第一章空間向量與立體幾何

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

清單01空間向量的加法、減法運(yùn)算

1、空間向量的位置：己知空間向量可以把它們平移到同一平面a內(nèi)，以任意點(diǎn)。為起點(diǎn)，作向量

OA=a,OB=b

2、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量從。二力，則向量0。叫做向量外〃的和.記作

即OC=AC=a+b

3、空間向量的減法運(yùn)算（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）：向量胡叫做〃與力差，記作〃-力，即

BA=OA-OB=a-b

4、空間向量的加法運(yùn)算律

（1）加法交換律：a+h=h+a

⑵加法結(jié)合律：a+〃+c=a+e+c）

清單02空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)4與空間向星〃的乘積仍然是一個(gè)向星.，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.

2：數(shù)乘向量與向量〃的關(guān)系

義的范圍Aa的方向ka的模

2>0Xa與向量〃的方向_____

2=0Xa=0?其方向是_____

2<0與向量〃的方向_____

清單03共線向量與共面向量

1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相，則這些向量

叫做或,若〃與方是共線向量，則記為

在正確理解共線向量的定義時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：

（1）零向量和空間是共線向量.

（2）共線向量不具有傳遞性，如?！ㄍ吡Α╟,那么q〃c不一定成立，因?yàn)楫?dāng)6=0時(shí)，雖然〃//b,b//c,

但〃不一定與c共線（特別注意0,0與任何向量共線）.

2、共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量。,伙力工0）,。的充要條件是,使

2.1共線向量定理推論：如果/為經(jīng)過點(diǎn)4平行于已知非零向量。的直線,那么對(duì)于空間任一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直

線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，，使0。=。4+S①，若在/上取=則①可以化作：OP=Q4+rA8

2.2拓展（高頻考點(diǎn)），對(duì)于直線外仟意點(diǎn)O.空間中二點(diǎn)只4月共線的充要條件是

其中___________

3、共面向量定義：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量.

3.1共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，那么向量p與向量心力共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)（x,y）,使

3.2空間共面向量的表示

如圖空間一點(diǎn)尸位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使AP=xAB+yAC.

圖3.1-15

或者等價(jià)于：對(duì)空間任怠一點(diǎn)O,空間一點(diǎn)〃位于平面ABC內(nèi)（RA,⑸。四點(diǎn)共面）的充要條件是存在

有序?qū)崝?shù)對(duì)（MV）,使OP=QA+xAB+），4C,該式稱為空間平面A3c的向量表示式，由此可知，空間中任

意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

3.3拓展

對(duì)于空間任意一點(diǎn)。，四點(diǎn)RCA8共面（其中CA8不共線）的充要條件是（M

i.

清單04空間兩個(gè)向量的夾角

1、定義：如圖已知兩個(gè)非零向量G,/九在空間任取一點(diǎn)0,作=〃，0B=b，則么NAOB叫做向量。力

的夾角，記,（特別注意向量找夾角口訣：共起點(diǎn)找夾角）

ObBObB

11

2、范圍：v4].

特別地，⑴如果va,八杉，那么向量“為互相,記作.

（2）由概念知兩個(gè)非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量,夾角為；反向時(shí)，夾角為萬，

故<a,b>=0（或<a,b>=乃）<=>a/lb（a,〃為非零向量）.

清單05空間向量的數(shù)量積

1、定義：已知兩個(gè)非零向量b，則叫做a，8的數(shù)量積，記作。包；即.規(guī)

定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為.

特別提醒：兩個(gè)空間向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；

2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

（1）利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長(zhǎng)度的問題；

（1?h

⑵利用公式cos可以解決兩向量夾角，特別是兩異面直線夾角的問題；

\a\\b\

3、向量Q的投影

3.1.如圖（1）,在空間，向量a向向量〃投影，由于它們是自白向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平

----b

面戊內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量匕共線的向量c，c=|^lcos<?,/?>—向量°稱為向

1例

量〃在向量。上的投影向量.類似地，可以將向量〃向立線/投影（如圖（2））.

3.2.如圖（3）,向量〃向平面夕投影，就是分別由向量〃的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面夕的垂線，垂足分別為

4,B',得到A8'，向量A8'稱為向最。在平面夕上的投影向量?這時(shí)，向量〃，A3’的夾角就是向

量〃所在直線與平面夕所成的角.

4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量a，h的數(shù)量枳等于Q的長(zhǎng)度|。|與力在〃方向上的投影的

乘積或等于b的長(zhǎng)度|以與4在/7方向上的投影的乘積.

清單06空間向量基本定理

如果向量三個(gè)向量4,不共面，那么對(duì)空間任意向量P，存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使得

清單07空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

設(shè)。=@,a2,%），加他，%%）,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：

運(yùn)算坐標(biāo)表示

加法

a+b={a{+瓦,%+瓦，%+4)

減法a-b={a-bvga3—hy)

數(shù)乘

數(shù)量積ab=a向+42匕2+0363

清單08空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示

1、兩個(gè)向量的平行與垂直

a-{aea2,%)力=(d，b2,4)

%=獨(dú)

平行(a\h)ab(bw0)=a=勸。，a2=2b2(2e/?)

-a',=AhJ.

垂直（a_L8）aJ-b<=>ab=O^>a]bl+a2b2+a3b2=0(a,b均非零向量)

%=獨(dú)

特別提醒：在4=｛生=4%（4￡氏）中，應(yīng)特別注意，只有在b與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)，才

%=勸3

能寫成微=長(zhǎng)=例如，若b與坐標(biāo)平面火力平行，則打=o,這樣上就沒有意義了.

2、向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式

2

若a-{av的4)，則Ia|=\j\a\=\[a~={a：+aj+'即

空間向量長(zhǎng)度公式表示的是向量的長(zhǎng)度，其形式與平面向量長(zhǎng)度公式?致，它的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的

體對(duì)角線的長(zhǎng)度

3、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式

1Sa=(a,,a2,a^b-(bvb2,&),則___________________________________

4、兩點(diǎn)間的距離公式

已知4(%,y,4),8(/,%,z2),則___________________________________

清單09空間中直線、平面的平行

設(shè)直線4,4的方向向量分別為a，b，平面。，￡的法向量分別為〃，團(tuán)，則

線線平行《14=aII8<=>_________(-wR)

線面平行41|aoQj_〃0_________

面面平行QII1=〃I=_________

清單10空間中直線、平面的垂直

設(shè)苜線/[的方向向量為〃=(q,々，6),直線的方向向量為〃=(生也，G),平而。的法向量〃=(w，y,/J,

平面夕的法向量為〃7=(工2，%，22)，則

線線垂直1\112=_=

線面垂直/)Laa\n<=>_______

面面垂直

清單11點(diǎn)到線面距離

1、點(diǎn)到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為"，A是直線/上的定點(diǎn)，尸是直線/外一點(diǎn),設(shè)AP=o,則向量AP在直線/

上的投影向量AQ=(a?〃)〃，在RfAAPQ中，由勾股定理得：

u

AQ

2、點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面。的法向量為〃，A是平面夕內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面。外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面a的垂線/,

交平面a于點(diǎn)Q,則〃是直線/的方向向量，且點(diǎn)P到平面。的距離就是AP在直線/上的投影向量。尸的

清單11用向量法求空間角

1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角

已知a,6為兩異面直線，4，與8,〃分別是a,6上的任意兩點(diǎn)，a,6所成的角為。，則

①_______________________

②____________________.

2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角

設(shè)直線/的方向向量為平面。的法向量為〃，直線與平面所成的角為。，〃與〃的角為。，則有

?_______________________

②一.（注意此公式中最后的形式是:sin。）

3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角

如圖，若B4J_a于兒PB上0于■B,平面陽(yáng)8交/于￡,則/力所為二面角二一/一夕的平面角，NAE//

力峰180°.

若％?〃2分別為面。，口的法向量

0_______________

②cos。根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；

若二面角為銳二面角（取正），則_______________________一

若二面角為頓二面角（取負(fù)），則_______________________一

易錯(cuò)總結(jié)

易錯(cuò)點(diǎn)1混淆異面直線所成角和向量的夾角

錯(cuò)誤：易忽略異面直線夾角的范圍為（0，］，而向量的夾角是。淚

注意：注意向量法求異面直線所成角最后要考慮異面直線所成角范圍

例題1?1如圖，四棱錐S-人BCO的底面是正方形，5。_1_平面/WC。，點(diǎn)七為SC中點(diǎn)，SD=AD,則異面

直線E8與AC所成角的余弦值為（）

C.男D.一直

66

例題1-2在正四面體A3c。中，點(diǎn)M在BC上，且3M=2CM,則異面直線AM與。。所成角的余弦值

為.

易錯(cuò)點(diǎn)2混淆線面角與向量夾角關(guān)系

錯(cuò)誤：若直線與平面所成的角為仇直線的方向向量為〃，平面的法向量為〃，則sin〃=|cos〈a,〃〉|。

容易出錯(cuò)的是：①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角;②誤以為直線的方向向量與平

面付法向量所成角的余弦就是線面角的正弦,而忘了加絕對(duì)值③不清楚線面角的范圍。

注意：線面角向量法公式中最后形式是正弦sine=|cos〈a,〃）|,注意公式中最后形式。

例題2-1若直線/的一個(gè)方向向量為\平面。的一個(gè)法向量為”=（夜,0,1）,則/與。所成的

角為（）

7tC2兀八九c兀

A.zB-Tc-yD-1

例題2?2正三棱錐P-4?C的側(cè)直都是直角三角形，E,r分別是棱A8,4C的中點(diǎn)，則尸“與平面尸所所

成角的正弦值為.

易錯(cuò)點(diǎn)3混淆兩個(gè)平面夾角與二面角平面角關(guān)系

錯(cuò)誤：若兩個(gè)平面的法向量分別為若兩個(gè)平面所成的銳二面角為氏則cose=|cos〈a涉〉|;若兩個(gè)平面

所成二面角為鈍角，則cos。=-|cos〈a,?！祙

兩個(gè)平面的夾角范圍：0°<6?<90°,二面角的平面角范圍：00<6^<1800

注意：兩個(gè)平面的夾角范圍：0°<6><90°,二面角的平面角范圍：0°<<9<180°,注意區(qū)分角的范圍

例題3-1在空間中，已知平面的一個(gè)法向量e=（A&C）和平面上一點(diǎn)PG。,），。*。），平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)

（,1,），,2）滿足的關(guān)系式為4。=事）+8（》-%）+。（2-0）=。.則該方程稱為這個(gè)平面的方程，若兩平面的方

程分別為x+2），-z=l和2.r-），-z=友，則這兩平面的夾角的余弦值為（）

A.--B.-C.--1）.-

3366

U1

例題3-2已知兩平面的法向量分別為〃=7（0,0）,〃=（0,1,1）,則兩平面所成的二面角為（）

A.45B.135C.45或135D.120

易錯(cuò)訓(xùn)練

1.在正四棱臺(tái)人BCO-AeCa中，Ae=2,A8=4,且該正四棱臺(tái)的體積為28,則異面直線與用。

所戌角的余弦值為（）

4I3^/2O95>/2092VH

Dn5阿

A.-----------D?------------L/-------------------

209209II209

21

2.如圖，在長(zhǎng)方體A4CO-44GR中,AB=BC=3,/狙=2,DM=-DB,A.N=-A.C,,則異面直線AM和

33

8N夾角的余弦值為（）

c-42x/6

3.已知直線乙的方向向量』=（1,0,1）與直線人的方向向量”=（-1，2,-2）,則直線《和6所成角的余弦值為（）

4.如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCO-ABCQ中，AA=24B=2,AD=3,點(diǎn)E在棱8C上，且BE=2EC，則直

線AE與直線所成角的余弦值為（）

A.--B.巫C.-D.邁

3433

5.如圖，在三棱錐中，AB=AC=A/）=2,且人4,AC,人。兩兩垂直，M,N分別為BC,AD

的中點(diǎn)，則異面直線AM和CN夾角的余弦值為（）

A

6.如圖，在三棱錐P-A4c中，VA4c為等邊三角形，/XAPC為等腰直角三角形，PA=PCt平面PAC_L

平面A3C,。為A8的中點(diǎn)，則異面直線AC與Q力所成角的余弦值為（）

，?乎口?羊

7.若向量。=（020）是直線,的方向向量，向量〃=（1』」）是平面。的法向量，則直線/與平面1所成角的余

弦值為（）

A--TD--TC-TD-T

8.如圖，在正方體A8CO-44GR中,E為A3的中點(diǎn).則直線AE與平面所成角的正弦值為（）

D*

9.已知向量〃2,〃分別是直線/和平面a的方向向量和法向量，若85〈，",〃）=-；，貝1]/與1所成的角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

10.如圖所示，正方形A8CDABE尸的邊長(zhǎng)都是1,且它們所在的平面互相垂直.動(dòng)點(diǎn)M.N分別在正方

形對(duì)角線AC和"上移動(dòng)，且CM=BN.當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，二面角A-MN-3的平面角的余弦值為（）

D.f

C-T

11.已知兩平面的法向量分別為川=（0,T0）,〃=（0,1,1）,則兩平面的夾角為（）

A.45°B.135°C.45?；?35。D.90°

12.如圖，在正方體ABEF-QCEF中，N分別為AC,8尸的中點(diǎn)，則平面MNA與平面MV8的夾角的

余弦值為（）

13.已知平面