2025-2026學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)單元檢測卷第23章解直角三角形·能力提升（參考答案）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）12345678910ADCABACCBD二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11．8．12．6613．2.8．14．3,4．三、解答題（共4小題，每小題8分，共32分）15．【答案】（1）8；（2）3【分析】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，絕對值，積的乘方的逆運算，特殊角的三角函數(shù)，二次根式的加減，算術(shù)平方根，掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）先算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，特殊角的三角函數(shù)，積的乘方的逆運算，最后進(jìn)行二次根式的加減即可；（2）先算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)，最后進(jìn)行二次根式的加減即可．【詳解】解：（1）-=9-=7+1=8；（2）tan==1-1+=316．【答案】(1)見解析(2)12【分析】本題考查銳角三角形函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握正弦，余弦的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，利用完全平方公式，對式子進(jìn)行變形，進(jìn)行解答，即可．（1）根據(jù)正弦，余弦，勾股定理，可得sinB=ACAB，cosB=BC（2）根據(jù)題意，sinB+cosB=75【詳解】（1）解：證明如下：∵Rt△ABC中，∴sinB=ACAB，∴sin2B=∴sin2（2）解：∵sinB∴(sin∴sin2∵sin2∴1+2sin∴sinB17．【答案】(1)12(2)10【分析】本題考查了解三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)結(jié)合圖形，利用相似三角形或三角函數(shù)轉(zhuǎn)化線段比．（1）根據(jù)BC=AB?cosB求出BC=8，進(jìn)而由勾股定理求出AC（2）過點E作EH⊥AC于點H，由相似三角形的判定和性質(zhì)先求出HE=7.2【詳解】（1）解：∵AB=17，cosB=8∴BC=AC=又∵BD=28∴CD∴AD∵S∴CE（2）過點E作EH⊥AC于點∴EH∥∴△∴HECD∵在Rt△AEC中，代入①得：HE20∴HE∵EH∴△HEF∴18．【答案】(1)6米(2)8.4米【分析】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是理解坡度的含義，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關(guān)線段．（1）過點B作BM⊥AE,BN⊥CE，垂足分別為M、（2）先推導(dǎo)出NE=BM,BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的長，從而可得BN；再由∠CBN【詳解】（1）解：如圖，過點B作BM⊥AE，BN⊥∴∠AMB∵i=1:∴∠BAM∴BM=即點B距水平地面AE的高度為6米；（2）由（1）及題意，得∠BMA∴四邊形BMEN是矩形，∴NE=AM=∴ME=∵∠CBN∴CN=∴CE=在Rt△ADE中，∠DAE∴DE=∴CD=63=63≈8.4（米）答：廣告牌CD的高約8.4米．四、解答題（共2小題，每小題10分，共20分）19．【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出相等的線段和垂線，利用線段中點的性質(zhì)得出相等的線段，根據(jù)對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形即可得出結(jié)論；（2）令EC=x，則BE=3x，根據(jù)條件證明△BOE【詳解】（1）證明：∵AC是線段BD的垂直平分線，∴OB=∵點O是線段AC的中點，∴OA=∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：如圖所示，令EC=x，則由（1）得AC⊥∴∠BOE∵OE⊥∴∠BEO∴∠BOE∴∠OBE∴△BOE∴OEEC∴OE∴OE=∴tan∠∴∠OBE∵四邊形ABCD是菱形；∴∠ADC∴cos∠20．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握這些判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用平行得出∠DAC=∠ACB，∠DAE=∠AEB，再利用（2）先利用等邊三角形和AB=AD證明四邊形ADCE是菱形，再利用三角函數(shù)求出AB，即可求出四邊形【詳解】（1）證明：∵AD∥∴∠DAC=∠ACB∴sin∠又∵∠BAC∴∠ACB∴∠ABC∵AE平分∠BAD∴∠DAE∴∠AEB∴AB=∴△ABE（2）解：∵△ABE∴AB=AE，又∵∠ACB∴∠EAC∴∠EAC∴AE=又∵AB=AE，∴AD=又∵AD∥∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵AE=∴四邊形ADCE是菱形，∵AC=3，∠ACB∴AB=∴AE=∴四邊形ADCE的周長為4AE五、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）21．(3)拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝13．求tan2A【答案】(1)3，33，(2)5(3)3【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用勾股定理求AC，得結(jié)論；（3）作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得結(jié)果．【詳解】（1）解：tan60°＝3，tan30°＝33發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA≠2tan12∠故答案為：3，33，≠（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=AC2+如圖1，延長CA至D，使得DA=AB，∴AD=AB=5，∴∠D=∠ABD，∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+5，∴tan12∠A=tan∠D=BC（3）如圖2，作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE．則∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=1∴BC=1，AB=10，設(shè)AE=x，則EC=3-x，在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=53即AE=BE=53，EC=4∴tan2A=tan∠BEC=BCCE22．【答案】(1)6(2)12或4(3)30-15【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理可求∠ADC=90°，可得點E與點B重合，即（2）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）作EM⊥BC，AN⊥BC，垂足分別為M、N，根據(jù)tan∠EAD=12，設(shè)DE=a，則AD【詳解】（1）解：∵∠DAC=30°，∴∠ADC∵DE∴點E與點B重合，∴AE故答案為：6；（2）解：∵△BDE①當(dāng)BE=∠BED∵DE∴∠BDE∠BED∴∠BDA∴BD∴BE∴AE②當(dāng)EB=∠EBD=∠∵∠BAC=90°，∴∠EBD∴∠AED∵DE∴cos∠AED即cos60°=6-解得AE=4③當(dāng)DE=綜上所述，當(dāng)△BDE是等腰三角形，求線段AE的長為12或4（3）解：如圖，作EM⊥BC，AN⊥BC，垂足分別為∵tan∠∴DEAD故設(shè)DE=a，則∴AE=∴BE=6-∵∠ABC∴EM=AN=1在Rt△DN=∵∠∴∠∠MDE∴∠MED∴△DME∴DE∴1解得a1=65+315(∴AE六、解答題（共1小題，每小題14分，共14分）23．【答案】（1）60°，33；（2）1；（3）6或【分析】本題考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確畫出圖形，添加輔助線解答是解題的關(guān)鍵．（1）由直角三角形兩銳角互余可得∠ABD=30°，∠CBD（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證△ADE≌△BDC（3）如圖，過點D作DP⊥AB于點P，由（2）知，AD=BD=6，△ADE≌△BDC(ASA)，即得BP=DP=22BD=32，CD=DE，進(jìn)而由折疊可得四邊形CDEF為正方形，連接DF【詳解】解：（1）∵∠A=60°，∴∠ABD∴∠CBD∵∠ABD=30°，∴ADBD故答案為：60°，33（2）∵∠ADB=90°，∴∠ABD∴∠CBD=∠ABC∴∠A=∠CBD∵CD∴∠CDE∴∠BDC∵∠ADE∴∠ADE∴△ADE∴AE∴AEBC（3）如圖，過點D作DP⊥AB于點由（2）知，AD=∴