專題2.3幕函數(shù)與二次函數(shù)(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1幕函數(shù)的定義】................................................................................2

【題型2比較幕值的大小】.............................................................................3

【題型3鼎函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用】....................................................................3

【題型4累函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.............................................................5

【題型5求二次函數(shù)的值域或最值】....................................................................5

【題型6二次函數(shù)的圖象問題】.........................................................................6

【題型7二次函數(shù)的單調(diào)性問題】.......................................................................7

【題型8二次函數(shù)的恒成立問題】.......................................................................8

1、塞函數(shù)與二次函數(shù)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析

導(dǎo)函數(shù)與二次函數(shù)是常見的重要函

數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地

(1)了解累函數(shù)的定義，掌位，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年

握累函數(shù)的圖象與性質(zhì)的高考形勢來看，黑函數(shù)較少單獨(dú)考查，

2020年江蘇卷：第7題，5分

⑵熟練掌握二次函數(shù)的常與指、對數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較

2024年天津卷：第2題，5分

圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對指對塞的大小、解不等式等考法，主要

稱性與最值等)出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；

二次函數(shù)常與其他知識相結(jié)合，考查二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

知識梳理

知識點(diǎn)1鬲函數(shù)的解題技巧

1.寒函數(shù)的解析式

鼎函數(shù)的形式是》=x〃(a￡R),其中只有一個參數(shù)a,因此只需二±條件即可確定其解析式.

2.塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)

在區(qū)間(0,1)上，制函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+a)上，事函數(shù)

中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

3.比較嘉值的大小

在比較幕值的大小時，必須結(jié)合幕值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較,準(zhǔn)確掌握各個幕

函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

知識點(diǎn)2二次函數(shù)的解題技巧

1.二次函數(shù)解析式的求法

（I）一般式法:己知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式.

（2）頂點(diǎn)式法:已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸或最大（?。┲?，選用頂點(diǎn)式.

（3）零點(diǎn)式法:己知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式.

2.二次函數(shù)的圖象問題

C）研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析,“三點(diǎn)”口有一個點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個點(diǎn)是圖象上關(guān)于

對稱軸對稱的兩個點(diǎn)，常取與X軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線：“一開口”是指拋物線的開口方向.

（2）求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.

3.二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個端點(diǎn)和口點(diǎn)，一軸指

的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.

4.二次函數(shù)的恒成立問題

不等式恒成立求參數(shù)范闈，一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)：二是不分離參數(shù),直接借助于函數(shù)圖象

求最值.這兩個思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

舉一反三

【題型1鬲函數(shù)的定義】

【例1】（25-26高一上?全國?課后作業(yè)）下列函數(shù)中，屬于尋函數(shù)的是（）

A.y=（2x）2B.y=返C.y=—D.y=2X

【變式1-1]（2025高三?全國?專題練習(xí)）下列函數(shù)既是幕函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）

A.y=x3B.y=x2C.y=x3+1D.y=>/x

22

【變式1-2]（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）在函數(shù)y=X-2,y=2x,y=（x+I）,y=3%中，基函數(shù)的

個數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

【變式1-3]（24-25高一上?上海?期中）下列函數(shù)是某函數(shù)且在。+8）上是減函數(shù)的是（）

1_2

A.y=x2B.y=爐C.y=2x_1D.y=x~

【題型2比較鬲值的大小】

【例2】(24-25高一上?安徽安慶?階段練習(xí))已知a=2%b=O.40,2,c=O.1501,則a,b,c的大小關(guān)系

是()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【變式2-1](24-25高一上?陜西咸陽?期末)已知a、bE(0,1)U(1,+8)且c>0,則“Q>b>1”是“山>

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-2](24-25高一上?安徽?期中)幕函數(shù)/1(%)=(*-加-1)/2+2*5在區(qū)間(o,+8)上單調(diào)遞增，

且a+b>0,則f(a)+f(b)的值()

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷

【變式2-3](2025?湖北孝感?模擬預(yù)測)已知/(%)為奇函數(shù)，當(dāng)04x42時，f(x)=2x-x2,當(dāng)％>2時，

/W=|x-3|-1,則()

A.-/(-V26)>/(203)>/(30-3)B./(20-3)>/(303)>-/(-V26)

C.-/(-V26)>/(3。3)>/-^0-3)D./-(303)>/-(203)>-/(-V26)

【題型3幕函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用】

【例3】(24-25高一上?浙江杭州?期末)如圖所示的帚函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式可能為()

2

c.'=/D.y=短

【變式3-1](24-25高一上?遼寧?期末)如圖，①②③④對應(yīng)四個幕函數(shù)的圖象，則①對應(yīng)的號函數(shù)可以是

_i233

JA.y=x~2B.y=C.y=D.y=

p

【變式3-2］（24-25高一?全國?課后作業(yè)）已知幕函數(shù)y=點(diǎn)（p,q€Z且p,q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如

圖所示，則（）

A.p,g均為奇數(shù)，且:>0

B.g為偶數(shù)，p為奇數(shù),且卜。

C.4為奇數(shù)，P為偶數(shù)，且:>0

D.g為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且￡<0

【變式3?3】（24-25高一上?上海浦東新?期中）圖中的、C2、C3分別為暴函數(shù)y=y=xa2,y=在

第一;象限內(nèi)的圖象，則①,做，。3依次可以是（）

峰\/

O1X

工

A.3,-1B.3,-1,

2

Cp3,-1D.f3

【題型4鬲函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例4】(24-25高一下?安徽馬鞍山?開學(xué)考試)已知點(diǎn)(苗,亨)在箱函數(shù)/?(%)的圖象上，則/(0是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.在X€(-8,0)u(0,+8)上單調(diào)遞減

【變式4-1](24-25高一上?廣東汕頭?期末)已知塞函數(shù)/(%)=(加2-3血+1)/1是區(qū)上的偶函數(shù)，且函

數(shù)gG)=fM+(4-2n)》在區(qū)間[1,5]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)ri的取值范圍為()

A.(-oo,3]B.[7,+8)C.[3,7]D.(-oo,3]u[7,+oo)

【變式4-2](24-25高一上?江蘇揚(yáng)州?期末)若塞函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(41),則下列說法正確的是()

A./(%)為偶函數(shù)B.方程/(%)=27的實(shí)數(shù)根為2

C.fO)在(0,+8)上為增函數(shù)D./(%)的值域?yàn)镽

【變式4-31(24-25高一下?湖北?階段練習(xí))累函數(shù)/(%)=(?n2-rn-l)xm,Vx,x€(0,+8)都有&±皿＜

12XI-X2

0成立，則下列說法正確的是()

A.m=2B.m=2或m=-1

c./(%)是偶函數(shù)D./G)是奇函數(shù)

【題型5求二次函數(shù)的值域或最值】

【例5】(2025高二下?湖南郴州?學(xué)業(yè)考試)函數(shù)y=-％2-4%+3(》€(wěn)R)的值域?yàn)?)

A.[7,+oo)B.(7,+8)C.(-8,7)D.(-8,7]

【變式5-1](2025高一上?河北保定?專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+mx+m2-m(m為

常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,6),其對?稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有()

A.最大值5B.最大值日

4

C.最小值5D.最小值學(xué)

4

【變式5-2](24-25高一上?新疆?期中)已知函數(shù)/(%)=%?-4%+5在[m,可上的值域是[1,10],則八一7九

的最大值是()

A.3B.6C.4D.8

【變式5?3】(24-25高二上?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/?(%)=-7+2"若/?(/(%))的最大值與f(%)的最大

值相等，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是()

A.b<0B.b21或bW0C.-1<Z?<0D.b>-l

【題型6二次函數(shù)的圖象問題】

【例］6］（24-25高一上?重慶?期中）已知函數(shù)/'（%）=ox?+版+前若Q>b>C,Q+b+c=0,則f（x）的圖

象可能是（）

【變式6-1］（24-25高一下?云南迪慶?期末）拋物線y=Q%2+"+C（Q看0）的部分圖象如圖所示，下列說法

正確的是（）

A.abc>0B.b=2a

C.3a+c<0D.b2<4ac

【變式6-2］（24-25高一上?福建福州?階段練習(xí)）不等式cd+Qx+b〉。的解集為1卜1<無<g},則函數(shù)

y=ad+匕無一c的圖象大致為（）

【變式6-3]（2025?陜西漢中?三模）在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球后，籃球的運(yùn)行軌跡是開口向下

的拋物線的一部分.“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊(duì)員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守

隊(duì)員在籃球卜.降階段將球攔截則屬“違規(guī)”.對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階

段的水平距離越K,則被“蓋帽”的可能性越大.收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡化為卜.述

數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點(diǎn)為P，籃框中心點(diǎn)為Q，他可以選擇讓籃球在運(yùn)行途中經(jīng)過4B,

C,。四個點(diǎn)中的某一點(diǎn)并命中Q,忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最小的線路是（）

2'P

d~~i~~24~~X

A.P—>4—>QB.PtBtQC.PtCtQD.P—?D—>Q

【題型7二次函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例7】（24-25高一上?海南?階段練習(xí)）若函數(shù)/（幻=%2+（1+。注+2在區(qū)間（3,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

A.（—8,7]B.[7,+8）C.[—7,+co）D.（—00,—7]

【變式7-1]（24-25高二下?山東漣坊?期末）已知二次函數(shù)/（%）=a/+bx+c（a>0）的圖像與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為一5和3,則二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）.

A.(-co,-1]B.[-1,+00)

C.D.[2,+00)

【變式7-21(24-25高一上?陜西寶雞?階段練習(xí))"m<-17”是“函數(shù)/(%)=-3x2+2(1-m)x-5在區(qū)間

(-8,6]上單調(diào)遞增”的()

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式7-3](24-25高三上?陜西渭南?階段練習(xí))若二次函數(shù)/(0=ad+2(a-l)x+2在(一%4)上為減函

數(shù)，則Q的取值范圍為()

A-你+8)B.[0,1]C.(-oo,!]D.(0噂

【題型8二次函數(shù)的恒成立問題】

【例8】(24-25高一下?貴州?階段陳習(xí))對任意％W[-1,1],不等式2/一2%+1-恒成立，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是()

A.(-00,1]B.(-8,3C.(一8,2D.卜+8)

【變式8-1](2025?陜西西安?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(%)=42-2四,命題石工6[2,6],八外工一2。+3”是假

命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.6+8)B.(3,4-a>)C.(2,+8)D.(-80

【變式8-2】(2025?上海黃浦?二模)設(shè)函數(shù)/(%)=『若/(%)>o恒成立，則實(shí)

(axL-2x4-3,0<x<4

數(shù)”的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(0,§

。篇,I)D.你1)

【變式8-3](2025?福建?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/0)是定義在R上的偶函數(shù)，旦當(dāng)”>0時,/(%)=x2-2x+2.若

f(x)>2x+匕對任意的％6R恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A.(-oo,2]B.(-oo,l]C.(-oo,0]D.(-oo,-2]

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025?河南駐馬店?模擬預(yù)測)已知豪函數(shù)/(%)=(m2+血一的圖象與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn),則血=()

A.-2B.IC.-2或1D.-1或2

2.（2025?山東?模擬預(yù)測）設(shè)全集U=R,集合/={y|y=X2,XER},B={X\-1<x<1],則"|一1<x<

0}=（）

A.A\JBB.（C（yy4）nBC.An（Q;B）D.QG4nB）

3.（2（）25-江蘇鹽城三模）“血=2”是“/3）=02一血-1）/2+2時3為尋函數(shù)，，的（）條件.

A.充要B.必要不充分C,既不充分也不必要D.充分不必要

4.（24-25高一上?北京?開學(xué)考試）已知二次函數(shù)'=租%2一2m/（血為常數(shù)），當(dāng)一14工42時，函數(shù)值

y的最小值為—2,則m的值是（）

A.-2B.1C.2或一|D.-1

5.（24-25高一上?廣西欽州?階段練習(xí)）“m<-17”是“函數(shù)/（%）=-3x2+2（1-m）x-5在區(qū)間（-8,6］上

單調(diào)遞增''的（）

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.（2025?天津?二模）已知函數(shù)y=2ax3（av。），則此函數(shù)是（）

A.偶函數(shù)，且在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞減B.偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

C.奇函數(shù)，且在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞減D.奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

7.（2025?江西?一模）若直線y=t（0<t<1）與鼎函數(shù)y=爐，y=?,y==的圖象從左到右依次交于不

同的三點(diǎn)4B,C,則|力。=（）

A.\-t2B.C.V?D.Vt-t2

8.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）己知函數(shù)/（幻=工2一2a+2￡2—2%則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.f（x）的圖象恒過點(diǎn)（0,0）B./（刈的圖象必與%軸有兩個不同的交點(diǎn)

C./（%）的最小值可能為-2D.f（x）的最小值可能為一1

二、多選題

9.（24-25高一上?貴州?階段練習(xí)）現(xiàn)有4個幕函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)可能成立的是（）

A.p=3,m=2,q=；,n=—3

B.p=4?771=3,q=g,n=—2

C.p=2,m=3,q=—n=-3

D.p=；，血=：，q=-2,n

10.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）二次函數(shù)y=xz+（2Q-l）x-3在X￡[-1,3]上最大值為I,則實(shí)數(shù)a

值為（）

A.--B.--

23

C.--D.-1

4

11.（24-25高一上?廣東廣州?期末）如圖，二次函數(shù)'=。%2+6%+。的對稱軸為％=1,且與不軸交于點(diǎn)