PAGE－PAGE87－§5.6二次曲線的主直徑與主方向定義5.6.1二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向．我們也可以定義二次曲線的主方向?yàn)橐粚?duì)既正交、又共軛的方向．顯然，主直徑是二次曲線的對(duì)稱軸，因此主直徑也叫做二次曲線的軸，軸與曲線的交點(diǎn)叫做曲線的頂點(diǎn)．現(xiàn)在我們來求二次曲線F(x，y)≡ (1)的主方向與主直徑．如果二次曲線（1）為中心曲線，那么與二次曲線（1）的非漸近方向X︰Y共軛的直徑為（5.5－1）或（5.5－2）．設(shè)直徑的方向?yàn)閄'︰Y'，則由于兩方向共軛，有X'︰Y'＝︰ (16)由于方向X︰Y和X'︰Y'垂直，在直角坐標(biāo)系下，兩向量{X︰Y}和{X'︰Y'}垂直，故其內(nèi)積為零，即XX'＋YY'=0，或?qū)懗蒟'︰Y'＝－Y︰X (17)將（17）代入（16）就得X︰Y＝︰ (18)因此X︰Y成為中心二次曲線（1）的主方向的條件是 (5.6－1)成立，其中l(wèi)≠0．（5.6－1）可改寫成 (5.6－1')這是一個(gè)關(guān)于X，Y的齊次線性方程組．因?yàn)閄，Y不能全為零，此齊次線性方程組有非零解，所以其系數(shù)行列式 (19)即 (5.6－2)因此對(duì)于中心二次曲線來說，只要由（5.6－2）解出l，再代入（5.6－1）或（5.6－1'），就能得到它的主方向．如果二次曲線（1）為非中心二次曲線，那么它的任何直徑的方向總是它的惟一的漸近方向X1:Y1＝而垂直于它的方向顯然為X2:Y2＝＝所以非中心二次曲線（1）的主方向有下面兩種：漸近主方向X1:Y1＝－a12:a11=a22:(－a12) (20)非漸近主方向X2:Y2＝a11:a12=a12:a22 (21)在方程（5.6－2）中令I(lǐng)2=0，得其兩根為將這兩個(gè)根代入（5.6－1）或（5.6－1'），得到的主方向恰好為非中心二次曲線的漸近主方向與非漸近主方向．這樣，我們就把根據(jù)方程（5.6－2）的根和（5.6－1'）求二次曲線的主方向的方法推廣到了非中心二次曲線．因此，一個(gè)方向X︰Y成為二次曲線（1）的主方向的條件是（5.6－1'）成立，這里的l是方程（5.6－2）的根．定義5.6.2方程（19）或（5.6－2）叫做二次曲線（1）的特征方程，特征方程的根叫做二次曲線的特征根．從二次曲線（1）的特征方程（5.6－2）求出特征根l，把它代入（5.6－1）或（5.6－1'），就得到相應(yīng)的主方向．如果主方向?yàn)榉菨u近方向，那么根據(jù)就能得到共軛于此主方向的主直徑．至此，我們需要解決特征根的存在問題，這有下面的命題保證．命題5.6.1二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù)．證因?yàn)樘卣鞣匠痰呐袆e式D＝≥0所以二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù)．命題5.6.2二次曲線的特征根不能全為零．證如果二次曲線的特征根l1=l2=0，那么由（5.6－2）及韋達(dá)定理得即 與從而得 a11＝a12＝a22＝0這與二次曲線的定義矛盾，所以二次曲線的特征根不能全為零．命題5.6.3由二次曲線（1）的特征根l確定的主方向X︰Y，當(dāng)l≠0時(shí)，為二次曲線的非漸近主方向；當(dāng)l＝0時(shí)，為二次曲線的漸近主方向．證首先所以由（5.6－1）得因X、Y不全為零，故當(dāng)l≠0時(shí)，≠0，X︰Y為二次曲線（1）的非漸近主方向；當(dāng)l＝0時(shí)，＝0，X︰Y為二次曲線（1）的漸近主方向．命題5.6.4中心二次曲線至少有兩條主直徑，非中心二次曲線只有一條主直徑．證由二次曲線（1）的特征方程（5.6－2）解得兩特征根為1°當(dāng)二次曲線（1）為中心曲線時(shí)，I2≠0．如果特征方程的判別式D＝＝0，那么＝，＝0，這時(shí)的中心曲線為圓（包括點(diǎn)圓和虛圓），它的特征根為一對(duì)二重根l＝a11＝a22(≠0)把它代入（5.6－1）或（5.6－1'），則得到兩個(gè)恒等式，它被任何方向X︰Y所滿足，所以任何實(shí)方向都是圓的非漸近主方向，從而通過圓心的任何直線不僅都是直徑，而且都是圓的主直徑，于是圓有無數(shù)多條對(duì)稱軸．如果特征方程的判別式D＝＞0，那么特征根為兩不等的非零實(shí)根l1，l2，將它們分別代入（5.6－1'），得到相應(yīng)的兩個(gè)非漸近主方向X1:Y1＝a12:(l1－a11)＝(l1－a22):a12 (22)X2:Y2＝a12:(l2－a11)＝(l2－a22):a12 (23)這兩個(gè)主方向是共軛的，現(xiàn)證明它們也是垂直的．由（22）和（23），存在非零實(shí)數(shù)t使{X1，Y1}×{X2，Y2}＝{a12t，(l1－a11)t}×{a12t，(l2－a11)t}＝＝＝＝＝0所以這兩個(gè)主方向也相互垂直，因此非圓的中心二次曲線有且只有一對(duì)互相垂直又互相共軛的主直徑．2°當(dāng)二次曲線（1）為非中心曲線時(shí)，I2＝0，這時(shí)兩特征根為＝＋，＝0所以它只有一個(gè)非漸近的主方向，即與l1＝＋對(duì)應(yīng)的主方向，從而非中心二次曲線只有一條主直徑．例1求二次曲線的主方向與主直徑．解∵I1＝1＋1＝2，I2＝＝≠0∴曲線為中心曲線，它的特征方程為解此方程得到的兩特征根為：，將代入方程（5.6－1'），得，即 此方程組的解就是由特征根確定的主方向X1:Y1=1:1．將代入方程（5.6－1'），得故由特征根確定的主方向?yàn)閄2:Y2=－1:1．又因?yàn)?，，所以所給二次曲線共軛于主方向1:1的主直徑為即 x＋y＝0所給二次曲線共軛于主方向－1:1的主直徑為－即 x－y＝0例2求二次曲線的主方向與主直徑．解∵I1＝1＋1＝2，I2＝＝0∴曲線為非中心曲線，它的特征方程為兩特征根為 l1＝2，l2＝0因?yàn)閘1＝2是非中心二次曲線的非零特征根，它確定二次曲線的非漸近主方向：X1:Y1