2025年線性代數(shù)生物啟發(fā)計(jì)算中的群體智能試題一、選擇題（每題3分，共30分）在粒子群優(yōu)化算法中，粒子的位置更新公式可表示為矩陣形式X(k+1)=X(k)+V(k+1)，其中速度矩陣V的更新依賴(lài)于認(rèn)知項(xiàng)和社會(huì)項(xiàng)的加權(quán)組合。若某粒子群系統(tǒng)的認(rèn)知系數(shù)矩陣為C1=[[0.8,0],[0,0.8]]，社會(huì)系數(shù)矩陣為C2=[[0.5,0.2],[0.2,0.5]]，則該系統(tǒng)的群體信息交互強(qiáng)度可用矩陣的（）來(lái)衡量。A.特征值之和B.行列式C.跡D.條件數(shù)蟻群算法中，信息素矩陣τ的更新規(guī)則為τ=(1-ρ)τ+Δτ，其中ρ為揮發(fā)系數(shù)，Δτ為信息素增量矩陣。若初始信息素矩陣τ?=[[5,3],[3,5]]，ρ=0.1，Δτ=[[2,0],[0,2]]，則經(jīng)過(guò)一次迭代后的信息素矩陣τ?的譜半徑為（）A.6.3B.6.5C.7.0D.7.2遺傳算法中，種群染色體的交叉操作可視為向量空間中的線性變換。若父代染色體向量為α=[1,0,1,0]?，β=[0,1,0,1]?，交叉算子矩陣P=[[1,1],[1,0]]?I?（?為克羅內(nèi)克積，I?為2階單位矩陣），則子代染色體向量P(α+β)為（）A.[1,1,1,1]?B.[1,0,1,0]?C.[0,1,0,1]?D.[1,1,0,0]?群體智能系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，若系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A滿(mǎn)足ρ(A)<1（ρ為譜半徑），則系統(tǒng)（）A.漸進(jìn)穩(wěn)定B.臨界穩(wěn)定C.不穩(wěn)定D.無(wú)法判斷在蜂群算法的雇傭蜂-偵查蜂模型中，蜜源位置的鄰域搜索可表示為x??=x??+φ??(x??-x??)，其中φ??為隨機(jī)數(shù)矩陣。若將該操作視為線性方程組Ax=b的迭代求解過(guò)程，則其迭代矩陣屬于（）A.雅可比迭代B.高斯-賽德?tīng)柕鶦.超松弛迭代D.共軛梯度法魚(yú)群算法中，個(gè)體的聚集行為可用向量場(chǎng)描述為v=k?·?ρ+k?·?u，其中ρ為種群密度，u為食物濃度。若ρ(x,y)=x2+y2，u(x,y)=-x2-y2，則該向量場(chǎng)的旋度在點(diǎn)(1,1)處的值為（）A.0B.2(k?-k?)C.2(k?+k?)D.4(k?-k?)多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題中，若通信拓?fù)鋱D對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣L滿(mǎn)足rank(L)=n-1（n為智能體數(shù)量），則系統(tǒng)（）A.存在唯一一致性解B.存在無(wú)窮多一致性解C.無(wú)法達(dá)成一致D.僅在無(wú)向圖下達(dá)成一致模擬退火算法的溫度衰減過(guò)程可建模為T(mén)(k+1)=αT(k)，其中α∈(0,1)。若初始溫度矩陣T?=diag([100,80,60])，α=0.9，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到熱平衡時(shí)（T→0），溫度矩陣的核空間維數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3狼群算法中，頭狼位置的更新公式為X?=X?+η·rand·(X?-X?)，其中X?、X?分別為獵物和最差狼的位置向量。若將該過(guò)程視為線性變換，則其雅可比矩陣的特征值為（）A.1B.η·randC.1+η·randD.1-η·rand群體機(jī)器人的隊(duì)形控制中，期望隊(duì)形矩陣H與實(shí)際隊(duì)形矩陣H?的偏差可通過(guò)范數(shù)||H-H?||?衡量。若H為正交矩陣，H?=H+E（E為誤差矩陣），則當(dāng)||E||?<1時(shí)，H?的逆矩陣近似為（）A.H?-E?B.H?+E?C.H-ED.H+E二、填空題（每題4分，共20分）粒子群優(yōu)化算法中，粒子速度更新公式為v??=ωv????+c?r?(p????-x????)+c?r?(p????-x????)。若將該公式表示為矩陣形式V=AV+BP+CG，其中V為速度矩陣，P為個(gè)體極值矩陣，G為全局極值矩陣，則系數(shù)矩陣A的對(duì)角線元素為_(kāi)_________。蟻群算法求解TSP問(wèn)題時(shí)，城市間距離矩陣D=[[0,5,8],[5,0,6],[8,6,0]]，信息素矩陣τ=[[0,2,3],[2,0,4],[3,4,0]]，啟發(fā)函數(shù)矩陣η=1/D（對(duì)角線元素為0）。若某螞蟻當(dāng)前位于城市2，則其選擇轉(zhuǎn)移到城市3的概率（按輪盤(pán)賭選擇）為_(kāi)_________（保留兩位小數(shù)）。遺傳算法中，種群適應(yīng)度向量為f=[10,20,15,25]，選擇算子采用比例選擇，則選擇概率向量p的L?范數(shù)為_(kāi)_________。人工魚(yú)群算法中，魚(yú)群中心位置向量為μ=(1/4)(x?+x?+x?+x?)，其中x?=[1,2]?，x?=[3,4]?，x?=[5,6]?，x?=[7,8]?。則魚(yú)群位置的協(xié)方差矩陣Σ=(1/4)Σ(x?-μ)(x?-μ)?的跡為_(kāi)_________。群體智能系統(tǒng)的一致性協(xié)議中，若智能體的狀態(tài)更新規(guī)則為x?(k+1)=Σ?=1?a??x?(k)，其中A=(a??)為鄰接矩陣。當(dāng)A為_(kāi)_________矩陣時(shí)，系統(tǒng)能在有限步內(nèi)達(dá)成一致性。三、計(jì)算題（每題10分，共30分）（粒子群優(yōu)化的收斂性分析）已知粒子群系統(tǒng)的位置更新方程為：x(k+1)=x(k)+v(k+1)v(k+1)=0.8v(k)+0.5r?(p(k)-x(k))+0.3r?(g(k)-x(k))其中r?,r?為[0,1]上的隨機(jī)數(shù)，p(k)為個(gè)體最優(yōu)位置，g(k)為全局最優(yōu)位置。（1）將系統(tǒng)表示為狀態(tài)空間模型[x(k+1);v(k+1)]=M[x(k);v(k)]+N[p(k);g(k)]，求系數(shù)矩陣M和N；（2）若r?=r?=1，判斷系統(tǒng)矩陣M的穩(wěn)定性（需計(jì)算譜半徑）。（蟻群算法的矩陣迭代）某蟻群系統(tǒng)的信息素更新規(guī)則為：τ(k+1)=(1-ρ)τ(k)+Q·Δτ(k)其中ρ=0.2，Q=10，Δτ(k)為第k代最優(yōu)路徑的信息素增量矩陣，且Δτ(k)=diag(1/L?)，L?為第k代最優(yōu)路徑長(zhǎng)度。已知初始信息素矩陣τ(0)=diag([5,5,5])，第1-3代最優(yōu)路徑長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)?=2，L?=1.5，L?=1.2。（1）計(jì)算τ(1),τ(2),τ(3)；（2）求τ(k)當(dāng)k→∞時(shí)的極限矩陣τ*。（遺傳算法的種群多樣性度量）設(shè)遺傳算法種群的染色體向量空間為??，種群個(gè)體為：α?=[1,1,0,0]?,α?=[1,0,1,0]?,α?=[0,1,0,1]?,α?=[0,0,1,1]?（1）計(jì)算種群的協(xié)方差矩陣Σ；（2）利用Σ的特征值計(jì)算種群多樣性指標(biāo)D=tr(Σ)+det(Σ)。四、證明題（每題10分，共20分）證明：在粒子群優(yōu)化算法中，當(dāng)慣性權(quán)重ω=0，認(rèn)知系數(shù)c?=c?=2時(shí)，粒子位置序列{x(k)}滿(mǎn)足x(k)=A?x(0)+(A?-I)(A-I)?1b，其中A為系統(tǒng)矩陣，b為常向量，并證明當(dāng)k→∞時(shí)x(k)收斂于(A-I)?1b的充分必要條件是ρ(A)<1。證明：對(duì)于蟻群算法的信息素矩陣τ(k)，若揮發(fā)系數(shù)ρ∈(0,1)，信息素增量矩陣Δτ(k)有界（即存在M>0使得||Δτ(k)||?≤M），則τ(k)必為收斂序列，并求其極限矩陣τ*。五、應(yīng)用題（20分）（群體智能在傳感器網(wǎng)絡(luò)定位中的應(yīng)用）考慮由4個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)組成的無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為s?(0,0),s?(10,0),s?(0,10),s?(10,10)。未知節(jié)點(diǎn)x的位置估計(jì)可通過(guò)粒子群優(yōu)化求解，目標(biāo)函數(shù)為：f(x)=Σ?=1?(||x-s?||-d?)2其中d?為測(cè)量距離，d=[8,8,8,8]?（單位：m）。（1）寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)f(x)的梯度?f(x)，并證明其Hessian矩陣?2f(x)為正定矩陣；（2）設(shè)計(jì)粒子群優(yōu)化算法求解該問(wèn)題，要求：粒子速度更新公式中引入梯度信息（即v(k+1)=ωv(k)+c?r?(p-x)+c?r?(g-x)+c?r??f(x)）設(shè)定初始種群x?=[5,5]?+N(0,I?)（正態(tài)分布采樣）迭代5次，給出位置序列x(k)及目標(biāo)函數(shù)值f(k)六、開(kāi)放題（20分）（群體智能與量子計(jì)算的融合）量子粒子群優(yōu)化（QPSO）算法將粒子位置表示為量子態(tài)|φ?=α|0?+β