【考點(diǎn)1:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】...........................................................1

【考點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值或最值】.......................................................4

【考點(diǎn)3：利用導(dǎo)數(shù)證明或求解不等式】...........................................................8

【考點(diǎn)4：利用導(dǎo)數(shù)研究恒、能成立問題】........................................................11

【考點(diǎn)5：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根】..................................................14

【考點(diǎn)6：導(dǎo)數(shù)中的新定義問題】................................................................15

【考點(diǎn)7：極值點(diǎn)偏移問題】.....................................................................21

【考點(diǎn)1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】

【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】

1.函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)/(.，)的正負(fù)之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個(gè)區(qū)間(a4)上，如果/(外>0,那么函數(shù)〉Mx)在區(qū)間5,6)上單調(diào)遞增:

②單調(diào)遞減：在某個(gè)區(qū)間(a⑼上，如果/(幻<0,那么函數(shù)產(chǎn)危)在區(qū)間(。⑼上單調(diào)遞減.

2.利用導(dǎo)數(shù)判斷不含參函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)確定函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)；

(3)在定義域內(nèi)求解不等式/(x)>0,求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞增區(qū)間;

(4)在定義域內(nèi)求解不等式/(.x)vo,求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞減區(qū)間.

注：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間不以“并集”出現(xiàn).

3.構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性

⑴關(guān)系式為“加”型

①f(x)+/(x)20：構(gòu)造?/)］"［/8)9創(chuàng)；

②般(木危)20：構(gòu)造必必：如)+心)；

③叭x)+Mx)20：構(gòu)造［;</(刈'=;<八》)+/"1兒:)=;儀卬。)+祖切.

(注意對(duì)X的符號(hào)進(jìn)行討論)

⑵關(guān)系式為“減”型

(iy-(，w>o：構(gòu)造［知］J7；八桃，=/?/(乜

(2)x/V):/(x)^0：構(gòu)造

第1頁(yè)共24頁(yè)

c、〃\"\>n珈梏[/(￡)]，一x"/'(x)_〃x'i/(x)_xfM-nfM

(3)VXx)-4/(x)20：構(gòu)造---------Qp--------------k------

4.含參函數(shù)的分類討論

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性主要是利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得出相應(yīng)結(jié)論，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)

決定了函數(shù)的單調(diào)性，而導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)恰好是其分界點(diǎn)，故/(x)=0是否有根及根的位置是分類討論的

標(biāo)注，一般可以按方程在定義域內(nèi)有根、無根以及根的大小等方面來分類討論.

5.單調(diào)性的逆向求參問題

(1)函數(shù)人工)在(。,方)上單調(diào)遞增，則/(x)20且/(x)在他,方)的任意子區(qū)間上不恒為0；

(2)函數(shù)人x)在Q,份上單調(diào)遞減，則/(x)W0且/(x)在(")的任意子區(qū)間.上不恒為0.

6.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：歹=/(x)在(。力)上單調(diào)，則區(qū)間(。力)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2)/(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的.隹(。力)都有/(x)K)(f(x)W0)，且在(。力)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，

/(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解.

(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

1.(24-25高二下?重慶?期中)函數(shù)/(x)=x-xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(一81)B.(0,1)C.(0,e)D.(1,+%)

2.(24-25高二下?北京?期中)已知函數(shù)/(幻=以2+±在區(qū)間(1,+co)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

X

|，y3

A.[6,+cc)B.C.D.

4

3.(24-25高二下?重慶?期中)若函數(shù)=/a，在@+8)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,e]C.[e,-Ko)D.(e,+oo)

4.(山東省德州市優(yōu)高聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)已知定義在R上的函數(shù)”工)的

導(dǎo)函數(shù)為f'W，且/(x)+r(x)=4"(O)=l,則/⑴J(2)J(e)的大小關(guān)系為()

e

A./(l)</(2)</(e)B./(e)<〃2)〈/⑴

C./(2)</(1)</(e)D./(e)</(l)</(2)

、o

5.(24-25高二下?福建福州?期中)已知/'(x)是函數(shù)/(z"的導(dǎo)數(shù)，rG)+/(x)<0J(2)=r，則不等式

e*

〃lnx)>(的解集是()

A.(0,2)B.(0,e2)C.(2,+8)D.(e\+co)

6.(24-25高二下?北京?期中)已知函數(shù)/(?=/-3--9工+2,求：

⑴函數(shù))可(X)的圖象在點(diǎn)(0，/(()))處的切線方程；

第2頁(yè)共24頁(yè)

(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

7.(24-25高二下?福建三明?期中)已知函數(shù)f(x)=eJax-2,awR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴討論函數(shù)/("的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于％的方程/(1)+2=()有兩個(gè)不等實(shí)根，求。的取值范圍.

第3頁(yè)共24頁(yè)

2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)求導(dǎo)函數(shù)/(x)：

(3)在原函數(shù)的定義域內(nèi)，求方程/(x尸0的所有實(shí)數(shù)根；

(4)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根的左右兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)/W的符號(hào)變化情況.

3.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

(1)已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列

方程組，利用待定系數(shù)法求解.

(2)導(dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).

4.函數(shù)的最大值與最小值

(1)一般地，如果在區(qū)間口⑸上函數(shù)尸/⑶的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，

并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.當(dāng)/(x)的圖象連續(xù)不斷且在口⑸上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值

分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.

(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別

①極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言的，最值是對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間而言的.

②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個(gè).

③函數(shù)以丫)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).

5.函數(shù)最值的求解思路

求函數(shù)y=/(x)在心力]上的最大值與最小值的步驟如下：

(1)求函數(shù)產(chǎn)於)在(0力)內(nèi)的極值;

(2)將函數(shù)月(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值火0,./(份比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是

最小值.

6.求含有參數(shù)的函數(shù)的最值的解題策略

求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，

從而得到函數(shù)/(X)的最值.

1.(24-25高二下?山西呂梁?期中)若函數(shù)/。)=/]1-汗+(〃T)x在x=l處取得極大值，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

,,33

A.a<\B.a>1C.?<-D.a>—

22

2.(2025?湖南?三模)已知函數(shù)=—\cos2x,則下列關(guān)于函數(shù)/*)的極值點(diǎn)的敘述，

正確的是()

A.既沒有極大值點(diǎn)也沒有極小值點(diǎn)B.既有極大值點(diǎn)也有極小值點(diǎn)

C.有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)D.有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)

3.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù))，=/(*)及其導(dǎo)函數(shù))，=/'(6的圖象如圖

所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0」)，則()

第5頁(yè)共24頁(yè)

y

A.函數(shù)y=/(x>e,的最大值為1B.函數(shù)y=的最小值為1

C.函數(shù))，=里的最大值為1D.函數(shù)丁=冬的最小值為1

4.(24-25高三下?重慶?階段練習(xí))已知關(guān)于x的方程泮+e碓T=-f+2x+b有解，則8-。+1的最小值

為.

5.(24-25高二下?廣東深圳?期中)已知函數(shù)/(x)=21nx+/i2(weR),在x=1處的切線與直線x+y+1=0

垂直.

(1)求。的值;

(2)求函數(shù)/*)的最大值.

第6頁(yè)共24頁(yè)

3

6.（24-25高二下?北京?期中）已知函數(shù)/（幻=胃一5奴2,其中。＞（）.

（1）當(dāng)。=2時(shí)，求曲線在（1J⑴）處的切線方程；

（2）求函數(shù)/。）的單調(diào)區(qū)間；

（3）求fM在區(qū)間［0,1］上的最小值.

7.（24-25高二下?浙江?期中）已知函數(shù)/（同=/一以2_］+|,aeR且滿足在x=l處取得極值,

⑴求實(shí)數(shù)〃的值；

⑵求函數(shù)y=/W在區(qū)間-g,2上的最大值和最小值.

第7頁(yè)共24頁(yè)

8.(24-25高二下?浙江杭州?期中)已知實(shí)數(shù)。>0,函數(shù)f(x)=r—

廠+a

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0，〃。))處的切線方程；

(2)記/(x)為“x)的導(dǎo)函數(shù),試討論((力的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)3：利用導(dǎo)數(shù)證明或求解不等式】

【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)證明或求解不等式】

1.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明

(1)一般地，要證/(x)>g(x)在區(qū)間(。，6)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=/(x)—g(x),通過分析向(x)在端點(diǎn)

處的函數(shù)值來證明不等式.若%。)=0,只需證明產(chǎn)(x)在(a,b)上單調(diào)遞增即可；若回3)=0,只需證明Qx)

在(。，力)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題.

1.(2025?江西贛州?二模)設(shè)數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和為S“，則()

A.B.%<仆C.55(><13D.a5<|3a)-5?3|

第8頁(yè)共24頁(yè)

2.(24-25高二下嚀夏?期中)已知函數(shù)“xTVinx.

⑴求曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程;

(2)求證:當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>3x-4.

3.(2025?四川?三模)已知函數(shù)〃=f—"—4”.

J

⑴若0<”3,試判斷函數(shù)/(“在區(qū)間(L3)內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，井說明理由;

3

(2)當(dāng)a=3,x>0時(shí)，求證：/(A)<(jr-4)e\(參考數(shù)據(jù)：e?20.1)

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4.(2025?福建廈門?三模)已知函數(shù)/(x)=y2_._2)x-2alnx,aeR.

⑴討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a>0時(shí),證明：f(x)>\na-a2+-.

2

5.(24-25高二下?山西?期中)已知函數(shù)f(x)=區(qū)一底(hR).

⑴付論/W的單調(diào)性；

⑵當(dāng)出=1時(shí)，若g(x)=/(x+l)-。存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

⑶證明:

第10頁(yè)共24頁(yè)

6.（24-25高二下?安徽合肥?期中）已知函數(shù)73=d7.

⑴當(dāng)x?0,+8）,時(shí)，/（力-12]恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

（2）證明：E也卜＞n

2(〃+1]

【考點(diǎn)4：利用導(dǎo)數(shù)研究恒、能成立問題】

【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究恒、能成立問題】

1.導(dǎo)數(shù)中的恒（能）成立問題

解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：

（1）分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另

一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分

類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.

1.（24-25高二下?山東青島?期中）若ae'-Inx+lniNO恒成立，則”的取值范圍為（）

A.B.（0,e]C.g，+8D.[e,+co）

2.（24-25高二下?江西宜春?期中）若不等式21nx+〃?K0有解，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為.

第11頁(yè)共24頁(yè)

3.(24-25高二下?天津?期中)已知函數(shù)/(x)=f+or_2(aeR),雇x)==,若對(duì)任意rw[Tl],存在々eR，

e

使f($)<g(/)成立，則。的取值范圍是.

4.(2025?甘肅白銀?三模)已知函數(shù)/(x)=ae'-x+2,〃€R.

⑴討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

⑵若/(可之爐恒成立，求。的取值范圍.

5.(24-25高二下?北京?期中)已知函數(shù)/(司=寸—3/—9X+1(XWR).

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若2〃-1V〃力對(duì)Vxe卜2閭恒成立.求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

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6.(24-25高二下?江蘇無錫?期中)已知函數(shù)〃”=/-研-1.

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;

⑵若/")=2在X?(),+8)上有解，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

1,3

7.(24-25高二下?湖南?期中)設(shè)函數(shù)“x)=xcos^-天山，g(x)=/(x)+]sinx-2xcosx-a?.

⑴試判斷函數(shù)仆)=-；sim?在區(qū)間卜)弓)上是否存在極值點(diǎn)，并說明理由；

(2)若任意％e[0,+8),不等式g(x)?。恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

第13頁(yè)共24頁(yè)

8.(24-25高二下?天津和平?期中)已知函數(shù)f(x)=e*—x-l,g(x)=alnx—x.

⑴求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若〃(x)=/(x)-g(x)在［L2］單調(diào)遞增，求〃的取值范圍；

⑶當(dāng)avO時(shí)，若肛對(duì)"々U使得小)2/(々)，求〃的取值范圍.

【考點(diǎn)5：利用導(dǎo)數(shù)研窕函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根】

【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根】

1.導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)主要有兩種方法：

(I)利用導(dǎo)數(shù)研窕函數(shù)寅刈的最值，轉(zhuǎn)化為人刈圖象與x釉的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由/(x)=O分離參變量，得a=g(x)，研究尸。與尸g(x)圖象的交點(diǎn)問題.

2.與函數(shù)零點(diǎn)(方程根)有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略

與函數(shù)零點(diǎn)(方程根)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)

判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.

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、lird,x>0,.、

1.（24-25高二下?甘肅酒泉?期中）設(shè)函數(shù)/（zx）={".若函數(shù)/（x）的圖象與直線〃有兩個(gè)交

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（l，+8）B.-4-,0

C.U，0U（L+8）D.（0J]

2.（24-25高二下?浙江?期中）若三次函數(shù)/"）="3+工2+以+1（。>0）有三個(gè)相異且成等差的零點(diǎn)，則。

的取值范圍為.

3.（24-25高二下?山東青島?期中）已知函數(shù)/（x）=ei-山-&,若/（幻有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)教女的取值范

圍_____.

4.（24?25高二下?北京通州?期中）已知函數(shù)/（6=2|1詞+：-1,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若2=0,/（"恰有2個(gè)零點(diǎn)；

②存在負(fù)數(shù)3使得/（%）恰有1個(gè)零點(diǎn)；

③存在負(fù)數(shù)攵，使得/"）恰有3個(gè)零點(diǎn)；

④存在正數(shù)h,使得/（x）恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

5.（24-25高二下?新疆和田?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力=。-、〃5

⑴時(shí)論函數(shù)/*）的單調(diào)性

⑵若函數(shù)/。）有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

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6.(24-25高二下?重慶?期中)已知函數(shù)/(x)=gf-3x+21nx.

⑴求在戶1處的切線方程：

⑵若函數(shù)y=/(x)-。有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

7.(24-25高二下?福建三明?期中)已知函數(shù)/(x)=e'-or-2,aeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的方程〃x)+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求。的取值范圍.

第16頁(yè)共24頁(yè)

8.(24-25百三下?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=e'+at+sinx-

\+x

(1)當(dāng)。=-3時(shí)，求證：“X)在區(qū)間(-1.0)上單調(diào)遞增.

(2)若函數(shù)/⑴在區(qū)間(T,0),(0,楨)各恰有1個(gè)零點(diǎn),求。的取值范圍.

【考點(diǎn)6：導(dǎo)數(shù)中的新定義問題】

【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)中的新定義問題】

1.(242S高二下,湖北武漢期中)我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、”內(nèi)卷〃、“躺平〃等，定義方程

/G)=r(x)的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)“X)的“躺平點(diǎn)〃.若函數(shù)ga)=e'+x+2,h(x)Mnxt

9(x)=2025/+2025的“躺平點(diǎn)”分別為a,b,c,則a,h,c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a

2.(24-25高二下?浙江杭州?期中)定理：如果函數(shù)/(”及g(x)滿足：①圖像在閉區(qū)間可上連續(xù)不斷;

②在開區(qū)間(。㈤內(nèi)可導(dǎo)；③對(duì)g'(x)w0,那么在(4〃)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,滿足

f(b)-f(a)/'(c)

二中成立,該定理稱為柯西中值定理.請(qǐng)利用該定理解決下面問題:

g(二b)-g(:a);g(c)

已知=若存在正數(shù)a,b(a<b),滿足/S)=Rn：+/(a),則實(shí)數(shù)4的取值范圍是(

)

41

A.C.

e4e

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3.（24-25高三下?廣東東莞?階段練習(xí)）類似于斜率，我們給出曲率的定義：如圖所示，設(shè)曲線。是光滑的,

在曲線C上選定一點(diǎn)作為度量弧s的基點(diǎn).設(shè)曲線上點(diǎn)例對(duì)應(yīng)于弧s,在點(diǎn)M處的傾角為曲線上另

外一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于弧s+As,在點(diǎn)處的傾角為a+Aa,則弧段MM'的長(zhǎng)度為I加I，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)"轉(zhuǎn)到M'時(shí)

切線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為|Aa|，用比值丁來表示弧段MAT的平均彎曲程度，叫做平均曲率，并記作N.類似于從

平均速度引入瞬時(shí)速度的方法，當(dāng)這個(gè)M'趨于M時(shí)，上述平均曲率的極限就叫做曲線C在M處的曲率，

記作K，=處.在數(shù)學(xué)上給出曲率的公式:.（其中y,V分別表示y=/（x）

在點(diǎn)〃處的一階、二階導(dǎo)數(shù)），根據(jù)定義，橢圓小在點(diǎn)（6）的曲率為.

4.（24-25高二下?天津?期中）設(shè)廣（工）是函數(shù)/（力的導(dǎo)函數(shù)，/（x）是函數(shù):（力的導(dǎo)函數(shù)，若方程廣（"）=0

有實(shí)數(shù)解與,則稱點(diǎn)（與,/（/））為曲線N=/（%）的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有"拐

點(diǎn)"，且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.己知函數(shù)〃+3的圖象的對(duì)稱中心為（卜;

⑴求實(shí)數(shù)4〃的值;

（2）求/（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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5.（2025?廣西桂林?一模）對(duì)V$，w，…,若函數(shù)/（可在有不等式

占麥?zhǔn)遥㎎（xJ+/（?+…+〃/）,則稱函數(shù)/⑴是在,回上的“凹函數(shù)〃，反之，若不等式

/仔+々+…+工），&）+/5）+…則稱函數(shù)/"）是在,例上的“凸函數(shù)〃，當(dāng)且僅當(dāng)

%=再=??=3時(shí)等號(hào)成立.也可理解為若函數(shù)/a）在［4司上可導(dǎo)，r（x）為/W在m目上的導(dǎo)函數(shù)，

廣㈤為:（”在,向上的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)/〃“）之0時(shí)，函數(shù)/（"是在在句上的“凹函數(shù)〃,反之,當(dāng)廣（“40

時(shí)，則稱函數(shù)/（%）是在問上的“凸函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)/（x）=ln（x+l）-x（x>0）的凹凸性；

⑵若W2…，璉2,令小人危+啟+…+啟（心）求比）的最小值J

⑶%為（2）問所得結(jié)果，證明不等式：器"臉（此2,〃eN）

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6.(2025?山東?二模)函數(shù)y=和y=g(x)有相同的定義域，導(dǎo)函數(shù)分別為r(x),g'(x),若在定義

域內(nèi)均有r(x)Wg'(x)，則稱'=八"是5=8(力的""一函數(shù)是

⑴判斷尸tJx是否為產(chǎn)COSA?的“DT-函數(shù)〃，并證明；

(2)設(shè)y=/(x)和y=/(r)為定義在R上的函數(shù)，己知f(T)=〃x),g(x)=h(x)+h(-x)t/㈤是g(x)的

“DT一函數(shù)〃，證明：g(x)-/(x1=c(c?為常數(shù))；

x+a

(3)若-IvavO,f(x)=x\nx-{a+2)xfg(x)=c(x-2),x>0,證明:/(x)是g(x)的"。丁一函數(shù)〃.

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【考點(diǎn)7：極值點(diǎn)偏移問題】

【知識(shí)點(diǎn)：極值點(diǎn)偏移問題】

1.極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念

所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)

稱性.

極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)/，方程/(E)的解分別為

Xpx2,且4＜玉＜X2＜〃.

(1)若'工與,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(x,w)上極'直點(diǎn)不偏移；

(2)若號(hào)上＞與,則函數(shù)＞=/(