4.1.2垂線

夯基礎

題型一理解垂線的定義

1.（22-23七年級下?湖南長沙?期中）如圖，COLAB,DOLAB,。為垂足，那么C、D、。三點在同一條直

線上，其理由是（）

A.兩點之間線段最短4

B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行

CD（）

C.兩點確定一條直線-----------?--------?-----------------

D.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直R

【答案】D

【分析】由垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，即可判斷.

【詳解】C014B,D01A8,。為垂足，那么C、。、。三點在同一條直線上，其理由是：在同一平面內(nèi)，

過一點有且只有一條直線與己知直線垂直，

故選：D.

【點睛】本題考查了垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

2.（23-24七年級上?四川瀘州?期末）下列語句：①一條直線有且只有一條垂線；②相等的兩個角是對頂角；

③不在同一直線上的四點至少可畫6條直線；④如果兩個角是鄰補角，那么這兩個角的平分線組成的圖形

是直角.其中正確的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【分析】本題主要考查了平面兒何中概念的理解，根據(jù)垂線、對頂角、點與直線的美系、鄰補角和角平分

線的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：①一條直線有無數(shù)條垂線，故①錯誤；

②相等的兩個角不一定是對頂角，故②錯誤；

③不在同一直線上的四個點可畫4條或6條直線，故③錯誤；

④如果兩個角是鄰補角，那么這兩個角的平分線組成的圖形是直角，故④正確.

故選D.

3.（22-23七年級下?湖南益陽?期末）兩條直線相交所構(gòu)成的四個角，其中：①有一個角是直角；②有一對

對頂角相等；③有?對鄰補角相等：④有三個角都相等.以上4種條件中，能判定這兩條直線垂直的條件

有（）.

A.1種B.2種C.3種D.4和?

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直定義，對頂角、鄰補角，余角和補角的定義遂行分析，逐一判斷即可.

【詳解】解：兩條直線相交構(gòu)成四個角，

①有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，正確；

②有一對對頂角相等，不能判定兩條直線互相垂直，錯誤；

③有一組鄰補角相等，則這兩個角都為90。，能判定兩條直線互相垂直，正確；

④有二個角都相等，則每個角都等于90。，能判定兩條直線互相垂直，正確；

所以，能判定這兩條直線互相垂直的有：①③④，共有3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了垂線，角的概念，對頂角、鄰補角，余角和補角，熟練掌握這些數(shù)學概念是解題的關(guān)

鍵.

4.（23-24七年級上?福建福州?期末）如圖，從點A出發(fā)的四條射線滿足_L4E.則

下列結(jié)論一定正確的是（）

A./.CAE=/-BAD=45°B.ACAD+/-EAB=180°

C.Z-CAD-Z,EAB=90°D.Z.CAE+/-BAD=90°

【答案】B

【分析】本題主要考查了垂直的定義，幾何圖形中角度的計算，根據(jù)垂直的定義得到乙04E=乙CAB=90。,

進而得到乙。4。+乙BAE=180°,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：^AB1AC,ADLAE,

團4DAE=乙CAB=90°,

^CAE+乙BAE=90°=Z.BAD+Z.BAE,

團4CAE+4BAE+乙BAD4-LBAE=180°,

團4CAD+乙BAE=180°,

根據(jù)現(xiàn)有條件無法得到A、C、D中的結(jié)論，

故選：B.

5.（21-22七年級下?廣東廣州?期末）如圖，AB.CD相交于O,EO1AB,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.乙1與N2互余B.與/3是對頂角

C.43與440c是鄰補角D.zl+Z3=90°

【答案】B

【分析】本題主要考查垂直、余角、補角、對頂角、鄰補角的定義，關(guān)鍵是理解定義會根據(jù)定義判斷出相

應的角.

【詳解】解：^EOLAB,

0Z1與42互余，

0Z1+42=90°,

直線力8、CD相交，則43與42是對頂角，

0Z.3=Z.2,

0Z14-Z3=90°,則

乙3與41不是對頂角，

乙3與乙40C是令卜角，

所以只有B.41與43是對頂角是錯誤的，符合題意.

故選：B.

題型二垂線

6.122-23七年級下?福建廈門?期末）如圖，已知直線48,8,點P在直線6上，用三角尺過點P畫直線旗的

垂線1.下列選項中，三角尺擺放;立置正確的是（）

AB

A.

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角板畫垂線的步驟：一利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二移動三角板另

一直角邊到已知點，三過已知點面垂線，四畫出垂直符號對每一項判斷即可.

【詳解】解：回三角尺過點P畫直線48的垂線

利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線48上,

移動三角板另一直角邊到已知點P，

三、過已知點P畫垂線，,

四、畫垂直符合,

團Q頁符合題意，A、C、D不符合題意;

故選C.

【點睛】本題考查了利用直角三角板畫垂線的步驟：一利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二移

動三角板另一直角邊到已知點，三過已知點畫垂線，四畫出垂直符號，熟記直角三角板畫垂線的步驟是解

題的關(guān)鍵.

7.（2022?河北石家莊?二模）如圖，經(jīng)過點O的直線”，b,c,d中，有一條直線與直線，垂直，請借助三角

板判斷，與直線/垂直的是（）

A.直線aB.直線〃C.直線。D.直線d

【答案】B

【分析】用三角扳的兩條直角邊中的一條與直線L重合，再另?條邊直角邊能與。、b、c、d中的那條邊重

合即可得解.

【詳解】解：用三角板的兩條直角邊中的?條與直線/重合，再另?條邊直角邊能與人重合,

【點睛】本題主要是考查了兩條直線垂直的性質(zhì)，兩條直線垂直其所夾的角為直角.

8.（22-23七年級下?北京朝陽?期末）如圖，過點尸作線段AB的垂線，垂足在（）

P

AB

A.線段A8上B.線段A3的延長線上C.線段48的反向延長線上D.直線外

【答案】B

【分析】根據(jù)作垂線后垂足的位置直接判斷即可.

【詳解】解:如圖所示，垂足在線段的延長線上：

故選：B.

P

AB

【點睛】本題考置了對線段的延長線和反向延長線等概念的認識，涉及到了作垂線，解題美鋌是掌握相關(guān)

概念.

9.（23-24七年級上?浙江寧波?期末）如圖，尸是△/1。8的邊。8上一點.

B

----------------------------A

⑴過點P畫。A的垂線，垂足為點H.

（2）PHP0（填"<"或依據(jù)是.

【答案】（1）圖見解析

（2）<,垂線段最短

【分析】本題考杳畫垂線，垂線段最短.掌握垂線段最短，是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意，畫出垂線即可；

（2）根據(jù)垂線段最短，進行作答即可.

【詳解】（1）解：如圖，尸〃即為祈求；

（2）國PH10A,

國PH<P0（垂線段最短）

故答案為：V，垂線段最短.

10.（23-24七年級上?吉林長春?期末）如圖，在6X6的正方形畫格中，每個小正方形的邊長均為1,其頂點

稱為格點，點力、B、C、0均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖

痕跡.

-

D

⑴畫線段48,畫直線力C.

（2）過點。畫直線AC的垂線，垂足為￡.

⑶點。到直線4。的距離為線段—的長度.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶DE

【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖、直線、射線、線段、垂線、點到直線的距離，熟練掌握相關(guān)知識

點是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)線段、直線的定義畫圖即可.

（2）結(jié)合網(wǎng)格，過點。作DE垂直直線4C即可.

（3）由點到直線的距離可知，點。到直線4C的距離為線段0E的長度.

【詳解】（1）解：如圖，線段AB、直線AC即為所求.

（2）如圖，0E即為所求.

（3）點￡）到直線4c的距離為線段DE的長度.

故答案為：DE.

題型三垂線段最短

11.（2022?河北?二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（）

起

跳

線

C

A.兩釘子固定木條*

【答案】C

【分析】本題考查了兩點確定一條直線，垂線段最短，兩點之間，線段最短等知識.熟練掌握兩點確定一

條直線，垂線段最短，兩點之間，線段最短是解題.

【詳解】解：由題意知，A中能用兩點確定一條直線進行解釋，不符合題意；

B中能用兩點確定一條直線進行解釋，不符合題意；

c中能用垂線段最短進行解釋，符合題意；

D中能用兩點之間，線段最短進行解釋，不符合題意;

故選：C.

12.（2023?貴州遵義?模擬預測）如圖，河道2的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設一條引水管道,從P地把河水引

向M、N兩地.下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（）

M，

?N

【分析1本題主要考查「垂線段最短的運用，實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應從“兩點之間,

線段最短〃和“垂線段最短”這兩個中去選擇.根據(jù)垂線段最短以及兩點之間線段最短，求解即可.

【詳解】解：依據(jù)垂線段最短，以及兩點之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的是:

故選：D.

13.（23-24七年級上?云南昆明?期末）P為直線m外一點,A,8,C為直線m上三點,P4=5,PB=4,PC=3,

則點。到直線〃?的距離（）

A.不大于3B.等于3C.小于3D.不小于3

【答案】A

【分析】本題主要考查了點到直線的距離，熟知直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離

是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)“直線外一點到直線上各點的所有線段中，垂線段最短〃進行解答.

【詳解】解：團直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，

團點~到直線/的距離人三。。=3,即/IW3.

故選:A.

14.（23-24七年級上?福建泉州?期末）如圖，下列線段中，長度最短的是（）

p

A.PDB.PCC.PBD.PA

【答案】C

【分析】本題考查了垂線段最短：從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂直線段最短.據(jù)此即可求

解.

【詳解】解：^PBLAD,

團長度最短的是P8,

故選：C

15.（22-23匕年級下?河南商丘?期末）如圖是一個湖泊，C是湖泊外的--塊山地，現(xiàn)欲挖一條水渠從湖泊/W

將水引到C處.問：從湖泊的何處開挖，才能使所挖水渠最短？畫圖表示，并說明設計理由.

?C

【答案】沿線段C。開挖，水渠最短；圖見解析；理由：垂線段最短.

【分析】本題考查了垂線段最短的應用；根據(jù)垂線段最短，過點C作CO148于點。，即是最短的.

【詳解】解：如圖，過點C作于點。，則沿線段CD開挖，水渠最短；

題型四點到直線的距離

16.（22-23七年級下?福建廈門?期末）下列圖形是直角三角板與直線的組合，則線段MN的長表示點M到直

線/的距離的是（）

【答案】A

【分析】本題考查點到直線的距離.直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距成，由此即可

得到答案.

【詳解】解：線段MN的長表示點M到直線!的距離的是選項A中的圖形.

故選:A.

17.（22-23七年級下?貴州六盤水?期末）如圖，點8和C在線段40上，PC1AD,PA=7.2,PB=6,PC=3.6,

PD=4.8,則點P到線段AD的距離是（）

A.7.2B.6C.4.8D.3.6

【答案】D

【分析】由題意即可推出點尸到線段4。的距離即為點P到力。的垂線段的長度即為尸。的長度.

【詳解】解：0PC±AD,PC=36,

回點P到線段的距離為3.6.

故選D.

【點睛】本題考查「點到直線的距離，解題的關(guān)鍵在于推出點8到AC的距離為BC的長度.

18.（22-23七年級下?福建凰門?期末）如圖，點力在直線m上，點8,C在直線n上，設力8=%,=y且無

論《取何值，均有則下列說法正確的是（）

A.點小到直線幾的距離是48的長度B.點A到直線n的羽離是AC的長度

C.點8到直線m的距離是48的長度D.點C到直線m的距離是力C的長度

【答案】B

【分析】根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短即可求解.

【詳解】解：^AB=x,4C=y且無論％取何值，均有％之y.

回點A到直線九的距離是4c的長度,

故選：B.

【點睛】本題考查了點到直線的距離，垂線段最短，熟練掌握點到直線的距離，垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

19.（22-23七年級下?安徽合肥?期末）如圖，三角形4"的面積為15,48的長為5,P為直線4B上一動點,

連接PC,則線段PC的最小值是

【答案】6

【分析】根據(jù)垂線段最短即可求解.

-xABxCD=-x5xCD=15

解得：CD=6

由垂線段最短可知：線段PC的最小值是6

故答案為：6

【點睛】本題考查垂線段最短.熟記相關(guān)結(jié)論即可.

20.（22-23七年級下?甘肅定西?期末）如圖，沿筆直小路DE的一側(cè)栽植兩棵小樹B,C,小明在4處測得AB=4

米，/1C=6米，則點A到DE的距離d可能為米.（填一個你認為正確的答案）

【答案】3米（答案不唯一）

【分析】由點到直線的距離的定義，垂線段最短，即可得到答案.

【詳解】解：???AB=4米，4c=6米，

，點A到DE的距離d小于或等于4米，

???點A到DE的距離”可能為3米〔答案不唯一）.

故答案為：3米（答案不唯一）.

【點睛】本題考查點到直線的距離，垂線段最短，關(guān)鍵是掌握點到直線距離的定義.

21.（21-22七年級上?吉林長春?期末）如圖，平面上兩點C、。在直線的同側(cè)，按下列要求畫圖并填空.

（1）畫直線AC：

（2）畫射線CD：

（3）畫線段3D：

（4）過點。畫垂線段。"3/W,垂足為"；

（5）點。到直線A8的距離是線段的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）見解析；（5）DF

【分析】（1）連接AC并向兩端延長即可：

（2）連接CO并延長CQ即可；

（3）連接B。即可；

（4）過。作線段D/洶4B,垂足為尸；

（5）根據(jù)垂線段的長度是點到直線的距離解答即可.

【詳解】解：（1）直線AC如圖所示；

（2）射線CQ如圖所示；

（3）線段如圖所示；

（4）垂線段如圖所示；

（5）垂線段。F的長是點。到直線AS的距離,

故答案為：DF.

B

【點睛】本題考查畫直線、射線、線段、垂線段、點到直線的距離，熟練掌握基本作圖方法，理解點到直

線的距離的定義是解答的關(guān)鍵.

題型五已知線段垂直求解相關(guān)角度問題

22.（23-24七年級下?廣西百色?期末）如圖，直線AB,CD相交于點。，0E1CD,垂足為O,0D平分乙BOF,

^.BOF=60°,求乙/4OC和430E的度數(shù).

【答案】4/。。=30。，/-BOE=60°

【分析】本題考查垂直的定義、角平分線的定義、對頂角的性質(zhì)、鄰補角的性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練運用各性

質(zhì)定理，推出相關(guān)角的度數(shù).利用角平分線的定義求出“。。的度數(shù)，利用對頂角的性質(zhì)求出乙40c的度數(shù)，

利用垂直的定義求出的度數(shù)，然后利用角的和差關(guān)系求出4BOE的度數(shù)即可.

【詳解】解：回OD平分/BOGLBOF=60°,

^LBOD=-2^BOF=30°,

團乙IOC和乙BOD是對頂角，

^Z.AOC=（BOD=30°,

0OE1CD,

^Z-DOE=90°,

（3NBOE=乙DOE-乙BOD=60°.

23.（22-23七年級上?江蘇宿遷?期末）如圖，直線43,CD相交于點。,?！昶椒忠?。。，OF10C.

c

E/

7）

⑴圖中N4。/的余角是（把符合條件的角都填上）；

（2）如果乙1=20°,求乙2和43的度數(shù).

【答案】（1）立力。。，乙BOC

（2）40%50°

【分析】本題考杳了角平分線的定義、對頂角相等的性質(zhì)、互為余角關(guān)系；熟練掌握時頂角相等的性質(zhì)和

角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵.

（1）由垂線的定義和角的互余關(guān)系即可得出結(jié)果；

（2）由角平分線的定義求出匕40D,由對頂角相等得出42的度數(shù)，再由角的互余關(guān)系即可求出23的度數(shù).

【詳解】（1）解：?OF1OC,

0ZCOF=Z.DOF=90°,

^Z.AOF+^BOC=90°,Z.AOF+LAOD=90°,

回NAOF?的余角是4/100,乙BOC；

故答案為：zAOD,LBOC：

(2)國。E平分乙力。0,

團乙40。=2Z1=40°,

0Z2=Z.AOD=40°,

0Z3=90°-Z2=50°.

24.(23-24六年級下?山東淄博?期末)如圖，直線EF,CD相交于點O,。510B,且0C平分zAOF.

(1)若440E=40°,求480。的度數(shù);

（2）若乙40E=a,求MOD的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）20。

⑵;a

【分析】本題考查與角平分線相關(guān)的角的計算，垂直的定義，掌握角的和差運算、角平分線定義和垂超拔

定義是解題的關(guān)鍵.

（1）先求出乙，?！?，根據(jù)角平分線定義求出根據(jù)對頂角相等求出乙七求出48。七，即可

得出答案；

（2）先求出心力。凡根據(jù)角平分線定義求出乙尸0C,根據(jù)對頂角相等求出乙E。。=，F(xiàn)OC,求出N80E,即可

得出答案.

【詳解】（1）解：國直線EF,CD相交于點。，

B/.AOE+Z.AOF=180°,

團，AOE=40°,

0Z4OF=140°；

乂①。。平分/力。入

^/.FOC=-/-AOF=70°,

2

^Z-EOD=Z.FOC=70°（對頂角相等）；

回04±OB.

MOB=90°,

團4BOE=Z,AOB-/,AOE=50°,

團4BO。=LEOD-乙BOE=20°：

（2）解：團直線E/，CD相交于點O,

0Z4OE+AAOF=180°,

0Z4OE=a,

0Z4OF=180°-a；

又（3OC平分N力。尸，

^Z.FOC=-^-AOF=90°--a,

22

^Z-EOD=Z.FOC=90°--a（對頂角相等）；

2

^OA±08,

團4A08=90°,

團4BOE=Z-AOB-Z,AOE=90°-a,

包4BOD=乙EOD-乙BOE=90°-1a-(900-a)=1a；

25.(23-24七年級上?浙江麗水?期末)如圖，點O是直線A8上的一點，射線0C,。。在直線的異側(cè)，已

知OC1OD,OE^^-^AOC.

(1)若t80。=40°,求乙AOE的度數(shù)；

(2)i/10E與NB。。是否有可能成為對頂角？若有可能，請求出N80D的度數(shù)；若不可能，請說明理由.

【答案】⑴65。

(2)不可能，理由見解析

【分析】本題主要考查了對頂角的性質(zhì)，垂線定義理解，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性

質(zhì)，數(shù)形結(jié)合.

(1)根據(jù)4BOC與48。0互余可得NB。。的度數(shù)，再根據(jù)補角的定義可得乙40C的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線

的定義解答即可；

(2)根據(jù)對頂角相等可得/BOD+乙BOC+4COE=180°,再根據(jù)與乙8。?；ビ?，可得乙BOC與4COE

互余，據(jù)此可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：130c10D,

團NBOC+乙BOD=90°,

回NBOC=90°-乙BOD=50°,

^Z-AOC=180°-(BOC=130°,

(30E平分N/1OC,

^/.AOE=-^AOC=65°；

2

(2)解：乙AOE與4BOD是不可能成為對頂角，理由如下:

當N/4OE=乙8。?？诖?，乙BOD+乙BOC+乙COE=180°,

回0E平分乙AOC,

團ZJtOE=(COE,

^LBOD=乙COE,

WC1OD,

回NBOC+乙BOD=90°,

團NBOC4-乙COE=90°,

回NBOC+乙BOD+Z.BOC+Z-COE=180°,

與￡BOD+Z,BOC+Z-COE=180c相矛盾,

團4OE與乙8。。是不可能成為對頂角.

26.（23-24七年級上?江蘇無錫?期末）已知，點。為直線48上一點，過點。作射線OC,^BOC=110°.

⑴如圖1,則乙40c的度數(shù)為_。；

⑵如圖2,過點。在直線4B下方作射線。。，使。0_L0C,作N/0C的角平分線。M,求NM00的度數(shù);

⑶在（2）的條件下，作射線OP,若乙80P與4OM互余，求“。P的度數(shù).

【答案】（1）70

⑵55°

⑶55?；?65。

【分析】（1）根據(jù)鄰補角的性質(zhì)求解即可；

（2）首先由（1）可知乙40C=70S結(jié)合垂直的定義可得NC。。=90。，再結(jié)合角平分線的定義可得/COM=

Z-A0M=35°,然后由/MOD=4COD-/COM求解即可；

（3）由（2）知N40M=35。，結(jié)合4BOP與4力OM互余，可求得匕80P=55。，然后分射線OP在N80C內(nèi)部

和射線OP在480C外部兩種情況，分別求解即可.

【詳解】（1）解：110°,

0Z/WC=180O-Z.BOC=70°.

故答案為：70；

(2)由(1)可知，Z-AOC=70°.

團OD1OC,

團4C。。=90°,

回。時為乙4OC的角平分線，

團乙COM=^AOM=-LAOC=-x70°=35°,

22

^MOD=乙COD-乙COM=90°-35°=55°；

(3)由(2)知乙4UM=35",

^Z-BOP+Z-AOM=90°,

乙BOP=90°-Z.AOM=90°-35°=55。，

當時線OP在4BOC內(nèi)部時，如下圖，

當射線OP在4BOC外部時，如下圖,

C

綜上所述，/COP的度數(shù)為55?；?65。.

【點睛】本題主要考查了補角和余角、垂直的定義、角平分線以及幾何圖形中角度計算，熟練掌握相關(guān)定

義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

提能力

1.（23-24七年級上?河北保定?期末）如圖所示的方格紙中，每小方格的邊長都為1cm.請在方格紙上畫圖并

回答問題：

⑴在點4的正東方向取一點凡使A、8兩點間的距離為4cm.

⑵過點A畫直線48的垂線.

⑶在點A的正北方向取點C,使4C=AB.

⑷以點A為端點，畫A點的北偏東45。方向的射線交8C于D點.

⑸過點D畫直線的平行線交AC于點E.

(6)在線段AB上取點F,使得4尸=3FB,并畫射線EF.

⑺寫出圖中NACD的一個同位角點8到直線AC的距離

⑻用數(shù)字1在圖上標出NODE的對頂角，用數(shù)字2標出NEFB的一個鄰補角.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

(3)見解析

(4)見解析

(5)見解析

⑹見解析

(7)乙4EF(答案不唯一)，4

(8)見解析

【分析】本題主要考查了根據(jù)題意畫圖，同時考查了同位角、對頂角的概念，難度適中.

(1)(2)(3)(4)(5)(6)根據(jù)要求畫圖，正確表示題干要求?再根據(jù)同位角、對頂角、鄰補角的概念從

圖中找出即可.

【詳解】(1)解：如圖，線段48即為所求；

(2)解：如圖，直線/即為所求；

(3)解：如圖，線段AC即為所求

(4)解：如圖，射線A。，點。即為所求；

（5）解：如圖，直線。E即為所求；

（6）如圖，射線EF即為所求；

⑺解:圖中乙4CD的一個同位角乙4EF,點5到直線AC的距離4.

故答案為：LAEF（答案不唯一），4：

（8）解：如圖，Z1,42即為所求.

2.（22-23乜年級上?北京昌平?期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中畫有一段筆直的鐵路及道口A,。和村莊M,N.完

成以下作圖.

鐵路

公路

⑴若在村莊N與道口A之間修一條最短的公路，在圖中畫出此公路，并說明這樣畫的理由;

⑵若在公路8N上選擇一個地點尸安裝實時監(jiān)控系統(tǒng)，要求點P到村莊N與道口8的距離相等：在圖中標出

點P的位置:

⑶當一節(jié)火車頭行駛至鐵路48上的點。時，距離村莊N最近.在圖中確定點Q的位置（保留作圖痕跡）;

⑷若在道口A或8處修建一座火車站，使得到兩村的距離和較短，應該修在處.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

⑶見解析

⑷8

【分析】（1）根據(jù)兩點之間線段最短作圖即可;

（2）取BN中點即可；

（3）作N到AB的垂線段即可;

（4）直接根據(jù)圖作答即可.

【詳解】（1）

(2)

（4）由圖可知M、N到8點距離均小于到A點距離，

故答案為：B.

【點睛】本題考查了線段中點問題，最短距離問題，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

3.（22-23七年級上?江蘇徐州?期末）在如圖所示的方格紙中，。是乙/10B的邊。B上的一點，按下列要求畫

圖并回答問題.

⑴過點C畫。8的垂線，交0/1丁點D,該垂線是否經(jīng)過格點？若經(jīng)過格點，請在圖中標出垂線所經(jīng)過的格點;

⑵過點C畫。4的垂線，垂足為E.

①線段CE的長度是點C到的距離，是點。到。8的距離；

②線段CO、CE、0D.。。的大小關(guān)系是（用"V〃號連接），依據(jù)是：.

⑶過點。畫直線MN_LCZ）,若N0DM=x。，則乙。。。=（用含x的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）畫圖見解析，經(jīng)過格點。、G、H

（2）①04CD：（2）CE<CD<0C<0D,直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

（3）（90-乃?；?。-90）0

【分析】（1）畫出垂線，然后根據(jù)圖形即可推出結(jié)論；

（2）根據(jù)點到直線的距離以及垂線段最短可得結(jié)果；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)作出圖形后，再根據(jù)余角的定義即可解答.

（2）解：如圖所示，?vCE10A,CD1OB,

二線段CE的長度是點。到。力的距離，C。是點。到。8的距離;

故答案為：。4CD；

②如圖，vCD1OC,CD<OC,

CD<0C<OD,

vCE10A,

CE<CD,

CE<CD<0C<OD.

依據(jù)是：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短；

(3)解：如圖所示，vCD1MN,Z.ODM=x°,

Z.ODC=(90-%)?；騋-90)°.

故答案為：(90-x)?；?0)。.

【點睛】此題考查的是尺規(guī)作圖，掌握中垂線的性質(zhì)及勾股定理是解決此題的關(guān)鍵.

4.(23-24七年級下?湖南株洲?期末)如圖，點。在直線EF上，點48與點C、。分別在直線EF兩側(cè)，且乙108=

120°,乙COD=70°.

圖1圖2

⑴如圖1,若OC平分48。。，OE平分乙力。0,過點。作射線。GL08,求NEOG的度數(shù)；

(2)如圖2,若在480c內(nèi)部作一條射線OH,若乙COH：乙BOH=2：3,(DOE=5Z.FOH,試判斷乙4OE與4OOE

的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)80喊100。

(2)/AOE=2乙DOE-105?；?40E=乙DOE-105°

【分析】本題主要考查角度的和差計算，角平分線的定義，

(1)根據(jù)角平分線定義和周角是360?？傻肗40C的度數(shù)；分兩種情況：當。G在EF下方時；當0G在EF上方

時，計算即可；

(2)由乙。0從△8。"=2:3,乙DOE=5乙FOH,設zOOE=5a,則/尸。"=a,再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可

用a表達出乙。。4/8。。的度數(shù)，求出4/1OE與/OOE的度數(shù).

【詳解】(1)???。。平分乙8。。，

：?￡BOD=2乙COD=2x70°=140°,

VZ.AOB=120°,

￡AOD=360°-/.AOB-乙BOD=360°-120°-140°=100°.

當OG在EF下方時，

圖1???OE平分4。。0,Z.AOD=100°,

ALAOE=-Z-AOD=50%

2

vOG±OB,

Z.BOG=90°,

Z.AOG=Z-AOB-乙BOG=120c-90°=30°,

Z.EOG=Z-AOG+/-AOE=80°.

當OG在EF上方時，

圖2v?！昶椒忠伊?。0,Z.AOD=100°,

??Z.AOE=2-z.AOD=50°,

??OG1OB,

?.Z.BOG=90°,

.*Z.AOE+Z-