第五章I平面向量與復(fù)數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

1.了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.

2.理解平:面向量的幾何表示和基本要素.

學(xué)習(xí)掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.

目標(biāo)3.

4.掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則.理解其幾何意義.理解兩個(gè)平面向

量共線的含義.

5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

課

前!1!基落實(shí)

回首教材

1.向量的有關(guān)概念

向量既有太小又有旌1的量叫做向量

具有方向的線段叫做有向線段，句量可以用有向線段表示，

有向線段

也可用字母a,b,c,…表示

向量的模向量方的叢稱為向量的長度（或稱模），記作|訝亍|

零向量長度為止的向量叫做零向量，記作0,零向量的方向是任意的

長度等于1個(gè)單位長度的向量,叫做單位向量，若a是非零

單位向量

向量，則土a是單位向量

同

平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也叫做

（共線向量）共線向量，規(guī)定：零向量與任意句量平行

相等向量長度相等且方向祖國的向量叫做相等向量

與向量ag變相等，方向相反的句量，叫做a的相反向量，

相反向量

記作一a

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算法則（或幾何意義）運(yùn)算律

勿b(1)交換律：a+b=b+a；

加法三角形法則(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b

b

^7±c1

平行四邊形法則

減法23"a—b=a+(—b)

三角形法則

(l)|2a|=反回；

；.(/7a)=(z//)a；

(2)當(dāng)2>0時(shí)，2a的方向與a的方向

數(shù)乘M+4)a=2a+〃a；

相同:當(dāng)2Vo時(shí)，2a的方向與a的

2(a+b)=Aa+2b

方向相反；當(dāng)4=0時(shí)，2a=。

3.共線向量定理

向量a(aWO)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得b=/a注意兩向量共線包

括同向或反向共線.

［微點(diǎn)提醒］

解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量

的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.

拓展教材(常見結(jié)論及應(yīng)用)

(1)設(shè)p為線段的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則無=；(市+萬萬).

(2)0為△48c重心的充要條件為H+赤+衣=0.

(3)在四邊形力8CO中，若￡為力。的中點(diǎn)，戶為8C的中點(diǎn)，則二浮+碇=2芹.

(4)對(duì)任意兩個(gè)向量a,b,都有||a|一|b||W|aib|W|a|+|b|.

發(fā)掘教材

一、高考命題注重“教考銜接”(示例分析)

(2022?新課標(biāo)1卷)在△48C中，點(diǎn)。在邊力8上，BD=2D4.記a=

考題品悟

m,CD=n,則Z?=(B)

A.3m—2nB.—2m+3n

C.3m+2nD.2m+3n

（人A必修②P14例6）如圖，口/4CQ的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)用，且方

=a,~AD=b,用a,b表示應(yīng)T,礪，流和礪.

追根溯源

D________.c

:MB

高考試題在教材題目的基礎(chǔ)上加以改造，考查向量線性運(yùn)算，解題的

發(fā)現(xiàn)啟迪

關(guān)鍵是熟練利用向量線性運(yùn)算的三角形法則和平行四邊形法則.

二、復(fù)習(xí)備考要強(qiáng)化“教材本位”

A組——教材信息的發(fā)掘訓(xùn)練

I.（蘇教必修②P15練習(xí)T5改編）［多選］若非零向量a和b互為相反向量，則下列說法正

確的是（）

A.a//bB.a#b

C.|a|W|b|D.b=-a

答案：ABD

2.（人A必修②P22T4改編）卜.列各式化簡結(jié)果正確的是（）

B.彳耘+礪+R0+0防=1防

C.15+5C-JC=O

D.U-AD~~DC=~5C

答案：B

3.（人B必修②Pl73T3改編）若。為△48C的邊/IB的中點(diǎn)，則,=（）

A.2CD-'CAB.2CA-CD

C.2CD+~CAD.2CA+CD

解析：選A~CB=7jA+=~CA+2AD=~CA+2（JC+CD）=2CD-c7.

4.（人A必修②Pl6T3改編）已知向量ei,e?不共線，a=ei+3e2,b=2ei+加2,若a〃力

則/=.

L_1

2r=l'一?

解析：由題意得臼+3。2=?2a+公2）,因?yàn)閑i,6不共線，所以解得

"=3，L=6.

2.(2024?廈門模擬)［多選］下列命題正確的是()

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.單位向量都相等

C.若a,b都為非零向量，則使'+。=0成立的條件是a與b反向共線

|a||b|

D.若a=b,b=c,則a=c

解析：選CD零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；單位向量方向不同時(shí)

并不相等，故B錯(cuò)誤：因?yàn)榕c0都是單位向量，所以只有當(dāng)a與°是相反向量，即a與b

|a||b||a||b|

ab

是反向共線時(shí)，+=0才成立，故C正確；由向量相等的定義知D正確.

|a||b|

3.如圖，等腰梯形力ACO中，對(duì)角線4C與交于點(diǎn)P,點(diǎn)石，

尸分別在兩腰BC上,EF過點(diǎn)、P,且EF〃AB,則下列等式成立

的是()

A.JD=_5CB.

C.~PE=~PFD.~EP=~PF

解析：選D根據(jù)相等向量的定義，分析可得而與^^不平行，就與5萬不平行，所

以A,B均錯(cuò)誤，下空與行平行,但方向相反也不相等，只有前與蘇方向相同，巨大小

都等于線段上/長度的一半，所以C錯(cuò)誤，D正確.

4.在如圖所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的邊長為1),找出存在下列關(guān)系的向

量：

(1)共線向量：;

(2)方向相反的向量：；

(3)模相等的向量：.

解析：觀察圖形，a//d,b//e,因此a與d是共線向量，并且方向相反：b與e是共線

向量，并且方向相反，顯然憐|=5,|c|=5,|d|=5,因此a,c,d的模相等.

答案：(l)a與d,b與e(2)a與d,b與e(3)a,c,d

［思維建模］

平行向量有關(guān)概念的4個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)非零向量的平行具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.

(4)2是與a同方向的單位向量.

|a|

題點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算

考法(一)向量的線性運(yùn)算〃,

例1(2024?長沙期末)在△45C中，力。是4c邊上的中線，點(diǎn)M滿足石7=2詬，則而

=()

A.-11B^2ACB.-21B+1AC

3333

c.115-27CD215-17C

3333

解析：選CVJD=1(1?4-1C),則加="一就=2萬一，=+

233

■i.o.

-AC=AB-AC.

33

考法(二)根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃,〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

例2(2024?鹽城模擬)在△/8C中，功8c上的中線與功力C卜.的中線的交點(diǎn)為若在

=AJC,貝版+〃=()

A.1B.-1

C.1D.-1

33

解析:選D由題可知E為三角形的重心，則衣=2)<1(言+9)=1(〈7+，萬一就)

323

［思維建模］

平面向量線性運(yùn)算的求解策略

(1)盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同?頂點(diǎn)出發(fā)的向量或首尾相接的向

量.

(2)充分利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化

為已知向量.

(3)求參數(shù)一般是構(gòu)造三角形，利用向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)值.

［針對(duì)訓(xùn)練］

14多選］如圖所示，四邊形N4CO為梯形，其中力〃〃CD,AB=D_ALC

2CD,M,N分別為/從CO的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()/X\/\

A.JC=7O+1J?B.A/C=JC4-15CAMB

222

?.1?■■,?1.

C.MN=AD+ABD.BC;二AD-AB

42

解析：選ABD因?yàn)樗倪呅瘟?CQ為梯形，其中18〃CO,AB=2CD,M,N分別為

AB,。。的中點(diǎn)，所以，C=4)+QC=/iO+故A正確:;因?yàn)镃M為△44C的中

2

線，所以加有流，即證二力^,故正確：

=1=i1+1BBC=AC-AB=AD+

2222

1?A-?|-?------?AA

AB-AB=AD-AB故D正確；MN=MC+CN='JC+'^C-'DC=

22f222

3+河+小一:司」加力」次故c錯(cuò)誤.

故選ABD.

2244

規(guī)律方法：在幾何圖形中進(jìn)行向量運(yùn)算

(1)構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；

(2)樹立“基底"意識(shí),利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算.

2.(2024?撫州模擬)如圖，在△0/8中,P為線段彳5上的一點(diǎn),

7)P=x7)A+y~OB,且前=4萬7,則()o/X,

A12?21

A.x=，y=B.x=，y=

3333

」門

Cc.x—_3，y—D.x—_1，y一_3

4-44-4

解析：選C由五才=47不可得了聲=3了才，；.赤=萬方+73P=~OB+3~BA=05+

44

3(罰一正)=3方加，???尸31

4444?4

一\AB\

3.已知平面上不共線的四點(diǎn)O,A,B,C,若罰一4赤+37）C=0,則-—等于（）

\CA\

解析：選B由由一4+3比=0,得萬才一萬4=3(6下一衣)，即引=31流，

所以有=,+N7=4五7,所以方|=3|可|,即?-81=3.

34|CJ|4

題點(diǎn)三共線向量基本定理的應(yīng)用

例3在四邊形月8CZ)中，l?=a+2b,~BC=-Aa-b,CP=-5a-3b,則四邊形

ABCD的形狀是()

A.梯形B.菱形

C.平行四邊形D.矩形

解析：選A因?yàn)槎?=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,所以，方=71+

4-CD=(a+2b)4-<—4a-b)+(-5a—3b)=—8a—2b所以而=2^.所以AD//BC_R.

\AD\^\BC\,所以四邊形力8c。為梯形.

例4已知a,b是不共線的向量，7z7=xa4-/zb,1)B=3a—2b,OC=2a+3b,若/I,

B,C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)九"滿足()

A.%="—1B.4"+5

C.2=5—//D.//=13—5A

解析：選D^7=07-^=(za4-/zb)-(3a-2b)=(A-3)a+(//4-2)b,~BC=~0C-

~0B=(2a+3b)-(3a-2b)=-a+5b,

因?yàn)?B,。三點(diǎn)共線，所以市〃前,故一5。-3)=〃+2,所以〃=13—5兒

［思維建模］

利用共線向量基本定理解題的策略

(l)a〃boa=2b(bW0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)

用.

(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即4,B,。三點(diǎn)共線聲，7C

共線.

(3)若a與b不共線且ia="b,則1="=0.

(4)57=2七流+"灰(九〃為實(shí)數(shù))，若4,B,。三點(diǎn)共線(。不在直線8C上)，則2+〃

=1.

［針對(duì)訓(xùn)練］

4.設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的向量，且向量2a+ib與（32—1）a+b是平行向量，則實(shí)數(shù)7

的值為（）

2

A.一B.1

3

C.1或一D.-1或一

33

解析：選C因?yàn)橄蛄?a+ib與（3/-l）a+b是平行向量，所以存在唯一實(shí)數(shù)k,使（37

人，3k~\=2k

一l）a+b=A（2a+油）=2A，a+6.b.因?yàn)閍,b是兩個(gè)不共線的向量，所以則（32—

1=以，

1）Z=2,3X2-A-2=0,解得2=1或2=一,

3

5.（2024?廣州?！鰯M）在△力NC中,M是/。邊卜一點(diǎn).日元礪.N是朋W卜一點(diǎn).

若石力才，則實(shí)數(shù)”的值為（）

1

A.-B.-

36

C.1D.1

63

解析：選D由五7=1正，得就=3"，由，燈得俞=1芯+

299

.?I-l-tn]??I+3tn|.

w(AC—AB)=19JAC~mAB=13JAM-mAB因?yàn)锽,N,M三點(diǎn)共線，所以；

+3〃?+(—〃?)=1,解得

6.在△力AC中，E為4C的中點(diǎn)，。是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若力于=1加+了就，則1十

x

2的最小值為.

y

快審準(zhǔn)解：先根據(jù)題意得出力=工5萬+2），病，然后根據(jù)8,E,。三點(diǎn)共線得出x+

2V=l（Q0,y>0）,最后通過基本不等式即可求出最值.

解析：如圖，^^~AD=x~AB+y^4C,E為邊的中點(diǎn)，所以而

ACA

=￡5濟(jì)+2p而.因?yàn)?,E,。三點(diǎn)共線，所以x+2y=ia>0,j>0）,

D

B'C

=L+Jx(x+2v)=5+2v+2r>5+2

則1+22y=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=：,時(shí)取等號(hào),

xyxyXy

故1+2的最小值為9.

xy

答案：9

［課時(shí)跟蹤檢測］

1.下列說法正確的是（）

A力濟(jì)〃下就是行所在的直線平行于下所在的直線

B.長度相等的向量叫做相等向量

C.有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段

D.共線向量是在一條直線上的向量

解析：選C員〃而包含兩種情況，一種是7萬所在直線平行于濟(jì)所在直線，另一

種是腦所在直線重合于百所在直線，故A錯(cuò)誤；長度相等且方向相同的向量才叫做相等

向量，故B錯(cuò)誤；由定義知，向量有大小、方向兩個(gè)要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向、長度

三個(gè)要素，故C正確：共線向量有可能在同一條直線上，也有可能不在同一條直線上，故D

錯(cuò)誤.

易錯(cuò)防范：共線向量中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義.共線向量中的

“共線”對(duì)應(yīng)平面幾何中的兩種情況：①表示向量的有向線段在同一條直線上；②表示向量

的有向線段所在的直線是兩條平行直線.

2.（2024?北京西城一模）已知。為△/也。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，~BC=2CP,則（）

A.JP=-11^+3JC

22

B.JP+2JC

33

>Q—.1.

D.AP=AB-iAC

33

解析：選A由題意作出圖形，如圖，=JC+CP=JC+

1..1??1.a.

^BC=AC+^(AC-AB)=-^AB+^ACt故選A.

3.對(duì)于平面內(nèi)〃個(gè)起點(diǎn)相同的單位向量a（i=1,2：…，〃，〃=2","￡N"）,若每個(gè)向

量與其相鄰向量的夾角均為，則ai與a；j~l-----Fa”的位置關(guān)系為（）

n

A.垂直B.反向平行

C.同向平行D.無法確定

解析：選B根據(jù)題意可得ai+a?+…+a”=0,所以a?+…+a”=-a］，所以ai與a2

H-----Fa〃的位置關(guān)系為反向平行.

4.已知向量a與b不共線，~AB=a+mb,JC=/?a+b（w,//GR）,則7亍與，1共線的

條件是（）

A.〃？+〃=0B.m—n=O

C.〃?〃+1=（）D.1=（）

解析：選D由48=a+wb,AC=〃a+b（/〃，〃￡R）共線，得a+/〃b=%（〃a+b）,即

1=XnL

所以相〃一1=0.故選D.

〃?=2,

5.［多選］已知4B,C是三個(gè)不同的點(diǎn)，~OA=a-b,加=2a-3b,OC=3a-5b,

則下列結(jié)論正確的是（）

\JlC=2ABB.1^=~BC

C.AC=3~BCD.A,B,C三點(diǎn)共線

解析：選ABD由題意得，萬=^I-H=a-2b,AC=OC-OA=2a-4b,5C=

OC~OB=a~2b,所以7^=2%萬，故A正確；~AB=~BC,故B正確：~AC=2~BC,故

C錯(cuò)誤；由就=27萬可得就〃4為公共點(diǎn)，故力，B,。三點(diǎn)共線，故D正明.故

選ABD.

規(guī)律方法：三點(diǎn)共線問題可用向量共線來解決，但應(yīng)注意三點(diǎn)共線與向量共線的區(qū)別，

當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.

6.（2024?北京海淀期末）在中，點(diǎn)戶滿足?=2/一，^,貝女）

A.點(diǎn)P不在直線AC上

B.點(diǎn)尸在C8的延長線上

C.點(diǎn)P在線段8c上

D.點(diǎn)夕在8c的延長線上

解析：選B因?yàn)槿fA=2二方一就，得萬一，萬=7亍一就，所以市=,，所以

B,P,。三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在C8的延長線上，故選B.

\AD\

7.在△力8c中，點(diǎn)M,N分別是8C,ZC邊上的中點(diǎn)，線段4W,BN交于點(diǎn)D,則_一

\AM\

的值為()

解析：選c法一設(shè)而=2"，則7萬=2777=

I2"'+2"°)=t了+刀機(jī)由B,D,N共線可知，U+/l=l,2

22

2\AD\2

=,故__,故選C.

3\AM\3

\AD\2

法二可由三角形重心的性質(zhì)知_=乙,

\AM\3

謹(jǐn)記結(jié)論：重心的定義：三角形三條中線的交點(diǎn)稱為該三角形的重心.

重心的性質(zhì)：⑴設(shè)三用形重心為G,AB邊中點(diǎn)為D,GD：CG=1：2.

(2)三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等.

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，重心的縱、橫坐標(biāo)分別為三角形三個(gè)頂點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)的平均值.

重心的向量表示：如圖，若G為△/18C內(nèi)部一點(diǎn)，則豆7+,

+言=0=G為AABC的重心.

8.如圖，在△48C中，點(diǎn)。在8C邊上，且。。=2。8,點(diǎn)、E在4D

邊上，且力力=3,，則用向量加，，才表示而為()

A2萬十8芯B21B-SAC

9999

D汽7產(chǎn)

c淳'；*

解析：選BC￡=7?-lc=*75-7c=^(7c=^(7?+^5C)-

——?1AB+\AC-AB)——?2——?8——?.

AC=\_3'_AC=AB-AC,故選B.

399

9.(2024?大理模擬)如圖，在平行四邊形力5C。中，￡是對(duì)角線4C

上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),點(diǎn)F在8E上且為中點(diǎn)，若方=x~AB+)7萬，

則x+y=()

解析：選A???點(diǎn)F在BE上且為中點(diǎn)，且E是對(duì)角線4C上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則~AF

=1l?+1lE=1jB+1X2lc=115+，（^+jD）=515+，7D,：.x+y=\故選

2222323636

A.

10.［多選］已知點(diǎn)。為△力4c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且市+2同+3/=0.若石為力。的

中點(diǎn)，尸為8c的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.向量后與正可能平行

B.點(diǎn)P在線段E尸的延長線上

C.點(diǎn)尸在線段EF上

D.PE：PF=2：1

解析：選CD點(diǎn)尸為△川完?所在平面內(nèi)一點(diǎn)，￡為4C的中點(diǎn)，F(xiàn)為6c的中點(diǎn)，則后

+~PC=2"PEf~PB+~PC=2PF,而R7+2萬濟(jì)+3萬才=0,即（下7+正）+2（萬聲+記）

=0,于是得2兩+4喬=0,即喬=2喬，所以點(diǎn)P在線段E尸上，JLPE：PF=2：1.

所以點(diǎn)P,A,C不共線，則向量天才與不可能平行，A、B不正確，C、D正確.故選

CD.

11.［多選］已知在△XBC中，。為邊力。上的一點(diǎn)，且滿足而若P為線段8。

上的一點(diǎn)，且滿足力7=〃;力濟(jì)+〃/忑（m>0,〃>0）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃?+2〃=1B.小〃的最大值為1

12

C.〃?+〃=lD.〃,+9〃2的最小值為1

2

解析：選BD忑=，百=3而'，A~AP=m~AB-\-n~AC=m~AB+3/iJD,又

,:B,Pt。三點(diǎn)共線，m+3/7=1,A、C均錯(cuò)誤:Vm>0,n>0,；?7n+3〃=1223mnt即

W1,當(dāng)且僅當(dāng)〃1=3〃即m=1,〃=1時(shí)等號(hào)成立，B正確；由基本不等式得加+

1226

9/2（"+3"）=1當(dāng)且僅當(dāng)〃?=I?時(shí)等號(hào)成立，D正確.

2226

12.（2024?杭州?！鰯M）設(shè)ei，e?是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，J^=（a-l）ei4-e2,AC=

2Ae）-e,a>0,b>0,若月,B,。三點(diǎn)共線，則的最小值是（）

2ab

A.8B.6

C.4D.2

解析：選A因?yàn)?B,C三點(diǎn)共線，所以向量，濟(jì)，就共線，所以存在2￡R,使得下

=AAC,即（a—l）ei+e2=A（26ei—e?）,即（a—l）ei+e2=2勸e1一ie?.因?yàn)閑i,e?不共線，所以

a-I=2b）.,

消去2,得a+28=1.

1=一%,

因?yàn)閍>（）,/?0,所以2+1=1+Ja+2力）=4+a+4%4+2a-4Z?=4+2X2=8.

abbaba

當(dāng)且僅當(dāng)a=\6=1時(shí)，等號(hào)成立.

24

13.在邊長為1的正方形力4。。中，若酢=a,N?=b,7?=c,則|a—b+c|=.

解析：愴-1）十可=|/亍一就十肅|=7方+無？十言|=|/十萬百=2|萬加=2.

答案：2

14.（2023?酒泉三模）已知P是平行四邊形ABCD對(duì)隹線上的一點(diǎn)，且9=fAB+〃而，

其中力￡[0,1]，〃勺0,1],寫出滿足條件的7與〃的一組（2,“）的值.

解析：因?yàn)榫?7m+7方，若尸在4c上，則，啟，又訝聲=27三+〃，萬'，所

以i="；若P在BD上,即尸，B,。三點(diǎn)共線,，又7萬=/1^濟(jì)+〃而，所以/+〃=1.

答案：C'3）（答案不唯一，滿足2+“=1或2=〃即可）

15.（2023?南京三模）如圖，O是△力4c內(nèi)一點(diǎn)，且少才+萬1+2厲=/人

0,則產(chǎn)品=_______-

S^AOCAr---------

解析：取的中點(diǎn)O,連接OQ（圖略），則訪=；（57+示），又方才+/濟(jì)+2衣=

0,所以彷=一女，即O為CD的中點(diǎn).又D為AB的中點(diǎn)，所以5y女=卜^^=：535口

故S~『4.

S^AOC

答案：4

借題發(fā)揮：本題還可利用奔馳定理求解.

由市+萬1+2衣=0,貝/△例=1+1+2=4

S^AOC1

A

奔馳定理：P為△48。內(nèi)一點(diǎn)，則S/￥7+SB?兩+Su7^=()，

其中S,SB,Sc分別是△8PC,4CPA,△力P8的面積.給出證明如下:

延長4。交邊8c于點(diǎn)0,如圖所示.一

用S表示△力BC的面積，則S=S+S?+Sc，用加表示△8PC的邊〃。上的高，用〃表

示△力8c的邊8c上的高.

則0°二加=；8。京=SAP=AQ_PQ=I_PQ=1_S[=SB+Sc

所以二萬=S+Sc7].

AQh1S'AQAQAQSS'S

LJI.rI

2

用"表示的邊力。上的高，用飽表示△加生的邊/夕上的高.

噬琮啜所以須

:就.則萬寸下+弋上，即sN

=SH(~PB--PA)-\-SC(~PC-7>A),所以S*?后+S/J-P5+ScPC=O.

16.在直角梯形/也。中，N4=90。，N3=30。，.48=23,BC=2,點(diǎn)E在線段8

上，若芯=二方+〃7方，則〃的取值范圍是.

解析：由題意，得4)=1,CD=3,A~A~B=2~DC.

???點(diǎn)￡在線段C。上，???市=/l/(OW%Wl).

V義旅=茄+〃灰=76+2｝衣=亦鐘DE,：.2/1=1,即

Az

;.「o「

〃=；.???OW2W1,???OW〃W；,即"的取值范圍是L'2_.

答案：L2J

17.已知在△0/8中，點(diǎn)。在線段08上，且00=208,延長B

到C,使84=月C設(shè)"57=a,OB=b.

(1)用a,b表示向量而，萬不；o^—........0c

(2)若向量碇與市+k而共線，求A的值.

解：(1)因?yàn)锽A=AC,姑合題圖可知4為8C的中點(diǎn)，所以比=區(qū)+芯=赤+277

=OB+2(OA-OB)=20A-OB=2a-b.因?yàn)镺D=2DB,則OD=；OB=；b,所以DC

=^C-3p=2a-b-2b=2a-5b.

33

⑵因?yàn)槿f1+A萬不=a+/2a-f^QA+Da-3b.又向量友與751+4方丁共線,則

2k+1=2A

存在使得H+A?比=/1比，即(24+l)a-%b="2a-b),所以：=5解得上

3'"—3"’

=3.故左的值為3.

44

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1.了解平面向量基本定理及其意義.

學(xué)習(xí)2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

目標(biāo)

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

課

前基落實(shí)

回首教材

1.平面向量基本定理

條件ei，e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量

結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)如，22，使a=ii紅±2也

基底若布，立不共線，把運(yùn)」吐叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設(shè)a=（xi，yi）,b=g㈤，則

a+b=（xi+也，力+"）,a-b=（x1-x2,皿一竺）,xa=（Ax-i>zvi）>|a|=xy+y?.

（2）向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)4（xi，y），Bg，”），則4B=Cm—x1，產(chǎn)—F1），|AB\=（力—xi產(chǎn)+（以-1"A.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=（xi，yi）,b=（x"％）,其中bWO,則a〃b=xi9—x”i=0.

拓展教材（常見結(jié)論及應(yīng)用）

(1)Sab不共線，且，.a+4b=0,則1="=O.

xi+x2yi+m]

(2'2J.

(3)已知△48C的頂點(diǎn)/(乃,JI),8(x2,”)，C(X3,歹3),則△彳6C的重心G的坐標(biāo)為

X1+》2+%3y\+"+)勺]

[33J.

(4)當(dāng)且僅當(dāng)X2P2#()時(shí)，a〃b與等價(jià)，即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐

X2yi

標(biāo)成比例.

發(fā)掘教材

一、高考命題注重“教考銜接”(示例分析)

(2023?新課標(biāo)1卷)已知向量a=(l,l),b=(LT),若(a+2b)J_(a+

〃b),則(D)

考題品悟

A.14-;/=1R.)+//=-1

C.z/z=1D.Xf.i=-1

(人A必修②P60復(fù)習(xí)參考題6T8)已知向量a=(l,0),b=(l,l).當(dāng)2

追根溯源

為何值時(shí)，a+2b與a垂直？

在高考中，向量坐標(biāo)運(yùn)算很少單獨(dú)考查，常與向量數(shù)量積結(jié)合考查.高

發(fā)現(xiàn)啟迪考試題與教材習(xí)題的題目條件、考查角度完全相同，都是應(yīng)用向量共

線求參數(shù)，屬于容易題.

二、復(fù)習(xí)備考要強(qiáng)化“教材本位”

A組——教材信息的發(fā)掘訓(xùn)練

1.(人4必修②P29例4改編)已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,則b=()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(-1,2)D.(1,-2)

答案：B

2.(人B必修②P154例6改編)如圖，AB=2C4,'OA=a,'OB=b,

OC=c,則下列等式成立的是()

3

AA.c=3bk—1aB.c=a-'b

2222

C.c=2a-bD.c=2b-a

答案：B

3.(蘇教必修②P40Tl改編)已知向量a=(2,5),b=(九4),若@〃氏則4

解析：因?yàn)閍〃b,所以2X4—52=0,所以2=8.

8

答案:

5

4.(人A必修②P30例5改編)已知平行四邊形/8CD的頂點(diǎn)4(一1,一2),8(3,—1),

C(5,6),則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為

解析：設(shè)。(x,刃，則/=反，得(3—(-1),-1-(-2))=(4,l)=(5-x6-y),即

4=5-x

解得即0(1,5).

l=6-y,b=5,

答案：(1,5)

B組——迷點(diǎn)盲點(diǎn)的澄清訓(xùn)練

1.(忽視平面向量基本定理的成立條件)下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.a=(0,0),b=(l,—2)

B.a=(-l,2),b=(5,7)

C.a=(3,5),b=(6,10)

D.a=(2,-3),b=(4,-6)

答案：B

2.(求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，忽視分類討論)設(shè)點(diǎn)力(2,0),伙4,2),若點(diǎn)P在直線45上，且|布|

=2|JP|,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(3,1)B.(1,-1)

C.(3,1)或(1,-1)D.(3,1)或(1,1)

解析：選C???4(2,0),8(4,2),，，萬=(2,2),丁點(diǎn)尸在直線上,且萬|=27百,

???，濟(jì)=2/或「斤=一2?,故7萬=(1,1)或，萬=(一1,-1),故P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)或(1,

-1),故選C.

課

堂題點(diǎn)精研

題點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用

例I(2024??？谀M)已知力。，8E分別為△力〃。的邊AC,ACk

的中線，設(shè)而=a,=b,則/=()

A.4a+2bB：2a+'4b

3333

?424

Ca-b