2025-2026學(xué)年上海市市北中學(xué)高二上學(xué)期質(zhì)量檢測一

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共有4題，滿分18分，第1、2題每題4分，第3、4題每題5分。

1.如圖，空間四邊形4BCD四邊相等，順次連接各邊中點E,F,G,H,則四邊形EFGH一定是（）

A.菱形B.正方形C.矩形D.空間四邊形

2.已知S是正方形48CD所在平面外一點，連接S4,SB,SC,SD,AC,BD,則在所有的10條直線中，異

面直線共有（）

A.8對B.10對C.12對D.14對

3.如圖，長方體ABCO-AiBiGDi中，功力5=45。，zCZ）G=30\那么異面直線人為與0Q所成角的余

弦值是

?苧g

cD.T

4.若干個能確定?個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”.已知長方體ABC。-4/IGDI，下

列四組量中，一定能成為該長方體的“基本量”的是（）

A.4B1，AC,力。1的長度BMC,BQ41c的長度

C.BCCD,CD的長度D.4Q,BD,CG的長度

二、填空題：本題共12題，第570題每題4分，第1176題，每題5分，共54分。

5.空間中已知直線a,直線從直線c,若直線a〃直線比直線a與直線c異面，則直線b與直線c的位置關(guān)系

是.

6.空間四邊形中，E,尸分別在邊4D,CO上，且滿足普=蓼，則直線E尸與平面ABC的位置關(guān)系

EAPC

是.

7.在正方體ABCD-48解1。1中，二面角4一8C的大小是.

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8.如圖所示，ABCD-AB，C'D'是長方體，其中48=2,4。=44=1,點E是棱C'D'上一點，若異面直

線與DE互相垂直，則D'E=.

9.如圖，在棱長為2的正方體＜BCD—&BiGZ）i中，E是40的中點，『是8叢的中點，則直線EF與平面

10.三條直線兩兩相交可以確定個平面.

11.已知機,九是空間的兩條不同有線.a,"是兩個不同的平而，下列四個命題中直命題的編號是.

①.mJLa,n〃S，a〃￡,則m_L九②.m1a,m1.n,a//p,則n〃/?

③.7711a〃夕，則九_L夕④.m1a,m//n,a//p,則幾_L夕

12.如圖，在A48C中，點P在△H8C所在平面外，點。是P在平面48c上的射影且點。在△48C的內(nèi)部.若

P至1|△ABC三邊的距離相等，那么。是AABC的

13.在長方體A8CD-4181cmi中，4B=BC=2,CC,=2/2,E為CG的中點，則直線力的與平面8ED的

距離為.

14.如圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中：（1）8M〃￡Z）：（2）CN和BE是異面直線；（3）CN和BM成60。

角；（4）0M_L8N；以上四個命中正確的序號是：

15.如圖，在正方體—中，M、N、P分別是86、D4和力B的中點，則下列關(guān)系:

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①8M1AB：

②3M〃平面4產(chǎn)G；

③3M1GP；

④BiNl平面力/G，

正確的編號為.

16.一斜坡的坡面與水平面所成的二面角大小為30。，斜坡有一直道，它和坡腳水平線成60。角，沿這條直

道向上100米后，升高了米.

三、解答題：本題共5小題，共78分°解答防寫出文字說明，訐明過程或演算步驟.

17.(本小題13分)

在正方體488-4%。1。］中,求：

(D二面角C-D］BLG的大小

(2)點M在棱CD上，若4M與平面&GC8所成角的正弦值為穿，判斷點M位置并說明理由

18.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD-AiBiGD］中，

(1)證明:BiHl&Q：

(2)證明：為。1平面力］8。1；

(3)若正方體的棱長為1,求點當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x.

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19.(本小題16分)

四邊形ABC。為直角梯形，AB/\\/CD,LADC=90。,P。=CD=2AD=2AB=2.

(1)求異面直線AB與PC所成角的大小;

(2)求二面角8-PC-。的余弦值.

20.(本小題17分)

我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻(cH)薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也

薨，窟蓋也?！狈g為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻薨的字面意思為茅草屋頂

.，，現(xiàn)有一個“芻薨”如圖所示.四邊形為正方形,四邊形//?口?、CD/年為兩個全等的等腰梯形.

EF!/AB,AB=4,EF=2,EA=ED=FB=FC=/17.

(1)設(shè)過點F且與直線EF垂直的平面為平面a，且平面a與直線48、CO分別交于P、Q兩點，求“FPQ的周

長:

(2)點N在線段AD上且滿足罌=《.試問：在線段CF上是否存在點M,使NF八!/平面BDM?若存在，求H燥

r\UOCr

的值；若不存在，請說明理由.

21.(本小題17分)

(1)如圖1,己知平面a,B，且=m//a,m〃/?.求證：〃/m.

(2)如圖2,已知平面a,￡,y,且aly,￡ly,記an/?=，.求證：11y.

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參考答案

\.c

2.6

34

4.A

5.相交或異面

6.平行

7(/45。

8.1/0.5

9號/海

10.1或？

II.①④

12.內(nèi)心

13.1

14.⑶(4)

15.①②④

16.25/3

17.解：(1)設(shè)正方體棱長為1,以礪，比，西分別為％y,z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

則。(0,0,0)41(1,0,1),。1(0,0,1),C(0,l,0),當(dāng)(1,1,1),

顯然平面當(dāng)D1G的一個法向量為西=(0,0,1),

設(shè)平面的一個法向量為記=(x,y,z),砧=瓦瓦=(1,1,0),

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由BJL泉，五1瓦瓦,得[二變=°,毗二仁T,令z=l，得五=(-1,1,1),

設(shè)匯西的夾角為a,cosa=g鬻=苧，由圖知二面角。一。*1一6為銳二面角，

叫DD“3

所以二面角C—D1B1—Q大小為arccos號.

(2)設(shè)M(0,t,0),t6[0,1],則而?=(-l,t,-l),平面BiCiCB的一個法向量為配=(0,1,0),

區(qū)幽一祟即4=%￡=：

設(shè)與平面81cle占所成角為"，sin"=|cos(而比而)|=而網(wǎng)一

19V193

產(chǎn)+2

所以當(dāng)DM=《DC時，41M與平面BiGCB所成角的正弦值為譽.

OAX

18.解：(1)連接昆。1，四48CD-4$心。1為正方體,則D/1平面力/iGDi，/?！?。的,

因41Gu平面則0。114G，

乂BRCDDLD],當(dāng)。1，。。1u平囿々Di。，則&Ci_1_平面當(dāng)外。，

又Bi。u平面Bi。/,則4101瓦。；

(2)連接BiC,因CD1平面BCG/BQu平面BCC?則CDJL8C，

因&C1BQ,BCCDu平面1CD,則BQ1平面&CD,

又B]Du平面DCB],則1Bg,

因41G-LBi。,ACu平面ABC1,則BiD1平面力止??；

(3)設(shè)點名到平面的距離為d,

因，&8G為等邊三角形，且其邊長為42,則=

因％IMGB=匕?-418仔1，則Sa41cl8,d=BB]?SaAiBg，

則d=*l皿

則點當(dāng)?shù)狡矫媪?Ci的距離為詈.

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19.解：⑴由48/\!/C0,

則異面直線48與PC所成角即為乙PCD,

由題意知，PO_L平面力又CDu平面48CD,

故PDJ.C。，所以tan乙PCD=皆=1,即“8=%

即異面直線與PC所成角為全

(2)因為PD1平面ABC。，ADu平面ABCO,

所以尸0_L4。，又PDLDC,AD1DC,

所以以。為原點，。40。,。尸分別為乙％2軸建立：空間直角坐標(biāo)系：

則。(000),4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

則正=(0,2,-2),=(-4,1,0),前=(0,0,2),同=(1,0,—2),

設(shè)平面PBC的法向量為元=(x,y,z),

則f'2Z-0,?。?1,得y=l,z=l,得元=(1,1,1),

ln-BC=-x+y=0

取平面PDC的法向量為赤=(1,0,0),

設(shè)二面角3—PC-。的大小為0,由圖形知，。為銳角，

所以8$9=版=焉=等，

所以二面角8—PC—。的余弦值為苧.

20.解：⑴

過點F分別作FQ1EF,FP1EF,分別交4B,CD于P,Q,連接PQ,

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所以平面a即為平面rPQ,

因為四邊形4BCD為正方形，EF/(AB,

所以FP14B,FQ1CD,

由已知得FP=FQ=V17-1=4,PQ=BC=4,

所以△尸PQ的周長為尸產(chǎn)+FQ+PQ=12.

(2)

假設(shè)存在點M.

當(dāng)點N在線段40卜時,連接CN交P0干/?.

則▲DNR~ABCR,因為縹=：,

因為FN〃平面BOM,FN

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