專題04二次函數

1.（2024九年級下?江蘇無錫?競賽）二次函數y=a/+旅+c（a,b,c,是常數，QH0）的日變量x與函

數值），的部分對應值如下表：

y=ax2+bx4-c

且當時，與其對應的函數值），>0,有下列結論：①函數圖象的頂點在第四象限內；②-2和3是關于

x的方程a/+力％+c=￡的兩個根：（3）m+n<-36,其中，正確結論的個數是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，包括對稱軸，頂點坐標，函數值的計算以及根據條件判

斷結論的正確性，需要熟練掌握二次函數的相關知識并能靈活運用.

依據題意，由拋物線過（0,-2）,（1,-2）,可得拋物線的對稱軸是直線4=等=9=-5，進而逐個判斷即可

得解.

【詳解】由表格可知％=0和％=1時，y值都為-2,根據二次函數的對稱性，對稱軸為3=等二最

又因為當％=4時，y>0,所以頂點坐標為G，yo）（yo>O），頂點在第一象限，故①錯誤；

由表格可知當％=-2時，y=t,根據二次函數的對稱性，對稱軸為％=%那么與％=-2關于對稱軸對稱的

點的橫坐標M滿足午=］解得/=3,所以一2和3是關于“的方程a/+.+c=t的兩個根，故結論

②正確.

設二次函數的表達式為y二Q1一：了+匕

把。-2）代入可得：-2=。（0-分2+匕

即-2=：Q+/C,則k=-2-：Q,

所以y=Q（%_q）-2--a,

1\2i91

把（一l,m）代入可得：m=a—1—）—2—a=ax—2—a=2a—2,

2/444'

把（2,n）代入可得:n=。（24）-2-3…/2-1=2°-2,

所以m+n=2a-2+2ct—2=4a—4,

當x時，y>0,即。6一T）一2—：a>0.解得aV—8.

當a<-8時，4a-4<4x（-8）-4=-36,所以m+九<一36,該結論正確.

故結論③正確.

綜上，正確結論有2個，答案選C.

綜上，正確的有②③.

故選：C.

2.(2024九年級上?吉林長春?競賽)在平面直角坐標系中，拋物線y=2x2+12%+13的頂點坐標是.

【答案】(—3,—5)

【分析】本題主要考查二次函數圖象上點的坐標特征，將拋物線解析式化為頂點式y(tǒng)=2/+12%+13=

2。+3y一5,即可得解.

【詳解】解：國拋物線為y=2/-12%+13=2(x2+6%+9)-5=2(%+3)2一5,

團拋物線的頂點坐標為(一3,-5).

故答案為：(—3,-5).

3.(2024九年級上?吉林長春?競賽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+bx+c(aV0)與％軸交

于點4(1,0)、點8(3,0),與y軸交于點C,過點。作。9II》軸交拋物線于點Q,則線段CO的長為.

【答案】4

【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，對稱軸直線的計算，二次函數的對稱性，掌握二次函數對稱軸

直線的計算，二次函數圖象的對稱性是解題的關鍵.

根據題意可得二次函數對稱軸直線為無=2,由題意可得點C到對稱軸直線的距離為2,點C,D關于對稱軸對

稱，由此即可求解.

【詳解】解:13點4(1,0)、點8(3,0),

(3二次函數對稱軸直線為x=當=2,

團拋物線與y軸交于點C,

回點C到對稱軸直線的距離為2,

^CD||%軸，

團點C,D關于對稱軸對稱，

團CD=4,

故答案為：4.

4

(2024九年級下?江蘇無錫?競賽)函數”{IT：,慧工;陞°〉其中Q是常數且Q”該函數的

圖象記為G.直線y=2a與該函數圖象G恰好只有兩個交點，則。的取值為.

【答案】|或-]

【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，一次函數與二次函數圖象綜合判斷，解一元一次方程等

知識點，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

由圖象可知，不論哪種情況，要使直線y=2a與該函數圖象G恰好只有兩個交點，則直線y=2a必過頂點,

據此建立方程，解方程即可求出?的取值.

【詳解】解：y=aM+4a%-3頂點為(-2,-3),

y=-ax2+4ax-3頂點為(2,4Q-3),

圖象有兩種情況，如圖：

不論哪種情況，要使直線y=2Q勺該函數圖象G恰好只有兩個交點，

例直線y=2a必過頂點，

04a-3=2Q或-4a-3=2a,

解得：a='或一點

故答案為：g或一5

5.(2024九年級上?浙江寧波?競賽)二次函數丫=/+血％+n的圖象經過點(-1,-1)且與4軸交于不同的

兩點4(a,0),設二次函數圖象的頂點為P,求△/MB面積的最小值及對應二次函數的解析式.

【答案】1,y=X24-2x

【分析】本題考查了二次函數最值在求三角形面積中的運用.關鍵是根據題意表示三角形的面積，將所得

式子轉化為二次函數求解.

A、B兩點在x軸上，=—匕|表示線段48的長，由兩根關系轉化為〃、q的表達式，根據頂點坐標公

式得尸(一/，7)，故有54幺8=4|48|17|,又依題意得1一巾+九=-1,即n=m—2,轉化為關

于加的二次函數求面積最小時，加、〃的值.

【詳解】由題意知1—m+n二—1,即n=m—2,

回43,0)、兩點在拋物線v=x2+mx+n_t

團a+b=-m,ab=n,

又(3|48|=\a-b\=y/(a+b)2-4ab=y/m2-4n,P(-￡/丁),

23

團S“A8=：|4B|.|若日=ly/(m-4n),

要使最小，只須使小2—4〃為最小，

而-4n=m2-4m+8=(m-2)2+4,

當n=2時，Tn2—4九有最小值為4

此時建=0?S“AB=1xV4^=1,

(3二次函數解析式為y=x2+2x.

6.(2025?內蒙古)如圖，拋物線〉二一|/+故+。與》軸交于點4和點8(5,0),與y軸交于點C(0,—3),連

接HC,BC,點E是對稱軸上的一個動點.

⑴求拋物線的解析式；

p

(2).|SApc￡=2sMBC時,求點E的坐標；

⑶在拋物線上是否存在點P，使△/?0￡1是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標,

請說明理由.

【答案】⑴y=-|/+%一3

(2)(3譚)或(3,-6)

⑶存在，點P坐標為：片片)或(&-3)或(0,-3)或(輔)

【分析】本題考杳二次函數的綜合、待定系數法求二次函數解析式、全等三角形的判定與性質、等腰直角

三角形的性質及解一元二次方程，分類討論是解題關鍵.

(1)把8、C兩點坐標代入y=—[/+bx+c,解方程組求出氏c的值即可求得答案；

(2)根據解析式得出對稱軸為直線％=3,設E(3,zn),對稱軸交8C于點尸，運用待定系數法可得直線BC的

解析式為y二|無一3,則尸(3,—§,進而可得=W+再運用三角形面積公式建立方程求解即可得出

答案：

(3)設￡(3,m),P(n,-1n2+^n-3),分四種情況：①點P在對稱軸右側且在刀軸上方：②點P在對稱軸

右側且在X軸下方；③點P在對稱軸左側且在刀軸下方；④點P在對稱軸左側且在X軸上方；利用全等三角形

的性質及等腰直角三角形的性質，構建方程進行解答即可.

【詳解】(1)解：(1)團拋物線y=-、2+9+6:經過8(5,0),C(0,-3),

-15+5b+c=0

0'

c=-3

,18

解得:b=—

團該拋物線的解析式為y=-3.

(2)解：0y=-1x2+-3,

A>

18

回拋物線對稱軸為直線”一忒廠3,

回點4與8(5,0)關于直線％=3對稱，

團4(1,0),

團48=5-1=4,

團S“BC=-x4x3=6,

如圖，設E(3,m),對稱軸交BC于點心設直線BC的解析式為y=kx+d,

解得:k=W

d=-3

團直線BC的解析式為y=1x-3,

團當％=3時，y=即尸(3,一§,

0EF=m+弓，

^BCE=^FOB=1\m+l

/￡?\O

團S48CE=2sM8C，

郭+三=2x6,

解得：小二/或巾=一6,

(3點E的坐標為(3,?)或(3,-6).

(3)解：設E(3,m),P(n,-|n2+yn-3),

①當點P在對稱軸右側且在工軸上方時，過點Pi作對稱軸的垂線，垂足為F,過點B作8G1P/于點G,

團是以8Z?為斜邊的等腰直角三角形，

0z.^P1E1—Z.G=z.P1FE1—90°,P1B=P1E1,

乙

團乙八8G+BPiG=90°,^BP1G+FP1E1=90°,

團iFP】Ei=乙P、BG,

0AP[FE]=△BGP],

回BG=PjF,P]G=E]F,

^-^n2+^-n-3=n-3,

解得：=y,改=0(舍去)，

32.18O3?/3、2.18134

ra+-n-3=--x(-)2+-x--o3=

ooooooo

回喈》

②當點P在對稱軸右側且在X軸下方時，過點P3作P3”1%軸于H，過邑作E3Klp3”于K，

同理可得：△BHP3三△P3KE3，

回P3H=E3K,

回0-(―：*+/71—3)=71—3,

解得：%=6,n2=|(舍去)，

0-1n2+^n-3=-^x62+^x6-3=-3,

團尸3(6,-3).

③當點P在對稱軸左側且在x軸下方時，

同理可得：TE2=P2N,

03-n=0-(―|n2+yn-3),

解得：n1=0,n2=-y（舍去），

2

回一+^n-3=-1x0+yx0-3=-3,

%-3）.

④當點戶在對稱軸左側且在“軸上方時，

同理可得：P4D=BQ,

03-n=-|n2+yn-3,

解得：九i=%-2=6（舍去），

、2,185c4

0C--3n2H,——18n—c3=——3x（/5-）2——x——3=-,

555S33

叫O

綜上所述:存在點P,使△BPE是以BE為斜邊的等腰直角三角形，點P坐標為或（6,-3）或（0,-3）或（二）.

7.（24九年級下?江蘇宿遷）如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=。/+匕無+3經過/（3,0）、B（—1,0）.

（備用圖）

⑴求拋物線的函數表達式；

⑵點。是線段BC上一動點，點。關于乂。、48的對稱點分別為點“、N,連接MN交線段AC、ABTE.F.求

MP-NE最小值：

⑶在（2）的條件下，請直接寫出線段MN的取值范圍.

【答案】⑴y=-/+2x+3

⑶堂<MN<6

【分析】本題考杳了二次函數與幾何綜合，涉及待定系數法求二次函數解析式，軸對稱的性質，相似三角

形的判定與性質，勾股定理等知識點.

（1）由待定系數法求解即可；

（2）先根據軸對稱的性質得到/1M=4V=/W/AMN=240/1C=90。.則△AMN為等腰直角三角形.那

么&AMN=乙ANM=45°,然后證明^AENH4M,則得到MF-NE=AN-AM=AD2,故當AD1BC時，

最小，再由等面積法得至IJSMBC=（40,BC=（48?0C,即可求解；

(3)由勾股數得MN=>/AM2+AN2=反AM=五AD,那么當4。取得最小值和最大值時，MN對應取得

最小值和最大值，由于點。在線段BC上，則當4D_LBC時，4。最小，當點。與點C重合時，4D最大，即可

求解.

【詳解】(1)解：(3拋物線y=仆2+汝+3經過4(3,0)、F(-l,0),

向19a+3b+3=0

01a-b+3=0

解得：

Ib=2

回拋物線的函數表達式y(tǒng)=-X2+2X+3；

(2)解：如圖,連接4。，

0C(0,3),

團4(3,0)、5(-1,0),

團0。=OA=3,OB=1,

回40C4=Z.OAC=45°,BC=V。5+OC，=Vl2+3Z=y/10.

回點。與點M關于直線4c對稱，

[hAM=ADfZ-MAC=Z-DAC.

同理：AN=AD.LBAN=LBAD,

0v4M=AN=AD,AMAN=2Z,OAC=2X45°=90°.

0AM/N為等腰直角三角形.

團4AMN=Z.ANM=45°.

回乙1EN為△4EM的外角，

0Z4E/V=乙AME+/-MAE=45°+/.MAE,

團4MA。=匕CAO+Z-MAE=45°+乙MAE,

^/.AEN=Z.MAO.

AENsxFAM.

啜二焉，即M尸?NE=4N?4M=/W2,

囪點。在線段BC上,

團當力D18C時，最，卜,

此時，=\AB-OC,AB=|-1-3|=4,OC=|3|=3,

^BC-AD=AB-OC,

?.ABOC4x36VH

團4Dn=----------=-==---------

ECVios

即MF.NE的最小值為(零)=p

(3)解：=AN=AD,4MAN=90°,

團MN=>JAM2+AN2=V2AM=42AD,

團當4D取得最小值和最大值時，M/V對應取得最小值和最大值,

回點。是線段BC上一動點,

回當4013C時，力。最小,

由(2)可得力D的最小值為警，

回MN最小值為^xV2=yV5；

而力。=yjAO2+0C2=3^2>AB=4,

04D<AC

團4D的最大值為3VL

團MN最大值為3&xV2=6,

團線段M/V的取值范圍為喀<MN<6.

8.(2024九年級上?浙江金華?競賽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線〉=一：/+8%+。與1軸交于點

4(4,0),與y軸交于點8(0,3).

⑴求拋物線的函數表達式；

(2)點P為直線4B上方拋物線上一動點，過點P作PQlx軸于點Q,交4B于點M,求5PM+64M的最大值

及此時點尸的坐標.

【答案】(1)該拋物線的函數表達式為：y=-^x2+lx+3

44

(2)5PM+6力M的最大值為竽，此時P(lj)

【分析】本題是二次函數綜合題，主要考查了二次函數的圖像與性質，待定系數法求函數解析式，相似三

角形的判定與性質.掌握二次函數的圖像與性質，待定系數法求函數解析式是解題的關鍵.

(1)將點4B坐標分別代入拋物線解析式，解方程即可；

(2)利用△4QM?△4。8,得MQMQ:力M=3:4:5,則5PM+64M=5(PM+：力M)=5(PM+2MQ),

設P(m,—：m2+；m+3),+Q(m,O),用含m的代數式表示出5(PM+2MQ),利用二次函

444

數的性質即可求解.

【詳解】(1)解：；拋物線y=-江？+必+c與1軸交于點火4,0),與丁軸交于點8(0,3),

...「12+4b[c=0,解得：

該拋物線的函數表達式為：y=-lx2+^x+3.

44

(2)???力(4,0),8(0,3),

???OA=4,OB=3,

由勾股定理可得力8=5,

???PQ1。力，

???PQIIOB,

:.△AQMAOB,

MQ-.AQ-.AM=3:4:5,

...AM=^MQf^AM=2MQ,

5PM+64M=5(PM+：4M)=5(PM+2MQ),

v4(4,0),B(0,3),

直線48的解析為：y=-：x+3,

設P(m,-：爪2++3),+3),Q(m,0),

:.5(PM+2MQ)=5(-：m?+g?n+6)=—^(m—l)2+竽，

v--4<0,

二開口向下，0vmv4,

.??些m=l時，5PM+64M的最大值為竽，此時

9.(23九年級上,重慶)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線,=。％2+匕％+3與1軸交于力(一1,0),8(3,0)

兩點，了軸交于點C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作)，軸的平行線PE交直線8C于點￡過點P作x

軸的平行線尸尸交直線BC于點F,求4PEr面積的最大值及此時點P的坐標：

⑶如圖2,連接AC,BC,拋物線上是否存在點Q,使4C8Q+乙4。。=45。？若存在，請直接寫出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-x2+2x+3

(2)APM面積的最大值為崇此時點〃的坐標為(|,號

⑶存在，Q的坐標為(2,3)或(一￡￡)

【分析】(1)利用待定系數法即可求解；

(2)y=-/+2%+3可得。(0,3),求出直線8c的解析式為y=-％+3,又可得zOBC=々0C8=45。，進

而得△PEF為等腰直角三角形，得到=1PF2,設P(p,-p2+2p+3),則E(p,-p+3),可得PE=-p2+

2p+3-(-p+3)=-(p-1)2+得到當p=，時,即Pg—),PE取最大值。此時APEF的面積最大,

據此即可求解；

(3)分點Q在BC上方和點Q在BC下方兩種情況，畫出圖形解答即可求解；

【詳解】⑴解：把4(-1,0),8(3,0)代入、=。%2+以+3得，%01?t3；(\，

(9Q+3。+3=0

解得仁，

因拋物線的解析式為y=-X2+2X+3：

(2)解：由y=—/+2%+3可得，C(0,3),

設直線BC的解析式為y=/cx+n,

把B(3,0),C(0,3)代入得，｛01n，

解得｛H，

(3直線BC的解析式為y=—%+3?

???8(3,0),C(0,3),

???0C=OB=3,

乙OBC-乙OCB-450,

團PEIIy軸，P尸||x軸，

:.Z.PEF=乙PFE=45°,PE1PF,

0APE尸為等腰直角三角形，

S&PEF=2P"2?

設P(p,-p2+2p+3),則E(p,-p+3),

...PE=-p2+2p+3-(-p+3)=-(p-1)+￡

當p二|時，即P(I，甘,PE取最大值算此時△2外?的面積最大，

則5“爐及大值=~

(3)解：存在.

當點Q在8C上方時，作點力(一1,0)關于y軸的對稱點4(1,0),過點B作/TII&C交拋物線于點Q,

團4與4關于y軸對稱，

:.Z.ACO=4力'。。，

又MTWC,

乙QBC=LBCA'.

vCO+/.BCA'=45°,

A/.ACO+WBC=45°,

同理可得直線C/V解析式為y=-3x+3,

設直線BT解析式為y=-3x+3將8(3,0)代入得，0=-9+3

???￡=9,

:，y——3x+9,

伊=-%2+2%+3

Iy=-3x+9

解噬工噬需

二Q(2,3)；

當點Q在BC下方時，作點0(0,1),直線80與拋物線交于點。,

同理可得直線3。解析式為y=—gx+1,

AO=OD=1

???LCOA=LBOD=90°,

OC=OB=3

???△COA=ABOD(SAS),

???Z.ACO=乙DBO,

Z.CBQ1+/.ACO=45。,

(y=-x2+2x+3

聯立i4，

y=--x+1

綜上,點Q的坐標為（2,3）或（-：譚）.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式和一次函數解析式，二次函數的最值，二次函數的幾何

問題，軸對稱的性質，全等三角形的性質和判定等知識點，掌握二次函數的性質并運用分類討論思想解答

是解題的關鍵.

10.（2025?山東）在平面直角坐標系中，拋物線。1號=。/+以+3經過點（2,3）和點（1,4）,與x軸交于A,

B兩點.

⑴求拋物線G的表達式.

⑵如圖，已知直線，:y=/c（x-1）+4與拋物線G交于頂點M和另一點C,連接BC.若3C恰好平分〃8M,

求之的值.

⑶點2（￡,力）,。?+3,%）是拋物線6：丫=。/+6；+3上的兩點，若尸，Q之間的圖象（包括點尸，Q）的

最高點與最低點縱坐標的差為*2,請直接寫出，的值.

【答案】(l)y=-x2+2x+3

(2)k=竽

(3)t=-6-同或t=6+V42

【分析】(1)根據待定系數法求解即可；

(2)根據(1)可得拋物線Q的表達式為y=一一+21+3=-(x-I)2+4,得出M(l,4),求出A(-l,0),B(3,0),

過點M作MD||x軸交BC的延長線于點D,證明0M=BM,聯立拋物線y=-x2+2%+3和直線，:y=k(x-

1)+4的表達式求出％=1(舍去)或％=l-k,即可得點C(1-k,-k2+4),求出直線BC的表達式，根據MD口

軸，得出如=4,求出點0(數,4),根據M8=MD,列出方程1一(音)=2遙，求解即可；

(3)根據(2)可知拋物線頂點為(1,4),開口向下，根據點P(￡,yJ,Q(￡+3/2)是拋物線G：y=-爐+2%+3

上的兩點，得出力=-#+2亡+32=一/一43分三種情況：①當￡工14￡+3時，即-2工￡工1,(2)

當tVt+3W1時(即￡W-2),③當C+3>t>(即tZ1),分別列方程求解即可.

【詳解】(1)解：將點(2.3)和點(1,4)代入丫=32+炊+3,

則(”：合，解得：儼11.

l4=a+b+3〔b=2

團拋物線Ci的表達式為y=-x2+2x4-3.

(2)解：根據(1)可得拋物線G的表達式為y=—/+2x+3=—a—l)2+4,

團M(l,4),

令),=-x2+2%+3=0,解得：x=3或4=-1,

西(一1,0),8(3,0),

過點M作MD拉軸交BC的延長線于點D,

D1y^M1/i

7AOMx

則二4。84，

回BC恰好平分乙ABM,即乙。3M=4084,

:.Z.D=Z.DBM,

???DM=BM,

聯立拋物線y=-x2+2x4-3和直線上y=k(x-1)+4的表達式得：kx+4—k=—x2+2x+3,

解得：x=1(舍去)或％=1-k,

當％=1—/c時，y=/c（x-l）+4=-k2+4,

即點。（1一4,一42+4）,

設直線8C的表達式為y=k'x+b\

代入點的坐標得｛一爐+：二乳節(jié)）+'，

解得：/法），

回直線8c的表達式為：y=（/c-2）（x-3）,

回MD||x軸，貝1」%,=4,

當），=4=（k-2）（%—3）,則》=會，

即點。（彭，4），

回M8=MD,由8M的坐標得：BM=J（3-1尸+42=2瓜

則1-（笠）=2后

解得：〃=等：

（3）解：根據（2）可知拋物線頂點為（1,4）,開口向下，

國點P（t,%）,Q（t+3/2）是拋物線G：y=—/+2%+3上的兩點,

0yi=-12+2t+3,乃=—（￡+3）2+2（t+3）+3=—t2—43

分恃況討論：①當￡WlWt+3時，BP-2<t<l,

此時，最高點為頂點（1,4）,

最低點由力和乃的較小值決定：

若一2工￡<一0.5,最低點為yi，

差值為4一%=?2,即4一（一"+21+3）=12,

解得：t=2土近（不在范圍內，舍去）.

若一0.5WtWl,最低點為力，

差值為4—丫2=3~，UP4—（―t2—4t）=~t2?

解得：t=—4±2近（均不符合區(qū)間條件）.

②當tvt+3Ml時（即tW—2）,

此時y隨x的增大而增大，最高點為丫2，最低點為yi，

差值為丫2-%二女2,即一產一4t一（_產+21+3）=？2,

解得：t=-6-V30（正值舍）.

③當t+3>1時（即tN1）,

此忖），隨x的增大而減小，最高點為月，最低點為丫2，

差值為yi—=1t2?即一/+2t4-3-（-t2-4t）=1t2,

解得：t=6+屈(負值舍).

綜上，t=-6-V30?gt=6+742.

.全國聯賽真題試題匯編「

1.(2024九年級?全國?競賽)已知二次函數y=X?十爪》十幾的圖象與％軸交于不同的兩點力、B,頂點為點

C,且S^BcWl，則代數式m2—4n的取值范圍是.

【答案】0<m2-4n<4

【分析】用根與系數關系，與頂點縱坐標表示出Su8c，代入SA^CWI，即可求解，本題考查了根與系數關

系，根的判別式，解不等式，解題的關鍵是：列出SMBC工1的代數式.

【詳解】解：設點A(a,0),8(6,0),a豐b

則匕是方程％2+mX+九=0的兩個不同的實根，

???Q+b=—m,ab=n,A=m2—4n>0,

4n-m2

X??%=^—，

AB

???S“8c=^,lyd=\\a-b\?\yc\=^(a^-by-4ab?\yc\=-4n-<1,

:.(?n2-4n)3<64,即：m2—4n<4,

.%0<m2—4n<4,

故答案為：0<根2一4九三4.

2.(2024九年級?全國?競賽)函數y=/-2014|x|+2015的圖象與％軸所有交點的橫坐標之和為.

【答案】0

【分析】本題考查了二次函數與x的交點問題，分x>0和％<0兩種情況，利用一元二次方程根和系數的即

可求解，掌握二次函數與工軸交點的橫坐標與一元二次方程的根的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：當x>0忖，函數y="一2014%+2015與％軸的正半軸交于兩點，

此時,Xi+x2=2014；

當x<0時，函數y=x2+2014x+2015與x軸的負半軸交于兩點，

此時，x3+x4=-2014；

囿函數y=x2-2014|x|+2015的圖象與％軸所有交點的橫坐標之和為+小+%3+%4=2014-2014=0,

故答案為：0.

3.（2024九年級?全國?競賽）已知開口向上的拋物線丫=Q/+匕》+。經過點（1,一1）,且a>2c>b,則拋

物線與x軸的兩個交點之間的距離d的取值范圍是.

【答案】yj2<d<V3/V3>d>42

【分析】本題主要考查了二次函數與k軸的交點問題，由開口向上的拋物線y=Q/+匕》+c經過點（1,一》

得到一；=Q+b+c,a>0,進而得到2c=-3。-2b，再由Q>2c>匕推出一2<v-1；設拋物線與x

2a

軸的兩個交點的橫坐標分別為%i，小，則％i+%2=-（，可得d=卜1一外1=qC+2）+2,

據此利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】解：回開口向上的拋物線y=a/+.+c經過點

團一￡=a+b+c,a>0?

2

（32c=-3a—2b,

0a>2c>b,

a>-3a-2b>b,

（^<-3--<1,

aa

???-2<-<-1,

a

設拋物線與X軸的兩個交點的橫坐標分別為小，x2,

-3a-2b

.bc—；—3b

+X=------，XiX7="="-=----------------

12za12aa2a

團拋物線與工軸的兩個交點之間的距離為d,

=|X1-X2I

\/（勺+%2）2-4%62

2+2丫+2,

0-2<^<-1

???V2vdVV3?

故答案為：V2<d<V3.

4.（2024九年級?全國?競賽）已知函數、=4/-I。。％+196+|工2—100%+196|）,當iWxWlOO,同

x為整數時，所有函數值的和為.

【答案】390

【分析】本題主要考查二次函數圖象與性質，將/一100%+196分解為：(%-2)(%-98),然后可得當2W

xW98時函數值為0,再分別求出％=1,99,100時的函數值即可.

【詳解】解：0x2-100%4-196=(%-2)(%-98),

(3當2<x<98時，|%2-100%+196|=-(%2-100%+196),

當日變量工取2到98時函數值為0,

而當x取1,99,100時，1/-100%+196|=/-100%+196,

所以,所求和為(1-2)(1-98)4-(99-2)(99-98)+(100-2)(100-98)=97+97+196=390.

故答案為：390.

5.(2024九年級?全國?競賽)如圖，在平面直角坐標系中，點兒B為％軸上的點，分別位于y軸的左、右兩

側，且48=4.過點4、8的拋物線上、=一/+歷：+。與'軸相交于點0,若將拋物線侑勺圖象向左平移一個

單位長度，則其頂點恰好落在y軸上.點D是線段OB上的一個動點，過點D作DElx釉交原拋物線于點E,

交線段BC于點F.如果直線8c把ADCE分成面積之比為3團1的兩部分，那么點。的坐標為.

【分析】本題考查了二次函數的平移，二次函數的綜合應用.利用二次函數的平移規(guī)律得到對稱軸為直線

x=l,求得點4(一1,0),點8(3,0),得到原拋物線的解析式為'=一/+2%+3,求得直線8c所在的直線方

程為y=-%+3,設點。(a,0),則點￡(3一。2+2。+3),點?(區(qū)一。+3),根據題意列方程求解即可.

【詳解】解：團將拋物線1的圖象向左平移一個單位長度，則其頂點恰好落在y軸上，團原拋物線的對稱軸為直

線x=1,

團4B=4,

13點4(-1,0),點口(3,0),

13原拋物線的解析式為y=-(x+1)(%-3),即y=-x2+2x+3,

令《=0,則y=3,

團點C(0,3),

設直線BC所在的直線方程為y=履+3,則0=3&+3,

解得k=-l,

團直線8c所在的直線方程為y=-r+3,

設點。(a,0),則點E(a,一。2+2。+3),點尸(Q,-Q+3),

0FF=-a2+3a,FD=-a+3,

由題意得EF=3FD或FD=3EF,

0—a2+3Q=3(—a+3)或-Q+3=3(—a2+3a),

解得Q=3(舍)，或Q==,

同點。的坐標為0Q,0),

故答案為：(1,0).

6.(2024九年級?全國?競賽)如圖，拋物線的丫=0-1)2-4與％軸交于點48(點A在點B的左邊)，與

y軸交于點C，拋物線G：y=/+狽+b由拋物線。向右平移后得到，與x軸交于點(點。在點E的左邊)，

且交拋物線A于點心若△/￡1/為等腰直角三角形，則拋物線%的函數解析式為.

【答案】y=x2-6x+5

【分析】設直線4尸交y軸于點M,過尸作月Vlx軸于M由匕:了=(%—1)2—4可求得與x軸的兩個交點坐

標，由△4EF為等腰直角三角形，則可得點M的坐標，從而求出直線力尸解析式，聯立直線解析式與A解析

式可求得點F的坐標，則可求得點E的坐標，由二次函數圖像的平移則可求得G的解析式.

【詳解】解：如圖，設直線4F交y軸于點M,過尸作FN_Lx軸于M

d\DNlI

WJBJ?

令y=(x-1)2—4=0,解得：x1=-1,x2=3,

即4(-1,0),8(3,0),

WA=1；

團為等腰直角三角形，/N_L”軸,

團4F4E=Z.FEA=45°,EN=AN=FN,

□CO1OA,

^Z.AMO=Z.FAE=45°,

團OM=OA=1?

0M(O,-1)；

設直線A尸解析式為y=kx+c,把A、M的坐標分別代入得：「1I：；。，

解得：F二一；，

團直線力產解析式為丫=—X—1；

聯立直線力尸解析式與，I解析式得a-1)2-4=-X-1,

解得：xt=2,x2=-1(舍去).

當x=2時，y=-3,

團點尸的坐標為(2,—3),

團NE=NF=3,N(2,0),

同點E的坐標為(5,0)；

團拋物線G：y=x2+ax+b由拋物線。向右平移后得到，拋物線頂點的縱坐標不變，

0y=—%

把點七坐標代入得：(5+32—4=0,

解得：Q=—6,a=-14,

即y=(x-3)2-4或y=(x-7)2-4；

當《=2時，y=(2-3)2—4=-3,y=(2-7)2-4=21,

即點尸不在y=(x—7/一4圖像上，不符合題意，

0y=(x-3)2-4,

即y=x2—6x+5.

故答案為：y=x2—6x+5.

7.(2024九年級?全國?競賽)已知二次函數的解析式為y=2/-(a+l)x+Q-1.

⑴求證：該二次函數的圖象與x軸總有交點，并指出當。為何值時，函數圖象與“軸只有一個交點；

⑵當a為何值時，該二次函數的圖象經過原點；

⑶在(2)的條件下，分別求山當y>0和y<0時x的取值范圍.

【答案】(1)見解析，當Q=3時，A=0,則二次函數圖象與％軸只有一個交點

⑵a=1

(3)當y>0時，x<0或%>1；當y<0時，0VxV1

【分析】本題考查了二次函數與x軸交點問題，二次函數的圖象和性質，熟練掌握相關性質定理是解題的關

鍵.

(1)求出A=/—4ac的值，判斷其正負，即可判斷與工軸交點個數；求出A=0時〃的值即可.

(2)把(0,0)代入求出。的值即可;

(3)根據a的值，判斷其開口方向，再求出,，為。時x的值，即可解答.

【詳解】(1)解：0A=[-(a+I)]2-4x2x(a-1)=a2-6a+9=(a-3)2>0,

???二次函數的圖象與x軸總有交點，

且當Q=3時，A=0,則二次函數圖象與％軸只有一個交點.

(2)解：?.?函數的圖象經過原點，

**?0=2X—(Q+1)X0+Q—1,

解得Q=1.

(3)解：由(2)得y=2x2-2x,

團圖象開口向上，

當)，=0時，0=2x2-2x,

解得：x=0或％=1,

二當y>0時，x<0或%>1.

8.(2024九年級?全國?競賽)如圖，將二次函數y=x2I々的圖象先向右平移1個單位長度后再向上平移

1個單位長度，得到的新圖象與％軸交于點4、B,已知點4的坐標為(-1,0),點8在3軸的正半軸，平移后的

圖象的頂點為點C,分別過點C作%軸、y軸的垂線，垂足分別為點。、E,BE交CD于點、F.

⑴求女的值及點C的坐標；

(2)求4CEF與公BD”的面積之比.

【答案】⑴3,C(l,4)

恥

【分析】本題考查了二次函數與幾何綜合，求二次函數的解析式、平移規(guī)律，相似三角形的判定與性質、

綜合性較強，難度較小，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

(1)先根據平移規(guī)律得出平移后的函數解析式為y=-(％-1)2+k+1,再把A的坐標為(一1,0)代入，即可

作答.

(2)先根據對稱性質，得點8(3,0),從而證明△CEF?△DBP,再列式作答即可.

【詳解】(1)解：回將二次函數y=+k的圖象先向右平移1個單位長度后再向上平移1個單位長度，

得到的新圖象

回平移后的函數解析式為y=-{x-l)2+k+l,

???點4的坐標為(T,0),

0=-(-1-I)?+k+1,

解得k=3,

:.y=-(x-I)2+4=-x2+2x+3,

???頂點C(l,4).

(2)解：???點4(-1,0),

平移后的對稱軸為直線％=1,

倒點8(3,0),

ACE=1,BD=2

?:CE||BD,,

???△CEFDBF

...巫=(與2、

SADBF\DBJ4

9.(2024九年級?全國?競賽)已知一條拋物線在x軸上截得的線段力8=6,點A在點8左邊，頂點。的橫

坐標為4,拋物線與)，軸相交于點0(0彳百).

⑴求此拋物線的函數解析式；

⑵在該拋物線的對稱軸上有一點P,使得0/1+P。的值最小，求出點P的坐標；

⑶在拋物線上是否存在點Q,使得AQ/IB與△48C相似？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明

理由.

【答案】⑴拋物線的解析式為y二小2一竽%+等

(2)P(4,f)

⑶存在點Q,使得△(2/18與448c相似，點Q的坐標為(10,3g)或(一2,3百)或(4,—V5)

【分析】(1)設二次函數的解析式為：y=a(x-hy+k,又由拋物線過點4,B,。即可求得拋物線的解

析式；

(2)由P4=PB,可知：當點P在線段DB上時P4+PD取得最小值，則可利用ABPMs^BD。求得點P的

坐標：

(3)首先求得點。的坐標，利用三角函數求得乙470的度數，分當點Q在4軸上方時與當點Q在K軸下方時求

解即可，注意要檢驗是否所得結果符合題意.

【詳解】(1)解：設二次函數的解析式為：y=a^x-hy+k,

???頂點C的橫坐標為4,且過點(0,：國)，

???y=a(x-4)24-kV3=16a+k@,

又?.?對稱軸為直線％=4,圖象在刀軸上截得的線段長為6,

04-3=1,4+3=7,

???4(1,0),8(7,0),

:.0=9tz+k②，

由①②解得Q=：，〃=一75，

.?二次函數的解析式為：y=^(x-4)2-V3,即'二一竽無+?.

(2)解：?.,點4、8關于直線％=4對稱，

???PA=PB,

:.PA+PD=PB+PD>DB,

二當點P在線段。8上時R4+取得最小值，

???OB與對稱軸的交點即為所求點P,

Z.BPM=Z.BDO,又乙PBM=ZJ）BO,

???△BPMBDO,

...一PM=一BM,

DOBO

3^X3J3

PM=2——=—,

73

???點P的坐標為（4,*）.

（3）由（1）知點C（4,一舊），

又?；AM=3,

???在Rt△AMC41,COSZ.ACM=p

???Z.ACM=60°,

'：AC=BC,

AZ.ACB=120°

當點Q在％軸上方時，過。作QNlx釉于N,如果AB=BQ,

liUACB?AABQ有BQ=6,Z-ABQ=/-ACB=120°,則NQBN=60。，

AQN=3V3,BN=3,ON=10,此時點Q（10,373）,

如果48=42,由對稱性知Q（—2.3V3）：

②當點Q在x軸下方時，△。48就是44。8,此時點Q的坐標是（4,一遍），

經檢驗，點（10,3百）與（-2,36）都在拋物線上，

綜上所述，經驗證：存在這樣的點Q，使△（?力8?△ABC,

點Q的坐標為（1U,3百）或（一乙3百）或（4,一次）.

10.（2024九年級?全國?競賽）已知拋物線、=。/+匕％+?。>0）的圖象與“軸相交于4、B兩點,與y軸

相交于點C,頂點為D點,且方程/+軌一5=0的根同時滿足一元二次方程。/+旅+。=0.

Ay

_

11???1111A

O_1x

⑴求△ACD的面積與^ABC的面積之比;

（2）若乙40c=90°,求拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的解析式.

【答案】（1）SAACD：SA48C=1：1或SgCD：5A4BC=1：5

V6,2765后

（2）y=-x2+—x-—

【分析】本題主?？疾榇ㄏ禂捣ㄇ蠼馕鍪?，分類討論的數學思想以及元二次方程與二次函數的關系:

（1）解一元二次方程確定點4,點4的坐標，再求出點C,點。的坐標，分別求出△力CD的面現與△4BC的

面積即可得出結論；

（2）分兩種情形依據勾股定理列式求出Q的值，即可得出結論.

【詳解】（1）解：解工2+4%-5=0得％=-5或第=1,

???點4(-5,0)、8(1,0)或點4(1,0)、5(-5,0),

:.y=a(x+5)(%—1)=a(x+2)2—9a,a>0,

對稱軸方程為％=-2,頂點的坐標為。(-2,-9辦

令x=0,得y=-5a,

.?.點C(0,-5Q),得到圖象如圖1或圖2：

過點。作OE1y軸于點E,則0E=2,OE=9a,CE=OE-OC=4a,

SbACD=S梯形4DE0-S&CDE-SbAOC=15%或S.A。。=SxADE~hCDE~LACE=3。，

回S&A8C="81OC=15a,

S0ACD'SABC—1：S或S—CD：SAA3C=1：5.

(2)解：^Z,ADC=90°,貝I]/1。*+CO2=力。2

而在圖1的情況下，

2222222

AD=AF+0產=9+81a2,。。2=CE2+亦=4+16a,AC=OA+OC=25+25a,

94-81a2+4+16a2=25+25a2,

解得Q=g滿足條件；

o

在圖2的情況下，AD2=AF2+DF2=9+81a2,CD2=CE2+DE2=4+16a2,AC2=OA2+OC2=1十

25a2,

9+81a2+4+16a2=1+25a2,方程無實根.

綜上，a—/，

二拋物線的解析式為y=當(％+5)(%-1)=萼M+乎久一乎.

oo