重難點20數(shù)列的綜合應(yīng)用

【全國通用】

題型歸納

【題型1等差、等比數(shù)列的綜合問題】............................................................2

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題】.................................................................3

【題型3數(shù)列的通項公式的求解】.................................................................4

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】......................................................5

【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】..............................................................6

【題型6數(shù)列求和問題】.........................................................................7

【題型7數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】...................................................................8

【題型8數(shù)列與其他知識的交匯問題】............................................................10

【題型9數(shù)列中的新定義、新情景問題】.........................................................11

命題規(guī)律

1、數(shù)列的綜合應(yīng)用

數(shù)列是高考的重點內(nèi)容和熱點內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾

年的高考情況來看，數(shù)列的綜合應(yīng)用問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的交匯問題，是歷年高考的熱點

內(nèi)容，以解答題的形式考查，一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項公式、

前〃項和公式等.

從近幾年的高考情況來看，，高考壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景問題也是高考的一個重要趨勢，

這類問題綜合性強，難度大，需要學(xué)會靈活求解?.

方;描巧

知識點1等差、等比數(shù)列的交匯問題的解題策略

1.等差、等比數(shù)列的交匯回題的求解思路：

(1)等差與等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，利用方程思想和通項公式、前〃項和公式求解，求解時注意對性質(zhì)

的靈活運用.

(2)數(shù)列的綜合運算問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方法：尋找

通項公式，利用性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化.

知識點2數(shù)列的數(shù)學(xué)文化問題

1.數(shù)列的數(shù)學(xué)文化問題的解題步驟：

(1)讀懂題意：會脫去數(shù)學(xué)文化的背景，讀懂題意；

(2)按造模型：根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；

(3)求解模型：利用數(shù)列知識求解數(shù)列的基本量、通項公式、前“項和等，解決問題.

知識點3數(shù)列的新定義、新情景問題

1.數(shù)列的新定義、新情景問題的求解策略

(1)新定義問題：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的

要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.

⑵新情景問題:通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的

情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到

靈活解題的目的.

知識點4數(shù)列的綜合應(yīng)用

1.數(shù)列與不等式交匯問題的解題策略

(1)解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分

析法、放縮法等：若是含參數(shù)的不等式恒成立、有解問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.

(2)數(shù)列與不等式交匯問題的答題模板

第一步：根據(jù)題目條件，求出數(shù)列的通項公式；

第二步：根據(jù)數(shù)列項的特征,選擇合適的方法(公式法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項相消法、錯位相減法等)求和：

第三步：利用第二步中所求得的數(shù)列的和，證明不等式或求參數(shù)的范圍；

第四步：反思解題過程，檢驗易錯點，規(guī)范解題步驟.

2.數(shù)列與函數(shù)交匯問題的解題策略

數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及解題策略

(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題?般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.

(2)己知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前〃項和公式、求和方法等

對式子化簡變形.

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性.

3.子數(shù)列問題的解題策略

子數(shù)列是數(shù)列問題中的一種常見題型，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為子數(shù)列問題一般適用r某個數(shù)列是由兒個有規(guī)律的

數(shù)列組合而成的，具體求解時，要搞清楚子數(shù)列的項在原數(shù)列口的位置，以及在子數(shù)列中的位置，即項不

變化，項數(shù)變化，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸以及分類討論、函數(shù)與方程的思想，能很好地考查學(xué)生的思維.

4.數(shù)列中結(jié)構(gòu)不良題的解法

(1))先定后動，先對題目中確定的條件進行分析推斷，再觀察分析“動”條件，結(jié)合題干要求選出最適合自

己解答的條件求解.

(2)最優(yōu)法，當(dāng)題干中確定的條件只有一個時，要根據(jù)自己的知識優(yōu)勢和擅長之處選擇更適合自己的條件進

行解答.

舉一反三

【題型1等差、等比數(shù)列的綜合問題】

【例1】(2025?湖南永州?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為9,公差dHO,SS5=70,且。2,4，

的成等比數(shù)列，則。6=（）

A.30B.32C.36D.40

【變式1?1】（2025?湖北黃岡?三模）給出條件的三邊既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列；q:AABC為正三

角形；則P是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-2]（2025?全國?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝滿足a2n=2%+1,且勺+1,a2+l,。3+3為等

比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若4=求數(shù)列｛4｝的前n項和Sn.

【變式1-3]（2025?遼寧大連?一模）已知首項相同的等差數(shù)列｛%｝的公差與等比數(shù)列｛九｝的公比大小相等,

Hfcn+1>bn,^-=|，a4-b2=5.

（1）求數(shù)列｛冊｝和｛b｝的通項公式；

（2）令G=冊以，求數(shù)列｛cn｝的前n項和〃?

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題】

【例2】（2025?江蘇宿遷?模擬預(yù)測）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立

春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若

小寒、雨水、清明日影長之和為36尺，前八個節(jié)氣日影長之和為92尺，則谷雨日影長為（）

A.15B.16C.17D.18

【變式2-1】（2025?陜西漢中?模擬預(yù)測）鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕

成每層均同球心的數(shù)層可自由轉(zhuǎn)動的空心球，空心球的球面厚度不計.為保證鬼工球的每一層均可以自由轉(zhuǎn)

動，要求其從最內(nèi)層起，每層與其外一層球面的間距構(gòu)成首項為1mm、公差為4mm的等差數(shù)列，若一個鬼

工球最外層與最內(nèi)層的半徑之差為190mm，則該鬼工球的層數(shù)為（）

A.9B.1（）C.11D.12

【變式2-2］（2025?云南昆明?模擬預(yù)測）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內(nèi)某種

單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個花蕾，第一天有10個花蕾開花，之后每

天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量達到最大（）

A.6B.7C.8D.9

【變式2-3】（2025?山東青島?三模）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個人

分5錢，5人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的

一人錢數(shù)為（）

A.1B.|C.|D.\

3236

【題型3數(shù)列的通項公式的求解】

【例3】（2025?江西新余?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛斯｝滿足3am-3〃=2\且由=1,則數(shù)列｛Q4的通項公式

為（）

nn-1

A.an=2—1B.an=log32+1

nn+1

C.an=log3（2+1）D.an=log3（2-1）

【變式3-11（2025?云南?一模）已知數(shù)列｛斯｝的前幾項和又滿足又=2冊-l（nGM）,若數(shù)列｛b｝滿足瓦=2,

bn+1=an+bn,則數(shù)列｛，J的通項公式為（）

n-1nn1n

A.bn=2+1B.bn=2+1C.bn=2--1D.bn=2-1

【變式3-2】（2025?全國?模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且配=|即-1.

⑴求&｝的通項公式:

(2)設(shè)bn=含工+log34，求｛九｝[向前幾項和7\.

品品+1

【變式3-3](2025?河南駐馬店?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛時｝的前n項和為Sn,a“H=anan+1.

(1)求｛%｝的通項公式：

(2)若瓦=1,且摩+i+bn=4a3，求數(shù)列｛bn｝的通項公式；

(3)在(2)的條件下，若〃=(丁求｛分｝的前n項和7\.

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】

【例4】(2025?海南?模擬預(yù)測)數(shù)列｛。/滿足力=也。什1=2an-i對于任意的幾eN*,A(2an-1)<2%-2

恒成立，則實數(shù);I的取值范圍是()

A.(-8,3B.(一8,1)C.G，+8)D.(1,+8)

【變式4-1】(2025?北京大興?三模)已知數(shù)列｛斯｝為無窮等比數(shù)列，S”為其前九項和，“存在M]>0,對于任

意的riGN*,\an\<MJ是“存在乂2>0,對于任意的九eN\|SJ<用2”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4-2】(2025?山西忻州?模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛%｝的前〃項和又滿足%=2計1+1.

(1)求｛冊｝的通項公式：

(2)若VTIWN",人幾?3"恒成立，求實數(shù)入的取值范圍.

【變式4-3](2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測)設(shè)S”為數(shù)列｛%｝的前n項和，已知0n>0,4S”=成+2%+1,

a+即,ri為奇數(shù),

列也｝滿足劣=n+1

%+1一%,九為偶數(shù),

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

⑵記數(shù)列血｝的前n項和為7\,若對于任意nwN17W10九+/l恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】

【例5】(2025?遼寧沈陽?三模)已知數(shù)列｛斯｝中，%=3,。3=15,且數(shù)列愕為等差數(shù)列.

(1)求｛aj的通項公式；

(2)記S”為數(shù)列｛J的前〃項和，證明：Sn<l，

【變式5-1](2025?海南?模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛冊｝的前〃項和為Sn,且Sn=2a“—7i,n-

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)設(shè)品=，記數(shù)列｛0｝的前71項和為Mn，證明：1<Mn<l.

Iog2（an+I）log2（an+1+1）

【變式5-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)歹U｛即｝的前〃項和Sn=2%-71.

⑴求｛6｝的通項公式：

(2)證明：咄+竺匚+竺匚+…4a“+l

。2。4。6a2n4

【變式5-3】(2025?江蘇?三模)已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，記其前n項和為S”，且53=。5,Q2n=2冊+；.

(1)求數(shù)列｛時｝的通項公式：

(2)洛數(shù)列｛%｝與｛圖的所有項從小到大排列得到數(shù)列%｝.

①求出n｝的前20項和；

②證明：4+=+—I-A<32.

【題型6數(shù)列求和問題】

【例6】(2025?江西,模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛斯｝滿足：=2,0n+i=%+2。2+3。3+…+嗎，令*=

n+3

數(shù)列｛0｝的前n項和S”，則S2025=()

an+l+an+2+?n+3

AL——B—C—D——

82029!?62028!.42027!*22026!

【變式6-1](2025?湖北武漢?模擬預(yù)測)數(shù)列｛(-1尸?n)(n6N*)的前2025項和為()

A.1012B.-1012C.1013D.-1013

【變式6-2](2025?云南昭通?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列，且a2n=2期+1,數(shù)列｛九｝的前幾項和為

Tn，且％=a2=2b2-l.

(1)求｛冊｝和｛b｝的通項公式；

【變式6?3】(2025?云南玉溪?模擬預(yù)測)設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，出“｝是等比數(shù)列，%=6[=1,且七-62=%-

匕3=1.

(1)求｛即｝與｛九｝的通項公式；

r

antn=2k-l,keA*

(2)設(shè)c“=itn-2k,kcN^求｛。｝的前2幾項和乙n?

log2bnlog2ftn+2'

【題型7數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】

2

[例7](2025?江蘇?一模)在①&=n-2"；②%=l,an+1=標(biāo)；+昌③20-1=冊這三個條件

中，請選擇一個合適的條件，補充在下題橫線上(只要寫序號)，并解答該題.

已知數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，其前九項和為工，且對任意正整數(shù)m有.

(I)求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)以=含二，數(shù)列｛b｝的前n項和為7\,證明：|<Tn<l.

【變式7-1】(2024?廣西賀州?一模)在①52—3%=0,②$3=14,繪=等這三個條件中任選一個，補充

在下面的問題中，并解答.

設(shè)｛冊｝是遞增的等比數(shù)列，其前〃項和為S”，且%=4,.

(1)求｛冊｝的通項公式：

(2)若數(shù)列｛九｝滿足勾=數(shù)，求數(shù)列｛九｝的前2n項和兀個

斯,n為偶數(shù)

(注：若選擇多個解答，按第一個解答計分)

【變式7-2](2025?黑龍江齊齊哈爾?三模)已知數(shù)列｛%｝滿足%=3,做=6,數(shù)列｛b｝為各項均為正數(shù)的等

比數(shù)列，且滿足垢(即+1—即)=bn+lf(neN)

(1)求數(shù)列S”｝的通項公式;

(2)已知數(shù)列出“｝的前幾項和為S”，若.

下面三個條件中任選一個，補充在上面橫線中.

①3s2=S3-3；

②七2,2。3,九成等差數(shù)列;

③%,a3,匕3成等比數(shù)列.

“，"為求數(shù)列｛%｝的前20項和7\p

記數(shù)列｛.｝滿足J=

log3b2nm為偶數(shù)，

注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

【變式7-3](2024?陜西西安?模擬預(yù)測)在①%=1,Qi，。3,。9成等比數(shù)列，②劭+。4=6,Q-Q5=5,

③￡"Qi=6,這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答?

問題：已知數(shù)列｛即｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式：

(2)數(shù)列鋤的前n項和為Sn，對任意的nuN+有m3VV加恒成立，求根的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第?個解答計分.

【題型8數(shù)列與其他知識的交匯問題】

【例8】(2025?全國一卷?高考真題)已知數(shù)列｛%｝中，%=3,—=-T7+-4^.

nn+1n(n+l)

(1)證明：數(shù)列｛n%｝是等差數(shù)列；

(2)給定正整數(shù)加，設(shè)函數(shù)/(%)=。/++…+冊/m，求/'(一2).

【變式8-1](2025?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知向量方=(siny,-siny),b=(cosy,siny),函數(shù)/(x)=ab,

fQ)的所有大于0的零點構(gòu)成遞增數(shù)列｛%｝.

(1)寫出｛aj的前6項；

(2)已｛即｝的所有偶數(shù)項構(gòu)成數(shù)列@J,設(shè)金=(一l)n?bn?(或)砥-2,求數(shù)列｛金｝的前〃項和Sn.

【變式8-2】(2025?河南周口?模擬預(yù)測)已知點PiQ+l")在拋物線C:%2=4y上，過點P1作斜率為一1的直

線交C于另一個點3,設(shè)P2與Qi關(guān)于V軸對稱，再過P2作斜率為-1的直線交C于另一個點Q2,設(shè)匕與Q2關(guān)

于y軸對稱，以此類推一直作下去，設(shè)P￡/,外)5WN.).

⑴求/的值；

(2)求數(shù)列｛》“｝的通項公式，并求數(shù)列｛氏｝的前幾項和7,1的取值范圍；

⑶求^PnPn+1Pn+2(neN")的面積.

【變式8-3】(2025?遼寧?二模)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石,

因俵國數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾科夫而得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第九+1次狀態(tài)的概率分布只跟第〃

次的狀態(tài)有關(guān)，與第71-1,n-2,八一3,…次狀態(tài)無關(guān).已知有力，4兩個盒子，各裝有1個黑球、1個

黃球和1個紅球，現(xiàn)從力，8兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復(fù)進行九(幾WN)次這樣的操

作后，記“盒子中紅球的個數(shù)為＞“，恰有1個紅球的概率為Pn，恰有2個紅球的概率為冊.

⑴求P2,的值;

(2)證明；｛p〃—,是等比數(shù)列，并求偽工的通項公式；

(3)求X”的數(shù)學(xué)期望.

【題型9數(shù)列中的新定義、新情景問題】

【例9】(2025?河南信陽?模擬預(yù)測)對于數(shù)列｛4｝,若存在實數(shù)M＞0,使得對一切正整數(shù)“晅有|aJ

成立，則稱數(shù)列｛4｝為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項和為之,則下列選項中，滿足數(shù)列｛Sj為有界數(shù)列的是

()

nn2

A.an=2n+1B.an=(-2)C.an=心\)D.an=(-l)n

【變式9-1](2024?北京東城?二模)設(shè)無窮正數(shù)數(shù)列｛時｝,如果對任意的正整數(shù)九，都存在唯?的正整數(shù)m,

使得Q,n=Qi+。2+。3+…+%，那么稱｛即｝為內(nèi)和數(shù)列，并令6=m,稱｛九｝為｛Qj的伴隨數(shù)列，則()

A.若｛Qj為等差數(shù)列，則｛%｝為內(nèi)和數(shù)列

B.若｛%｝為等比數(shù)列，則｛每｝為內(nèi)和數(shù)列

C.若內(nèi)和數(shù)列｛冊｝為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列｛b｝為遞增數(shù)列

D.若內(nèi)和數(shù)列｛QN｝的伴隨數(shù)列｛b｝為遞增數(shù)列，則｛即｝為遞增數(shù)列

【變式9-2](2025-江蘇蘇州?模擬預(yù)測)若數(shù)列｛%｝滿足冊+2-4+1＞即+i-an(nGN.)，則稱｛斯｝為“階躍

數(shù)列

(1)若%=n2+2n,判斷｛斯｝是否為“階躍數(shù)列”；

(2)在“階躍數(shù)列”｛斯｝中，若斯=九2"一必平聞，求實數(shù)4的取值范圍；

6

(3)記“階躍數(shù)列”｛%｝的前幾項和為％,證明：數(shù)列倒是“階躍數(shù)列”.

【變式9-3]（2025?湖北?三模）已知數(shù)列力:。1，。2,…,即624）,其中%,如…,即6Z,且％Va2V…

若數(shù)列8:瓦,匕2,…,b”滿足瓦=Qi，b”=Qn，當(dāng)i=2,3,…，〃-1時，瓦=Q-i+1或—1,則稱數(shù)列

…,以為數(shù)列力的“調(diào)節(jié)數(shù)列”.例如，數(shù)列41,357的所有“調(diào)節(jié)數(shù)歹IJ”為1,2,4,7；或者1,2,6,7；或者

144,7；或者1,4,67

⑴直接寫出數(shù)列4136,7,8的所有“調(diào)節(jié)數(shù)列":

（2）若數(shù)列4滿足通項%=2n（nWN）將數(shù)列的“調(diào)節(jié)數(shù)列”中的遞增數(shù)列記為數(shù)列8〃中的各項和為S",

求所有人的和；

（3）已如數(shù)列A滿足：%=1,即=2025,若數(shù)列A的所有“調(diào)節(jié)數(shù)列”。均為遞增數(shù)列，求所有符合條件的數(shù)列

A的個數(shù).

過關(guān)測試

一、單選題

1.（2025?四川綿陽?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足%=L%+1=即+九+2”（九6”）,則%等于（）

A.曳0+2-1B.曳山+2,-1

22

C.D.+2n+1-1

22

2.（2025?遼寧鞍山?模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列｛QN｝為等比數(shù)列，且5a2是由與3。3的等差中項，若。2=2,

則該數(shù)列的前5項和為（）

A.10B.15C.30D.31

3.（2025?山東臨沂?三模）在數(shù)列｛%｝中，已知小=1,

.3365

A.—；

32

4.(2025?河北?模擬預(yù)測)在數(shù)列｛%｝中，已知的=1,區(qū)=%+1,設(shè)b=(-l)”(2n+l)0%+1,則數(shù)

On+lnn

列｛bj的前九項和二=（）

A「打富B?卜富

5.（2025?江西九江?三模）九江銀行-2025“廬山杯”九江馬拉松于3月23日上午鳴槍開跑.此前，為備戰(zhàn)此

次馬拉松，小寶同學(xué)制定了一個為期20周的跑步訓(xùn)練計劃.計劃第I周跑步2公里，之后一段時間每周的

跑步量是前一周的2倍；當(dāng)周跑步量首次超過30公里后，每周比前一周多跑2公里；當(dāng)周跑步量首次超過

全馬里程（42.195公里）后，保持這個周訓(xùn)練量直至訓(xùn)練結(jié)束.請問：訓(xùn)練計劃結(jié)束時，小寶同學(xué)跑步的

總量是（）

A.736公里B.724公里C.692公里D.660公里

6.（2025廣西?模擬預(yù)測）行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線性方程的有力工具，最簡單的二階行列式的運算定

義如下：R^=ad-bc,已知治是等比數(shù)列&｝的前幾項和，若普：卜0勺=1,則$7=（）

A.31B.63C.127D.255

7.（2025?甘肅定西?模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛斯｝的前n項和為SQ,QI+。3=5,S4=15,若對于任意nGN*,

不等式小竺>62+6血恒成立，則m的取值范圍為（）

A.（-8,2）B.（-2,8）C.（-10,6）D.（-6,10）

8.（2025,上海?高考真題）己知數(shù)列｛冊｝、｛%｝、｛々｝的通項公式分別為0n=10n-9,bn=2"、，金=Aan+

（1-2）以.若對任意的;IE[0,1],%、。、c/勺值均能構(gòu)成三角形,則滿足條件的正整數(shù)九有（）

A.4個B.3個C.1個D.無數(shù)個

二、多選題

9.（2025?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的首項%=1且滿足冊+1=用，則（）

A.｛91｝為等差數(shù)列B.即=就7

C.數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列D.數(shù)列｛等斗的前幾項和為層+1一箸

10.（2025?四川成都一模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱

為“三角垛"三角垛''的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球……設(shè)第n

層有％個球，則（）

A.a5=15B.｛即+i-%｝是等差數(shù)列

C.。2025為偶數(shù)D.1<—+—+<??+—<2

a2an

11.（2025?河北邯鄲一模）已知分為等差數(shù)列｛斯｝的前幾項和，則（）

A.若S”=2n2+n?則/=2n4-1

B.s37v