2025年線性代數(shù)物理引擎中的碰撞檢測試題一、單項選擇題（共10題，每題3分）在三維物理引擎中，物體的位置和旋轉(zhuǎn)通常通過4×4變換矩陣表示。若某物體的局部坐標(biāo)系下頂點坐標(biāo)為向量v=[x,y,z,1]?，其世界坐標(biāo)系變換矩陣為M，則變換后的頂點坐標(biāo)為（）A.M?1vB.M?vC.MvD.v?M碰撞檢測中，兩個單位向量a和b的點積a·b=0.5，則它們的夾角為（）A.30°B.60°C.90°D.120°軸對齊包圍盒（AABB）的碰撞檢測需比較物體在三個軸向上的投影區(qū)間。若物體A的x軸投影為[2,5]，物體B的x軸投影為[4,7]，則二者在x軸上的重疊區(qū)間為（）A.[2,7]B.[4,5]C.無重疊D.[2,4]三維空間中，兩個平面的法向量分別為n?=[1,0,0]?和n?=[0,1,0]?，它們的交線方向向量可通過（）計算A.n?·n?B.n?×n?C.n?+n?D.|n?||n?|剛體碰撞后速度更新公式中，碰撞法線方向向量n需滿足（）A.||n||=0B.||n||=1C.n·n=-1D.n與碰撞平面平行若矩陣A為物體的慣性張量矩陣，且A是3×3對稱矩陣，則其特征值的性質(zhì)為（）A.全為負(fù)數(shù)B.全為正數(shù)C.至少一個為零D.必含復(fù)數(shù)線段P?P?與平面ax+by+cz+d=0的交點參數(shù)t滿足0≤t≤1時，線段與平面（）A.相交B.平行C.包含于平面D.無交點在GJK算法中，判斷兩個凸多邊形是否碰撞的核心是計算（）A.頂點距離B.Minkowski差的原點包含性C.法向量夾角D.面積重疊率若物體的線性速度向量為v=[3,4,0]?，角速度向量為ω=[0,0,2]?，則物體上一點r=[1,0,0]?的線速度為（）A.[3,4,2]?B.[3,4,0]?C.[3,6,0]?D.[5,4,0]?物理引擎中，碰撞檢測的“寬相位”階段主要目的是（）A.精確計算碰撞點B.快速排除不可能碰撞的物體對C.求解碰撞沖量D.更新物體位置二、填空題（共5題，每題4分）向量a=[2,-3,1]?和b=[1,2,4]?的點積為______，叉積的z分量為______。三維空間中，點P=[1,2,3]?到平面2x+y-z=5的距離公式為______，計算結(jié)果為______。球體碰撞檢測中，若球A的球心為c?、半徑為r?，球B的球心為c?、半徑為r?，則碰撞條件為______。矩陣M=[\begin{bmatrix}1&0&0&5\0&1&0&3\0&0&1&2\0&0&0&1\end{bmatrix}]表示的幾何變換是______。碰撞響應(yīng)中，恢復(fù)系數(shù)e=0表示______碰撞，e=1表示______碰撞。三、計算題（共3題，每題15分）1.平面與球體碰撞檢測已知球體球心c=[0,0,5]?，半徑r=2，平面方程為n·x+d=0，其中n=[0,0,1]?（單位法向量），d=-3。（1）計算球心到平面的距離；（2）判斷球體是否與平面碰撞，并說明理由；（3）若碰撞，計算碰撞點的坐標(biāo)。2.向量運算與碰撞法線物體A以速度v?=[2,1,0]?沿x軸正方向運動，物體B靜止（v?=[0,0,0]?），二者碰撞瞬間的接觸點法線方向向量n=[1,0,0]?（指向物體A）。設(shè)恢復(fù)系數(shù)e=0.5，物體A質(zhì)量m?=2kg，物體B質(zhì)量m?=3kg。（1）計算碰撞前兩物體沿法線方向的相對速度；（2）根據(jù)動量守恒定律，推導(dǎo)碰撞后兩物體沿法線方向的速度v?'和v?'；（3）若物體A的切向速度分量為[0,1,0]?，且摩擦系數(shù)μ=0.3，計算切向摩擦力引起的速度變化量。3.矩陣變換與AABB碰撞某立方體在局部坐標(biāo)系下的頂點坐標(biāo)為（±1,±1,±1），其世界坐標(biāo)系變換矩陣為：[\mathbf{M}=\begin{bmatrix}2&0&0&5\0&2&0&3\0&0&2&4\0&0&0&1\end{bmatrix}]（1）計算變換后立方體的中心坐標(biāo)；（2）求變換后立方體的軸對齊包圍盒（AABB）在x、y、z軸上的最小和最大值；（3）若另一立方體的AABB為x∈[3,7]，y∈[1,5]，z∈[2,6]，判斷二者是否可能碰撞（僅需寬相位檢測）。四、綜合應(yīng)用題（共2題，每題20分）1.三維凸多邊形碰撞檢測已知三角形ABC的頂點坐標(biāo)為A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2,0)，三角形DEF的頂點坐標(biāo)為D(1,1,1)、E(3,1,1)、F(1,3,1)。（1）計算三角形ABC的法向量；（2）判斷兩三角形是否在z軸方向上存在重疊投影；（3）使用分離軸定理（SAT）證明兩三角形是否碰撞（至少檢查3個可能的分離軸）。2.物理引擎中的矩陣應(yīng)用某游戲角色在三維空間中運動，其初始姿態(tài)由旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量t=[0,0,0]?定義，其中：[\mathbf{R}=\begin{bmatrix}\cosθ&-\sinθ&0\\sinθ&\cosθ&0\0&0&1\end{bmatrix},θ=90°]（1）計算旋轉(zhuǎn)矩陣R的具體數(shù)值；（2）若角色沿自身局部坐標(biāo)系的x軸移動5個單位，求其在世界坐標(biāo)系中的平移向量；（3）角色攜帶的武器碰撞盒為半徑1的球體，球心在角色局部坐標(biāo)系中的位置為[3,0,0]?，求武器碰撞盒在世界坐標(biāo)系中的球心坐標(biāo)。五、編程實踐題（共1題，25分）使用Python實現(xiàn)基于AABB的碰撞檢測函數(shù)。要求：（1）定義AABB類，包含屬性min（最小坐標(biāo)向量）和max（最大坐標(biāo)向量）；（2）實現(xiàn)AABB與AABB的碰撞檢測方法（返回布爾值）；（3）編寫測試代碼，驗證以下場景：物體A：min=[1,1,1]，max=[3,3,3]物體B：min=[2,2,2]，max=[4,4,4]物體C：min=[5,5,5]，max=[6,6,6]輸出A與B、A與C的碰撞檢測結(jié)果。（注：無需考慮旋轉(zhuǎn)，僅實現(xiàn)軸對齊包圍盒的重疊判斷）參考答案及解析（實際考試中不提供，此處僅為示例）：C2.B3.B4.B5.B6.B7.A8.B9.C10.B填空題：1.-3，7；2.|2×1+1×2-