2025年線性代數(shù)分塊矩陣運(yùn)算試題一、選擇題（每小題3分，共15分）設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}E_2&O\C&D\end{bmatrix})，其中(E_2)為2階單位矩陣，(O)為2階零矩陣，(C)、(D)均為2階方陣，且(|D|=3)，則(|A|)的值為（）A.3B.6C.9D.12設(shè)分塊矩陣(M=\begin{bmatrix}A&B\C&D\end{bmatrix})，其中(A)、(D)均可逆，則(M^{-1})的表達(dá)式為（）A.(\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}BD^{-1}\-D^{-1}CA^{-1}&D^{-1}\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}A^{-1}&O\O&D^{-1}\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}D^{-1}&-D^{-1}BC^{-1}\-C^{-1}DA^{-1}&C^{-1}\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}A^{-1}+B&C\D&D^{-1}\end{bmatrix})設(shè)(A)為3階方陣，(B)為4階方陣，且(|A|=2)，(|B|=-3)，則分塊對(duì)角矩陣(\begin{bmatrix}O&A\B&O\end{bmatrix})的行列式值為（）A.6B.-6C.12D.-12設(shè)(A)、(B)均為(n)階方陣，分塊矩陣(C=\begin{bmatrix}A&B\B&A\end{bmatrix})，則(C)的秩(r(C))滿足（）A.(r(C)=r(A)+r(B))B.(r(C)\leqr(A)+r(B))C.(r(C)\geqr(A)+r(B))D.(r(C)=|r(A)-r(B)|)設(shè)分塊矩陣(A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix})，其中(A_{11})為可逆矩陣，則下列分塊初等變換不改變矩陣秩的是（）A.交換(A_{11})與(A_{22})的位置B.用(A_{11}^{-1})左乘第1塊行C.將第2塊行的(A_{21}A_{11}^{-1})倍加到第1塊行D.用數(shù)(k)（(k\neq0)）乘以第1塊列二、填空題（每小題4分，共20分）設(shè)(A=\begin{bmatrix}1&2&0&0\3&4&0&0\0&0&5&6\0&0&7&8\end{bmatrix})，則(A^{-1}=)__________。設(shè)分塊矩陣(M=\begin{bmatrix}A&B\C&D\end{bmatrix})，且(A)可逆，定義(M)的“舒爾補(bǔ)”為(S=D-CA^{-1}B)，若(M)為分塊上三角矩陣（即(C=O)），則(S=)__________。設(shè)(A)為(m\timesn)矩陣，(B)為(n\timesp)矩陣，將(A)按列分塊為(A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n])，則(AB=)__________（用分塊矩陣表示）。設(shè)(A=\begin{bmatrix}E&O\K&E\end{bmatrix})，(B=\begin{bmatrix}E&L\O&E\end{bmatrix})，其中(E)為單位矩陣，(K)、(L)為同階方陣，則(AB-BA=)__________。設(shè)(A)、(B)均為3階方陣，且(A\sim\begin{bmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{bmatrix})，(B\sim\begin{bmatrix}-1&0&0\0&-2&0\0&0&-3\end{bmatrix})，則分塊矩陣(\begin{bmatrix}A&O\O&B\end{bmatrix})的特征值為__________。三、計(jì)算題（共40分）1.分塊矩陣的行列式與逆矩陣（10分）已知矩陣(A=\begin{bmatrix}2&1&0&0\1&1&0&0\0&0&3&2\0&0&2&1\end{bmatrix})，（1）用分塊矩陣法計(jì)算(|A|)；（2）求(A^{-1})。解答：（1）將(A)分塊為(A=\begin{bmatrix}A_1&O\O&A_2\end{bmatrix})，其中(A_1=\begin{bmatrix}2&1\1&1\end{bmatrix})，(A_2=\begin{bmatrix}3&2\2&1\end{bmatrix})。由于分塊對(duì)角矩陣的行列式等于各子塊行列式的乘積，(|A|=|A_1|\cdot|A_2|=(2\times1-1\times1)\cdot(3\times1-2\times2)=1\times(-1)=-1)。（2）分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣為(\begin{bmatrix}A_1^{-1}&O\O&A_2^{-1}\end{bmatrix})，計(jì)算(A_1^{-1})：(|A_1|=1)，伴隨矩陣(A_1^=\begin{bmatrix}1&-1\-1&2\end{bmatrix})，故(A_1^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\-1&2\end{bmatrix})；計(jì)算(A_2^{-1})：(|A_2|=-1)，伴隨矩陣(A_2^=\begin{bmatrix}1&-2\-2&3\end{bmatrix})，故(A_2^{-1}=\begin{bmatrix}-1&2\2&-3\end{bmatrix})；因此，(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1&0&0\-1&2&0&0\0&0&-1&2\0&0&2&-3\end{bmatrix})。2.分塊矩陣的乘法與秩（12分）設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&0&2&3\0&1&4&5\0&0&0&0\end{bmatrix})，(B=\begin{bmatrix}1&2&0\3&4&0\5&6&7\8&9&10\end{bmatrix})，（1）將(A)、(B)適當(dāng)分塊后計(jì)算(AB)；（2）求(r(AB))。解答：（1）將(A)分塊為(A=\begin{bmatrix}E_2&C\O&O\end{bmatrix})，其中(E_2=\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix})，(C=\begin{bmatrix}2&3\4&5\end{bmatrix})；將(B)分塊為(B=\begin{bmatrix}D\F\end{bmatrix})，其中(D=\begin{bmatrix}1&2&0\3&4&0\end{bmatrix})，(F=\begin{bmatrix}5&6&7\8&9&10\end{bmatrix})；則(AB=\begin{bmatrix}E_2&C\O&O\end{bmatrix}\begin{bmatrix}D\F\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E_2D+CF\O\end{bmatrix})，計(jì)算(E_2D+CF=D+CF=\begin{bmatrix}1&2&0\3&4&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2&3\4&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&6&7\8&9&10\end{bmatrix})(=\begin{bmatrix}1&2&0\3&4&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\times5+3\times8&2\times6+3\times9&2\times7+3\times10\4\times5+5\times8&4\times6+5\times9&4\times7+5\times10\end{bmatrix})(=\begin{bmatrix}1&2&0\3&4&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}34&39&44\60&69&78\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}35&41&44\63&73&78\end{bmatrix})，因此(AB=\begin{bmatrix}35&41&44\63&73&78\0&0&0\end{bmatrix})。（2）對(duì)(AB)作初等行變換：(\begin{bmatrix}35&41&44\63&73&78\0&0&0\end{bmatrix}\xrightarrow{r_2-\frac{9}{5}r_1}\begin{bmatrix}35&41&44\0&\frac{73\times5-41\times9}{5}&\frac{78\times5-44\times9}{5}\0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}35&41&44\0&\frac{365-369}{5}&\frac{390-396}{5}\0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}35&41&44\0&-\frac{4}{5}&-\frac{6}{5}\0&0&0\end{bmatrix})，故(r(AB)=2)。3.分塊矩陣在線性方程組中的應(yīng)用（18分）設(shè)非齊次線性方程組(Ax=b)的增廣矩陣為(\overline{A}=\begin{bmatrix}1&2&0&0&5\3&4&0&0&6\0&0&1&2&3\0&0&3&4&5\end{bmatrix})，（1）用分塊矩陣法判斷方程組是否有解；（2）若有解，求其通解。解答：（1）將(\overline{A})分塊為(\overline{A}=\begin{bmatrix}A_1&b_1\O&A_2&b_2\end{bmatrix})，其中(A_1=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，(b_1=\begin{bmatrix}5\6\end{bmatrix})，(A_2=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，(b_2=\begin{bmatrix}3\5\end{bmatrix})。原方程組可分解為兩個(gè)獨(dú)立的子方程組：(A_1\begin{bmatrix}x_1\x_2\end{bmatrix}=b_1)和(A_2\begin{bmatrix}x_3\x_4\end{bmatrix}=b_2)。計(jì)算(r(A_1)=2)，(r([A_1,b_1])=2)；(r(A_2)=2)，(r([A_2,b_2])=2)，因此兩個(gè)子方程組均有解，原方程組有解。（2）解(A_1\begin{bmatrix}x_1\x_2\end{bmatrix}=b_1)：(A_1^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix})，(\begin{bmatrix}x_1\x_2\end{bmatrix}=A_1^{-1}b_1=\begin{bmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-10+6\\frac{15}{2}-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\frac{9}{2}\end{bmatrix})。解(A_2\begin{bmatrix}x_3\x_4\end{bmatrix}=b_2)：(\begin{bmatrix}x_3\x_4\end{bmatrix}=A_2^{-1}b_2=\begin{bmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6+5\\frac{9}{2}-\frac{5}{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\2\end{bmatrix})。由于兩個(gè)子方程組均有唯一解，原方程組的通解為(x=(-4,\frac{9}{2},-1,2)^T)。四、證明題（共25分）1.分塊矩陣的逆矩陣公式（12分）設(shè)分塊矩陣(M=\begin{bmatrix}A&B\C&D\end{bmatrix})，其中(A)可逆，且(S=D-CA^{-1}B)也可逆，證明：(M^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix})。證明：構(gòu)造分塊矩陣(M^{-1}=\begin{bmatrix}X&Y\Z&W\end{bmatrix})，則(MM^{-1}=E)，即：(\begin{bmatrix}A&B\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X&Y\Z&W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E&O\O&E\end{bmatrix})，展開得：(AX+BZ=E)①，(AY+BW=O)②，(CX+DZ=O)③，(CY+DW=E)④。由①得(X=A^{-1}(E-BZ))，代入③：(CA^{-1}(E-BZ)+DZ=O\Rightarrow(D-CA^{-1}B)Z=-CA^{-1}\RightarrowSZ=-CA^{-1}\RightarrowZ=-S^{-1}CA^{-1})，則(X=A^{-1}(E-B(-S^{-1}CA^{-1}))=A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1})。由②得(Y=-A^{-1}BW)，代入④：(C(-A^{-1}BW)+DW=E\Rightarrow(D-CA^{-1}B)W=E\RightarrowSW=E\RightarrowW=S^{-1})，則(Y=-A^{-1}BS^{-1})。綜上，(M^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix})，證畢。2.分塊矩陣的秩不等式（13分）設(shè)(A)為(m\timesn)矩陣，(B)為(n\timesp)矩陣，證明：(r(AB)\geqr(A)+r(B)-n)。證明：構(gòu)造分塊矩陣(M=\begin{bmatrix}E_n&B\A&O\end{bmatrix})，對(duì)(M)作初等變換：(M\xrightarrow{r_2-Ar_1}\begin{bmatrix}E_n&B\O&-AB\end{bmatrix})，則(r(M)=r(E_n)+r(-AB)=n+r(AB))。另一方面，(M\xrightarrow{c_2-Bc_1}\begin{bmatrix}E_n&O\A&-AB\end{bmatrix})，(r(M)=r(E_n)+r(-AB)=n+r(AB))。又(M)可視為(\begin{bmatrix}E_n&B\A&O\end{bmatrix})，其秩不小于(r\