第五章平面向量與復(fù)數(shù)（舉一反三綜合訓(xùn)練）

（全國(guó)通用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2025?云南臨滄?模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于非零向量方，及下列說(shuō)法正確的是（）

A.若同〉同，則B.若同=|同，則方=]

C.若五=反則引"D.若34反則1不是共線向量

【答案】C

【解題思路】由向量的模長(zhǎng)，共線，相等的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,向量不能比較大小，故A錯(cuò)；

對(duì)于B,向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B錯(cuò)；

對(duì)于C,若工=石,由向量相等的條件可得工/歷，故C正確；

對(duì)于D,不相等的向量也可能是共線向量，故D錯(cuò).

故選：C.

2.（5分）（2025?廣西柳州?模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)升的虛部為（）

2424

A.-mB,--c,-D.-

【答案】D

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足白=裊片=?粵=甘=￡+3，

2—1（2+i）（2—1）4—r555

因此，復(fù)數(shù)的虛部為

故選:D.

3.(5分)(2025?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè))已知向量石滿足同=4,歷|=2,五與石的夾角為5則忖―同=

()

A.2B.4C.2V3D.2而

【答案】C

【解題思路】法一：對(duì)同-同，兩邊平方再開(kāi)方計(jì)算可得答案；法二：由向量減法的幾何意義和已知條件可

得答案.

【解答過(guò)程】法一：忖―同之=22+/一2五々=16+4-2x4x2x1=12,

即忖一司=2V3；

法二：

由向量減法的幾何意義和已知條件易知，如圖，

則48=90。，a-b^BC,故儂一同=g-2=2低

故選：C.

4.(5分)(2025?江西?模擬預(yù)測(cè))在復(fù)平面內(nèi)，(l-2i)(l+3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解題思路】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義可解.

【解答過(guò)程】因?yàn)?1-2i)(l+3i)=1+i-6i2=7+i,

則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(7,1),位于第一象限.

故選：A.

5.(5分)(2025?湖北武漢?三模)在矩形4BCD中,A(—l,0),8(x,1-x),若針=(2,-3),且元//前，則久=

A.-5B.C.iD.5

【答案】C

【解題思路】由已知元1屈，再應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值.

【解答過(guò)程】由題設(shè)知五，屈，且9=0+1,1-x）,則元?同=2（x+l）-3（1-嗎=0,

所以5x-1=0,即％=

故選：C.

6.（5分）（2025?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在矩形力BCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊CD上靠近

點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，記前=4都+〃而，貝!M+〃=（）

C

E

八B

171375

A.—B.—C.—D.—

12121212

【答案】A

T2T2T

【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算可得=+計(jì)算即可求解.

34

【解答過(guò)程】由題意可得=4E=48+^4。，

因?yàn)镚為EF的中點(diǎn)，

T1T1T1T1T1T1T2T?

所以力G=±4?+乙4岳=±4。+七48+匕4。+J48=443+三4。，

22264234

則a=|,"=3所以％++*蔣

故選：A.

7.（5分）（2025?山西長(zhǎng)治?模擬預(yù)測(cè)）平面上的三個(gè)力%,尸2，%作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)?若l%l=

IN/F2I=與立凡91與尸2的夾角為45。，則/與鼻夾角的余弦值為（）

AV6+V2.V6+V2cV6—V2cV6—V2

A.------------D.----------C.------------D.------

4444

【答案】A

【解題思路】根據(jù)工+五+瓦=6,先求得同=|瓦+同，再由同=］同2+同2+2同周85/即

可求解.

【解答過(guò)程】,?,三個(gè)力平衡,

/.%+&+93=°，

.??同=|耳+同=小瓦1+2^4+1同2=』2+2XIX用25。+（學(xué)2=企

設(shè)瓦與瓦的夾角為仇則|同二小耳『+|同2+21Kli同COS。,

即=J12+V22+2x1xV2COS0,

解得cos。=_/

故選：A.

8.（5分）（2025?甘肅平?jīng)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。是邊長(zhǎng)為3的等邊△PiP2尸3及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)Po

是4P12P3的中心，集合S={P\PGI兩I<I函i=1,2,3},則用可-降的取值范圍為（）

A.[3,15]B.[|,y]C.[2,12]D.[1,6]

【答案】B

【解題思路】利用等邊三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合向量的運(yùn)算即可求解.

【解答過(guò)程】如圖，設(shè)4民&。,旦尸為各邊三等分點(diǎn)，

根據(jù)等邊三角形可知，BE,AD,CF相交于中心點(diǎn)P°，

根據(jù)等邊三角形可知：四邊形P^PoF是菱形，

則由菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得：力F是線段PiPo的垂直平分線，

所以當(dāng)點(diǎn)|西|=|西|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P一定在力產(chǎn)上，

同理可得：動(dòng)點(diǎn)P一定在上，動(dòng)點(diǎn)P一定在ED上，

所以當(dāng)|西|W儼可|,i=1,2,3時(shí)，結(jié)合點(diǎn)P在三角形的內(nèi)部，

可得集合S為正六邊形力BCDEF及其內(nèi)部區(qū)域，

所以當(dāng)尸與尸重合時(shí)，見(jiàn)可?第=3xlxcos]=|,即可取到最小值|,

當(dāng)尸與C重合時(shí)，P1P；-P^P=P/2?P^C=P1P2-(P1P2+^c)=3x3+3xlxcosy=9-|=y>

即可取到最大值色

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(6分)(2025?貴州貴陽(yáng),模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z=<2-4+(m-2)i(meR),則()

A.若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，則z=0

B.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則m=±2

C.當(dāng)m=1時(shí)，|z|=V10

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限

【答案】ACD

【解題思路】對(duì)于AB,由復(fù)數(shù)的概念驗(yàn)算即可；對(duì)于C,由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可；對(duì)于D,由復(fù)數(shù)

的幾何意義即可求解.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,依題意可得爪-2=0,即m=2,貝i]z=0,故A正確；

對(duì)于B,依題意可得[爪2一?=?今山=一2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,依題意可得z=—3-i,所以|z|=—3尸+(-故C正確；

對(duì)于D,若復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，貝47n2-?<?=爪60,所以D正確，

故選：ACD.

10.(6分)(2025?江西?模擬預(yù)測(cè))已知向量方=(2,3)范=(—4,爪)，則()

A.若31b,則m=|

B.若m=1,則怔一同=2代

C.若(3+b)||b,則ni=6

D.若爪=2,貝囁在石方向上的投影向量的坐標(biāo)為俗-以

【答案】AD

【解題思路】對(duì)于A,由向量垂直坐標(biāo)表示可得小對(duì)于B,由向量模長(zhǎng)坐標(biāo)計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)

于C,由向量平行坐標(biāo)表示可得m對(duì)于D,由投影向量計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)正誤.

—>—>Q

【解答過(guò)程】對(duì)于A,由工1人，可得工?b=-8+3m=0,解得/n=§,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)m=l時(shí)，方一方=(6,2),故|五一一二戊2+22=2折,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a+/)=(-2,3+m),由+可得?n=6+2zn,解得血=一6,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)m=2時(shí)，h=(-4,2),此時(shí)五在方方向上的投影向量的坐標(biāo)為

粉5=譽(yù)X(-4,2)=G，V),故D正確.

故選：AD.

11.(6分)(2025?河北?模擬預(yù)測(cè))已知問(wèn)=20=2,且向量立石的夾角為最下列說(shuō)法正確的是()

A.|a+2b\—2V5

B.(a—45)1a

C.向量工一21和五的夾角為］

D.若(4+21)〃僅一3可，則4=—|

【答案】BD

【解題思路】通過(guò)向量的數(shù)量積公式一1=|a||6|cos8以及向量模長(zhǎng)公式|加=而等進(jìn)行計(jì)算和判斷.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹?21=2,且向量3施夾角為全

對(duì)于選項(xiàng)A：

a+2b=J(a+2b)=Ja2+4b2+4a-b=[4+4+4x2x1xcos]=28，則A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：

要使得?—41)1a,則它們的數(shù)量積為0.

即(a—46)?a=4—4x2xlxcos1=0,則B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：

4—2x2xlxcos^

因?yàn)閏os<a—2b,a>=9=；，則＜N—2了,五＞=9則C錯(cuò)誤;

j4+4-4x2xlxcos^x242J

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?

所以4%+26=k(a—3b),解得4=k=-|,則D正確.

故選：BD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2025?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知向量五1滿足方=（一2,3）石=（l,k），方不=2,則工+石=.

【答案】（-1,埒

【解題思路】先根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得k=%再根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)榉?石=（—2,3）-（l,k）=—2+3k=2,解得k=%

則b=所以4+6=（—1,陽(yáng).

故答案為：（―1,葭）.

13.（5分）（2025?上海徐匯?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z+22=9+2i（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部為.

【答案】-2

【解題思路】設(shè)2=。+N（0》€(wěn)/?）,利用復(fù)數(shù)相等可得答案.

【解答過(guò)程】設(shè)工=Q+bi（a,bER）,z=a-bif

則z+22=a+bi+2a—2/?i=3a-bi=9+2i,

所以3a=9,—b=2,解得a=3,b=—2,

則z的虛部為一2.

故答案為：-2.

14.（5分）（2025?上海黃浦?三模）已知非零向量方在向量了上的投影向量為芳，同=魚(yú)，則@-為不=

【答案】-1

【解題思路】利用投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出萬(wàn)?石的值，再利用平面向量數(shù)量積

的運(yùn)算性質(zhì)可求出@-為小的值.

【解答過(guò)程】因?yàn)榉橇阆蛄糠皆谙蛄苛松系耐队跋蛄繛椋?/p>

所以竺=〈，故,.5=；同2=[X2=1,

\b\222

所以@一司了=益不一京=1-2=—1.

故答案為：—1.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(24-25高一下?福建福州?期末)已知復(fù)數(shù)2=記+(根2—a)i,貝|

m

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)加取什么值時(shí)，Z是實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)在什么范圍時(shí)，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

【答案】(1)1

(2)—2<m<0

【解題思路】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程和不等式，求出答案；

(2)根據(jù)所在象限得到不等式組，求出答案.

【解答過(guò)程】(1)由題意得Hi?一爪=o且小不°,解得7n=1；

(2)由題思得|rn,解得一2<小<0,

tm2—m>0

故當(dāng)-2(爪<0時(shí)，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

16.(15分)(2025?天津河北,模擬預(yù)測(cè))已知向量N=(-3,1),b=(1,=2),c=(1,-1).

⑴求22—了的坐標(biāo)，同的值；

⑵若?//0+kb),求實(shí)數(shù)人的值；

(3)若？10+點(diǎn))，求實(shí)數(shù)上的值.

【答案】(1)22—5=(—7,4),|同=代；

(2)fc=-2；

4

⑶k=?

【解題思路】(1)由向量線性關(guān)系和模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算求2方-了坐標(biāo)和同；

(2)由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)；

(3)由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).

【解答過(guò)程】(1)由題設(shè)2N—石=2?(-3,1)-(1,-2)=(—7,4),歷|=J12+(_2)2=有；

(2)由題設(shè)N+kb=(-3,1)+k?(1,-2)=(k-3,1-2k),Xc//(a+kb),

所以?=詈，則k-3=2左一1,可得k=-2；

(3)由(2)Scl(a+fcb),貝1仗0+屯)=左一3+2/￡—1=0,可得k=g.

17.(15分)(24-25高一下?山西呂梁?階段練習(xí))如圖，在△力BC中，。為邊BC上的點(diǎn)，且BD=2DC,E

是2D的中點(diǎn)，設(shè)前=五，AC^b.

A

（1）試用方、萬(wàn)表示近；

（2）若同|=1,同=1,且五與了的夾角為60。，求|旗

【答案】（1）而=（方+：］

⑵函=乎

【解題思路】（1）由題意得出前=2反，結(jié)合平面向量的減法可得出而關(guān)于本石的表達(dá)式；

（2）利用平面向量的基本定理得出南關(guān)于方、石的表達(dá)式，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得|旗|的值.

【解答過(guò)程】（1）在△ABC中，。為邊BC上的點(diǎn)，且BD=2DC,則麗=2反，

所以而—屈=2（而_而），解得而=：屈+|而=1+|江

Tlj*5—

（2）因?yàn)镋為4D的中點(diǎn)，所以南=荏一屈=—a=-b——a,

36

所以|國(guó)=出_|同=3|21一5a|=-5a）2=^25a2-20a-b+4b2

=|j25|a|2-20|a|?|h|cos60°+4同？=1^25-20x1x1x1+4=等.

18.（17分）（24-25高一下?遼寧?期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知四邊形。ABC是等腰梯形,

A（6,0）,C（1,V3），點(diǎn)M滿足麗=1瓦?，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），如圖所示.

（1）當(dāng)點(diǎn)P為線段BC中點(diǎn)時(shí)，將訶繞原點(diǎn)。沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)75。到西的位置，求點(diǎn)Pi的坐標(biāo);

⑵求NOCM的余弦值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)A,使（31-4折）1CM?若存在，求出實(shí)數(shù)4的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3位一遍3近+正

【答案】（1）（一）

2'2

(3)存在，A6(—co,—12]U樣,+8)

【解題思路】(1)根據(jù)題意的P(3,b),M(3,0),B(5,禽)，OPi=2百，根據(jù)在三角形中可求得答案；

(2)根據(jù)三角形中余弦定理運(yùn)算公式可求得答案；

(3)設(shè)P(t,百)，其中1WtW5,根據(jù)(瓦？—4訶)?加=0,可得12=(21—3)九分類討論可求得的范

圍.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)?4BC是等腰梯形，A(6,0),C(1,V3),旃=：市，點(diǎn)P為線段BC中點(diǎn)

所以P(3,遮),M(3,0),B(5,百)，貝IJ0P=12+(V3)3=2值,NP0M=30°,將加繞原點(diǎn)。沿逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)75。至！J西的位置，如圖所示.作Pi。1y軸于點(diǎn)D,0Pi=2聒4POP、=75°,可得ADOPi=30°+75°-

90°=15°,

_。。V2V3V21V6+V2

cosz￡)OP1=cosl5=cos(45—30)=—x—+—x—=-------

sinzDOP1=sinl50=sin(45°—30°)=?xg—亨x；=神［R

OD=0P1xCOSN￡)OPI=2百x=亞步,DP^OP^XsinzDOP^zVSx=獨(dú)手,

3近一瓜3V2+V6.

所以點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(--2-，-2-)

(2)在△OCM中，OM=3,OC=Vm=2,CM=(3-I)2+(0-V3)2=V7,

。。2+優(yōu)2-。河2_4+7-9V7

所以coszOCM

2xOCxCM2x2xV714,

因此40cM的余弦值當(dāng)

14

(3)設(shè)P(t,V5),其中1WtW5.

OA=(6,0),WP=(At,V3A),OA一MP=(6-At,一V3/L),CM=(2,-V3)

若(初一;l而)1CM,貝式市一4赤)-CM=0,

即2x(6-")+百xV3A=0=12-22t+34=0,可得12=(2t-3)九

若"去則I不存在，

若tK|,則4="t€[1,|)U?同,故4G(—0°,—12]U/,+8).

19.(17分)(2024?貴州貴陽(yáng)?二模)在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：z=a+bi與2=a—?dú)v(a,beR),我

們把它們互稱為共軌復(fù)數(shù)，b大0時(shí)它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，這是共甄復(fù)數(shù)的特點(diǎn).它們還有

如下性質(zhì)：

(1)z+z=2aeR

(2)z—2=2歷(當(dāng)bH0時(shí)，為純虛數(shù))

(3)z=z<=>z6R

(4)(z)=z

(5)z-z=a2+Z)2=\z\2=|z|2.

(6)兩個(gè)復(fù)數(shù)和、差、積、商(分母非零)的共朝復(fù)數(shù)，分別等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的共甄復(fù)數(shù)的和、差、積、商.

請(qǐng)根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問(wèn)題：

⑴設(shè)zW±i,|z|=1.求