2025年線性代數(shù)獻(xiàn)給努力的你版試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix})，則(A)的秩(r(A))為（）A.1B.2C.3D.0已知(n)階方陣(A)滿足(A^2-3A+2E=0)，則(A)的特征值可能為（）A.0或1B.1或2C.2或3D.-1或-2向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,6)^T)，(\alpha_3=(3,6,t)^T)線性相關(guān)的充要條件是（）A.(t=9)B.(t\neq9)C.(t=0)D.(t\neq0)設(shè)(A)為3階正交矩陣，且(|A|=1)，則(|A^*|=)（）A.1B.-1C.3D.-3二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+tx_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3)正定，則(t)的取值范圍是（）A.(t>5)B.(t<5)C.(t>0)D.(t<0)二、填空題（每題3分，共15分）行列式(\begin{vmatrix}0&1&0\1&0&1\0&1&0\end{vmatrix}=)__________。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0\2&1\end{pmatrix})，則(A^{100}=)__________。線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\x_1-x_2+3x_3=0\2x_1+3x_2+ax_3=0\end{cases})有非零解，則(a=)__________。已知矩陣(A\simB)，其中(B=\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})，則(|A-2E|=)__________。在(\mathbb{R}^3)中，向量(\alpha=(1,1,1)^T)在基(\beta_1=(1,0,0)^T)，(\beta_2=(1,1,0)^T)，(\beta_3=(1,1,1)^T)下的坐標(biāo)為__________。三、計(jì)算題（共54分）1.（10分）計(jì)算(n)階行列式[D_n=\begin{vmatrix}2&1&1&\cdots&1\1&2&1&\cdots&1\1&1&2&\cdots&1\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&1&1&\cdots&2\end{vmatrix}]解答思路：將第2至第(n)行均加到第1行，提取公因子(n+1)，再通過初等行變換化為上三角行列式。2.（12分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&0\2&1&0\0&0&-1\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}1&0&0\0&0&1\0&1&0\end{pmatrix})，且矩陣(X)滿足(AXB=A+X)，求(X)。解答步驟：（1）將方程變形為((A-E)XB=A)；（2）求(A-E)的逆矩陣和(B)的逆矩陣（(B)為初等交換矩陣，(B^{-1}=B)）；（3）通過矩陣乘法求解(X=(A-E)^{-1}AB^{-1})。3.（14分）已知線性方程組[\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\x_2+2x_3+2x_4=2\-x_2+(a-3)x_3-2x_4=a\3x_1+2x_2+x_3+ax_4=-1\end{cases}]討論參數(shù)(a)為何值時(shí)，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求其通解。解答要點(diǎn)：（1）對(duì)增廣矩陣作初等行變換，化為行階梯形矩陣；（2）當(dāng)(a\neq1)且(a\neq2)時(shí)，方程組有唯一解；（3）當(dāng)(a=1)時(shí)，方程組有無窮多解，通解為(x=(0,2,0,0)^T+k_1(-1,1,1,0)^T+k_2(-1,1,0,1)^T)（(k_1,k_2\in\mathbb{R})）；（4）當(dāng)(a=2)時(shí)，方程組無解。4.（16分）設(shè)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)，求正交變換(x=Qy)將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交矩陣(Q)。解答步驟：（1）寫出二次型的矩陣(A=\begin{pmatrix}2&0&0\0&3&2\0&2&3\end{pmatrix})；（2）求(A)的特征值(\lambda_1=1)，(\lambda_2=2)，(\lambda_3=5)；（3）求對(duì)應(yīng)的特征向量并正交單位化；（4）構(gòu)造正交矩陣(Q)，標(biāo)準(zhǔn)形為(f=y_1^2+2y_2^2+5y_3^2)。四、證明題（共16分）1.（8分）設(shè)向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關(guān)，證明向量組(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3)，(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)也線性無關(guān)。證明思路：設(shè)(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0)，整理得((k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0)，由(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關(guān)，推出(k_1=k_2=k_3=0)。2.（8分）設(shè)(A)是(m\timesn)矩陣，證明(r(A^TA)=r(A))。證明關(guān)鍵：（1）證明(Ax=0)與(A^TAx=0)同解；（2）由解空間維數(shù)相等，推出(n-r(A)=n-r(A^TA))，即(r(A^TA)=r(A))。五、應(yīng)用題（10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗的原材料、工時(shí)及利潤(rùn)如下表所示：產(chǎn)品原材料（kg/件）工時(shí)（小時(shí)/件）利潤(rùn)（元/件）甲2310乙328丙115若每天可提供原材料100kg，工時(shí)80小時(shí)，試建立線性規(guī)劃模型，求三種產(chǎn)品的日產(chǎn)量，使總利潤(rùn)最大。（只需寫出模型，無需求解）模型建立：設(shè)甲、乙、丙的日產(chǎn)量分別為(x_1,x_2,x_3)，則目標(biāo)函數(shù)為(\maxz=10x_1+8x_2+5x_3)，約束條件為：[\begin{cases}2x_1+3x_2+x_3\le