a)2昨=3/(1)=0，

作出函數(shù)y=/(%)的圖象，如圖所示：

方程?=1%)%I有一個(gè)實(shí)根，

即函數(shù)/(%)與函數(shù)y=Q有1個(gè)不同的交點(diǎn),

結(jié)合圖象可得a=0或a>

2e

第7頁(yè)，共18頁(yè)

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：{a[a=O或a>/}.

故選：A.

將方程的根問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，分情況討論"久)的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)分析/(%)的單調(diào)性和極值,

畫出函數(shù)/'(x)的大致圖象，結(jié)合圖象即可求解.

本題考查了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解:因?yàn)椤熬?=IM=所以/(%)=團(tuán)與g(x)={;;表示同一個(gè)函數(shù)，故/正確，

函數(shù)/(X)=Vx+2-i；

由°，得到久2-2且久力0,

所以/(x)定義域?yàn)閇―2,0)U(0,+8),故8正確,

因?yàn)槊}P：'勺比eR,xe，+1<0”的否定是":“VxeR,%e，+120”，所以C錯(cuò)誤，

因?yàn)?⑶=|x-2|-X,則fe1)=1|1-2|-11=1,

所以/(/6))=/⑴=|1-2|-1=0,所以。正確.

故選：ABD.

對(duì)4直接利用相同函數(shù)的判斷方法，即可求解；對(duì)B,直接求出的定義域，即可求解；對(duì)C,直接寫出

命題p的否定，即可求解；對(duì)D,先求出/6)=1,再代入表達(dá)式，即可求解.

本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)/,

因?yàn)閍>b,

-1O

所以蘇—fo3=(a—h)(a2+ab+h2)=(a—6)[(a+-b)2+-￡>2]>0,故選項(xiàng)A正確；

Z4

對(duì)于選項(xiàng)B,

因?yàn)?>0時(shí)，所以l+2>0,

所以％H—3=(x+2)H—―2>2/(%+2)-—2=2,

%+2''%+2y'/x+2

當(dāng)且僅當(dāng)％+2=士，即％=0時(shí)等號(hào)成立，

因?yàn)椋?gt;0,所以％+17>2,故選項(xiàng)5錯(cuò)誤；

第8頁(yè)，共18頁(yè)

對(duì)于選項(xiàng)C,

若aVb<0或0<a</?,即ctb>0,貝壯一］=~~r~>0,即工>±

ababab

若a<O<b,即防<0,則工一群空<0,即工<1故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

ababab

對(duì)于選項(xiàng)。，

當(dāng)X=。時(shí)，。；

若x>0,舄3品=畝=1,當(dāng)且僅當(dāng)久=1時(shí)等號(hào)成立，所以?！雌鎃1；

若x<0,磊2號(hào)=畝=—1,當(dāng)且僅當(dāng)久=—1時(shí)等號(hào)成立，所以—1W喜<0,

綜上可知，磊的最大值為1,故選項(xiàng)。正確.

故選:AD.

對(duì)于選項(xiàng)4利用作差法即可證明；

對(duì)于選項(xiàng)2,利用基本不等式即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)C,利用作差法即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)。，分類討論，再利用基本不等式即可判斷.

本題考查了運(yùn)用基本不等式求最值、不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)：已知函數(shù)/。)=爐+］/+2,

當(dāng)a=2時(shí)，/(%)=%3+%2+2,//(%)=3%2+2%,

當(dāng)久E(—8,一|)時(shí),//(%)>0,當(dāng)％e(一|,0)時(shí)，//(%)<0,當(dāng)％G(0,+8)時(shí),/7(%)>0,

因此當(dāng)％=-|時(shí)，/(%)取得極大值，當(dāng)％=0時(shí)，/(%)取得極小值，/選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：//(%)=3x2+ax,

當(dāng)a=0時(shí)，/7(%)>0恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)1=0時(shí)取等號(hào))，/(%)單調(diào)遞增無極值；

當(dāng)a>0時(shí)，］￡(-8,-/)時(shí)，/7(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；％^(-/0)時(shí)，/7(x)<0,/(%)單調(diào)遞減;

%E(0,+8)時(shí)，//(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，因此當(dāng)%=0時(shí),/(%)取得極小值；

當(dāng)。<0時(shí)，％e(-8,o)時(shí)，/7(%)>o,/(%)單調(diào)遞增；％€(0,-羨)時(shí)，/7(%)<o,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)久E(一宗+8)時(shí)，/7(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；因此當(dāng)％=0時(shí)，/(%)取得極大值，B選項(xiàng)正確;

第9頁(yè)，共18頁(yè)

對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=x3+|x2+2,f7(%)=3x2+3%,

當(dāng)％E(—8,-1)時(shí)，/7(%)>0,當(dāng)％C(-1,0)時(shí)，f/(%)<0,當(dāng)％E(0,+8)時(shí)，f7(%)>0,

因此當(dāng)％=-1時(shí)/(%)取得極大值去因?yàn)?皿血+2)為開區(qū)間，且f(T)=|

因此若函數(shù)/(%)在區(qū)間(科血+2)取得最大值，因此mV-1V血+2品，解得一3Vm4一|,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于。選項(xiàng)：由B選項(xiàng)分析可知，a=0時(shí)，函數(shù)/(%)在(一1,1)無最值；

當(dāng)0時(shí)，若函數(shù)/(久)在(-1,1)內(nèi)既有最大值又有最小值，

即窗2t6)20,不等式組無解;

(—1<—<1

當(dāng)a<0時(shí)，若函數(shù)/(%)在(―1,1)內(nèi)既有最大值又有最小值，因此《。)乙人］)'

即濕：3腎aL)W0,不等式組無解；

綜上所述，不存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)/(x)在(-1,1)內(nèi)既有最大值又有最小值，。選項(xiàng)正確.

故選：BD.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷極值和最值，進(jìn)而分析各選項(xiàng)，即得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，屬于中檔題.

12.【答案】d，+8)

【解析】解：由于/'(x)=ae久一x+1,且/'(x)>4,

所以ae"—%+1>4,a>主腎f旦成立，

令函數(shù)攸支)=要，八'(%)=>-譽(yù)+3)=告，

當(dāng)—2,+8),h/(x)<0,h(%)單調(diào)遞減；當(dāng)?shù)贑(—8,-2),hf(%)>0,九(%)單調(diào)遞增，

所以hQOmax=%(-2)=落=e2,a>h(x)max,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>e2.

故答案為：。2,+8).

根據(jù)函數(shù)/(x)>4,先應(yīng)用參變量分離得出a>誓恒成立，再構(gòu)造函數(shù)攸久)=誓，應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)得出最大值,

進(jìn)而得出Q>九(%)3%的參數(shù)范圍.

本題考查不等式恒成立問題，屬于中檔題.

13.【答案】{久||<%<等或x>7}

第10頁(yè)，共18頁(yè)

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(嗎是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí)，/(%)單調(diào)遞減，

所以/(x)在(0,+8)上遞增，因?yàn)?(X)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以由“ogi(2x-5))>f(log29),得f(|logi(2x-5)|)>f(log29),

22

所以|log2(2x-5)1>log29,所以log2(2x-5)<-log29^log2(2x-5)>log29,

所以0<2久一5〈黑2x-5>9,解得|<x<等或x>7.

故答案為：儂|<久<得或久>7}.

由已知可得f(%)在(0,+8)上遞增，再由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為/(Rog式2X-5)1)>/(/。929)，則可

2

得|log2(2%-5)1>log29,再對(duì)數(shù)的性質(zhì)要求得結(jié)果

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】［2)2,+8)

【解析】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%0，2+o),%o>O,

x0

771

因?yàn)閥=m%％c(°，+8),所以y/=-^2+-.

所以切線的斜率的=-1+點(diǎn)

所以切線方程為y-三—Inxg=(—5+—尤o)，

整理得y=(/+如+mm

又直線y=kx+m與曲線y=-+相切，

所以女=--7H--,TTI=-----FITLXC\-1.

6%0

4,41

設(shè)9(x)=l+仇久一1，刀>0，則9(久)=一淳+?

令g/0)=燮=0,解得久=4.

當(dāng)0<%V4時(shí)，g7(%)<0,9(久)在(0,4)上單調(diào)遞減；

當(dāng)久>4時(shí)，g7(x)>0,g(%)在(4,+8)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)9。)在x=4處取極小值，極小值g(4)=)4—1=21nz.

又當(dāng)％~+8時(shí),g(琦->+oo,

所以函數(shù)9(%)的值域?yàn)椋?仇2,+oo),

所以實(shí)數(shù)血的取值范圍是［2,2,+co).

第11頁(yè)，共18頁(yè)

故答案為：[2)2,+8).

先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而得到切線方程，再結(jié)合切線方程與已知直線方

程的關(guān)系，得到關(guān)于小的表達(dá)式，最后通過求導(dǎo)得出函數(shù)的最值即可確定小的取值范圍.

本題考查函數(shù)的切線問題的求解，屬中檔題.

15.【答案】a的取值范圍為[1,+8)；

a的取值范圍是(-oo,-2]

【解析】(1)不等式筆W1可化為。一1<0,

''x+3%+3

x—1

???一v0,

%+3-

.?.號(hào)<0或％-1=0,

%+3

3<x<1或％=1,

?.?不等式笫W1的解集為{刈—3<xW1},

B={%|-3<%<1},

集合/={x\a-1<%<3—2a},由AC\B=A,可得4UB,

A=[x\a—1<x<3—2a},B={x\—3<x<l}f

①當(dāng)2=0時(shí)，a-1>3-2a,解得a>點(diǎn)滿足題意；

ci—143—2a

②當(dāng)ZW。時(shí)，貝IJa-l>-3,解得14a<小

3-2a<1

綜上，a21,

二實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+00).

(2)由題意可得，%€4是%€8的必要不充分條件，故3是力的真子集，

又A={x\a-1<x<3—2a},B—{x\—3<x<Y},

CL—143—2a

則a—14一3,解得。4一2,

、3—2aN1

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-co,-2].

(1)化簡(jiǎn)集合B,由4。8=力推出4UB,對(duì)集合4是否為。分類討論，求解即得；

(2)由必要不充分條件可得B是力的真子集，列出不等式組，求解即得.

本題考查集合運(yùn)算法則、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

第12頁(yè)，共18頁(yè)

16.【答案】y=x；

當(dāng)。之。時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)Q<0時(shí)，/(%)在(0,7-a)上單調(diào)遞減,在(，一a,+8)上單調(diào)遞增

【解析】⑴由題意函數(shù)f(%)=4alnx+2x2-l(aeR),

可得當(dāng)a=-］時(shí)，/(%)=-3lnx+2x2-1,%>0,

4

則U(久)=Y+4%=『，所以/"⑴=Lff(1)=1,

所以函數(shù)/(x)在點(diǎn)處的切線方程為y-1=%-1,即丫=x；

(2)由//(%)=?+4%,%G(0,+oo),

當(dāng)aN0時(shí),有//(%)>0,即/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，令//(%)=0,得％=V—a,

令f/(%)>o,得久>即/(%)在+8)上單調(diào)遞增，

令//(%)<0,得0V/V，一a,即/(%)在(0,二萬)上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)。Z0時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，/(%)在(04-a)上單調(diào)遞減,在(4-a,+8)上單調(diào)遞增.

(1)依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)求導(dǎo)，分QN0和QV0討論判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得解.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題.

17.【答案】函數(shù)八%)的極小值為/(e)=-e,沒有極大值.

a的取值范圍為(0,1)

【解析】(1)/(%)=xlnx-^x2-2%+。的定義域?yàn)?0,+oo),

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/(%)=xlnx—2x,導(dǎo)函數(shù)f，(%)=Inx+1-2=Inx—1,

令f/(%)=0,可得,％—1=0,故％=e,

當(dāng)久Ae時(shí)，f7(%)>0,函數(shù)/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)OV%Ve時(shí)，f/(%)<0,函數(shù)/(%)在(0,e)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)％=e時(shí)，/(%)取極小值為f(e)=e-2e=-e,

/(%)沒有極大值，

(2)/(%)=xlnx-^x2-2%+。的定義域?yàn)?0,+8),

導(dǎo)函數(shù)//(%)=Inx+1—ax-2=Inx—ax—1,令函數(shù)g(%)=Inx—ax—

第13頁(yè)，共18頁(yè)

由于函數(shù)f(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

因此導(dǎo)函數(shù)f/(%)=Inx-ax-1有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即g(X)=Inx-ax-1有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

因?yàn)間/(X)=；-a，

當(dāng)a40時(shí)，g7(%)>0,g(%)=Inx—ax—1在(0,+8)單調(diào)遞增，

因此g(%)=Inx-ax-1在(0,+8)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，矛盾，

當(dāng)a>0時(shí)，令gz(%)=0,可得第二

當(dāng)久>，時(shí)，g/(%)V0,函數(shù)g(%)=Inx—ax—1在弓,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)0<%V，時(shí)，g/(%)>0,函數(shù)g(%)=Inx—ax—1在(0、)上單調(diào)遞增，

當(dāng)久一+8時(shí)，g(%)T—8,當(dāng)X>0,且第T0時(shí)，g(%)T—8,

__11

由函數(shù)g(%)=Inx-ax-1有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，可得g(&)=In--1-1>0,

所以a<—又a>0,故0<aV-

eLeL

所以a的取值范圍為(0,1).

(1)求函數(shù)/(x)=無必久一拜一2久+a的定義域，當(dāng)a=0時(shí)，求廣(龍)，再求方程/''(無)=0的解，分區(qū)

間判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此確定函數(shù)的極值；

(2)由條件可得/(x)=Inx-ax-1有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，設(shè)g(x)=Inx-ax-1,求g'(%)，分a<0,a>0,

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由條件列不等式求a的取值范圍.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】證明：由已知f(x)=竺A，9。)=咨二，

所以[g(x)]2—[/(x)]2=[g(x)+f(x)][g(x)-f(x)]

故[。(久)]2—[/(x)]2=1；

3，TT+3\

⑸r—4―)

【解析】(1)證明：由已知f(%)=。,g(%)=匕羨

因此[g(x)]2一[/(x)]2=[g(久)+f(x)][^(%)-/(%)]

第14頁(yè)，共18頁(yè)

ex+e-x,ex-e-x.,ex+e-xex-e-x.

=r(^^+p—)(F--------)-exT-e-4，

故［g(x)］2—|/(久)］2=1;

(2)由已知f(久)=白黃，得其定義域?yàn)镽,

p—X_pXpX_p—XpX_l_p—X

又f(-x)=——=-------=-f(x)，f'(久)=—2—>0,

因此/(X)是R上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，

因此不等式/(3x-l)+/(x-4)<0,因此f(3x-1)<-/(x-4)=/(4-x),

因此3%-1<4—x,解得不等式的解集為｛x|x<￡｝；

4

.,.pX_p-XpX_|_p_x

(3)由已知，

函數(shù)僅久)=2m5(2x)-2/(%)-3的圖象在區(qū)間［0,伍3］上與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

因此方程2mg(2x)-2/(x)-3=0在［0,m3］上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

x%

因此機(jī)(e2x+e-2x)_(e-e-)-3=0在［0,m3］上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

令t=e，—e-x+3,則=ex+e-x>0,因止匕t在電)3］上單調(diào)遞增，

因此t€［3,均，故角=」：竺=/，因此工=4±ll=t+￥—6，

3e￡X+e￡Xtz—6t+llAmntt

令?l(t)=t+?—6(tG［3,-y-］),則九/(t)=1—M

令n/(t)=0,解得t=V11,

因此而)在［3,，11)上單調(diào)遞減，在(d,基上單調(diào)遞增，71(d)=2711-6為其最小值,

且九⑶二|＜九（?。?II，作草圖如下,

則當(dāng)2門1-644時(shí)，函數(shù)?。┡cy4有兩個(gè)交點(diǎn),

因此函數(shù)九（久）=2mg（2x）-2/0）-3的圖象在區(qū)間［0,仇3］上與x軸有2個(gè)交點(diǎn),

第15頁(yè)，共18頁(yè)

因此實(shí)數(shù)小的取值范圍為傳,工用).

L24

(1)利用平方差公式，結(jié)合已知條件即可得證；

(2)利用函數(shù)/(嗎的奇偶性和單調(diào)性，簡(jiǎn)化不等式即可求解；

(3)將函數(shù)/i(x)=2mg(2x)-2/(x)-3的圖象在區(qū)間［0,m3］上與x軸有2個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程2mg(2x)-

2/(x)-3=0在［0,m3］上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的問題，

再利用換元法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出n(t)=t+?-6(te［3,孝］)的值域，即可求解.

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題.

19.【答案】(—8,-3m|—3］；

(一L+8)U［一簽+3仇16,1-3仇2)；

證明：因?yàn)?1，%2是/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，

以％1—3仇％1———a=0,%2-3仇％2-~—a=0,

兩式相加，可得%1+汽2—3(仇％1+仇%2)—(—I—)=2a,

%1%2

則有11+12—3M(％i%2)—(―-+—)=2a,即11+犯=2a+3b1(%1犯)+2(-%1+%2\

%2巧％2

因?yàn)椋?，%2>0且第1。％2，所以有％1+%2>2］勺?,

于是有％1+%2=2a+3Zn(x1x2)+■乜+犯)>2a+3Zn(x1x2)+4V"犯,

i%1%2%1汽2

4、____

即％i+冷>2a+3Zn(xx)+(*)，記J=t(t>0),

12Vxlx2

設(shè)h(t)=2a+6lnt+p則九，(0=牛一*=生*2,

當(dāng)力>|時(shí)，h7(t)>0,則。在(|,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<t4時(shí)，無'(t)<0,則旗。在(0,|)上單調(diào)遞減，

2

=2a+6ln2—6ln3+6,即h(t)>2a+6ln2—6ln3+6,

故由(*)可得第i+冷>2a+3Zn(x1x2)+,4>2a+6/n2—6M3+6,

即％i+冷+6,3>2a+