重難點13三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用(舉一反三專項訓(xùn)練)

【全國通用】

題型歸納

【題型1三角函數(shù)的圖象識別與應(yīng)用】.................................................................3

【題型2三角函數(shù)的圖象變換問題】...................................................................4

【胭型3三角函數(shù)的定義域、值域(最值)問題】.....................................................5

【題型4含三角函數(shù)的二次函數(shù)模型】.................................................................5

【題型5含絕對值的三角函數(shù)模型】...................................................................7

【題型6④的取值與最值(范圍)問題】...............................................................7

【題型7三角恒等變換與三角球數(shù)綜合1..........................................................................................................8

【題型8三角函數(shù)新定義問題】.......................................................................9

命題規(guī)律

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點和熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，主要從以下幾個方

面進行考查：

(1)三角函數(shù)的圖象，涉及三角函數(shù)圖象變換問題以及由部分圖象確定函數(shù)解析式問題，主要以選擇題、

填空題的形式考查，試題難度較低；

(2)利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來求解三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性、零

點等問題，主要以選擇題、填空題的形式考杳，試題難度中等.

(3)二角恒等變換的化簡求值是高考命題的熱點，常與二角函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合在一起綜合考管，如

果單獨命題，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較低；如戾三角恒等變換作為工具，將其與三角函數(shù)

及解三角形相結(jié)合來研究最值、范圍問題，多以解答題形式考察，此時要靈活求解.，試題難度中等.

方;戰(zhàn)巧

知識點1三角函數(shù)的圖象變換視律

1.平移變換與伸縮變換法則

(1)平移變換

函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對x作的變換；

(2)伸縮變換

①沿x軸伸縮時，橫坐標(biāo)x伸長(Ovcwl)或縮短(①>1)為原來的《(倍)(縱坐標(biāo)y不變)；

②沿)，軸伸縮時，縱坐標(biāo)y伸長(A>1)或縮短(0"<1)為原來的A(倍)(橫坐標(biāo)x不變).

2.三角函數(shù)的圖象變換問題的求解方法

解決三角函數(shù)圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下:

(1)定函數(shù):一定要看準(zhǔn)是將哪個函數(shù)的圖象變換得到另一個函數(shù)的圖象；

(2)變同名:函數(shù)的名稱要變得一樣；

(3)選方法:即選擇變換方法.

知識息2—數(shù)的單調(diào):性問題的求解策略

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先化簡成)=Asin(sx+q)形式，再求尸Asin(①x+3)的單調(diào)區(qū)間，只

需把sx+p看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把⑴化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某?部分確定參數(shù)3的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，

利用特值驗證排除法求解更為簡捷.

知識點3三角函數(shù)的值域與最值問題的求解策略

1.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：

(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為產(chǎn)Asin&x+p)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinr=f,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；

(3)形如,y=?sin,vcos.v+Z?(sinx±cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)片sindcosx,化為關(guān)于i的二次函數(shù)求值域(最值).

2.求三角函數(shù)最值的基本思路

(1)瘠問題化為產(chǎn)Asin(①x+勿)+8的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.

⑵洛問題化為關(guān)于sinx或cosx的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.

(3)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性從而求解.

知識點4三角函數(shù)的周期慢、對稱性、奇偶性的求解策略

1.二角函數(shù)周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函數(shù)的周期時，可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心的求解策略

⑴對于可化為/tr)=Asin((ar+w)(或yU)=Acos((ox+0))形式的函數(shù)，如果求/U)的對稱軸,只需令(ox+(p=y+

k#RZ)(或令sx+(p=k7i(kWZ))、求x即司I如果求/U)的對稱中心的橫坐標(biāo),只需令公計夕=憶?；铩?)(或

令(DX+(/>=g+kn(k￡Z)),求x即可.

Lrr

(2)對于可化為,*x)=4tan(①x+8)形式的函數(shù)，如果求./U)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令①x+e=丁(女eZ)),

求工即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在產(chǎn)AsiMs+夕)中代入尸0,若產(chǎn)0

則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

若產(chǎn)4sin(@x+9)為奇函數(shù)，則(p=kn(kEZ)：若產(chǎn)AsinQx+e)為偶函數(shù)，則伊二，+kit(kGZ).

舉一反三

【題型1三角函數(shù)的圖象識別與應(yīng)用】

【例I】(2025?天津?二模)函數(shù)f(x)=cosx+2cos2x+3cos3》的大致圖象可能是()

【變式1-1】(2025?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測)如圖，A,8是直線y=1與函數(shù)/(X)=cos(cox+8)圖象的兩個

交點，若|力8|=：,則/'(>)=()

O

【變式1-2](2025?天津武清?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/?(%)=3閨，g(x)=sinx,某函數(shù)的部分圖象如圖所示,

則該函數(shù)可能是()

A.y=f(x)+g(x)B.y=f(x)-g(x)

C.y=fMgM

【變式1-3]（2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測）函數(shù)/a）=simrx+列萼+/一%的圖象大致為（）

【題型2三角函數(shù)的圖象變換問題】

【例2】（2025?海南?模擬預(yù)測）先將函數(shù)/（%）=sin（釵+力的圖象向右平移汐最小正周期，再將所得圖象

上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）=（）

A.sin（2x—

C.sin（2x+于）D.sin（8x+§

【變式2-1]（2025?湖北恩施?模擬預(yù)測）要得到函數(shù)y=sinQx+的圖象，只要將函數(shù)y=cos卜》一昌）的

圖象（）

A,向右平移3個單位B.向左平移答個單位

C.向右平移登個單位D.向左平移￡個單位

2424

【變式2-2]（2025?云南紅河?模擬預(yù)測〉將函數(shù)/'（%）=而。-0）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的

然后再向左平移各個單位長度后，得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則w的值可以為（）

26

A.--B.-C.?D.三

6632

【變式2-3】（2025?江蘇南京?二模）把函數(shù)y=cosx圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腫倍（縱坐標(biāo)不變），

再將圖象上所有的點向右平移]個單位長度，得到函數(shù)y-八切的圖象，則/?（%）-（）

6

A.cos（2x-B.cos（2A-C.cos-^）D.cos-7^）

【題型3三角函數(shù)的定義域、值域（最值）問題】

【例3】（2024.廣東湛江.二模）或數(shù)/（幻=4sin（5x—勻在[of]上的值域為（）

A.[-2,2]B.[-2,41C.[-2b,4]D.[-2A2]

【變式3-1]（2024?青海?二模）已知函數(shù)/'（%）=sin（x-已）的定義域為[m,，]（m<n）,值域為[0,1],則九-m

的取值范圍是（）

A?[刊B-[?T]C-[?T]D.M

【變式3-2]（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）已知函數(shù)/（%）=As\n（cox+樞）（力>0,o）>0,\（p\<]的最大值為2,

其圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為》且/'（X）的圖象關(guān)于點（-已0）對稱，則/⑺在區(qū)間[0局上的最

小偉為（）

A.-V3B.-1C.-2D.0

【變式3-3]（2024.浙江紹興?三模）己知函數(shù)/（、）=4心+9）（玉〈中〈0）的圖象關(guān)于點（30）對稱，若

當(dāng)用時，f（x）的最小值是-1,則m的最大值是（）

A.一2B.一空C.史D.E

612126

【題型4含三角函數(shù)的二次函數(shù)模型】

【例4】（24-25高一上?安徽合肥?階段練習(xí)）設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)/（%）=-ZsiMx-asinx+1.

（1）當(dāng)a=l時，求函數(shù)/（%）的值域：

（2）若函數(shù)在區(qū)間（O,TT）上有兩個不同的零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【變式4-1](24-25高一下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2V3cos2(y-%)+2sin(n-x)cosx-V3.

(1)求/(%)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵將f。)的圖象向左平移端個單位后，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，

得到y(tǒng)=g(x)的圖象，若或€[0,n],近g(x)+sin2x<2m2-3m,求m的取值范圍.

【變式4-2](24-25高一上?甘肅?期末)設(shè)函數(shù)/(%)=cos?%一2asin%+a+3(aWR).

(1)求函數(shù)f(x)在R上的最大值；

(2)若不等式f(x)>0在[。弓]上恒成立，求a的取值范圍；

(3)若方程/(無)=5在(0,2n]上有四個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍.

【變式4-3](24-25高一上?廣東廣州?期末)設(shè)函數(shù)/Xx)=sin2%+cosx+a.

(1)若1Wf(x)W日對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：

(2)若關(guān)于x的方程f(*)-0在[3用有實數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍.

【題型5含絕對值的三角函數(shù)模型】

【例5】（2024?西藏拉薩?一模）若函數(shù)f（%）=|sin3%|+sin|3%|（3>0）在上恰有9個極值點,則3的

取信范圍是（）

A.（等芳］B.［等,+8）C.等］D.呼芳）

【變式5-1］（2024?陜西寶雞?三模）己知函數(shù)f（x）=cosx+卜唱，則下列結(jié)論正確的是（）

A./（%）在區(qū)間（0弓）單調(diào)遞增

B./（%）的圖象關(guān)于直線x=ir對稱

C./⑺的值域為（0*）

D.若關(guān)于％的方程f（x）=a在區(qū)間［0,2司有實數(shù)根，則所有根之和組成的集合為｛兀2Q

［變式5-21（2024?湖南長沙?二模）已知函數(shù)/'（幻=|tan（6ox4-（p）|>0,0<（/><的最小正周期為2ir,

直線％=9是/（%）圖象的一條對稱軸，則/■（%）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（2k",2kir+g］（kWZ）

B.^2/CIT-g,2kir-g］（kEZ）

C.（2/nr-2kit—（/c6Z）

D.（2/cn-^2/cn+y］（/ceZ）

【變式5-3］（2024?全國?三模）若偶函數(shù)/1（x）=|COS（（JX+（p）\4-|sin（（ox+（p）\（3>0,\<p\<的最小正周

期為;,則（）

A.3=2B.0的值是唯一的

C.fO）的最大值為遍D./'（*）圖象的一條對稱軸為工=：

【題型6”的取值與最值（范圍）問題】

【例6】（2025?江蘇蘇州.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/'（%）=sin（tox+（p'）（a）>0,\（p\<^）,/（一：）=0,%=:為f（x）

圖象的對稱軸，且/'（'）在（高,工）上單調(diào)，則儂的最大值為（）

loOO

A.11B.9C.7D.5

【變式6-1］（2025?貴州黔南?二模）若函數(shù)/■（x）=cos（x—（+。為偶函數(shù)，則8的值可以是］）

A5npv4nTT

A.—B.—C.ITD.-

632

【變式6-2］（2025?山東青島?一模）已知函數(shù)/（%）=sin（tox4-（/>）（6）>0,\（p\,x=一三為f（x）的零點,x=:

為y=/（%）圖象的對稱軸，且八刈在信，工）單調(diào)，則3的最大值為（）

A.13B.11C.9D.7

【變式6-3］（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（￡）=2cos（3+］（3>0）在（0刀）有且僅有2個極

值點，且在色,詈）上單調(diào)遞增，則3的取值范圍為（）

【題型7三角恒等變換與三角函數(shù)綜合】

【例7】（2025?山東濱州?二模）已知函數(shù)/（%）=sin2x-V5cos2%，則（）

A.要得到f（x）的圖象，只需將y=sin2"勺圖象向右平移g個單位

B.f（%）的圖象關(guān)于點管,0）對稱

C.”外在區(qū)間（一工，一自上單調(diào)遞減

D.若4x2?且fQi）-/（x2）--2,則bj-的最小值為］

【變式7-1］（2025?天津?模擬預(yù)測）已知/a）=sin2（5：+f—cos2（3：+93>0）.給出下列判斷：

①若/（%）=1,/（X2）=T，且置一Xzlmln=4則3=2：

②若/（均在［0,2旬恰有9個零點，則3的取值范圍為探，野

③存在3E（0,2）,使得/（%）的圖象向右平移:個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱；

6

④若/?（%）在卜?上是增函數(shù)，則3的取值范圍為（0,1］.

其中，判斷正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式7-2］（2025?湖北?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=5皿3%+853武3>0）的最小正周期為軟，則下列說法

正確的是（）

A.3=1

B.f(x)關(guān)于點Q,0)對稱

C.將函數(shù)/(%)的圖象向右平移：個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于原點對稱

D.“%)在區(qū)間卜黯]上單調(diào)遞增

【變式7-3](2025?貴州黔東南?模擬預(yù)測)若函數(shù)f(x)=V5sin2x+2cos2》,則()

A./(%)的最小正周期為2n

B.〃%)的圖象關(guān)于直線x=g對稱

C./'(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為prr+2欠n+y](keZ)

D./(x)的圖象與x軸的兩個交點A,8之間的最小距離是T

【題型8三角函數(shù)新定義問題】

【例8】(2025?江西?一模)若函數(shù)/(切的定義域內(nèi)存在修，切(打不外)，使得八勺)；八小)=1成立，則稱/(外

為“完整函數(shù)”.已知/(%)=去也即一》一綱$(3：+等(3>0)是件當(dāng)上的“完整函數(shù)”，則3的取

值范圍為()

A?圈3]u]￡,4)B.[￡,3]U降+8)

C.僂,+8)D.[y,3]u[4,+co)

【變式8-1](2025?天津河西?模擬預(yù)測)已知角a的頂點與原點重合，它的始邊與工軸的非負半軸重合，終邊

過點(a,b)(ab工0,a芯b),定義：Ti(a)=鬻，對于函數(shù)/(幻=Fi(x),有下列四個說法：

①函數(shù)八%)的圖象關(guān)于點弓,0)對稱；②在區(qū)間仁弓)上單調(diào)遞增；

③將函數(shù)fCv)的圖象向左平移3個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象：

④方程/(無)=：在區(qū)間血河上有詼個不同的實數(shù)解.

以上四個說法中，正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【變式8-21(24-25高一下?安徽?階段練習(xí))定義在。上的函數(shù)f(x),如果滿足：存在常數(shù)M>0,對任意％eD,

都有|/(%)|<M成立，則稱/'(%)是D上的有界函數(shù).

⑴試判斷函數(shù)，(%)=百5訪%+85%在實數(shù)集/?上是不是有界函數(shù)？若是，給出證明；若不是，請說明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=2cos(2%-以一4在替3上是有界函數(shù)，求M的最小值.

【變式8-3](24-25高一下?上海?期中)定義有序?qū)崝?shù)對(a,b)的“跟隨函數(shù)”為/(無)=asinx+bcosx(xGR).

(1)記有序數(shù)對(。,2)的“跟隨函數(shù)”為/(%),若/(均為偶函數(shù)，求a的值；

(2)記有序數(shù)對(0,1)的“跟隨函數(shù)”為/(%),若函數(shù)g(x)=fM+V3|sinx|,xe[0,2訶,請畫出函數(shù)y=g(x)

的圖像，并求出與直線y=k有且僅有四個不同的交點時，實數(shù)攵的取值范圍；

⑶記有序數(shù)對(75,0)的“跟隨函數(shù)"y=hM，若F(x)=h2(x)+ya-hQ)-1在(0,2025TT)上恰有奇數(shù)個零

點，求實數(shù)a與零點的個數(shù).

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025?河北?模擬預(yù)測)函數(shù)y=cosx+lnx的部分圖象大致為(

2.(2025?天津紅橋?模擬預(yù)測)函數(shù)/(乃=sin(2x),x€R的最小正周期是()

A.2nB.nD-；

3.（2025?江蘇揚州?三模）當(dāng)x￡[0,2n]時，曲線y=sin2x與y=2sin（2x-》的交點個數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.8

4.（2025?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）已知函數(shù)”而他），既有最小值也有最大值，則實數(shù)m

的取值范圍是（）

A?展）B.[|H]C,（^]>（/嗚+8）

5.（2025?江西吉安?模擬預(yù)測）如圖函數(shù)f（x）=4sin（3X+◎）（4,3>0,|初<；）的圖象過點

（0,-三點，則3的值為（）

6.（2025?廣東佛山?三模）將函數(shù)/?（幻=48$作+9的圖象向右平移；個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.g（x）是奇函數(shù)B.g（x）的圖象關(guān)于直線》對稱

C.g（x）在昌，，上的值域為[一2,4]D.g（x）在[。，[上單調(diào)遞增

7.（2025?天津北辰?三模）記max{a,b}為a,b中的較大值，則關(guān)于函數(shù)/'（%）=max{sinx+百cosx,sinx-

百cos%}有如下四個命題：

①/（外的最小正周期為2ir；

②/（%）的圖象關(guān)于直線x=:對稱；

③八切的值域為「?？]：

④/（外在區(qū)間弓,小上單調(diào)遞增.

其中真命題的個數(shù)為（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

8.(2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)考慮函數(shù)/?(、)=」一，記函數(shù)％/幻=鏟/其中田為％的整數(shù)部分，定

COSXy11TTZAfIJ

義為gm(x)在［九一1,〃)上滿足1。山(幻一=y的根的個數(shù)，則以下說法正確的有()

A.9血0)的值域為(-8,+8)B.2?=iN(l,i,0)=6

C.9血(%)為周期函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng);為有理數(shù)D.N(em,3)=0對九=0,1，…,99成立

二、多選題

9.(2025?山東臨沂?三模)已知函數(shù)f(x)=V5sinxcosx+siMx-g,則()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為IT

B.%是/(%)的一條對稱軸

6

C.函數(shù)/(%)在(0,9上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/(x)圖象與直線x—3y=0有3個交點

10.(2025?山東泰安?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=2V5sin(3%+*)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最

高點，B.C為圖象與％軸的交點，點3(-,0),且△ABC為正三角形，則下列說法正確的是()

B.當(dāng)%W(0,2),函數(shù)f(x)的值域為(75,2致］

C.將函數(shù)/(%)的圖象向右平移［個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象

D.若f(Xo)=哼且&€(-￡()，則3(9。+爭=-5

11.(2025?山東泰安?模擬預(yù)測)將函數(shù)/(幻=35訪(弓-29圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的5縱坐

標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列結(jié)論正確的為()

A.函數(shù)丫=/1一9為偶函數(shù)

B.直線X=音口是函數(shù)g(x)圖象的?條對稱軸

C.若％w（o,9,則g（x）的值域為（一苧,3］

D?［一答，一詈］是函數(shù)。（外的一個單調(diào)遞減區(qū)間

三、填空題

12.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測）若函數(shù)/"。）=25也（3%-》（3>0）在區(qū)間（0,〉上單調(diào)，則3的取值范圍

為

13.（2025?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/