2025全國高考真題數(shù)學(xué)匯編

橢圓

一、解答題

1.(2025全國高考真題)已知橢圓。：￡+與=1(〃>〃>0)的離心率為正，長軸長為4.

a-b-2

⑴求C的方程；

⑵過點(()，-2)的直線/與。交于A組兩點，0為坐標(biāo)原點，若4044的面積為收，求|A8].

2.(2025北京高考真題)己知橢圓匕5+*=13〃>0)的離心率為"，橢圓E上的點到兩焦點的距

離之和為4.

⑴求橢圓￡的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，點〃小,為乂毛工°)在橢圓后上，直線內(nèi)/+2yoy-4=。與直線y=2,產(chǎn)-2分別交

于點4B.設(shè)△Q4M與△O8W的面積分別為，㈤，比較今與黑的大小.

XIotiI

3.(2025全國高考真題)已知橢圓。:5+[=1(穌〃>())的離心率為出，下頂點為A,右頂點為8,

a'b3

|AB|=Vio.

(1)求C的方程；

(2)已知動點P不在y軸上，點R在射線AP上，且滿足|4用JA”=3.

(i)設(shè)尸(〃?,〃)，求R的坐標(biāo)(用如〃表示);

(ii)設(shè)O為坐標(biāo)原點，。是C上的動點，直線OR的斜率為直線。。的斜率的3倍，求IPQI的最大值.

22

4.(2025天津高考真題)己知橢I吟十百■=1("…)的左焦點為尸，右頂點為A,尸為…上點，且

直線尸產(chǎn)的斜率為(，aPEA的面枳為;，離心率為g.

J乙

(1)求橢圓的方程;

⑵過點尸的直線與橢圓有唯一交點8(異于點A),求證：PP平分NAF8.

22

5.(2025上海高考真題)已知橢圓「:=+工=1(〃>石)，"(0,〃?)?！?gt;0),A是「的右頂點.

a~5

(1)若「的焦點(2,0),求離心率e；

(2)若。=4,且「上存在一點P,滿足9=2訴，求加；

⑶已知AM的中垂線/的斜率為2,/與「交于C、。兩點，NCMD為鈍角，求。的取值范圍.

參考答案

I.⑴％片

⑵石

【分析】(1)根據(jù)長軸長和離心率求出基本量后可得橢圓方程；

(2)設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用參數(shù)/表示面積后可求f的值，從而可求弦長.

【詳解】(1)因為長軸長為4,故。=2,而離心率為當(dāng)，故《二及，

故6=0，故橢圓方程為：—+^-=1.

42

由題設(shè)直線A8的斜率不為0,故設(shè)直線="y+2),A(N，yJ,8(w，M)，

由只用可得(r+2)22.4=0,

故A=16/-4(/+2乂4/-4)=4(8-4巧＞0即＜應(yīng),

..4產(chǎn)4/一4

且i=K，.=K

=gX|2z|XIy一%|=＞|J(x+M)2—4凹必="=四，

故

解得/土件,

______I—T-_______________ryJ32-I6x—

故|AB|=71+r|y,一必|=§x"(X+%/-4)也=J-x-L------1=75.

--r2

3

2.(1)—+^-=1

42

⑷S2\OB\

【分析1(1)根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出。，J再根據(jù)a*,c的關(guān)系求出/九即可得到橢圓方程;

\OA\S,|AM|

（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點AB坐標(biāo)，即可求出身，再根據(jù)？=局，即可得出它們的大小關(guān)

-

系.

法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到NAQM=N8QM,再根據(jù)三角形的面枳公式即可

解出.

【詳解】⑴由橢圓可知，…所以"2,又芍吟,所以M-2,

故橢圓E的方程為

V+2>0>'-4=0

（2）聯(lián)立〈x2y2，消去x得,+2/=4,

—+—=1</

42

整理得，(2X+4y；)y2一]6)，o)，+16-4￡=O①,

22

又}等=1,所以2片+41=8,16-4片=躅,

故①式可化簡為8丁_|6），“，+8尤=0,即（），一），0）2-0,所以），=兒,

所以直線不工+2%），-4=0與橢圓相切，”為切點.

/、,、S,04

設(shè)4（不凹）,4（X2，）’2），易知，當(dāng)為=X2時，由對稱性可知，—=LJ-

s2|06|

故設(shè)W\，易知口國一力

+2?4=0,解得斗=匕坐，乂=2,

聯(lián)立v>v-

y=2

與弋杵4=。，解得/=/辦=_2,

聯(lián)立

y=-2%

4-4%小

所以3='""二—------=4-4為7；

”「"S?x-x]_不也

02石一4），0-4

人0

二2y：一4%=2f,

-2乂-4)b2+%’

I。川={X。)+4=中(1-%)。+/=中(l-yj+Jy；=5-4%+4=2-%

3J(4+：/[?4,4(1+姆+片j4(l+y°)2+4—2￡&：+/+42+%

雙邑\OB\'

法二：不妨設(shè)人（西,凹）,3&,%），易知，當(dāng)玉=超時，由對稱性可知

邑|。用

故設(shè)

聯(lián)立｛；7…，解*T…

聯(lián)卑f解得行腎…,

若用=。，則%=1，N）=±&，W=掃0，

由對稱性，不妨取天尸五,9=40，則A（o,2）,3（4&,—2）,M卜反,1）,

x/2+V2

tanNBOM=6tanZBOM=24=0所以NAOM=N8QM,

.五0

1-------x-----

24

同理，當(dāng)天二。時，ZAOM=NBOM,

當(dāng)反工。時，則勉=+津==,%=/急一缶…一食

又會祟I(lǐng),所以小2無=4,

/為

所以tanZAOM=七人』=L.%/

]+kOA.k°M1+/X比

2-2%飛

片+2y；-2/_4_2yo_2

——--,

冷（先2）%（為2）/

為十—4—,,

（anZBOM=如一"迎=_飛2+2%_=芯+2得+2.%=4-2.%=_2_

?+k0M,k°B[+為*_"。"。（）'。+2）M（%+2）-Vo

面、2+2）b,

貝lJtanZAQM=tanN8QM,g|JZAOM=ZBOM,

一5,_\OA\\OM\sinZAOM_\0A\

所以W=|O即OA^sinN80M=血'

3.⑴]+.\，2=[

3mn+2-m'-n2

(2)(i)(ii)3(x/3+x/2)

m2+(n+\)2〃/+(〃+if)

【分析】（1）根據(jù)題意列出〃，Ac的關(guān)系式，解方程求出外〃，J即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）（i）設(shè)式（如兄）,根據(jù)斜率相等以及題目條件列式，化簡即可求出或者利用數(shù)乘向量求出;

（ii）根據(jù)斜率關(guān)系可得到點。的軌跡為圓（除去兩點），再根據(jù)點與圓的最值求法結(jié)合三角換元或者直接

運算即可解出.

yJa2+b2=A/10

c272

【洋解】（1）由題可知,人（0,4）,8（?0）,所以，e=—=------.解得。*=9,/=l,c?=8,

a3

=a2-b2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+爐=］；

⑵（i）設(shè)R（%,%），易知〃?#0,

y+1〃+1

法一：所以故--n--=—,且加%>0.

因為A(0,—l),|A/?MH=3,所以Jx；+(%+1yx/+(〃+1)2=3,

n+13m〃+2-in2-n

即1+加=3,解得與=>+（〃+廣所以》。

nr+(n+l)2'

3mn+2-tn2-n2

所以點R的坐標(biāo)為

〃「十(〃+l)~in+(/z+l)2)

法二：設(shè)衣=/lA戶,/1>0,則|4剛44=3=>2/+(〃+1)[=3,所以

33m3(〃+1)

y,AR=A,AP=A(m,n+\)=，故

m4-(/1+

n+2-nr-n2

22

m+(??4-l)>

n+2-nV-n2

/??Rd，〃/十(〃+1)~n+2-m--n2.n..

(u)因為心R=--------盆-----=------------,=一，由%,=3%P,可得

力"3mm

—+(〃+1)2

—="‘之t"一"，化簡得川++8〃-2=0,即nr+(〃+4f=18(/〃工0),

m3m

所以點P在以N(0,T)為圓心,3&為半徑的圓上(除去兩個點)，

|P°L為Q到圓心N的距離加上半徑，

法一：設(shè)Q(3cos0,sin夕)，所以

|QV『=(3cos+(sin0+4『=9cos26>+sin2<9+8sin6?+16

=8cos20+l+8sin6+16

=8(l-sin26>)+8sin6>+17

=-8sin2^+8sin6>+25

=一81sin+27<27，當(dāng)且僅當(dāng)sin夕=g時取等號，

<2J2

所以|PQL=歷+3夜=3(石+夜).

7

法二：設(shè)。(々，人)，貝I」?+其=1，

=后+("+4『=9-9無+無+8^+16=-84+8%+25

=-8卜-￡]+27K27,當(dāng)且僅當(dāng)“二g時取等號，

故|PQL=4+3&=3(6+0).

4.⑴工+工=1

43

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，利用橢圓的離心率得到。=2c,再由直線。尸的斜率得到，〃=c,從而利用三角形

的面積公式得到關(guān)于。的方程，解之即可得解：

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，利用K位置關(guān)系求得&,進而得到直線m的方程與點片的坐標(biāo)，法一，利用

向量的夾角公式即可得證；法二：利用兩直線的夾角公式即可得證；法三利用正切的倍角公式即可得證；

法四：利用角平分線的性質(zhì)與點線距離公式即可得證.

22

【詳解】(1)依題意，設(shè)橢圓「r+與v=1(0/，>0)的半焦距為C,

。一lr

則左焦點2—。，0),右頂點44,0),離心率“二￡=:，即〃=2c,

a2

因為P為x="上一點，設(shè)尸(。,機),

又直線p尸的斜率為!，則上即/L=：，

所以J-=：,解得陽=c,則尸(，,c),即尸(2"),

2c+c3

3

因為的面積為Q，|4用二所(-c)=a+c=3c,高為|〃?|二C,

ii3

所以2*=5卜目帆=5><3CXC=1,解得C=1,

則。=勿=2,b2=a2-c2=3，

(2)由(1)可知P(2,l),產(chǎn)(-1,0),A(2,0),

易知直線PA的斜率存在,設(shè)其方程為y=h+則1=24+〃?，即加=1-2&,

y=kx+m

22

聯(lián)立消去）'得，（3+4A2）x+Skmx+4m-12=0,

因為直線與橢圓有唯一交點，所以△=(8"城-4(3+4攵2).(4>72)=0,

01

即4/一〃/+3=0，則4左?_（"2上）+3=0,解得無=則〃?=2,

所以直線依的方程為y=-gx+2,

3

聯(lián)立解得vq則叫5)，

以下分別用四種方法證明結(jié)論：

法一：則方二(2,|),9=(3,1),以=(3,0),

EAF戶3x3+lx（）3>/10

cosZ.PFA=

網(wǎng)?同「3五+12"io-

則cosN8Q=cosN*'又NBFP,/PFA4。,號.

所以NB0=NPE4,即尸尸平分44所.

2_ni-o?

kAF

法二：所以％_2_3,kPf=-———=-=0,

1--0

由兩直線夾角公式，得tan/8QtanZ.PFA=3_

31+03,

則tan4BFP=tan/PFA,又/BFP、/PFAe(0,-),

2

所以ZBfP=N/V%,即PF平分ZAM.

13

法三：MtanZ.PFA=k=-tanNBFP==—，

PF3f4

2tanZPFA

故tan2Z.PFA=tan/BFP

l-tan2ZPFA

又NBFP,NP/弘￡（03），

2

所以/BFT=/PFA,即PF平分NAra.

法四：則女=32-o_3,

FB1-（-1）4

所以直線FB的方程為y=：（x+l）,即3x-4.v+3=0,

|3x2-4xl+3|

則點P到直線所的距離為"二m+㈠：=1，

又點，到直線E4的距離也為1,

所以P/平分NA/芳.

5.（1）|

⑵師

⑶g,而）

【分析】（1）由方程可得〃=5,再由焦點坐標(biāo)得。，從而求出。得離心率；

（2）設(shè)點P坐標(biāo)，由向量關(guān)系中=2好坐標(biāo)化可解得。坐標(biāo)，代入橢圓方程可得加；

（3）根據(jù)中垂線性質(zhì)，由斜率與中點坐標(biāo)得宜線/方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉(zhuǎn)化為向量不

等式祝?礪＜（），再坐標(biāo)化利用韋達(dá)定理代入化簡不等式求解可得〃范圍.

22

【詳解】(1)由題意知，