專題1.4基本不等式及其應(yīng)用(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1基本不等式及其應(yīng)用】.........................................................................3

【題型2直接法求最值】................................................................................3

【題型3配湊法求最值】................................................................................4

【題型4常數(shù)代換法求最值】...........................................................................4

【題型5消元法求最值】................................................................................4

【題型6齊次化求最值】................................................................................5

【題型7多次使用基本不等式求最值】..................................................................5

【題型8基本不等式的恒成立、有解問題】.............................................................6

【題型9利用基本不等式解決實際問題】...............................................................6

［題型10基本不等式與其他知iE交匯】.................................................................7

1、基本不等式及其應(yīng)用

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的重

(1)了解基本不等式的推點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來

2022年I卷：第12題，5分

導(dǎo)過程看，對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考

2023年新高考I卷：第22題，

(2)會用基本不等式解決查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，

12分

最值問題應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、

2025年北京卷：第6題，4分

(3)理解基本不等式在實求最值和求取值范圍的問題；同時要注

2025年上海卷：第8題，5分

際問題中的應(yīng)用意基本不等式在立體幾何、平面解析幾

何等內(nèi)容中的運(yùn)用.

知識梳理

知識點基本不等式

1.兩個不等式

不等式內(nèi)容等號成立條件

重要不等式a2+h2>2ab(a.b￡R)當(dāng)且僅當(dāng)％=夕'

時取“=”

基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)“&且“

ab4(6?>0,Z)>0)

2時取“=”

“+6叫做正數(shù)mb的算術(shù)平均數(shù),仍叫做正數(shù)小l的幾何平:均數(shù).

2

基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

2.基本不等式與最值

已知x,y都是正數(shù)，

(1)如果積xy等于定值P,那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2P；

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積孫有最大值_12

4

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1興、y>0,(2)和(積)為定值，(3)存在取

等號的條件.

3.常見的求最值模型

(1)模型一：nix+—>2y[mn(ni>0,/:>0),當(dāng)且僅當(dāng)工=時等號成立：

(2)模型二：+—-—=m(x-a)4---—+ma>2\lmn+nui(m>(),/?>0),當(dāng)且僅當(dāng)x-a=時等號成

x-ax-aVm

(3)模型三:

〃'出/、nix(n-mx)1,mx+n-nix/八八八〃、w口△，“，ni

(4)模型四：-mx)=---------<—?(-----------Y=—(m>0,〃>0,0<x<—),當(dāng)且僅當(dāng)x=—時

mm24mm2m

等號成立.

4.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法:利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)''或"積為常數(shù)”的形式.

⑶常數(shù)代換法:主要解決形如“已知x+尸”為常數(shù))，求?+彳的最值”的問題，先將?轉(zhuǎn)化為

((十彳).，再用基本不等式求最值.

(4)消元法:當(dāng)所求最值的代數(shù)式口的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常

數(shù)”或“積為常數(shù)''的形式，最后利用基本不等式求最值.

舉一反三

【題型1基本不等式及其應(yīng)用】

【例1】（2025?北京?高考真題）已知。>0,力>0,則（）

A.a2+b2>2abB.-+7>-7

abab

C.a+b>yfabD.-+7<i

ahvab

【變式11]（2025?陜西寶雞?二模）設(shè)a,bWR,則“a+bN2”是“c?+西22”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-2]（2025?全國?三模）已知Q>0,b>0,且a+b=l,則下列不等式不正確的是（）

A.ahB.a2+h2

C.-+-—>2D.y/a,+>[b<1

ab+1

【變式1-3]（2025?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示

圖形，在等腰直角三角形△48C中，點。為斜邊的中點，點。為斜邊上異于頂點的一個動點，

設(shè)=BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

A.—>Vab(a>0,b>O')B.<Vab(a>0,b>0)

2a+b

C.(a>0,b>0)D.a2+b2>2y/ab(a>0,b>0)

【題型2直接法求最值】

【例2】（24-25高一上?重慶?期末）函數(shù)y=3%+>0）的最小值是（）

A.4B.5C.3V2D.2V3

（24-25高一上?廣東河源?階段練習(xí)）已知Q>0,則a+工的最小值是（）

【變式2-1]a

A.-1B.1C.2D.3

【變式2-2]（24-25高二上?云南昭通?階段練習(xí)）若%>0,則、=（1一切（8-3的最大值是（）

A.-2B.0C.1D.2

【變式2-3】（2025?河北保定?二模）已知x,y是非零實數(shù)，則提+,的最小值為（）

A.6B.12C.2D.4

【題型3配湊法求最值】

【例3】（25-26高一上?全國?課后作業(yè)）若則4a+七的最小值為（）

Q-1

A.4B.6C.8D.無最小值

【變式3-1】（2025?遼寧?模擬預(yù)測）已知x6（0,+8）,則y=x+T+*的最小值為（）

A.V2B.2C.2V2D.V3

【變式3-2]（2025高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)y=x（3—2%）的最大值為（）

A.3B.-9C.9-D.-9

428

【變式3-3]（2025?河北石家莊?一模）已知XE（0,4）,則f（x）=g+總的最小值為（）

A.-B.C.-D.-

3234

【題型4常數(shù)代換法求最值】

【例4】（2025?河南?三模）若Q>0,b>0,且a+b=l,則一1一：的最大值為（）

ab

A.-9B.-7C.-5D.-3

【變式4-1】（2025?山東?模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)a,b滿足Q+2b=1,則婦野的最小值為（）

A.yB.17C.8+4而D.16

【變式4-2]（2024?江蘇宿遷?一模）若a>0,b>0,a+2b=3,則三+：的最小值為（）

ab

A.9B.18C.24D.27

【變式4-3]（2025?福建泉州?二模）若xZO,y>0,且W+U不=1，則3%+4y的最小值為（）

A.2B.3C.4D.8

【題型5消元法求最值】

【例5】（2025?陜西寶雞?二模）已知正數(shù)％y滿足％+則：+2y的最小值是（）

A.2+2V2B.6C.472D.3+272

【變式5-1]（2024?山西?三模）已知正實數(shù)x,歹滿足/+3肛-2=0,則2%+y的最小值為（）

A.要B.孚C.1D.1

3333

【變式5?2】（2025?河北滄州?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)m,幾滿足小九=2,則上+白+--的最小值為（）

mn2m+n

A.2V2B.3C.3V2D.4

【變式5-3]（2025?河南?模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)a,b,。滿足2c2-兒+2b2一十=0,則當(dāng)abc取得最大值時,

工+：—6a的最大值為（）

cb

A.4B.3C.5D.y

【題型6齊次化求最值】

【例6】（24-25高一下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）己知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,則守的最小值為（）

A?志B.2&C.熹工D.2V2+1

【變式6-1】（2024?江西新余?二模）已知x,y為正實數(shù)，且x+y=2,則號蛆的最小值為（）

A.12B.3+2&C.yD.

【變式6-2]（24-25高一上?安徽蕪湖?期末）已知工則也用的最小值為（）

2x-1

A.7+6V3B.64-6V3

C.7+4V3D.6+4V3

【變式6-3]（24-25高三上?山西?期末）已知正實數(shù)x,y滿足為+2y=3,則等的最小值為（）

A.2V2+1B.4C.4V2+1D.6

【題型7多次使用基本不等式求最值】

【例7】（2025?天津紅橋?一模）已知a>0,6>0,則十+急+b的最小值為（）

A.4V2B.2V2C.4D.2

【變式7-1]（2025?河南?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a,b,滿足a+bN；+：,則a+b的最小值為（）

2ab

A.5B.7C.5V2D.—

22

【變式（?全國?模擬預(yù)測）已知為非零實數(shù)，均為正實數(shù)，則的最大值為（）

7-2]2025ab,c4；1：+：：/『'?

A1B—C—D—

八.2D,4J254

【變式7-3］（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）已知%>-1,y>0,z>0,2x+3y+z=2,則<+*三的最

x+lyz

小值為（）

A.：+nB.竽C.竽D.1+V6

2222

【題型8基本不等式的恒成立、有解問題】

【例8】（2025?吉林延邊?一模）已知正文數(shù)%,y滿足％+y—2xy=0，且不等式4+y—a>0恒成立，貝Ua

的取值范圍是（）

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

【變式8-1］（2024?浙江寧波?一模）不等式（%2-ax-1）（%-匕）N0對任意%>0恒成立，則/+/的最小

值為（）

A.2加一2B.2C.2V2D.2企+2

【變式8-2］（24-25高一上?安徽池州?期中）已知x>0,y>0,且x+y=5,若<+々n2m+1恒成立，

x+ly+2

則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.（一8篇B.（-co,|C.D.（-a>,4］

【變式8-31（24-25高三上?浙江寧波期末）設(shè)實數(shù)”滿足%>|,y>3,不等式Z（2x-3）（y-3）<8x3+y3-

12工2一3產(chǎn)恒成立，則實數(shù)上的最大值為（）

A.12B.24C.2V3D.4V3

【題型9利用基本不等式解決實際問題】

【例9】（2025?江西?模擬預(yù)測）在生物界中，部分昆蟲會通過向后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵.已知某類

昆蟲在水平方向上速度為"（單位：米/秒）時的跳躍高度H（單位：米）滿足/=丁蕓7,則該類昆蟲的最

大跳躍高度為（）

A.0.25米B.0.5米C.0.75米D.1米

【變式9-1］（2025?廣西?一模）現(xiàn)使用一架兩臂不等長的天平稱中藥，操作方法如下：先將100g的祛碼放

在天平左盤中，取出一些中藥放在天平右盤中，使得天平平衡：再將100g的祛碼放在天平右盤中，再取出

一些中藥放在天平左盤中，使得天平平衡.則兩次實際稱得的藥品總重量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

【變式9-2】（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單

價分別為/〃元和〃元（m黃九），甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買10（）元的該商品，乙每周購

買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為即,。2,則（）

A.%=a2B.由<a?C.aj>a2D.的大小無法確定

【變式9?3】（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）如圖所示的“大方圖”稱為趙爽弦圖，它是由中國數(shù)學(xué)家趙爽于公元

3世紀(jì)在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”

一書之中.他用數(shù)學(xué)符號語言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a，b斜邊為c（a、氏c均為E數(shù)）.則（Q+

匕）2=4ab+Q-Q）2,（Q+6）2=2c2-（b-a）2”.某同學(xué)讀到此書中的“趙爽弦圖”時，出于好奇，想用軟鋼

絲制作此圖，他用一段長6cm的軟鋼絲作為a+匕的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請你給他算一

算，他能制作出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（）

A.9B.18C.27D.36

【題型10基本不等式與其他知識交匯】

【例10】（24-25高二上?上海松江?期中）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個

圓柱和一個圓錐組合而成（如圖）.已知一木制陀螺模型內(nèi)接于一表面積為16ncm2的球，其中圓柱的兩個底

面為球的兩個截面，圓錐的頂點S在該球的球面上.

（1）若圓柱的高為2cm,求該陀螺的體枳及表面積：

（2）規(guī)定陀螺圓錐的頂,點:S到圓柱中離它遠(yuǎn)的底面DC距離為陀螺的高，要使陀螺的圓柱的側(cè)面積最大.此時陀

螺的高是多少呢？

【變式10-1](2024?廣東珠海?一模)已知小B、C是44BC的內(nèi)角,0、b、c分別是其對邊長,向量沆=(Q+瓦C),

n=(sinF—sin/1,sinC-sin^),且沆1冗

(1)求角4的大??；

(2)若Q=2,求448。面積的最大值.

【變式10-2】(2025高三?全國?專題練習(xí))片，4分別是橢圓于?+必=1的左、右焦點.

(1)若尸是該橢圓上的一個動點，求西?麗的取值范圍；

(2)設(shè)4(2,0),B(0,l)是它的兩個頂點，直線y=R%(kN0)與46相交于點。,與橢圓相交于￡、尸兩點.求四

邊形力E5b面積的最大值.

【變式10?3](24-25高一下?江蘇無錫?階段練習(xí))在△力BC中，a=ccosB+^b.

(I)若a+b=8,△48。的面積為3舊，求c；

(2)若c=4,

①求a+b+c的值:

sin/l+sin/?+sinC

②求△48C面積的最大值；

③求△力BC周長的取值范圍.

過關(guān)測試

一、單選題

1.（2025?安徽?三模）^\xy\>1”是《+y2>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2025?新疆省直轄縣級單位?模擬預(yù)測）已知工€（0,+8）,則y=2x+島■的最小值為（）

A.3B.4C.3V2D.6

3.（2025?河南信陽?模擬預(yù)測）已知Q+b=1（出）>0）,則工+：的最小值為（）

ab

9

A.IB.2C.4D.-

4

4.（2025?重慶?三模）己知%2+y2=2%2y2（%y金0）,則2-％2—9y2的最大值為（）

A.6B?-6C.8D.-8

5.（2025?廣東揭陽?三模）”物競天擇，適者生存”是大自然環(huán)境下選擇的結(jié)果，森林中某些昆蟲會通過向

后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵羥某生物小組研究表明某類昆乂在水平速度為v（單位：分米/秒）時的跳

躍高度，（單位：米）近似滿足/=當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系，則該類昆蟲的最大跳躍高度約為（）

1-Hv￡

A.0.2米B.0.25米C.0.45米D.0.7米

6.（2025?山東濟(jì)寧?模擬預(yù)測）已知x>0,y>0,且砂+2y2-36=0,則不必的最大值（）

A.12B.6V6C.36D.24n

7.（2025?廣東汕頭?模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,。+：=1,則乙+b的最小值是（）

ba

A.1B.2C.4D.8

8.（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測）記max{a,b}表示實數(shù)a,b中的較大的數(shù)，已知x,y,z均為正數(shù)，則max"3）+

max{y,“+max{z,：}的最小值為（）

A.2&B.3C.4V2D.6

二、多選題

9.（2025?湖北恩施?模擬預(yù)測）若正實數(shù)a,b滿足2a+b=L則下列結(jié)論正確的是（）

A.2ab的最大值為;B.。2+〃的最小值為:

44

C.伍+石的最大值為企D.2+；的最小值為9

ab

10.（2025?福建漳州?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)-y滿足％+2y=l,則（）

A.xy<\B.x2+y>!

oL

C.-+->3+2V2D.x+-^->2

xy\-2y

11.（2025?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測）已知a,b為正實數(shù)，ab+a+2b=14,則下列說法正確的是（）

A.cz+b<21B.H的最小值為-1