2025年線性代數(shù)網(wǎng)絡(luò)流與矩陣應(yīng)用試題一、網(wǎng)絡(luò)流模型構(gòu)建與矩陣表示（25分）（一）城市交通網(wǎng)絡(luò)流量分析某城市中心區(qū)域由4個(gè)路口節(jié)點(diǎn)（V1、V2、V3、V4）和6條單向道路構(gòu)成，各路段流量變量定義如下：x?：V1→V2路段流量x?：V1→V3路段流量x?：V2→V3路段流量x?：V2→V4路段流量x?：V3→V4路段流量x?：V4→V1路段流量已知各節(jié)點(diǎn)流入流出流量守恒，且外部輸入/輸出流量為：V1凈流入800輛/小時(shí)，V4凈流出800輛/小時(shí)，V2、V3節(jié)點(diǎn)內(nèi)部流量平衡。建立流量守恒方程組根據(jù)基爾霍夫電流定律，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)列出流量平衡方程：V1：x?+800=x?+x?V2：x?=x?+x?V3：x?+x?=x?V4：x?+x?=x?+800整理為標(biāo)準(zhǔn)線性方程組形式Ax=b：[\begin{cases}-x?-x?+x?=-800\x?-x?-x?=0\x?+x?-x?=0\x?+x?-x?=800\end{cases}]構(gòu)造系數(shù)矩陣與增廣矩陣系數(shù)矩陣A（4×6）與增廣矩陣[A|b]分別為：[A=\begin{bmatrix}-1&-1&0&0&0&1\1&0&-1&-1&0&0\0&1&1&0&-1&0\0&0&0&1&1&-1\end{bmatrix},\quad[A|b]=\begin{bmatrix}-1&-1&0&0&0&1&-800\1&0&-1&-1&0&0&0\0&1&1&0&-1&0&0\0&0&0&1&1&-1&800\end{bmatrix}]求解通解并分析物理意義通過(guò)行初等變換求秩r(A)=r([A|b])=3，自由變量為x?、x?、x?（3個(gè)）。通解形式為：[\begin{cases}x?=x?+x?\x?=x?-x?\x?=800-x?+x?\x?,x?,x?\geq0\quad(\text{非負(fù)約束})\end{cases}]當(dāng)x?=200，x?=500，x?=100時(shí)，得特解x=(600,300,200,400,500,100)，表示各路段流量分配方案。（二）電路網(wǎng)絡(luò)矩陣模型某直流電路含3個(gè)節(jié)點(diǎn)、4條支路，已知電源電動(dòng)勢(shì)E?=12V，E?=6V，電阻R?=R?=R?=2Ω，R?=4Ω。建立關(guān)聯(lián)矩陣與基爾霍夫方程組支路電流I?~I?方向如圖，關(guān)聯(lián)矩陣A（節(jié)點(diǎn)-支路）為：[A=\begin{bmatrix}1&1&0&0\-1&0&1&0\0&-1&-1&1\end{bmatrix}]由KVL定律得：A?U=E，其中U=RI（歐姆定律），整理得A?RAI=E，代入?yún)?shù)解得電流向量I=(2A,1A,1A,2A)。二、矩陣應(yīng)用綜合題（30分）（一）生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，單位利潤(rùn)分別為5、8、12元，消耗A、B兩種原料的定額如下表：產(chǎn)品原料A（kg/件）原料B（kg/件）最大銷(xiāo)量（件）甲21100乙3280丙1350原料總量限制：A=300kg，B=250kg。構(gòu)建線性規(guī)劃矩陣模型決策變量x?,x?,x?（產(chǎn)量），目標(biāo)函數(shù)maxz=5x?+8x?+12x?，約束條件：[\begin{bmatrix}2&3&1\1&2&3\1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x?\x?\x?\end{bmatrix}\leq\begin{bmatrix}300\250\100\80\50\end{bmatrix},\quadx?,x?,x?\geq0]對(duì)偶問(wèn)題與影子價(jià)格對(duì)偶變量y?,y?表示原料A、B的影子價(jià)格，對(duì)偶問(wèn)題為minw=300y?+250y?，約束條件：[2y?+y?\geq5,\quad3y?+2y?\geq8,\quady?+3y?\geq12]解得y?=1.2元/kg，y?=3.6元/kg，表明原料B每增加1kg可增利3.6元。（二）圖像壓縮的矩陣運(yùn)算某256×256灰度圖像的像素矩陣M，灰度值范圍[0,255]。DCT變換壓縮對(duì)8×8子塊執(zhí)行離散余弦變換：C=AMA?，其中變換矩陣A元素為：[A(i,j)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{8}}&i=0\\frac{\sqrt{2}}{8}\cos\left(\frac{(2j+1)i\pi}{16}\right)&i>0\end{cases}]量化矩陣Q將高頻分量置零，壓縮率達(dá)80%時(shí)峰值信噪比PSNR=32dB。奇異值分解（SVD）M=UΣV?，取前k個(gè)奇異值近似：M?=U?Σ?V??。當(dāng)k=16時(shí)，均方誤差MSE=0.02，滿足視覺(jué)無(wú)損壓縮。三、特征值與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（25分）（一）馬爾可夫鏈模型某地區(qū)人口遷移問(wèn)題：城市（狀態(tài)1）與鄉(xiāng)村（狀態(tài)2）每年遷移率為：城市→鄉(xiāng)村0.2，鄉(xiāng)村→城市0.3，初始人口分布向量x?=(600萬(wàn),400萬(wàn))?。轉(zhuǎn)移矩陣與穩(wěn)態(tài)分布轉(zhuǎn)移矩陣P為：[P=\begin{bmatrix}0.8&0.3\0.2&0.7\end{bmatrix}]求解特征值λ?=1，λ?=0.5，對(duì)應(yīng)特征向量v?=(3,2)?。穩(wěn)態(tài)分布x*=(60%,40%)?，即長(zhǎng)期城市人口占比60%。n步轉(zhuǎn)移概率5年后人口分布x?=P?x?≈(600+0.5?×200,400-0.5?×200)?=(606.25萬(wàn),393.75萬(wàn))。（二）微分方程組穩(wěn)定性Lotka-Volterra捕食模型：[\begin{cases}\frac{dx}{dt}=2x-xy\\frac{dy}{dt}=-3y+xy\end{cases}]平衡點(diǎn)(3,2)處雅可比矩陣特征值λ?=√2i，λ?=-√2i，系統(tǒng)呈現(xiàn)周期震蕩，振幅由初始條件決定。四、數(shù)值計(jì)算與MATLAB實(shí)現(xiàn)（20分）（一）矩陣分解應(yīng)用LU分解求解線性方程組對(duì)1000階稀疏矩陣A，使用LU分解（MATLABlu函數(shù)），分解耗時(shí)0.02s，回代求解Ax=b總耗時(shí)0.05s，較高斯消元法效率提升40%。QR迭代求特征值對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，QR迭代10步收斂到對(duì)角矩陣，最大特征值λ?=12.36，對(duì)應(yīng)特征向量v?=(0