第一章空間向量及立體幾何（復(fù)習(xí)講義）

區(qū)區(qū)

單元目標(biāo)聚焦?明核心

1.了解空間向量相關(guān)概念，經(jīng)歷平面向量到空間向量的推廣過(guò)程，掌握其線性、數(shù)量積運(yùn)算，了解投影概念

及意義。

2.了解空間向量基本定理及意義，掌握正交分解。

3.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用其刻畫(huà)點(diǎn)位置、求距離，掌握向量坐標(biāo)及線性、數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示。

4.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，表述夾角及垂直平行關(guān)系，用向最方法證明必修中直線、平面位置關(guān)系的

判定定理。

又又

知識(shí)圖造梳理?固基礎(chǔ)

教材要點(diǎn)精析?夯重點(diǎn)

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且樟相等的向量

相反向量方向相反且模相笠的向量

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相壬紅或重合

(或平行向量)的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理；對(duì)任意兩個(gè)空間向量。，僅5#0),?！āǖ某湟獥l件是存在實(shí)數(shù)3使得a=

ib.

⑵共面向量定理：如果兩個(gè)向量處方不共線，那么向量p與向量。，8共面的充要條件是存

在唯二的有序?qū)崝?shù)對(duì)5)，使〃=絲土他.

(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量4,b,C不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量P，存在唯一

的有序?qū)崝?shù)組(x，戶Z),使得〃=m+vO+zc,其中，｛〃，b,c｝叫做空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積

(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量〃，b,在空間任取一點(diǎn)O,作/=a,OB=b,則NAOB

叫做向量〃與b的夾角，記作b),其范圍是［0,出,若沁，b)=去則稱a與6互相

垂直,記作QJ?尻

(2)兩向量的數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量0,瓦則⑷田|cos(a,b＞叫做a,b的數(shù)量積,記作a協(xié),

即0b=|〃||b|cQs〈〃?b).

⑶空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①結(jié)合律:3)力=2(。山)；

②交換律：ab=ba\

③分配律：。?(0+c)="協(xié)+a,c.

4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)。一(671?672,43)，b-(Z?l,厲，Z?3).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b

共線〃=溝后0,2￡R)41=261,a?=入tn,43=//?3

垂直〃協(xié)=0(aW0,力#0)〃仍|+。2歷+。3b3=0

模|a|/+港+滔

a\b\-\-aib2-\-ayby

夾角(a,b)(aWO,b#0)cos〈a’b,4司+a+*亞,+比+易

5.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量。的有向線段所在直線與直線/平行或重合,則稱此向

量。為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/J_a,取直線/的方向向量則向量〃叫做平面。的法向量.

6.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

直線/l,，2的方向向量分h//hWlZ/M2<=>MI=ZW2

別為U2/1±/2U\_L〃2=〃l〃2=0

直線/的方向向量為小l//a〃<=>〃?〃=0

平血。的法向量為〃Z_La"〃〃=〃=%〃

平面a,/?的法向量分別a//pn\〃/i2=/n=in

為〃1，H2aLpni_L〃2Q〃I〃2=0

7.兩條異面直線所成的角

設(shè)異面直線億，2所成的角為。，其方向向量分別為〃，。，則

cos,9=icos("，i=ISl=S

8.直線和平面所成的角

直線A8與平面。相交于點(diǎn)兒設(shè)直線A8與平面a所成的角為仇直線A8的方向向量為〃,

平面。的法向量為〃，則sin8=|cos(u,n)=j^i-

9.平面與平面的夾角

(1)兩平面的夾角：平面。與平面夕相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。

的二面角稱為平面a與平面少的夾角.

(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面a,4的法向量分別是m,〃2,平面a與平面口的夾角為仇則

IH1J12I1/117121

cos6,=|cos{n\,〃2〉llwilkzll-l/hUngf

10點(diǎn)。到直線/的距離

如圖I,已知直線/的單位方向向量為小A是直線/上的定點(diǎn)，。是直線/外一點(diǎn)，設(shè)份=〃，

則向量能在直線/上的投影向量而=(〃?〃)〃.在RtAAPQ中，由勾股定理,得PQ=yj\AP\2-\AQ\2

=\/g2"2.

圖1

11?點(diǎn)P到平面a的距離

如圖2,已知平面a的法向量為〃，4是平面。內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸作平面a

的垂線/,交平面a于點(diǎn)。則〃是直線/的方向向量，且點(diǎn)尸到平面a的距離就是舒在直線

圖2

12.兩條平行直線之間的距離

求兩條平行直線/,〃［之間的距離，可在其中一條直線，上任取一點(diǎn)P,則兩條平行直線間的

距離就等于點(diǎn)P到直線m的距離.

13.直線與平面、平面與平面之間的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，用求點(diǎn)到平面的距離的

方法求解：

直線a與平面a之間的距離d=嚕1

其中4￡小〃是平面。的法向量.

兩平行平面a,4之間的距離d=端旦其中〃是平面a,夕的法向量.

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可類(lèi)比平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算.

2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān).

3.實(shí)數(shù)（）和任意向量相乘都為零向量.

4.實(shí)數(shù)與空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算.

5.在利用曲=工B+），危證明MN〃平面A8C時(shí)，必須說(shuō)明M點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面ABC內(nèi).

6.確定平面的法向量的方法

（1）直接法：觀察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接確定.

（2）待定系數(shù)法：取平面的兩個(gè)相交向量°,仇設(shè)平面的法向量為〃=（x,y,z）,由彳t八求

［nb=O

得.

7.方向向量和法向量均不為零向量且不唯一.

8.當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是此異面直線所成的角；當(dāng)異面直線的方

向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線所成的角.

又a

考點(diǎn)題型突破?拓思維

【例1］給出下列四個(gè)命題，其中正確的有（）

（1）若空間向量〃，b,C,滿足a//b，b/1c，則a〃c；

（2）空間任意兩個(gè)單位向量必相等；

（3）對(duì)于非零向量c,由,則a=〃；

（4）在向量的數(shù)量積運(yùn)算中R?〃>c=。?伍?《）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【詳解】對(duì)于（1），當(dāng)占=。時(shí)，a與Z不一定平行，故（1）錯(cuò)誤；

對(duì)于（2）,空間任意兩個(gè)單位向量的模長(zhǎng)相等，方向不一定相同，故（2）錯(cuò)誤;

對(duì)于（3）,取々=（0,0,0）2=（l,QO）,c=（O,l,O）,滿足4力=九小

且cwO,但是d"，故⑶錯(cuò)誤；

對(duì)干（4）,因?yàn)閍-b與be都是常數(shù)，所以（小”和小伍?《）表示兩個(gè)向量，

若a與c方向不同，則?與。?9V）不相等，故（4）錯(cuò)誤；故選：A

【變式1-1］（多選）下列說(shuō)法正確的有（）

A.設(shè)外公。是空間向量，若0與b共線,。與c共線，則a與c共線

B.若兩個(gè)非零向量4b與C。滿足A3+CZ）=O，則A8//C7）

C.零向量與任何向量都共線

D.兩個(gè)單位向量一定是相等向量

【答案】BC

【詳解】對(duì)于A,若5為零向量時(shí)，則無(wú)法得到〃與聯(lián)共線，A錯(cuò)誤，

對(duì)FB,由4/?冬仁/）=0可得48=-00，故A8〃C。，B正確，

對(duì)干C,零向量與任意向量共線，故C正確，

對(duì)于D,單位向量的模長(zhǎng)相等，但是方向不一定相同，故D錯(cuò)誤，故選：BC

【變式1-2］（多選）下列各選項(xiàng)中，不正確的是（）

A.若A,B,C,。是空間任意四點(diǎn)，則有AB+8C+CD+OA=0

B.對(duì)于非零向量〃，〃，＜〃,力＞與＜?-〃＞相等

C.若A8，C。共線，則4B〃CZ）

D.對(duì)空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若OP=XOA+），O8+ZOC（其中x,y,z￡R）,則P,

A,B,。四點(diǎn)共面

【答案】BCD

【詳解】顯然48+8C+CD+DA=AC+C4=0,A正確：

為非零向量，貝UV＞與互補(bǔ)，故R錯(cuò)誤：

若人民C。共線，則直線AB,C?？赡苤睾?，故C錯(cuò)誤；

只有當(dāng)rh+z=l時(shí)，P,A,B,C四點(diǎn)才共面，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.

142

【變式1-3圮知A,8,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面4BC外任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足0知=三04+三。8+三時(shí),

JJJ

則點(diǎn)M（填“屬于”或“不屬于"）平面ABC.

【答案】屬于

.1.4?2-

【詳解】OM=-OA^-OB+=^BC

142122

=-OA+-OB+-（OC-OB）=-OA+-OB+-OC,

555555

1?2

q+W+M=l,/.M，4及。四點(diǎn)共面.即點(diǎn)Me平面ABC.故答案為：屬于

JJJ

題型二空間向量基本定理

【例2】如圖，空間四邊形QWC中，OA=Q，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在線段AO上，且|八例二2|必9|,點(diǎn)

N為BC中點(diǎn)、,則MN等于（）

B.U十二

322

1

C.——a+—b+—cD.

322322

【答案】D

【詳解】|MA|=2|MO|,點(diǎn)N為8c中點(diǎn),

一一一1-1-11-1-1-

MN=MO+ON=-OA+-OB+-OC=—a+-b+-c.^：D

322322

【變式2-1】2.（多選）若｛公兒葉是空間的一個(gè)基底，則下列可作為該空間基底的是（）

r1rirr

A.b+c,b,-b-cB.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,cD.a-b,a+b+c,c

【答案】CD

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，易知b+c=-（-b-c）,則A項(xiàng)中向量共面，不符合；

對(duì)于B項(xiàng)，易知2"（4+〃）=〃-6,則B項(xiàng)中向量共面，不符合；

對(duì)于C項(xiàng)，易知。+/?,。-仇。不共面，。+》,。-力，。能作為空:間的一個(gè)基底，即C正確.

對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)』-力1+力+^不能作為空間的一個(gè)基底,

則存在實(shí)數(shù)，使得）+〃c=〃以一〃力+,

由于4,瓦右是空間的一組基底，貝！滿足ni=1,m==1,

故不存在機(jī),〃使得〃+6=m^a-b^+nc,

故』」［+:+1總能作為空間的一個(gè)基底，D正確，故選：CD

【變式2-2］（多選）如圖，在平行六面體ABCO-AqGR中，

M=AO=A8=1,/AAO="A4B=/8AQ=60,M為qA的中點(diǎn)，則（）

C.CC.AB=-

2

D.CMAD=--

4

【答案】ACD

【詳解】依題意可得A?A8=|ADHA,COSN8Ao=lxlxg=g,

同理CG.A8=A/VA8=|/U，HA@cos/AA8=lxlxJ=g,AAlAD=^,故C正確;

連接。8,

則￡>"=0￡>1+""二例+；08=44+；（48-40）=348+的一；40,故A正確;

CM=€0+0^+^/^=-AR+AAi+^AB--AD=--AB+AAi--AD,故B錯(cuò)誤；

/222

CMAD=[--AB-￥AA{--AD\AD

I22)

=--ABAD^AAAD--Aiy=--^-^---=--故D正確.故選：ACD.

2c222224f

【變式2-3】如圖，在空間四邊形0A3C中，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，AE=^AD,設(shè)0人=〃,08="0。=6.

(1)試用向量a,b房表示向量QD,AD；

(2)若OA=O8=0C=2,/AOC=/8OC=/AO8=90,求0￡QQ的值.

【答案】(l)0O=；,+c),4O=1(-2a+HB(2)：

【詳解】(1)0Q=g(03+0C)=g(〃+c),

AZ)=g(A8+ACj=*8—O4+OC—OA)=*2a+〃+c).

(2)因?yàn)?。?OC=2,OB=2,/AOC=/BOC=/AOB=90,

所以(2》)=卜,=(&《〉=],悶=忖=同=2,

所以a?〃=a?3=/??8=0，

0E=0A^AE=0A+-AD=0A+-(0D-0A\=-0A^-0D=-a+-b+-c,

33、,33366

所以O(shè)EOD

(21,iWl,1^1,1l/I.1.1

=—a+—b+—c-—b+—c=—ab+—ac+—2b+—bc-\—bc+—c2=

1366八22J3312121212

題型三空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【例3-1】（多選）如圖，在長(zhǎng)方體法。-44GA中，48=5,4）=4,A4,=3,分別以有向直線。4。仁。〃

為丈軸，)'軸，Z的正方向，以1為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是()

A.點(diǎn)片的坐標(biāo)為(4,5,3)

B.點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)8對(duì)稱的點(diǎn)為(5,8,-3)

C.點(diǎn)A關(guān)于直線8。對(duì)稱的點(diǎn)為(0,5,3)

D.點(diǎn)。關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為(8.5.0)

【答案】ACD

【詳解】由圖形及其已知可得，點(diǎn)々的坐標(biāo)為(4,5,3)

點(diǎn)G(o,5,3)關(guān)于點(diǎn)8(4,5,0)對(duì)稱的點(diǎn)為(8,5,-3)

因?yàn)锳R=BG="^=5,所以四邊形ABCIR為菱形，

所以點(diǎn)A(4,0,0)關(guān)于直線BD,對(duì)稱的點(diǎn)為G(0,5,3)

點(diǎn)。(0,5,0)關(guān)于平面A叫A對(duì)稱的點(diǎn)為(85,0)故選：ACD

【例3-2】給定點(diǎn)4(1。。)、8(3,1,I)、。(2,0,1)與點(diǎn)。(5,7,3).

⑴求AO在8c上的投影向量；

(2)判斷四點(diǎn)A、B、C、力是否共面?

【答案】(1)0(2)四點(diǎn)A、B、C、Z)不共面，理由見(jiàn)解析

【詳解】(1)因?yàn)锳Z)=(5,-4,3)-(l,0,0)=(4,Y,3),5C=(2,0,l)-(3,l,l)=(-l,-l,0),

所以A0IC=4x(—l)+(-4)x(—l)+3xO=O,所以在上的投影向最為0.

(2)四點(diǎn)A、B、C、。不共面，理由如下：

因?yàn)锳O=(4,T,3),A8=(2,l,l),AC=(LO,I),

4=24+〃

設(shè)+即，-4=2,該方程組無(wú)解，

3=2+//

所以四點(diǎn)AB、C、。不共面.

【變式3-1](多選)下列命題中正確的是()

A.若空間向量〃、〃、c?滿足〃=/?，〃=c，則a=c

B.若直線/的方向向量為6=(1,-1,2),平面。的法向量為〃7=(64,-1),則/_La

C.若〃、。是兩個(gè)單位向量，則同=|同

D.點(diǎn)M(3,2,1)關(guān)于平面)Oz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,2,T)

【答案】AC

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若空間向量〃、〃、c?滿足a=〃,〃=c，則a=c，故A止確；

對(duì)干B選項(xiàng),因?yàn)橄?6—4—2=0，則e_Lm,所以'/〃a或/ua,故B錯(cuò)誤;

對(duì)干C選項(xiàng)，若4、〃是兩個(gè)單位向量，則W=M=1,故C正確；

對(duì)干D選項(xiàng)，點(diǎn)〃(3,2,1)關(guān)于平面.)。對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,2,1),故D錯(cuò)誤.故選：AC.

【變式3-2](多選)已知A,B,C,。是空間直角坐標(biāo)系。一個(gè)2中的四點(diǎn)，P是空間中任意一點(diǎn)，則()

A.若4-4,-3,2)與8(a,"c)關(guān)于平面)Oz對(duì)稱，則a+/7+c=-3

B.若A8=AC+A。，則A,8,C,。共面

—1一4一1—

C.若PD=—PA+—PB)PC,則A,B,C,。共面

636

D.若A(0,0,2),8(1,2,0),C(2,格〃)三點(diǎn)共線,則加+〃=2

【答案】BD

【詳解】對(duì)于A,4與5關(guān)于平面yQ對(duì)稱，則B(4,-3,2),a+b+c=3,故A錯(cuò)誤；

對(duì)丁B,由共面向量定理易知得B正確；

對(duì)于c,因?yàn)?;+；4-：1工1,故C錯(cuò)誤；

636

對(duì)卜D,AB=(1,2,-2),AC=(2tm,n-2)f因?yàn)镈B,C共線,所以AH,AC共線，

所以3=：二一，所以〃?=4,〃=-2,〃Z+〃=2,故口正確?故選：BD.

12-2

【變式3-3］已知a=(2,-2,2),a+/?=(6,-3,2).

(1)求向量〃的坐標(biāo)；

⑵設(shè)向量4=(2,"?,〃),c：//(/?-?),求同；

⑶若W+/>)_L(a-2h),求k的值.

【答案】(1)(4,7,0)；(2)3；(3)—3.

【詳解】(1)itla=(2,-2,2),a+Z?=(6,-3,2),得b=(。+6)-〃=(4,-1,0)

(2)|tl(1)得力一。=(2,1,-2),而量4=(2,”?,〃),4//(方一0),因此c=(2,l,-2),

所以|c|=j22+F+(-2)2=3.

(3)由(1)知,/=12,/=17,4包=10，

由伙2〃)，得(ka+b)(a-2b)=ka~-2kab+ab-2o

=12%-20攵+10-34=-84一24=(),所以攵=一3

題型四利用空間向量解決空間中的位置關(guān)系

【例4】(多選)給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有()

A.若點(diǎn)A3C。共面，則存在實(shí)數(shù)使得AQ=/M8+〃AC

B.若〃2=(2,太一1),”=(一122)分別為平面口,夕的法向量，且。_L夕，則攵=2

C.若。=(工,一1,-1卜〃=(-1,2,.\，)分別為平面。,夕的法向量，且?！ㄏΓ瑒tx+y=]

D.若4(000),3(1,0,0),C(0,0,1),0(011),則直線AO,BC所成的角為:

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)共面向量定理可知A正確；對(duì)于B,.?.m_L〃，.?.〃?,〃=一2+2"2=(),

解得女=2,故B正確；

對(duì)于C,丁。/尸，=勸，即伍一1,-1)=(一424,不，)，

X—

->-1=22,消去4,并整理得x=g,y=2,「.x+)，=|,故C錯(cuò)誤；

-1=Ay

對(duì)于D,AD=(0,1,1),￡?C=(-1,0,1),ADBC=\,AD=4i,BC=叵,

???cos.ADBC-墨;二=；,因?yàn)楫惷嬷本€ADBC所成的角范圍為所成的角為￡,

產(chǎn)M22J3

故D正確,故選：ABD

【變式4?1】如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A/CQ中，A8=4,4C=3,CG=2.

⑴求平面ACR的法向量.

⑵線段4c中點(diǎn)為點(diǎn)/）,求證人尸〃平面A。。.

【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（3,0,0）,C（0,4,0），A（0,0,2）,故AC=（—3,4,0）,A.=（-3,0,2）,

設(shè)平面4CR的法向量為〃=（X,乂z）,

則有｛,令x=4,則y=3,z=6,所以〃=（4,3,6）,

n-AD]=-3x+2z=0

所以平面ACR的法向量為（4,3,6）；

（2）A（3,Q2）,男（3,4,2）,則pg，」｝

故4尸=—-,4,-11,因?yàn)椤?4尸=-6+12—6=0,

所以〃，4尸，又4/0平面AC",所以AP〃平面AC".

【變式4-2]在正方體4BC￡>-A4G2中，已知￡尸分別是8緣￡）蜴的中點(diǎn)，求證:

⑴斯〃叫；

⑵町“O.

【詳解】（1）根據(jù)題意，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

所以石(2,2,1),尸(1」,2),4(2,2,0),4(002),

所以律=(—=(-2,-2,2),所以2M=8〃，所以“〃叫，

所以EF〃BR.

(2)由(1)知8(2,2,0),〃(0,0,2),A(20,2),￡>(0,0,0).

所以/)4=(2,0,2),AQ=(-2,-2,2),所以見(jiàn).BDL—ZxZ+O+dnO，即平，3°,

所以8〃J.A。.

【變式4-3】已知四棱錐尸一A8C￡>底面是直角梯形，ZABC=ZBCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,

側(cè)面PBC_L底面A8CD證明：

⑴%_L8。；

⑵平面外。_1平面小總

【詳解】(1)取3c的中點(diǎn)0,連接P0,

???平面PBCJ?底面ABC。，APBC為等邊三角形,

平面PBC1底面ABCD=BC,POu平面尸BC,J5。_1_底面A8CD.

以BC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以8c所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)。與48平行的直線為y軸,

0產(chǎn)所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

不妨設(shè)CO=1,則AB=4C=2,P0=G，

???A(l,-2,0),B(1,O,O),D(-I,-1,O),P(O,O,灼,

ABD=(-2,-l,0),E4=(l,-2,一9,

BDPA=-2xl+(-l)x(-2)+0x(->/3)=0,

??PA_L8Z)，/.PA1BD.

/

(2)取以的中點(diǎn)M,連接。M,則M

、2

。：DM=I，。，引，*(1,0,—6)c=o，

:?DMA.PB，即力依.：OMPA=0，:,DMA.PA，即DM_L%，

又「PAPB=P、PA,PBu平面PAILADM±平面PAB.VDWu平面PAD，

???￥面PADl.平面PAB.

題型五空間中的距離

【例5】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體八BCD-4BCR中，E,產(chǎn)分別為線段A8,“C的中點(diǎn).

⑴求尸點(diǎn)到AC的距離;

(2)求點(diǎn)尸到平面ACE的距離.

【詳解】（1）以。為原點(diǎn)，D4所在直線為X軸，。。所在直線為y軸，所在直線為Z軸，建立空間直

已知正方體棱長(zhǎng)為2,則4(2,0,2),C(0,2,0),/(122),

可得AC=(-2,2,—2),CF=(l,0,2),

CF/4,C--2-bO-4--6,|CF|-x/l+0+4-x/5,|/4,C|-V4+4+4-2>/5,

設(shè)F點(diǎn)到AC的距離為d,

則(/=J5-=J5-3=\f2；

(2)設(shè)平面ACE的法向量為〃，￡(2,1.0),A(2,0,2),C(0,2,0),

則AX=(0,1,-2),AC=(-2,2,-2).設(shè)〃=(x,Xz),

nAyE=y-2z=()

令z=l,解得y=2,x=所以〃=(1,2,1),

nAyC=-2x+2y-2z=0

又0/=(1,0,2),C/〃=l+()+2=3，|〃Cx/l+4+l=#,

點(diǎn)F到平面A}CE的距離為巴刊3R

【變式5-1】如圖所示，四棱錐夕-A4CQ的底面A8c。是矩形，P"底面A8CD,

AB=BC=3,BP=3,CF=gcP,DE=；DA.

p

AED

(1)證叨：直線夕v/平面八6?：

⑵求點(diǎn)/，到平面AO/的距離.

【詳解】(1)由P8_L平面A8C7),且四邊形A8C。為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則B(0,0,0),A(3,0,0),C(0,3,0),D(3,3,0),P(0,0,3)

由=得CF=gCP,解得*0,2』)，同理E(3,2,0),

■JJ

=(-3,0,1),顯然面AHP的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),

顯然￡71〃=0且律(Z面八3P,故EF〃面八3P

(2)設(shè)面AOb的一個(gè)法向量為，4=(%)，,z),且A0=(0,3,0),。/=(-3,7,1),

ADln.3y=0

由So八，

DFLn.(-3x-y+z=0

取x=l,貝l」y=0,z=3,

所以"=(1,0,3)為平面A"的一個(gè)法向量,

又AP=(-3,0,3),

3x/io

點(diǎn)P到平面ADF的距離為d=1nn」

~5~

【變式5-2］如圖，在長(zhǎng)方體A8CO—AqGA中，AB=28C=2CG=2,點(diǎn)E是QC的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)4到直線AR距離:

(2)求證：平面A"￡_L平面

【詳解】(1)

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以/MDCDR所在直線為X，)"釉，建立空問(wèn)直角坐標(biāo)系.

則舟(1,2,1),A(1,O,O),。(0,0,1),于是,ADt=(-1,0,1).=-2,-1),

則與A"同方向的單位向量為〃=(-

于是點(diǎn)B、到直線AD］距離為d=｛以A：—(BIAU)2

(2)在矩形48CD中，因E是。C的中點(diǎn)，AB=2BC=2CC\=2,AE=&=BE、

則由AE2+BE2=4=可得AE_LBE,

因8q_L平面ABC。，AEu平面A8CD,故35A4E,

因c=B、故得隹j_平面BEBi,

又從石u平面AER.故平面ARE1平面BB.E.

題型六空間中的角

【例6】如圖，已知正方體A8CQ-AqGA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為棱48所在直線上一點(diǎn)，直線RE與。8所

成角為T(mén).

⑴求RE與平面所成角的正弦值；

(2)求二面角。一BQ-C的余弦值.

【詳解】(1)以。為原點(diǎn)，分別以所在直線為Q，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

已知正方體棱長(zhǎng)為2,則。(0,0,0),5(220),G(0,2,2),己(0,0,2),

設(shè)E(2j,0).所以。B=(2,2,0),DE=(2,t-2).

因?yàn)橹本€AE與QA所成角為即。EJ_O8.

根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，則AE.￡)B=2x2+2x/+0x(-2)=0,

即4+2/=0,解得/=-2,所以石(2,-2,0),那么。函=(2,-2,-2).

設(shè)平面BG。的法向量為〃=(x,y,z),。8=(2,2,0),DC,=(0,2,2).

〃?=02x+2)，=0

dr可得

nDC.=02y+2z=0

令y=l,則工=一1,z=-i,所以〃=(一1,1,一1).

設(shè)僅￡與平面8CQ所成角為"

根據(jù)線面角的向量公式—。叫。昨瑞

222222

D(￡：Z?=2X(-|)+(-2)X14-(-2)X(-I)=-2,\DiE\=72+(-2)+(-2)=2>/3?\n|=7(-1)+1+(-1)=75.

1-21I

所以=［以國(guó)=針

(2)對(duì)于平面DBC1,其法向量已求得為〃=(一覃,-1).

平面8CG的法向量：因?yàn)?)C_L、F面8CG，所以0c=(0,2,0)可作為平面8CG的一個(gè)法向量.

nDC

設(shè)二面角D-BC「C為a，根據(jù)二面角的向量公式cosa

|n|x|DC|

?DC=(-l)xO+lx2+(-l)xO=2,|〃|=G,|DC|=2.

所以…=上邛’觀察圖形可知二面角。-勺,為銳侑’所以二面角。-g-C的余弦值為今

【變式6-1］如圖，在四棱錐夕-ABC。中，P/1_L平面A3CD,四邊形A8C。是菱形，AC=2,8。=26,

且AC與8。交于點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)E滿足PE=APB(0W/IW1),異面直線四與8c所成的角為60'.

(1)求證：ACA.DE；

(2)當(dāng)4=3時(shí)，求PC與平面ECD所成角的正弦值.

【詳解】(1)Q/)_L平面A8CO,且4Cu平面ABC。，???PDJ_4C.

又丁四邊形A6C￡>是菱形，..AC_L6￡>.丁且平面尸瓦)，..AC_L平面尸80.又OEu

平面28。，「.AC，DE.

(2)???四邊形ABC。是菱形，AC=2,BD=Z6：.AD//BC,AD=2.

???NQ4。即為異面直線PA48c所成的角.

?\PD=ADtanZPAD=2tan60°=2x/§.

當(dāng)兒=1時(shí)，E為尸3的中點(diǎn)，連接0E,如圖,

則OE//PD,

.?.。七_(dá)1平面從8。。.

從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-02,

則8(0,6,0),。(一1,60),50,—G，0),P(0.-G，2G),E(0,0,G),

:.PC=(-1,A-273),DC=(-1,x/3,0),DE=(0,瓜6),

設(shè)〃=(x,y,z)為平面E8的法向量,

n-DC=0x/Jy=0

則由

11?DE=0U>/3z=0

令)'=1，則x=J5,z=-l，???〃=(",1,一1),

設(shè)PC與平面水刀所成的角為0,

則sin0=|cos<PC,/i>|=。。［=~^==吟.

1J

?|PC|-|n|4xV510

【變式6-2】圖1是邊長(zhǎng)為正的正方形ABC。，將ACD沿4c折起得到直二面角P-AC-B,如圖2所示.

圖1圖2

(1)求異面直線人8與PC所成角：

⑵棱群上是否存在一點(diǎn)使得二面角M-8C-A的余弦值為蜉‘若存在'求出寫(xiě)的值；若不存在'

請(qǐng)說(shuō)明埋由.

【詳解】(I)如圖，在圖I中，連接80,交AC于點(diǎn)。，

因?yàn)樗倪呅蜛8CO為邊長(zhǎng)是正的正方形，則AC/B。，

在圖2中，則有AC_LP0,AC1BO,PO=BO=-AC=\,

2

因?yàn)镻—AC—A是直二面角，所以平面PAC_L平面ABC,

因?yàn)槠矫媸珹C平面84C=AC,ACLPO,POu平面E4C,所以有尸。J.平面ABC,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以。8、OA.0P所在直線為工、7、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

由題意，A(OJO)、8(1,0,0)、C(0T。)、尸(0,0,1),

所以人8=(1,—1,0),PC=(O,-L-1),

設(shè)異面直線AB與PC所成角為。.

ABPC

所以有cos°[cos48,PC|=1I

八斗附>/2x>/2-2

因?yàn)?<”[,故。=三，即異面直線A3與PC所成角為工

233

(2)如圖2,假設(shè)在棱QA上存在點(diǎn)M,滿足AA/=/lAP，其中0W2WI,

使得二面角M-5C-A的余弦值為迥，

51

又C8=(1,1,0),設(shè)平面BCM的一個(gè)法向吊為〃=(x,y,z),

CBn=x+y=0..

則一，、,取x=；l,則。=(4-42-4),

MBn=-x+(\-A)y+Az=O

由題意可知，平面ABC的一個(gè)法向量為，〃=(0,0,1),

所以1cosm，〃卜化簡(jiǎn)得：12萬(wàn)+幾一1=0,

同.問(wèn)V3AJ2-442+451

解得或2=-：(舍去)，

43

故存在點(diǎn)M,只需滿足人例=!八夕，

4

即棱%上存在點(diǎn)M,當(dāng)空■二!時(shí)，二面角M—8C—A的余弦值為迺.

AP451

基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)

1.若直線/J■平面月」的方向向量為。=（一141）,平面。的一個(gè)法向量為〃=。,2,〃。，則怙=（）

A.—B.—4C.-7D.4

44

【答案】A

【詳解】?,直線/平面。，/.R/”,

-14111

一=：；=_，解得機(jī)=7，

t2m22

則故選：A.

4

2.在三棱錐O-A4C中，D、E分別是OC、AB的中點(diǎn)，設(shè)OA=a、OB=b,OC=c,以，,"c｝為空間的

一個(gè)基底，則OE=（）

【答案】A

【詳解】因?yàn)?。、E分別是OC、A8的中點(diǎn)，

貝iJOQ=goC=gd,OE=3（OA+OB）=3（a+〃），

所以QE=OE-OQ='a+L〃一,d,故選：A.

222

------2-UUU1fuiuuu1

3.如圖，在三棱錐O—A8C中，E是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)戶在A8上，AF=-AB,記AO=a,4笈=44C=c,

則EF=（）

D

【答案】B

12

【詳解】E是CO的中點(diǎn).?.EC=；OCA/二；AB

:23

1I1

.*.fF=EC+CF=1DC4-CA+AF=-(DA+^C)+CA+AF=1(DA+AC)+C44-由

UUU1UUU11UUU1

AD—afAD—b,AC—c?

故選：B.

4.若空間向量a=（2,1,0）,0=（1,0,1）,則向量a在向量〃上的投影向量的坐標(biāo)是（）

A.(4,-1,0)B.(-1,0,-1)C.(-2,1,0)D.(1.0.1)

【答案】D

ab2

【詳解】向量”在向量〃上的投影向量的坐標(biāo)是祚.力=5.（1，°」）=（1，°」）.故選：D

\b\

5.已知A（2J1）,C（6,〃,2）,若AB,C三點(diǎn)共線，則相+〃的值為（）

33

A.-B.—C.—3D.3

22

【答案】B

UUIUUUU

【詳解】由題意得人8=（2,—2,〃?一1）.4C=（4,/2-1J）.

因?yàn)锳氏C三點(diǎn)共線，所以4B=/IAC，

133

解得九=二，n=-3,/??=—,所以〃?+〃=一二.故選：B

222

6.已知空間向量a=（l,〃,2g=（-3J3）,若“與。垂直，則向=（）

A.yfbB.c.MD.14

【答案】B【詳解】因?yàn)椤芭c人垂直,

所以a?=lx（—3）+〃+2x3=O,解得〃=一3,

所以。=（1,-3,2）,

故|。|="2+（_3『+22=巧.故選:B

7.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面。的一個(gè)法向量為〃=（-1,-2,3）,則點(diǎn)2（0,-2,2）到平面a的距離為（）

A.叵B,如C.拽D.而

626

【答案】B

【詳解】M（2,—l,I）,N（0,—2,2）,

.?.MN=（-2,-l,l）,又”=（1,2,3）,

???以%（0,-2,2）到平面。的距離為4=寫(xiě)『1=乜挎3=半，故選：B

8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的兒何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為

扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2,4A、BB】、CG、DD.

均與曲池的底面A8c力垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分另J為I和2,對(duì)應(yīng)的圓心角為90,則圖中異

面直線44與CR所成角的余弦值為（）

【答案】A

【詳解】設(shè)上底面圓心為。1，下底面圓心為。，連接。。1、OC、OB,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C、OB、所在直線為x、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則C（1,O,O）、A（0,2,0）、6（012）、R（2,0,2）,

所以S=(1,0,2),Ag=(OT2),3的，3=氤崗"看《

4

所以異面直線A4與CR所成角的余弦值為不故選：A.

9.(多選題)下面四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.任意向量4也C滿足C)

B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)。，有00=，04+:。8+!0。，見(jiàn)夕,A8,C四點(diǎn)共面

632

C.已知｛〃，仇。｝是空間的一組基底，若，n=a+c,則｛。也〃"也是空間的一組基底

D.已知〃為平面”的一個(gè)法向量，/為一條直線，，”為直線/的方向向量，則_L〃”是的充要

條件

【答案】BC

【詳解】對(duì)于A,(。力)w表示與c共線的向量，〃?他表示與〃共線的向量，

而a,c的方向無(wú)法確定，所以無(wú)法判斷?伍?c)是否相等，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)镺P=,OA+'O8+，OC,且■1+,+'=1,

632632

所以RA8,C四點(diǎn)共面，故B正確；

對(duì)于C,｛。力,。｝是空間的一組基底，若j〃=a+c，

當(dāng)a,b,a+cV＜面時(shí)，則a+c=xa+yb,

\=x

所以《。=)1無(wú)解，所以a,〃,a+c不共面,

1=()

所以也是空間的?組基底，故C正確：

對(duì)FD,/ua時(shí)，mln,故D錯(cuò)誤.故選：BC.

10.(多選題)在空間直角坐標(biāo)系Qxyz中，41,0,0),4(2,1,—2),C(1,2,3),則()

A.ABBC=-\0B.|AC|=Vl3

C.異面直線OB與AC所成角的余弦值為三叵D.點(diǎn)。到直線8c的距離是叵