第六章數(shù)列（舉一反三綜合訓(xùn)練）

（全國通用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛冊｝的前n項和為S.,且即+i=2Sn+2,則冊=（）

nn

A.2x3'LiB.3x2“TC.3D.2

【答案】A

【解題思路】化簡表達式，求出首項和公比，即可求出演.

【解答過程】由題意，neN*,

在等比數(shù)列｛冊｝中，an+1=2Sn+2,

設(shè)公比為q,

'an+l=2Sn+2

a?+2=2Sn+i+2,解得冊+2=3c1n+1,

a

-n+l=Sn+1—Sn

'.q—3,

當n=1時，a2=2sl+2=2al+2=3的,解得：的=2,

；?｛%｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，

n-1

：.an=2義3（n6N*）.

故選：A.

2.（5分）（2025?四川成都?一模）記Sn為等比數(shù)列｛冊｝的前n項和，若S9+7$6=8S3,則｛冊｝的公比為（）

11

A.2B,-C,--D.-2

【答案】D

【解題思路】由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，59-56,56-53,53成等比，公比為q3,結(jié)合S9+756=8S3即可求

公比.

【解答過程】設(shè)等比數(shù)列｛即｝的公比為q,

根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，59-56,56-53,53成等比，且公比為t?3,

XS9+7S6=8S3,即S9—S6=-8。6-S3）,所以q3=-8,

解得q=-2.

故選：D.

3.（5分）（2024?安徽淮北?一模）記端是等差數(shù)列｛為J的前幾項和，貝『｛冊｝是遞增數(shù)列”是“｛+｝是遞增數(shù)列”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得園=9九+%-3即可充要條件的定義求解.

n22

【解答過程】若｛冊｝是遞增數(shù)列，則公差d>0,

,n（n—l）d

所以且=比工=%+欠押=/+%-?

故黯—￥=（k+*的一￡）—（>+的―5號>3所以圖為遞增數(shù)列,

n（n—l）d

若秒4為遞增數(shù)列，則.='⑼1^=.九+方則注一皂=9>0,

InJnn22n+ln2

故d>0,所以｛冊｝是遞增數(shù)列，

故選：C.

4.（5分）（2025?廣東惠州?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛an｝的首項的=2,公差d=12,在｛%｝中每相鄰兩

項之間都插入3個數(shù)，組成一個新的等差數(shù)列｛，J，則與=（）

A.4n—2B.3n—1

C.3nD.2n+1

【答案】B

【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義求解即可.

【解答過程】設(shè)｛%｝的公差為屋，則外=2,d'=W=?=3,

44

故0=2+3（n-1）=3n—1.

故選：B.

5.（5分）（2025?新疆喀什?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛冊｝中，的=1,冊+34冊+3,冊+2之冊+2,貝*1（）

A.。2025>2025B.。2025=2025C.a2025<2025D.無法判斷^2025大小

【答案】B

【解題思路】利用遞推關(guān)系可得?02522025,又可得斯+34斯+2+1，進而可得做02542025,可求。2025-

【解答過程】因為冊+2>an+2,

所以。2。25—。2023+2之。2021+2X2之…之的+2X1012=1+2024=2025,

由"n+2-。九+2,可得即工冊+2-2,

又Q九+34。九+3〈。九+2—2+3=Q九+2+1?

所以。2025—。2024+14。2023+1x2+1X2024=2025,

所以。2025=2025.

故選：B.

6.（5分）（2025?河北?模擬預(yù)測）在數(shù)列｛冊｝中，已知%=1,2=冊+1,設(shè)阿=（一1）"（2九+1）冊外+1，

則數(shù)列｛%｝的前幾項和*=（）

A.-B.工-a

2n+12n+l

C.—1+^^D.-1-^22

n+ln+l

【答案】c

【解題思路】由工=冊+1得，工=1+工,得到等差數(shù)列，求出工=n,則斯=工,得到%=（T）：（2：，）=（_

an+ian+1anannn（n+l）、

Dn，G+a）'再裂項求和即可.

【解答過程】由上=a“+l得，—=1+-,所以」——-=1,

an+lan+lanan+lan

則數(shù)列｛2｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，所以看=l+（n—l）=n,則%=5，

所以勾=（-l）"（2n+1）-0n0n+】=/齡=（一1）".G+京），

所以7n=（_1_￡）+G+J+（_：_￡）+???+[—+若]=—i+富，

故選：C.

7.（5分）（2025?海南?模擬預(yù)測）數(shù)列｛冊｝滿足的=|,an+1=2an-|,對于任意的幾GN*,4（2an-1）<2an-

2恒成立，則實數(shù)％的取值范圍是（）

A.（-8.）B.（-8,1）C.6+8）D.（1,+8）

【答案】A

【解題思路】構(gòu)造等比數(shù)列得與=1+2",由題意對于任意的neN*"<三二=1-就恒成立，故只需求

出（1—盍）,即可.

\乙/min

【解答過程】由題意令時+：!—%=2（斯—4）,所以即+1=2%—4,對比％+1=2a”—：，可得2=

所以數(shù)列｛%-卦是以的-g=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以％--52皿-1=2,,,

n

所以0n=-|+2,

n+1n+1

對于任意的neN*,A（2an-1）<2an-2恒成立，即對于任意的neN*,A-2<2-1恒成立，

即對于任意的nCN*,4<告P=1-高恒成立，

顯然當幾增大時，擊減小，此時1-篇增大，

所以4<1一提■=|.

故選：A.

8.（5分）（2025?河北?模擬預(yù)測）我們把各項均為0或1的數(shù)列稱為0-1數(shù)列，0-1數(shù)列在計算機科

學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.把佩爾數(shù)列｛P,J（匕=0,22=1，Pn+2=2Pn+1+Pn,n€N*）中的

奇數(shù)換成0,偶數(shù)換成1,得到0—1數(shù)列｛%｝,記｛冊｝的前〃項和為Sn，貝達30=（）

A.20B.15C.12D.10

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意求得數(shù)列的前8項，通過觀察找到規(guī)律，即可求解.

【解答過程】因為P1=0,「2=1，Pn+2=2Pn+i+Pn,

所以P3=2P2+Pi=2x1+0=2,P4=2P3+^2=2x2+1=5,P5=2P4+^3=2x5+2=12,

06=2P5+P4=2x12+5=29,P7=2P6+P5=2x29+12=70,P8=2P7+P6=2x70+29

=169,…，

可以看出數(shù)列｛冊｝的前30項為1,0,1,0,…，1,0,

所以S30=15x1+15x0=15,

故選：B.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.（6分）（2025?海南三亞?一模）數(shù)列｛冊｝為等差數(shù)列，%為其前幾項和，已知=—6,an=2,則（）

A.a7=-2B.d=1

C.S5=30D.當幾=8或ri=9時，S九最大

【答案】AB

【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式進行運算，即可得到判斷.

【解答過程】設(shè)等差數(shù)列的公差為乙則d="=1,故B正確；

O

所以的=%+4d——6+4——2,故A正確；

55="+；5）X5=5X=5x（-6）=—30,故C錯誤；

由的=。3—2d=_8,可得Sn=_8nH—（工~——n,

由于二次函數(shù)y=^x2-弓x的對稱軸為x=弓，開口向上，

所以當n=8或n=9時，S.最小，故D錯誤；

故選：AB.

10.（6分）（2025?四川成都?一模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，

后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球……

設(shè)第n層有冊個球，則（）

A.=15B.（an+1-an｝是等差數(shù)列

C.。2025為偶數(shù)D.14工+工+…+!<2

aia2an

【答案】ABD

【解題思路】根據(jù)題意％-an_r-n,an_r-an_2-n-1,■■■,a2--2,利用累加法得須=收羅即可判斷

ABC選項，對于D,工=鼻=20--7),再根據(jù)裂項相消法可得工+工+…+工的和，接著簡單放縮

a

ann(n+l)\nn+1/。2n

即可判斷.

【解答過程】根據(jù)題意，當九22時，an-an_r=n,an_r-an_2=n-l,…,a2-ar=2,

累加得冊一的=2+3+4+…+n=(2+n『)=武節(jié)二，

二冊=爐，易知%=1也滿足，所以an=也羅，

a5—=15,故A正確：

an+1-an=n+1,故B正確；

。2025=*型竺=2025X1013為奇數(shù)，故C錯誤；

3工=3=20--)，

n

2ann(n+l)\nn+lj

—+—+-??+—=2fl--+i--+?--+---)=2,

an\223nn+l/n+1

2

■.■neN*,A1<2--<2,

n+1

即13工+工+…+工<2,故D正確；

a20n

故選：ABD.

11.(6分)(2025?河北邯鄲?模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛冊｝滿足％+i=成一2%+2,%=a,則下列結(jié)論正確

的是()

A.若｛an｝為常數(shù)列，則a=l

B.當。=6+1時，｛ln(c1nl1)｝的前2025項和為22°25一1

C.存在a6(0,1),使數(shù)列｛aj單調(diào)遞增

D.當a>2時，yn瓷

ak~2aka-2

【答案】BD

【解題思路】根據(jù)遞推公式直接求解可判斷A；整理成與+i-1=(與-I)?兩邊取對數(shù)，證明｛In(斯-1))

為等比數(shù)列即可判斷B；假設(shè)｛an｝單調(diào)遞增，根據(jù)a3>a2，a2>al列不等式求出a的范圍可判斷C；裂項相

消法求和可判斷D.

a

【解答過程】因為即+1=“—2an+2,所以Cla+l—1=(n-1)2，

2

對A,若｛冊｝為常數(shù)列，則a；j+i—1=an—1,所以冊—1=(an—I),

解得“=1或與=2,A錯誤;

對B,當a=e+1時，ln（ai-1）=1,又ln（an+1-1）=21nm九—1），

所以｛In（冊-1）｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以其前2025項和為蘭亭=22025一1,B正確；

對C,若數(shù)列｛即｝單調(diào)遞增，則與一的=山一3al+2>0,解得的<1或%>2,

又的—a2=a2—3a2+2>0,解得敢<1或例>2,

則山—2al+2<1或底—2al+2>2,解得由<0或%>2,

所以，當aE（0,1）時，數(shù)列｛冊｝不可能單調(diào)遞增，C錯誤；

對D,因為。九+i=欣—2an+2,所以冊+i-2=an（an—2）,

所以5幾^=yn0工=5九七、=vu——

□攵=1/一2縱2）乙卜=\。武。1「2）2^k=]1。卜—2以（以一2）」

=ynO___________________________J_______________

^jk=l1四一2tifc+i—2/。1-2%+1-2a-2^+1—2

因為a>2,所以%+i=（即―I）?+1>2,即」二>0,

%1—2

所以二----二7<D正確.

a-ZZa—2.

故選：BD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2025?云南臨滄?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝中,%=2,an+1=3an-2,neN+,則數(shù)列｛%J

的通項公式為.

【答案】與=1+3吁1

【解題思路】結(jié)合給定遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列，進而求出即=1+3時1即可.

【解答過程】由斯+1=3an—2,得％+1-1=3（an—1）,

由于%—1=1力0,因此｛即—1｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，

從而可得冊-1=3ntX1=3n-1,則冊=1+3n-1.

故答案為：與=l+3-i.

13.（5分）（2025?四川綿陽?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛冊｝中,%=10,an=an^-4（n>2）,則數(shù)列｛an｝

的前n項和的最大值等于.

【答案】18

【解題思路】由題意可知數(shù)列｛aj是首項為10,公差為-4的等差數(shù)列，求出前〃項和，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最

大值問題即可.

【解答過程】當幾22時，an—an_1=—4,且的=10,

所以，數(shù)列｛%｝是首項為10,公差為-4的等差數(shù)列，

則數(shù)列｛時｝的前n項和為S.=10n+硬尸x(-4)=-2n2+12n=-2(n-3)2+18,

因neN*,故當九=3時，S.取得最大值18.

故答案為：18.

14.(5分)(2025?寧夏銀川?二模)已知數(shù)列｛an｝的前"項和為Sn,且％=層+n,則數(shù)列居二｝的前"

項和7n=.

【答案】公

【解題思路】由數(shù)列前n項和S”求出數(shù)列通項時,從而得到新的數(shù)列通項，然后利用裂項相消求得結(jié)果.

【解答過程】當九二1時，Qi=Si=1+1=2,

22

當?122時，an=Sn-Sn_i=n+n—(n—l)—(n—1)=2n-1+1=2n,

當?i=1時，的=2x1=2,

??CL^i=271.

,4_4_1_1__1

anan+i2n-2(n+l)n(n+l)nn+1

_+_+_+

j9(l9G9=I-

故答案為：名.

n+l

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)(2025?湖北恩施?模擬預(yù)測)已知正項數(shù)列｛an｝的前n項和為%,且％=2后—1.

(1)證明：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

⑵令b“=23+D,求數(shù)列但勾｝的前?項和

【答案】(1)證明見解析

(3n-l)x4n+1+4

⑵Tn=-----g-------

【解題思路】(1)根據(jù)正項數(shù)列｛冊｝與前幾項和為端的關(guān)系，利用相減法求得冊,冊_1的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列

的概念證明即可；

(2)根據(jù)錯位相減法求解數(shù)列數(shù)列80｝的前n項和7\即可.

【解答過程】(1)據(jù)題可得：(與+1)2=4Sn，當?122時，(%_1+1)2=4Sn-i，

兩式子作差可得：

成-碎_1+20n-2an_i=4an=嫌一a?_t-2(%+0n一-=0n(%+an-i)(an-an-i_2)=0,

又a九+。九—iH0,所以a九—-1-2—0=a九——i=2,

當n=1時，刈=2^fs[-1=>的-2y[a[+1=0=>—I)2=0=>=1,

所以，數(shù)列｛冊｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列；

(2)令%=2(廝+1),據(jù)(1)可知：an=ar+(ji—l)d=2n—1.

nn

所以“=2(即+1)=4；貝！J?16n=n4,

得：7\=1x4+2x42+-(n-1)x471T+nx4n,

23nn+1

4Tn=1x4+2x4+???+(n-1)x4+nx4,

兩式相減可得：-37\=4+42+---+4n-nx4n+1=型二3-4n+1

一3nX

所以T”=(3「1)：心4,

綜上所述，數(shù)歹!J｛n0｝的前n項和7n=金弋…4.

16.(15分)(2025?海南?模擬預(yù)測)已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S.,(冊+l)(an+1+1)=

4(Sn+n)(neN*),數(shù)列｛0｝為等比數(shù)列，首項瓦=3,g

(1)求數(shù)列｛“｝和｛0｝的通項公式；

(2)設(shè)金=a”?以，求數(shù)列｛品｝的前n項和7\.

【答案】(1)%=271-1,%=3n

n+1

(2)Tn=3+(n—1)?3

【解題思路】(1)根據(jù)數(shù)列通項公式與數(shù)列前幾項和與之間的關(guān)系，求出數(shù)列｛冊｝的公差，再根據(jù)n=1求

出首項，寫出數(shù)列｛%J通項公式，根據(jù)為=。5,求出公比，寫出｛%｝通項公式.

(2)寫出數(shù)列｛%｝的通項公式，根據(jù)錯位相消法求出前n項和7n.

【解答過程】(1)由(an+l)(ctn+i+1)—4(Sn+n),當7i22時,(an_j+1)(%+1)-4(Sn_j+n—1),

相減得(%+l)(an+1-an_t)=4(an+1),

已知數(shù)列｛an｝各項均為正數(shù)，即時+1力0,可化簡得冊+i—a/i=4,即數(shù)列｛%｝的公差d滿足2d=4,解

得d=2,

當n=l時，(的+1)(%+2+1)=4(%+1),解得的=1,則數(shù)列｛an｝通項公式為%=2幾一1,

可得=2x5—1=9,則電==9,

由數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列可得&=瓦-<7=9,由瓦=3,求得q=3,

則數(shù)列｛%｝通項公式為。=3-3—=3n.

(2)由(1)知冊=2九一1,%=3",則&=an?%=(2九一1),3%

1n

所以7n=q+C2+C3+…+cn=1,31+3?32+5?33+…+(2n-1),3,

則37\=1?32+3?33+5?34+■■■+(2n-3)-3"+(2n-1)-3n+1,

作差的一27\=1-31+2?32+2?33+???+2?3n-(2n-1)-3n+1=2(31+32+33+???+3n)-3-

(2n-1)-3n+1,

化簡得一27\=2生也-3-(2n-1)-3n+1=-6-(2n-2)-3n+1，

n+1

解得7n=3+(n-1)-3.

17.(15分)(2025?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛冊｝的首項為2,前n項和為Sn，且5升1+2=an+3幾+S”

⑴求數(shù)列&｝的通項公式；

(2)已知"病記數(shù)列｛%｝的前幾項和為T”，求證：—；WT<—"

OG^+oH—Z(JL3n

(2)證明見解析

【解題思路】(1)根據(jù)與+i=S?+1-Sn可得冊+i-廝=3n—2,再結(jié)合累加法可得通項公式;

(2)利用裂項相消法可求和，再結(jié)合不等性質(zhì)可得證.

【解答過程】(1)由已知S九+1+2=。九+3?1+5?1得。九+1=S九+i—Sn=(1n+3?i—2,

即61rl+1—ctn=3n—2,貝ija九一。九一i=3TI—5,。九一i一^n-2=3幾—8,…,如一%=1,

等式左右分別相加可得

%一%=(3n-5)+(3n-8)+…+1=(3計5+；)5-1)=3n2一受,

則即=空衿+的=吟學(xué)；

(2)依題意得，

b=—i—=—i—=-1—=ip______M,

n2

6an+6n-209n-15n+4(3n-4)(3n-l)3\3n-43n-17

則T=If—1—9+工—工+工-工+…-|--------—AIf—1-----=--------------,

“n3\225583n-43n-17=3\3n-1739n-3

又MN*,所以看6(0,1，所以7n=_1_總6卜(，_｛),

BP-1<Tn<-i

18.（17分）（2025?全國?模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列｛冊｝的前n項和為端,（13—%=—葛，S4=短.若"+

Iog4（16或）=0,且數(shù)列｛%｝滿足Cn=an-bn.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛cn｝的前n項和7\；

（3）若d+t>4cn+l對一切nGN*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】（l）an=5

23n+2

⑵〃丁行

（3）（-oo,-2]U[1,+co）

【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式列式求值即可.

（2）利用錯位相減法求和.

（3）分析數(shù)列｛cn｝的單調(diào)性，求金的最大值，再解二次不等式即可.

【解答過程】（1）對數(shù)列｛an｝,設(shè)公比為q,由題意q>0,因為（13力的，所以q41.

，215

aiq-a.=--]

乂j的（1—q4）=85=%=勺=丁

、1-q~256

所以。九-泉

（2）由0=—log4（16就）=-2—log4Q^=3n—2.

3n-2

所以0

4n.

所以〃=/提+京+…+與止

所以4T=_+A_]_.,.3n-53n-2

77124'九42十43十十轉(zhuǎn)十4n+1

兩式相減得：；rn=i+3(^+^+-+^)-|^=；+3x式上回一篝13n+2

444°4ri/4"十工4i__4”十工2-4n+1

~4

所以〃號一

(3)由c鹿+1—c71Vo=轉(zhuǎn)+1----V0=(3九+1)—4(3n—2)V0=71>1.

所以數(shù)列｛0｝從第2項開始，單調(diào)遞減.

-1

所以％<C1=C2=~.

由d+t22=(t+2)(t—1)200tW—2或t21.

所以實數(shù)t的取值范圍是：(一8,—2]U[l,+8).

an

19.(17分)(2025,湖北?三模)已知數(shù)列A的,a2>,,,?n(.24),其中的,a2,■■■,anGZ,且的<a2<■■■<an.

若數(shù)列B:玩,無,…,勾滿足比=的，%=an,當i=2,3,…,?i-1時，仇=aIi+1或囚+i-1,則稱數(shù)列

B:瓦，歷，…，匕為數(shù)列4的“調(diào)節(jié)數(shù)列”.例如，數(shù)列力：135,7的所有“調(diào)節(jié)數(shù)歹廣為124,7；或者1,2,6,7；或者

1,4,4,7；或者1,4,6,7.

⑴直接寫出數(shù)列A1,3,6,7,8的所有“調(diào)節(jié)數(shù)列”B；

(2)若數(shù)列4滿足通項％=2n(n6N*),將數(shù)