重難點06利用導數(shù)證明不等式(舉一反三專項訓練)

【全國通用】

題型歸納

【題型I直接法證明不等式】..........................................................................2

【題型2移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式】...................................................................3

【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】.....................................................................4

【題型4分析法證明不等式】..........................................................................5

【題型5放縮法證明不等式】..........................................................................7

【題型6指對同構(gòu)】...................................................................................8

【題型7隱零點法證明不等式】........................................................................9

【題型8雙變量不等式的證明】.......................................................................10

【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】...........................................................11

【題型10導數(shù)新定義的不等式證明問題】............................................................12

命題規(guī)律

1、利用導數(shù)證明不等式

導數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，是高考的熱點問題，從近幾年的高考情況來看，導數(shù)中的不

等式證明常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點與極值、數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多

樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達到事半功倍的效果，

復習是要加強這方面的訓練.

方;描巧

知識點1導數(shù)中的不等式證明的解題策略

1.導數(shù)中的不等式證明的解題策略

(1)一般地，要證/(x)>g(x)在區(qū)間(。，份上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)Kx)=—g(x),通過分析廠(外在端點處的

函數(shù)值來證明不等式.若代。)=0,只需證明E(x)在伍，6)上單調(diào)遞增即可：若尸(6)=0,只需證明產(chǎn)(x)在(Q,

與上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題.

2.移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式

待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用導教

研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

3.分拆函數(shù)法證明不等式

(1)若直接求導后導數(shù)式比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構(gòu)造兩個函數(shù),從而找到可以傳遞

的中間量，達到證明的目標.在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(X)min至/(X)max怛成立，從而/(x)Wg(x)

恒成立.

⑵等價變形的目的是求導后簡單地找到極值點，一般地，d與山要分離，常構(gòu)造X”與Inx,Y與1的積、

商形式.便于求導后找到極值點.

4.放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式

某些不等式，直接構(gòu)造函數(shù)不易求其最值，可以適當?shù)乩檬熘暮瘮?shù)不等式+1—?SlnxS

x—1等進行放縮,有利于簡化后續(xù)導數(shù)式的求解或函數(shù)值正負的判斷；也可以利用局部函數(shù)的有界性進行

放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)進彳丁證明.

知識點2指對同構(gòu)

1.指對同構(gòu)證明不等式

在解決指對混合不等式時，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利月函數(shù)單調(diào)性

構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型(即不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題的速度.

找到這個函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.

⑴五個常見變形：xev=ev+,nx,-y=ex-'n\-^=elnx-\x+Inx=\n(xex),x-Inx=in.

舉一反三

【題型1直接法證明不等式】

【例1】(2025?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=ex-x2-ax-l(aER),且/(%)有兩個極值點％1，不(%1<小).

(I)求實數(shù)a的取值范圍；

2

(2)證明:/(x2)<(1-ln2).

【變式1-1](2025?江西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=e*-ad+%g(x)=%.

(1)當a=O時,證明:/(%)有且僅有一個零點;

(2)若曲線y=f(%)與y=g(x)相切.

(i)求4；

(ii)當％>0時，證明：/(X)>g(x).

【變式1-2](2025?河南許昌?三模)已知函數(shù)/(%)=收2+(a-2)x-lnx.

⑴若Q=1

①求/(%)的極小值；

②證明：當％>0時，/"(%)>翳；

(2)若/(幻的圖象與直線y=此-1切于點?J。)，求k的值.

【變式1-3](2025?山東臨沂?三模)已知/(幻=1,g(x)=Inx.

(1)證明：/(x)>gM+2；

(2)證明：函數(shù)/(x)與g(x)的圖象有兩條公切線.

【題型2移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式】

【例2】(2025?河南南陽?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/'(%)=*2,+(a-2)e*-2ax(aER).

(1)當Q=2時，求/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a—0時，求證：對任意的％G(0,+8),f(x)+4e*>2/+?恒成立；

【變式2-1](2025?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)fa)=1-4x+Qlnx(Q￡R)有兩個極值點.

(1)求實數(shù)a的取值范圍;

(2)記兩個極值點分別為%1，x2?證明：/(%i)+f(%2)+1。>Ina.

【變式2-2](2025?江西九江?三模)已知函數(shù)/1(%)=?2+(1-20)%-1%,其中QV0.

⑴討論八乃的單調(diào)性;

(2)當Q=-勺寸，證明：/(%)-x\nx<y+1-1.

【變式2-3](2025?甘肅白銀?三模)已知函數(shù)/?a)=lnx—x+a.

(1)若/(%)<0恒成立，求a的取值范圍;

(2)若OVaMl,證明：當時，/(%)+x<(%—l)ex-a+1.

【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】

【例3】(2025?河北秦皇島?三模)設(shè)函數(shù)f(x)=(%-2)ln%+l.

(1)求/(%)在點(1/(1))處的切線方程；

(2)證明:/(x)+ex>x+l.

【變式3-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=ax-lnx,a6R.

(1)若函數(shù)FQ)=/(%)-d有兩個極值點，求。的取值范圍；

(2)若曲線y=f(x)在點(3，/(3)史的切線與y軸垂直，求證：f(%)<ex4-

【變式3-2](2025?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=ge2*+(a-2)e*-2ax.

(I)若曲線y=f(%)在(0,a—I)處的切線方程為4ax+2y+l=0,求a的值及/(%)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若/(%)的極大值為/'(In2),求a的取值范圍.

(3)當a=0時，求證：/(%)+5ex—1>^xz4-xlnx.

【變式3-3](2025?河北邯鄲?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=%2+mg(x)=21nx+

(1)討論函數(shù)/'(%)的單調(diào)性：

(2)求函數(shù)g(x)的最小值；

(3)當a=2時，證明：/(x)lnx+>1.

【題型4分析法證明不等式】

【例4】(2025?福建廈門?三模)已知函數(shù)一(Q-2)工一2alnx,aER.

4

⑴討論的單調(diào)性;

(2)當Q>0時，證明：f(x)ZIna-Q?+1.

【變式4-1](2025?河北?二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+：—l.

(1)當Q=2時，求曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的切線方程：

(2)證明：當Q6(0,1)時，/(%)＞；—?.

【變式4-2](2025?河北邯鄲?二模)已知函數(shù)fa)=hur,。(為二懸？

(1)討論函數(shù)九0)=ax-/(x)的單調(diào)性;

(2)證明:x/(x)>g(x)-1.

【變式4-3](2024?安徽安慶?三模)已知函數(shù)/(%)=(1川%|)2-1+3+2,記/■'(%)是/(%)的導函數(shù).

(1)求/*'(1)的值；

(2)求函數(shù)八%)的單倜區(qū)間；

(3)證明：當時，0—1)卜T+Xn(l+：)]>lnx"na+l).

【題型5放縮法證明不等式】

【例5】(2025?山東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/0)二”>12一若％+*W絲2),其中山工0.

(1)求曲線y=/(%)在點(2J(2))處切線的傾斜角；

(2)若函數(shù)/(%)的極小值小于0,求實數(shù)m的取值范圍；

(3)證明：2e*—2(X+l)lnx—%>0.

【變式5-1](2025?四川成都一模)已知函數(shù)/?(%)=￡.

(1)求，0)的極值；

(2)若/(%)<2kx+/d亙成立，求k的取值范圍;

⑶證明W:就-(占5”)

【變式5-2](24?25高二下?廣東江門期末)已知函數(shù)/a)=x-ln(l+x).

(1)求函數(shù)f(x)在原點處的切線方程；

(2)討論函數(shù)z(x)=/-(x)-1nix2(neR)的單調(diào)區(qū)間：

(3)證明：[1+Q)°]x[1+2xx…x|l+nxQ)^1]<e4.

【變式5-3](24?25高二下?浙江?期末)已知函數(shù)/?(%)=2%+三一1.

e

(1)判斷f(x)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間;

(2)當Q>0時，若/(%)之一Q+3恒成立.試求出a的取值范圍;

(3)若a=2,孫=1,且%葉1=/(%)，證明:+1+???+<—

/(X1)/(X2)/(x2)/(xj)f(xn+i)f(xn)4"

【題型6指對同構(gòu)】

【例6】(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/'(%)=Inx+ax+l,aeR.

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)當aW2時，證明：^<e2x.

【變式6-1](2024?黑龍江雙鴨山模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=lnx+：—Q(x+l)(a€R).

(1)當a=-l時，討論/'(x)的單調(diào)性：

(2)若3V%2)是f(x)的兩個極值點，證明：/(%2)-/(%1)<-4.

【變式6-2](2024?陜西安康?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/'(%)=ex-ex-2ax(QeR).

(1)當a=2時，求曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程；

1,X=0Xj.7

(2)若函數(shù)g(x)=y-e-xn,求證：1<gW<.

■2x,

【變式6-3](2024?湖北荊州?三模)己知函數(shù)/?(%)=&'-aQnx+x),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a=1時，求曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的切線的斜截式方程；

(2)當a=e時，求出函數(shù)/(%)的所有零點;

(3)證明：x2ex>(x+2)lnx4-2sinx.

【題型7隱零點法證明不等式】

【例7】(23-24高三下?河南?階段練習)已知函數(shù)f(x)=xex—3ex.

(1)求f(x)的極值;

(2)若g(x)=/(x)-x+Inx在41]上的最大值為人求證：一6e-3</(A)<-7e-4.

【變式7-1](23-24高三下?青海海南?開學考試)已知函數(shù)/'(%)=碇1—%-1.

⑴討論/?㈤的單調(diào)性;

(2)證明:當aN1時，/(x)+x-\nx>.

【變式7-2](2024?陜西安康?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=亍，gM=Inx.

(1)求f(x)的極值；

(2)證明：xg(x)+2>ex/(x)-:

【變式7-3](2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)fa)=lnx+ax+l,QER.

⑴討論的單調(diào)性;

(2)當a42時，證明：^<e2x.

【題型8雙變量不等式的證明】

【例8】(2025?海南?？?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(x+m)lnx,當％=1時，/(%)的切線斜率k=3.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知若僵修=2,求證：若[1,2],則2x+1”[3,4].

【變式8-1](24-25高三下?江西?階段練習)已知函數(shù)/(%)=m戊一收2一x+a(aeR).

(1)當a=0時，求曲線y=八外在點(e,f(e))處的切線方程；

(2)當Q=1時,求/(%)的零點個數(shù)；

(3)若/'(%)有兩個極值點<%2)，證明:當,N1時,ln%i+21nx2>1+A.

【變式8-2](2025?天津?模擬預(yù)測)已知函數(shù)g{x}=Inx+x.

(I)求函數(shù)g(x)在(l,g(D)處的切線方程；

(2)若/i(x)=/(x)-agO)，

(i)當a=l時，求函數(shù)h(x)的最小值；

(ii)若八(%)=0有兩個實根與，檢，且％―必，證明：爐收-2>」_

【變式8-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/a)=Q%—?,Q>0.

(1)若/'(X)存在零點，求〃的取值范圍；

(2)若%1，%2為f(x)的零點，且證明：a(%i+%2)2>2.

【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】

【例9】(2025?海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)己知函數(shù)fa)=kx-ln(x+l).

(1)證明：當k=l時，/OONO恒成立；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)數(shù)列斯=忌7亍(九6/7*),{%}的前幾項和為5“，證明：5”>擊(九6").

【變式9-1](2025?湖北武漢?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=xexT-a.

(1)若QER,討論/"(%)的零點的個數(shù)；

(2)若a為正整數(shù)n,記此時f(x)的唯一零點為證明：

⑴數(shù)列(事〕是遞增數(shù)列；

(ii；2(Vn+1—1)<—+—+-??+—<|(n+l+Inn).

X]X2xn2

【變式9-2](2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(幻=1^+：-1在(0,+8)上的最小值為0

(1)求實數(shù)。的值：

(2)對任意的71WN*,數(shù)列汝八｝滿足%+1=竽+1,且由=[，證明：當0大于1時，Qn+1也大于1:

JJn

(3)在(2)的條件下，若又為數(shù)列｛斯｝的前九項和，求證：Sn<n+1

【變式9-3](2025?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/1&)=1心+1)-第,aER.

(1)討論/1(%)的單調(diào)性;

(2)當a=g時，正項數(shù)列｛%｝滿足：cq=1,an+1=/(%).

①求證：一%+1,即<2斯+1-%<0：

②求證：當九22時,—^―<a<—

4-JLn4

【題型10導數(shù)新定義的不等式證明問題】

【例10】(2025?陜西榆林?模擬預(yù)測)帕德近似是法國數(shù)學家亨利?帕德發(fā)明的，用有理多項式近似特定函數(shù)

的方法.給定兩個正整數(shù)犯“函數(shù)/(外在％=0處的[犯詞階帕德近似定義為：/?(%)=霖，其中PmG)和

Qn(%)分別是m和n次多項式,且滿足尸(0)=/?'(0),八0)=/?"(0),r“(0)=/'(()),???,f(")(0)=a)(0).其中

ItV

yU)==/6)]j(4)a)=,〃6)],…j(n)a)為f(，T)(x)的導數(shù).已知/(%)=皿*+1)在

x=0處的[1,1]階帕德近似為RQ)=焉.

(1)求實數(shù)a,b的值，利用/?(%)的口1]階帕德近似估計lnl.2的近似值(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)：

(2)當-1VXW0時，f(x)WkRG)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)證明：當％>0時，爐>號.

16

【變式10-1】(2025?上海寶山二模)定義在。上的可導函數(shù)y=f(無)，集合4〃,m)={/(%)氏(項)=kfXiGD,

,?二1,2,1〃1,〃[為正整數(shù)},其中FQ)=/(“)+/'(X)稱為/。)的自和函數(shù)，勺稱為y=/(均的同著點.已知

f(x)=aex+bx+csinx(a,b,cER).

(1)若Q=c=0,8=2,D=R,f(x)e求m的值及y=f(x)的固著點；

(2)若a=0,b=l,c=1,0=[s,t](s>0),F(x)是/(x)的自和函數(shù)，且F(x)在。上是嚴格增函數(shù)，求t-s的

最大值；

(3)若匕=-l,c=0,。=(0,+oo),f(x)GA(o,i)，且￡是、=/(%)的固著點，求a的取值范圍，并證明：

【變式10-2](2025?河南?二模)設(shè)gO)-axlnx+b-/(a,bGR),定義/'(x)=富為以")的“NQ)函數(shù)”.

(1)設(shè)/(幻為g(x)的“N(l)函數(shù)"，若Q=1,b=-2,求曲線y=/(x)在點(1J(1))處的切線方程；

(2)設(shè)f(X)為g(x)的“N(0)函數(shù)”.

(i)若％=1是/'(%)的極小值點，求b的取值范圍；

(ii)若a=2,方程/'(%)=0有兩個根陽，x?且與V%求證：/(皿)+21n2-2.

2?5

【變式10-3］(24-25高三上?上海?期中)定義：如果函數(shù)丫=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間切上存在實數(shù)與(Q<

x<b),滿足/(%)=△簪旦那么稱函數(shù)y=/(x)是區(qū)間［Q,b］上的“平均值函數(shù)”，勺是它的一個均值點.

0o-a

例如y=|%|是區(qū)間［一42］上的、、平均值函數(shù)”，0是它的均值點.

⑴己知函數(shù)y=3Q)、y=f2W..判斷/*［a)=f2{x}=sinz-1是否為區(qū)間卜曷］上的“平均值函數(shù)”,

并說明理由；

(2)設(shè)9(%)=1“2+”-4是區(qū)間［-2,t］上的“平均值函數(shù)”，1是函數(shù)y=g(x)的一個均值點，求所有滿足條件

的整數(shù)數(shù)對(k,t)；

(3)若ZiQr)=ln口是區(qū)間"avb)上的“平均值函數(shù)”,冗是它的一個均值點,求證：抽。<嘉

過關(guān)測試

一、單選題

1.（2025?河南?二模）已知a=esMi-i,d=sinl,則（）

A..z:<b<l<aB.7<a</?<lC.\<b<a<1D.bVgVaCl

2222

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知0=比5,6=；1=；0則（）

567

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

3.（2024?四川南充?模擬預(yù)測）設(shè)a>0,b>0,且a+b=l,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①log2a+log2b>-2②2a+2b>2y/2③a+\nb<0

A.0B.1C.2D.3

4.（2024?四川南充?模擬預(yù)測）設(shè)。>0力>0,且。+6=1,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①log2a+log2b二-2②2a+2b>2x/2③a+\nb<0④sinasinb<:

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=Inx+1-QX有兩個零點打,%2，且<%2，則下列命題正

確的是（）

A.a>1B.勺+冷V：

C.D.%2—X1>^-1

6.（2024,安徽?三模）已知實數(shù)勺，孫》3滿足=e于一1=不希[=則（）

A.%i<x2<x3B.xY<x3<x2

C.x2<x3<xYD.x2<x1<x3

7.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知0<打<不<1,下列不等式恒成立的是（）

XlX2nxxnx

A.x2e<x）eB.x2^i>i^2

x,

C.x^inxi<x2\nx2D.e>In%]

8.（2024四川瀘州二模）已如；v>0,er+lny=1,給出下列、不等式

①x+lnyvO；②e*+y>2；?lnx4-ey<0；?x+y>1

其中一定成立的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.（2025?湖北恩施?模擬預(yù)測）下列不等關(guān)系中，正確的是（）

A.cosO.l<lOsinO.lB.In3>ln24--

2

C.Infl+-）>—D.ln-<-

\n/n+1