高中2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)（A卷）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊(cè)（約20%）、選擇性必修第一冊(cè)第一章~第二章第2節(jié)（約80%）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A2 B.3 C. D.2.直線的傾斜角是（）A.0 B. C. D.3.已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.4.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（）A. B.C. D.5.已知向量，，且向量與夾角余弦值為，則的值為（）A. B. C. D.或6.已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.7.若直線過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為8，則直線的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知空間向量，，滿足，，且，，則的最小值為（）A.5 B.6 C.25 D.36二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一組樣本數(shù)據(jù)如下：2，3，4，5，7，7，8，12，則該組數(shù)據(jù)的（）A.極差為10 B.平均數(shù)為6C.標(biāo)準(zhǔn)差為9 D.第80百分位數(shù)為7.510.下列說法中正確的有（）A.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底B.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是C.已知平面一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為.若，則D.已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為11.在四棱柱中，底面是平行四邊形，，且，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A若，則B若，則，，，四點(diǎn)共面C.直線與直線所成角的余弦值為D.四棱柱的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知事件與互斥，且，，則________.13.若，，且，則經(jīng)過，的直線的一般方程為________.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，空間中的一點(diǎn)滿足，則的取值范圍是________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若，求的值；（2）若向量滿足，且，求向量的坐標(biāo).16.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.（1）求邊上的中線所在的直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.17.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，求和的面積.18.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.19.如圖1，在中，，，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)（不同于端點(diǎn)），且，將沿折起到的位置，得到四棱錐，如圖2所示，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.

2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)（A卷）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊(cè)（約20%）、選擇性必修第一冊(cè)第一章~第二章第2節(jié)（約80%）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘法、虛部的概念即可求解.【詳解】由題意可得，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D2.直線的傾斜角是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由垂直于軸即可得解.【詳解】直線垂直于軸，故所求傾斜角是.故選：C.3.已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算.【詳解】設(shè)點(diǎn)，又，，所以，，又，所以，解得，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A.4.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出已知直線的斜率，再結(jié)合平行關(guān)系及直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.【詳解】直線的斜率為，則所求直線的斜率為，且過點(diǎn)，所以所求直線的方程為，即.故選：A.5.已知向量，，且向量與夾角的余弦值為，則的值為（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】由向量坐標(biāo)形式的模的公式、夾角余弦公式和數(shù)量積坐標(biāo)表示即可計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，又向量與夾角的余弦值為，所以，解得.故選：B.6.已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】畫出圖形，求得，，結(jié)合圖形即可得解.【詳解】由題意知，，由圖可知直線的斜率的取值范圍是.故選：B.7.若直線過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為8，則直線的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由題意可設(shè)直線的方程為：，利用三角形面積列方程，分類討論求解即可.【詳解】由題意知，直線的斜率存在且不為0.設(shè)直線：.設(shè)此直線與軸、軸的交點(diǎn)分別為，，則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，因此面積為，若，解得；若，解得或.綜上，直線的個(gè)數(shù)為3.故選：C.8.已知空間向量，，滿足，，且，，則的最小值為（）A.5 B.6 C.25 D.36【答案】A【解析】【分析】由題意設(shè)，，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，，故可設(shè)，，，又，所以，所以，解得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值是5.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一組樣本數(shù)據(jù)如下：2，3，4，5，7，7，8，12，則該組數(shù)據(jù)的（）A.極差為10 B.平均數(shù)為6C.標(biāo)準(zhǔn)差為9 D.第80百分位數(shù)為7.5【答案】AB【解析】【分析】利用極差、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、百分位數(shù)的求法求解，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】樣本數(shù)據(jù)：2，3，4，5，7，7，8，12，故極差為，故A正確；平均數(shù)為，故B正確；標(biāo)準(zhǔn)差為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為8，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.下列說法中正確的有（）A.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底B.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是C.已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為.若，則D.已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，說明，，不共面即可；對(duì)于B，由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱法則判斷即可；對(duì)于C，由即可列方程驗(yàn)算；對(duì)于D，分截距是否為0進(jìn)行討論即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，不共面，即，所以，則，，不共面，所以也是空間的一個(gè)基底，故A正確；對(duì)于B，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由平面平行可得，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，又過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為.綜上，直線的方程為或，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在四棱柱中，底面是平行四邊形，，且，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則，，，四點(diǎn)共面C.直線與直線所成角的余弦值為D.四棱柱的體積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求解判斷A；根據(jù)空間向量共面定理判斷B；根據(jù)異面直線所成角的向量求法求解判斷C，根據(jù)向量法求得點(diǎn)到平面的距離，代入柱體體積公式求解判斷D.【詳解】由題意知，若，則，故A正確；由題意知，若，則，可得，所以，即，所以，，，四點(diǎn)共面，故B正確；因?yàn)椋?，，且，所以，又，所以，所以，所以，即直線與直線所成角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；記點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，設(shè)，所以，又，，所以，，解得，，所以，所以，即四棱柱的高為，所以四棱柱的體積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知事件與互斥，且，，則________.【答案】0.82【解析】【分析】由概率的基本性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)槭录c互斥，所以，所以.故答案為：0.82.13.若，，且，則經(jīng)過，的直線的一般方程為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等式與直線方程的聯(lián)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以在直線上，在直線上，又過點(diǎn)的直線有且只有一條，所以經(jīng)過，的直線的一般方程為，故答案為：14.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，空間中的一點(diǎn)滿足，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)，由得到點(diǎn)P的軌跡，然后利用向量的數(shù)量積求解.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)，易得，所以，所以，即在以為球心，為半徑的球面上，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，所以，所以，，即的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若，求的值；（2）若向量滿足，且，求向量的坐標(biāo).【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）寫出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后通過向量垂直的坐標(biāo)公式求解；（2）通過向量平行設(shè)出向量的坐標(biāo)、再通過向量的模長(zhǎng)求解.【小問1詳解】由題意知，，所以，又，所以，解得.【小問2詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，又，所以，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以向量的坐標(biāo)為或.16.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.（1）求邊上的中線所在的直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中線的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，求出結(jié)果；（2）根據(jù)高的性質(zhì)，和直線垂直斜率的關(guān)系，以及點(diǎn)斜式方程，求出結(jié)果；【小問1詳解】因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以邊上的中線所在的直線方程為，即.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，設(shè)邊上的高所在的直線的斜率為，所以，得，所以邊上的高所在的直線方程為，即.17.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，求和的面積.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）通過正弦定理和兩角和正弦公式，求出；（2）先用余弦定理求出，再通過三角恒等變換求出，結(jié)合正弦定理求出，從而得到的面積.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，所以，即，又，所以，所以，即，又，所?【小問2詳解】由余弦定理可得，所以，由余弦定理得，所以，又，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，所以的面積為.18.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出直線的方向向量，并求出平面的法向量，從而證明線面平行；（2）用點(diǎn)到面的距離公式，求出點(diǎn)到面的距離；（3）先求出兩平面夾角的余弦，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出二面角的正弦值.【小問1詳解】證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，，所以令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，又，所以，又平面，所以平面.【小問2詳解】解：由（1）知，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】解：由（1）知平面的一個(gè)法向量為，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，又，所以，即二面角的正弦值為.19.如圖1，在中，，，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)（不同于端點(diǎn)），且，將沿折起到的位置，得到四棱錐，如圖2所示，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先證明平面，從而利用線面垂直性質(zhì)定理得到線線垂直；（2）先通過面積取得最大值，得到兩平面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，并求出兩平面的法向量，從而得到兩平面夾角的余弦值；（3）先建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)出點(diǎn)和的坐標(biāo)，通過垂直得出關(guān)系，求出平面的法向量，代入線面角的向量公式得，從而利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性和正弦函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】在中，，，所以，所以在四棱錐中，，，又，，平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，平面平面.又平面平面，，平面，