專題02二次函數(shù)一．二次函數(shù)的定義一般地，形如（a，b，c是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．注意：任何一個二次函數(shù)的解析式都可化為（a，b，c是常數(shù)，）的形式，因此，把（a，b，c是常數(shù)，）叫做二次函數(shù)的一般式．二次項系數(shù)a不能為0，而b，c可以為0．

二．二次函數(shù)的圖象和性質1．二次函數(shù)的圖象叫做拋物線，拋物線是軸對稱圖形，拋物線與對稱軸的交點叫做拋物線的頂點，頂點是拋物線的最低點或最高點．拋物線的對稱軸是y軸，頂點是原點．2．二次函數(shù)圖象的作法：①列表：一般取5個或7個點，作為頂點的原點是必取的，然后在y軸的兩側各取2個或3個點，注意對稱取點；②描點：一般先描出對稱軸一側的幾個點，再根據對稱性找出另一側的幾個點；③連線：按照自變量由小到大的順序，用平滑的曲線連接所描的點，兩端無限延伸．注意：①連線時按照自變量由小到大的順序是為了體會函數(shù)的增減性；②在畫函數(shù)圖象時，圖象必須平滑，頂端不能畫成尖形的，一般來說，選點越多，圖象越精確，但也要具體問題具體分析；③拋物線是向兩方無限延伸的，左右兩側必須保持關于對稱軸對稱．3．二次函數(shù)的圖象和性質：①開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下．②對稱軸是y軸（或直線）．③頂點坐標是．④增減性：當時，在對稱軸的左側（即當時），y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側（即當時），y隨x的增大而增大．當時，在對稱軸的左側（即當時），y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側（即當時），y隨x的增大而減?。葑畲螅ㄐ。┲担寒敃r，拋物線有最低點，即當時，；當時，拋物線有最高點，即當時，．4．a的作用：①a的正負決定拋物線的開口方向和函數(shù)的最值；②的大小決定拋物線的開口大?。涸酱?，拋物線的開口越?。?．拋物線和的關系：①開口大小相同，方向相反；②兩拋物線關于x軸對稱，關于原點中心對稱．

三．二次函數(shù)（a，k是常數(shù)，）的圖象和性質二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是y軸，頂點坐標是，它與的圖象形狀相同，只是位置不同．函數(shù)的圖象是由拋物線向上（或下）平移個單位長度得到的．二次函數(shù)與的圖象之間的關系如下表所示：向上平移個單位長度向下平移個單位長度當時，拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊（時），拋物線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊（時），拋物線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大．頂點是拋物線的最低點，在頂點處函數(shù)y取得最小值，即當時，．當時，拋物線的開口向下，在對稱軸的左邊（時），拋物線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊（時），拋物線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減?。旤c是拋物線的最高點，在頂點處函數(shù)y取得最大值，即當時，．

四．二次函數(shù)（a，h是常數(shù)，）的圖象和性質二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是平行于y軸或與y軸重合的直線，頂點坐標是，它與的圖象形狀相同，位置不同．函數(shù)的圖象是由拋物線向右（或左）平移個單位長度得到的．二次函數(shù)與的圖象之間的關系如下表所示：向左平移個單位長度向右平移個單位長度當時，拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊（時），拋物線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊（時），拋物線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大．頂點是拋物線的最低點，在頂點處函數(shù)y取得最小值，即當時，．當時，拋物線的開口向下，在對稱軸的左邊（時），拋物線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊（時），拋物線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減?。旤c是拋物線的最高點，在頂點處函數(shù)y取得最大值，即當時，．

五．二次函數(shù)（a，h，k是常數(shù)，）的圖象和性質二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線，頂點坐標為，是由拋物線向右（左）平移個單位長度，再向上（下）平移個單位長度得到的．當時，拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊（時），拋物線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減小；在對稱軸的右邊（時），拋物線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大．頂點是拋物線的最低點，在頂點處函數(shù)y取得最小值，即當時，．當時，拋物線的開口向下，在對稱軸的左邊（時），拋物線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊（時），拋物線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減小．頂點是拋物線的最高點，在頂點處函數(shù)y取得最大值，即當時，．注意：由于從中可以直接看出拋物線的頂點坐標，所以通常把叫做二次函數(shù)的頂點式．六．二次函數(shù)的圖象和性質1．拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線．當時，拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊（時），拋物線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減??；在對稱軸的右邊（時），拋物線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大．頂點是拋物線的最低點，在頂點處函數(shù)y取得最小值，即當時，．當時，拋物線的開口向下，在對稱軸的左邊（時），拋物線自左向右上升，函數(shù)y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊（時），拋物線自左向右下降，函數(shù)y隨x的增大而減?。旤c是拋物線的最高點，在頂點處函數(shù)y取得最大值，即當時，．

2．二次函數(shù)的圖象特征與a，b，c，的符號之間的關系：字母的符號圖象的特征a開口向上開口向下b對稱軸為y軸（a，b同號）對稱軸在y軸左側（a，b異號）對稱軸在y軸右側c圖象過原點圖象與y軸正半軸相交圖象與y軸負半軸相交圖象與x軸有唯一一個交點圖象與x軸有兩個交點圖象與x軸沒有交點注意：二次函數(shù)的圖象特征與a，b，c及的符號之間的關系是互逆的，即由字母的符號能確定圖象的特征，反之，由圖象的特征也能確定字母的符號．七．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．一般式2．頂點式3．交點式利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一般有以下幾種情況：①頂點在原點，可設為；②對稱軸是y軸（或頂點在y軸上），可設為；③頂點在x軸上（或拋物線與x軸只有一個交點），可設為；④拋物線過原點，可設為；⑤已知頂點時，可設為頂點式；⑥已知拋物線上三點坐標時，可設為一般式；⑦已知拋物線與x軸兩交點坐標為，時，可設為交點式．八．二次函數(shù)與一元二次方程的關系函數(shù)，當時，得到一元二次方程．那么一元二次方程的根就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，因此，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況．①當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當二次函數(shù)的圖象與x軸無交點時，，方程無實數(shù)根．注意：求一元二次方程的根也就是求二次函數(shù)的值為0時，自變量x的值，即拋物線與x軸的交點的橫坐標．九．二次函數(shù)與一元二次不等式的關系拋物線在x軸上方部分點的縱坐標為正，所對應的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方部分點的縱坐標為負，所對應的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應帶有等號．

【專題過關】一．二次函數(shù)的概念（共6小題）1．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】D．【解析】解：A．最高次項為一次，不符合題意；B．當時，不是二次函數(shù)，不符合題意；C．不是整式，不符合題意；D．滿足二次函數(shù)的定義，符合題意；故選：D．2．下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：A．最高次數(shù)為3，不是二次函數(shù)，不符合題意；B．是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；C．是二次函數(shù)，符合題意；D．原函數(shù)化簡為：是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；故選C．3．若正方形的邊長為6，邊長增加x，面積增加y，則y關于x的函數(shù)關系式為（

）A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：∵原正方形的邊長是6，面積是，∴增加后的邊長是，面積是，∴增加的面積，故選：C．4．當時，函數(shù)是二次函數(shù)．【答案】．【解析】解：根據函數(shù)是二次函數(shù)，得且，解得，故答案為：．5．已知是二次函數(shù)，則實數(shù)．【答案】．【解析】解：∵是二次函數(shù)，∴且，解得，故答案為：．6．某超市有一種商品，進價為2元，據市場調查，銷售單價是13元時，平均每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若設降價后售價為x元，每天利潤為y元，則y與x之間的函數(shù)關系為．【答案】．【解析】解：由題意得，，故答案為：．二．二次函數(shù)的圖象和性質（共5小題）7．若拋物線的開口向上，則m的值可能為（

）A．0B．1C．3D．【答案】C．【解析】解：∵拋物線的開口向上，∴，∴，∴m的值可能為3．故選：C．8．已知拋物線經過，，三點，則，，的大小關系是（

）A．B．C．D．【答案】D．【解析】解：∵，∴拋物線的對稱軸為y軸，且開口向上，則拋物線上的點離對稱軸越遠，其函數(shù)值越大．∵拋物線經過，，三點，則，，，∵，∴故選：D．9．拋物線，和共有的性質是（

）A．開口向下B．對稱軸為直線C．圖象都在某條與x軸平行的直線上方D．拋物線呈下降趨勢【答案】B．【解析】解：A．拋物線，開口向上，拋物線開口向下，故本選項不符合題意；B．拋物線，和的對稱軸都為直線，故本選項符合題意；C．拋物線，的圖象都在某條與x軸平行的直線上方，拋物線在某條與x軸平行的直線下方，故本選項不符合題意；D．拋物線既有上升趨勢的部分，也有下降趨勢的部分，故本選項不符合題意；故選：B．

10．拋物線，開口，頂點坐標為，對稱軸為；拋物線，開口，頂點坐標為，對稱軸為．相比之下，拋物線的開口程度較大．【答案】向上，，y軸，向上，，y軸，．【解析】解：拋物線，開口向上，頂點坐標為，對稱軸為y軸；拋物線，開口向上，頂點坐標為，對稱軸為y軸．相比之下，拋物線的開口程度較大．故答案為：向上，，y軸，向上，，y軸，．11．如圖所示，在同一坐標系中，作出①；②；③的圖象，則圖象，，對應的函數(shù)解析式依次是．（填序號）【答案】①③②．【解析】解：∵①；②；③∴二次項系數(shù)a分別為、、，∵，∴拋物線②的開口最寬，拋物線①的開口最窄．∴圖象，，對應的函數(shù)解析式依次是①③②．故答案為：①③②．

三．二次函數(shù)的圖象和性質（共6小題）12．拋物線的對稱軸是（

）A．直線B．直線C．x軸D．y軸【答案】D．【解析】解：拋物線的對稱軸是y軸，故選：D．13．若，，則二次函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：，∵，，∴拋物線的開口向上，與y軸交于負半軸，∵二次函數(shù)的對稱軸為y軸，∴二次函數(shù)的圖象大致是：．故選：A．14．二次函數(shù)，當時，y的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：∵二次函數(shù)的解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，∴拋物線開口向下，∵，∴當時，取得最大值，當時，，當時，，∴當時，y的取值范圍是，故選：A．15．拋物線在y軸右側部分呈現(xiàn)的趨勢（填“上升”或者“下降”）．【答案】下降．【解析】解：∵中的，，∴拋物線開口向下，對稱軸為y軸，∴y軸右側部分呈現(xiàn)下降的趨勢，故答案為：下降．16．二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是．【答案】．【解析】解：二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是；故答案為：．17．已知，是拋物線上的兩點，則和的大小關系是（填“”、“”或“=”）．【答案】．【解析】解：∵點，在拋物線上，∴，，∴．故答案為：．

四．二次函數(shù)的圖象和性質（共6小題）18．下列圖象是二次函數(shù)的圖象的是（

）A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：函數(shù)，∵，∴拋物線開口向下，∴選項A、B不符合題意，∵拋物線的頂點坐標為（即頂點在x軸上，且橫坐標為），選項C、D的拋物線開口向下，而選項C的拋物線頂點在x的負半軸上；選項D的拋物線頂點在x軸正半軸，∴符合條件的是選項C，故答案為：C．19．已知函數(shù)的圖象上有三點，，，則，，的大小關系為（

）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：∵函數(shù)∴拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口方向向上，則A、B、C的橫坐標離對稱軸越近，則縱坐標越小，∵函數(shù)的圖象上有三點，，，且∴故選：B．

20．關于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（

）A．圖象經過原點B．開口向上C．對稱軸是直線D．最高點是【答案】D．【解析】解：A．當時，，則圖象經過，故A選項錯誤，不符合題意；B．因為，則拋物線開口向下，故B選項錯誤，不符合題意；C．對稱軸是直線，故C選項錯誤，不符合題意；D．頂點坐標為且開口向下，即最高點是，故D選項正確，符合題意；故選：D．21．拋物線的頂點坐標是．【答案】．【解析】解：依題意，的頂點坐標是，故答案為：．22．下面是三位同學對某個二次函數(shù)的描述．甲：圖象的形狀、開口方向與的相同；乙：頂點在x軸上；丙：對稱軸是直線．請寫出這個二次函數(shù)的表達式：．【答案】．【解析】解：∵拋物線的頂點在x軸上，對稱軸是直線，∴拋物線的頂點坐標為，∵拋物線的形狀、開口方向與的相同，∴可設二次函數(shù)的表達式為．故答案為：．23．二次函數(shù)的圖象是由拋物線向平移個單位長度得到的；此函數(shù)圖象開口向，對稱軸是，當時，y有最值，是．【答案】右；4；下；直線；4；大；0．【解析】解：二次函數(shù)的圖象是由拋物線向右平移4個單位長度得到的；此函數(shù)圖象開口向下，對稱軸是直線，當時，y有最大值，是0．故答案為：右；4；下；直線；4；大；0．五．二次函數(shù)的圖象和性質（共5小題）24．對于二次函數(shù)的圖象，下列說法不正確的是（

）A．開口向上B．對稱軸是直線C．頂點坐標為D．當時，y隨x的增大而增大【答案】D．【解析】解：A．，拋物線的開口向上，所以A選項正確，不符合題意；B．拋物線的對稱軸為直線，所以B選項正確，不符合題意；C．拋物線的頂點坐標為，所以C選項正確，不符合題意；D．在對稱軸左側y隨x的增大而減小，所以D選項錯誤，符合題意；故選：D．25．將拋物線向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得的拋物線解析式為（

）A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：拋物線向右平移1個單位長度，再向下移1個單位長度，所得的拋物線解析式為，故選：C．26．對于拋物線下列結論：①拋物線的開口向上；②對稱軸為直線；③頂點坐標為；④當時，y隨x的增大而減?。渲姓_的結論是（

）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④【答案】B．【解析】解：拋物線，開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，y隨x的增大而增大，故①③正確，故選：B．27．拋物線的頂點坐標是．【答案】．【解析】解：拋物線的頂點坐標為．故答案為：．28．已知點，都在二次函數(shù)的圖象上，則與的大小關系是．【答案】．【解析】解：當時，，當時，，∴．故答案為：．

六．二次函數(shù)的平移（共5小題）29．若將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后的二次函數(shù)解析式為（

）A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：∵二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，根據“左加右減”的原則，∴得到；∵再將向上平移3個單位長度，根據“上加下減”的原則，∴平移后的二次函數(shù)解析式為．故選：C．30．將拋物線先向右平移a個單位長度，再向下平移4個單位長度，平移后的拋物線與拋物線重合，則a，b的值分別為（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A．【解析】解：拋物線的表達式為，平移后的拋物線的表達式為：，∵平移后的拋物線與拋物線重合，∴，，解得，．故選：A．

31．將拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得的拋物線的解析式為．【答案】．【解析】解：∵拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，∴，故答案為：．32．將拋物線向右移1單位，上移2單位所得到的新拋物線解析式為．【答案】．【解析】解：根據“左加右減，上加下減”的法則可知，將拋物線向右移1個單位，再向上移2個單位，那么所得到拋物線的函數(shù)關系式是．故答案為：．33．已知是由拋物線向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度得到的，則，，．【答案】，2，3．【解析】解：∵拋物線向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度得到拋物線，∴，，，故答案為：，2，3．七．二次函數(shù)的圖象和性質（共6小題）34．關于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向上B．對稱軸是直線C．頂點坐標是D．時，y隨x增大而增大【答案】C．【解析】解：拋物線，∵，∴拋物線開口向下，對稱軸直線，頂點坐標為，∴當時，y隨x的增大而減小，即時，y隨x增大而減小，∴只有C選項正確．故選：C．35．關于拋物線，下列說法錯誤的是（

）A．開口向上B．與x軸有一個交點C．對稱軸是直線D．時，y隨x增大而減小【答案】D．【解析】解：∵，∴拋物線開口向上，故A正確；∵，∴對稱軸直線，頂點坐標為，故C正確；∴拋物線的頂點在x軸上，∴拋物線與x軸有一個交點，故B正確；∴當時，y隨x的增大而增大，故D錯誤．故選：D．36．拋物線向右平移2個單位后再向下平移3個單位，此時拋物線的解析式為（

）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：原拋物線可化為頂點式：，其頂點坐標為．向右平移2個單位后，頂點的橫坐標變?yōu)?，縱坐標不變，此時頂點坐標為．再向下平移3個單位后，頂點的縱坐標變?yōu)椋藭r新拋物線的頂點坐標為．則平移后拋物線的解析式為．故選：A．37．將二次函數(shù)化為頂點式為，對稱軸是直線．【答案】；．【解析】解：，∴二次函數(shù)化為頂點式為，對稱軸是直線，故答案為：；．38．如果當時，二次函數(shù)的圖象一定不經過第象限．【答案】四．【解析】解：將二次函數(shù)化為頂點式，整理得：，∴該二次函數(shù)的對稱軸為直線，頂點坐標為，∵，∴二次函數(shù)的圖象開口向上，當時，，即函數(shù)圖象過點，又∵對稱軸為，開口向上，且過點，頂點縱坐標，當時，，頂點在x軸下方，但函數(shù)過且開口向上，此時頂點在第三象限，在對稱軸右側y隨x的增大而增大且過，函數(shù)圖象不經過第四象限；當時，，頂點在x軸上或x軸上方，綜合，無論a的取值如何，函數(shù)圖象一定不經過第四象限．故答案為：四．

39．已知拋物線上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表：…0123……303…有以下幾個結論：①拋物線的開口向下；②當時，x的取值范圍是或；③方程的根為0和2；④拋物線的對稱軸為直線；其中正確的．（填序號）【答案】②③．【解析】解：設拋物線的解析式為，將、、代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為，由知拋物線的開口向上，故①錯誤；當時，，解得或，故②正確；當時，，解得或，∴方程的根為0和2，故③正確；拋物線的對稱軸為直線，故④錯誤；故答案為：②③．

八．二次函數(shù)圖象與系數(shù)a，b，c的關系（共4小題）40．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D．【解析】解：由圖象可知，當時，，∴，∴，故A錯誤，不合題意；∵，，∴，，∴，，故B、C錯誤，不合題意；∵二次函數(shù)的圖象關于對稱，且，∴當時，，∴，∴，故D正確，符合題意；故選：D．

41．二次函數(shù)的圖象如圖，給出下列五個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確結論的個數(shù)是（

）A．4個B．3個C．2個D．1個【答案】C．【解析】解：∵拋物線開口向下，對稱軸為，圖象與y軸正半軸相交，∴，，，∴，故①不正確；由圖象可知當時，，∴，故②正確；∵對稱軸為，與x軸的一個交點在和之間，∴與x軸的另一個交點在和之間，∴當時，，∴，故③不正確；∵對稱軸為，∴，即，故④正確；∵，，∴，故⑤不正確．∴正確的個數(shù)有2個，故選：C．42．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為，下列結論：①；②；③；④，其中正確的是．【答案】④．【解析】解：由所給函數(shù)圖象可知，圖象開口向上，對稱軸為直線，與y軸相交于負半軸，∴，，，∴，故①錯誤；∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴，故②錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線，∴即．又∵當時，函數(shù)值小于零，∴，∴，故③錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線且與x軸的一個交點橫坐標比1大，∴，∴拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標比小，則當時，函數(shù)值小于零，∴，故④正確．故答案為：④．43．拋物線如圖所示，現(xiàn)有下列四個結論：①；②；③；④，其中正確的結論有．【答案】①②③．【解析】解：觀察函數(shù)圖象，得出函數(shù)的開口向上，故，函數(shù)與y軸交于負半軸，∴，函數(shù)的對稱軸位于x軸的正半軸，∴，∴，∵，∴，即，故①是正確的；圖象對稱軸為直線，觀察函數(shù)，得出∵，∴，∴，故③是正確的；觀察函數(shù)圖象，當時，則，即，∴，故④是錯誤的；∵，∴，∵，∴，即，故②是正確的；故答案為：①②③．九．二次函數(shù)圖象判斷（共5小題）44．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：若，，則經過一、二、三象限，開口向上，對稱軸為，在y軸右側，故A正確、C錯誤；若，，則經過二、三、四象限，開口向下，對稱軸為，在y軸右側，故B、D錯誤；故選：A．45．在同一平面直角坐標系內，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：A．觀察一次函數(shù)的圖象得：，，由二次函數(shù)的圖象得：，矛盾，故本選項不符合題意；B．觀察一次函數(shù)的圖象得：，，由二次函數(shù)的圖象得：，矛盾，故本選項不符合題意；C．觀察一次函數(shù)的圖象得：，，由二次函數(shù)的圖象得：，，有可能，故本選項符合題意；D．觀察一次函數(shù)的圖象得：，，由二次函數(shù)的圖象得：，矛盾，故本選項不符合題意；故選：C．46．在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：A．由拋物線可知，，由直線可知，，故本選項符合題意；B．由拋物線可知，，由直線可知，，故本選項不符合題意；C．由拋物線可知，，由直線可知，，故本選項不符合題意；D．由拋物線可知，，由直線可知，，但圖象過點，求得，矛盾，故本選項不符合題意．故選：A．

47．函數(shù)、在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則在該平面直角坐標系中，函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：由圖象知，函數(shù)和函數(shù)的開口都向上，所以函數(shù)的開口一定向上，故C選項不符合題意；由圖象知，函數(shù)的對稱軸在y軸的右側，函數(shù)的對稱軸也在y軸的右側，所以，函數(shù)的圖象的對稱軸也在y軸的右側，故選項D不符合題意；函數(shù)的圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上，函數(shù)的圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上，且前者的絕對值小于后者的絕對值，所以，函數(shù)的圖象與y軸的負半軸相交，故選項A不符合題意，選項B符合題意．故選：B．

48．函數(shù)，在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則在該平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：設，，由圖象知，，，，，，，，∴，∵函數(shù)的圖象開口大于函數(shù)的圖象開口，∴，∴，∵，∴函數(shù)的圖象是拋物線，開口向下，與y軸的交點在y軸的正半軸上，故選：A．

十．二次函數(shù)的對稱性（共3小題）49．二次函數(shù)的部分對應值如下表：…0123……500…二次函數(shù)圖象的對稱軸是（

）A．直線B．y軸C．直線D．直線【答案】D．【解析】解：根據題意，得和是對稱點，故拋物線的對稱軸為直線，故選：D．50．下表給出了二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的一些對應值，則下列說法正確的是（

）…012……0343…A．對稱軸為直線B．當時，C．當時，y隨x的增大而增大D．此函數(shù)有最小值4【答案】C．【解析】解：由表格數(shù)據可得：當和2時，對應y的值相等，∴函數(shù)的對稱軸為：直線，故A錯誤；∵，當時，，∴當時，，故B錯誤；∵數(shù)據從到1對應的y值不斷增大，∴拋物線開口向下，當時，y隨x的增大而增大，∴當時，y隨x的增大而增大，故C正確；∴函數(shù)有最大值4，故D錯誤．故選：C．51．已知二次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點A與點B關于拋物線的對稱軸對稱，且點，在該函數(shù)圖象上．二次函數(shù)中的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如表所示：x…013…y…255…有下列結論：①拋物線的對稱軸是直線；②這個函數(shù)的最大值大于5；③點B的坐標是；④當，時，．其中正確的是（

）A．①③B．②③④C．②④D．①②④【答案】C．【解析】解：將，代入得：，解得∴,∴拋物線開口向下,對稱軸為直線，頂點坐標為，故①錯誤，②正確．∵點A的坐標為，∴點B的坐標為，故③錯誤．∵，，∴點C到對稱軸的距離小于點D到對稱軸的距離，∴，故④正確，故選：C．十一．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關系（共7小題）52．已知二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，則k的取值范圍為（

）A．B．且C．D．且【答案】C．【解析】解：∵的圖象與x軸無交點，∴當圖象在x軸上方時，，∴當圖象在x軸上方時，，無解；當圖象在x軸下方時，，∴，∴．∴k的取值范圍是，故選：C．53．次函數(shù)圖象的對稱軸，若關于x的一元二次方程在的范圍內有實數(shù)解，則t的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：∵拋物線的對稱軸，∴，則方程，即的解相當于與直線的交點的橫坐標，∵方程在的范圍內有實數(shù)解，∴當時，，當時，，又∵，∴拋物線的對稱軸為直線，最小值為，∴當時，則，∴當時，直線與拋物線在的范圍內有交點，即當時，方程在的范圍內有實數(shù)解，∴t的取值范圍是，故選：A．54．如表是代數(shù)式的部分值的情況．1.11.21.31.4－0.590.842.293.76根據表格中的數(shù)據，則關于方程的一個正根的判斷正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：由表格可知：時，，當時，，∴當，存在一個x的值使，∴關于x的方程的一個解x的范圍是；故選：B．

55．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸是直線，下列結論：①；②方程必有一個根大于2且小于3；③若，是拋物線上的兩點，那么；④對于任意實數(shù)m，都有，其中正確結論的個數(shù)是（

）A．2B．3C．4D．5【答案】A．【解析】解：∵拋物線開口向上，∴；∵對稱軸為，即，∴；∵拋物線與y軸交于負半軸，∴；∴，故①錯誤．∵拋物線的一個根與x軸交于和0之間，且對稱軸為，∴另一個根必然大于2小于3，故②正確．∵對稱軸為，點到對稱軸的距離為1，點到對稱軸的距離為，拋物線開口向上，∴，故③錯誤．∵，∴，∴，故④正確．綜上，正確結論為②④，共2個．故選：A．56．如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸交于點，對稱軸為直線，則當函數(shù)值時，自變量x的取值范圍是；【答案】．【解析】解：∵二次函數(shù)的拋物線與x軸交于，對稱軸是直線，∴拋物線與x軸的另一個交點為，故當函數(shù)值時，自變量x的取值范圍是：．故答案為：．57．二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，且）的圖象如圖所示，則關于x的不等式的解集是．【答案】．【解析】解：∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標為，∴二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點坐標為，設此二次函數(shù)解析式為，∴，，∴二次函數(shù)可表示為，當時，，解得，，∴二次函數(shù)與x軸的交點坐標為，，∵，∴拋物線開口向上，∵當時，，∴關于x的不等式的解集為．故答案為：．58．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列四個結論：①；②；③當時，；④其中正確的結論為（填序號）【答案】①②③④．【解析】解：∵二次函數(shù)開口向上，與y軸交于y軸負半軸，∴，，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標為，∴二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點坐標為，∴當時，，∴，故②正確；∵時，，∴，∴，即，故④正確；由函數(shù)圖象可知，當時，，故③正確；綜上所述，其中正確的結論有①②③④，故答案為：①②③④．十二．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共4小題）59．已知拋物線的頂點為，且過，求此二次函數(shù)的解析式．【答案】．【解析】解：設二次函數(shù)解析式為：，∵頂點坐標為，∴，將點代入得，解得：，∴．60．已知二次函數(shù)的圖象經過，，三點．求這個二次函數(shù)的表達式．【答案】．【解析】解：設拋物線的解析式為，把，，分別代入得，解得．∴．61．已知二次函數(shù)的圖象經過點和點．（1）求這個函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)的開口方向、對稱軸．【答案】（1）；（2）函數(shù)開口向上，對稱軸為：直線．【解析】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經過點和點，∴，解得，∴函數(shù)的表達式為：；（2）解：∵，，∴函數(shù)開口向上，對稱軸為：直線．62．已知拋物線的圖象經過點，．（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）當時，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：依題意，把，，分別代入，得，解得，∴這個二次函數(shù)的表達式為；（2）解：由（1）得，則，∵∴開口向下，∴當時，y有最大值4，當時，，當時，，∴當時，，∴，，∴．十三．實際問題與二次函數(shù)（共4小題）63．如圖，矩形中，厘米，厘米，點P從點A開始沿邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以2厘米/秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)．（1）經過幾秒時，的面積等于8平方厘米？（2）在運動過程中，的面積能否等于矩形的面積的四分之一？若能，求出運動時間；若不能，說明理由．（3）在移動過程中，的最大面積是多少？【答案】（1）經過2秒或4秒時，的面積等于8平方厘米；（2）不存在，理由見解析；（3）的最大面積是9．【解析】（1）解：設經過t秒時，的面積等于8平方厘米，∵厘米，厘米，點P從點A開始沿邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以2厘米/秒的速度移動，∴，，∴，解得：，；經過2秒或4秒時，的面積等于8平方厘米；（2）不存在，理由如下：設經過t秒時，的面積能等于矩形的面積的四分之一，則由題意得：，整理得：，∵，∴原方程無解，∴不存在的面積等于矩形的面積的四分之一．（3）設經過t秒時，的面積為S平方厘米，∴，∵，∴當時，S取最大值為9，∴的最大面積是9．

64．如圖是某公園的一座拋物線形拱橋，夏季正常水位時拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯x為1.8m，秋季水位會下降約0.2m，此時水面寬度約為4.0m．（1）如圖1，以的中點O為原點，所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，請求出拋物線的解析式；（2）如圖2，國慶節(jié)期間為裝點節(jié)日的氣氛，公園決定在拱橋上掛一串小彩燈，這串彩燈在拱橋中間部分與水面接近平行，兩邊自然垂下且關于拋物線的對稱軸對稱，彩燈兩端的最低點M，N到水面的距離為1.4m，求這串彩燈的最大長度．【答案】（1）；（2）這串彩燈的最大長度為2.2米．【解析】（1）解：設拋物線的解析式為：，由題意得：拱頂?shù)淖鴺藶?，點D的坐標為，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意設，點，∴，∵彩燈兩端的最低點到水面的距離為1.4m，秋季水位會下降約0.2m，∴彩燈的最低點M，N在直線上，∴點N為，∴，設彩燈的長度為w，，∵，∴時，w最大，，這串彩燈的最大長度為2.2米．65．某廣場的聲控噴泉是由若干個垂直于地面的柱形噴泉裝置組成的．每個柱形噴泉裝置上都有上下兩個噴頭，這兩個噴頭朝向一致，噴出的水流均呈拋物線形．當圍觀游人喊聲較小時，下噴頭噴水；當圍觀游人喊聲較大時，上下兩個噴頭都噴水．如圖所示，點A和點B是一個柱形噴泉裝置上的兩個噴頭，A噴頭噴出的水流的落地點為C．以O為原點，以所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．（柱形噴泉裝置的粗細忽略不計）已知：，，，從A噴頭和B噴頭各噴出的水流的高度與水平距離之間的關系式分別是和．（1）求A噴頭噴出的水流的最大高度；（2）一名游人站在點D處，．當圍觀游人喊聲較大時，B噴頭噴出的水流是否會落在該游人所站的點D處？【答案】（1）A噴頭噴出的水流的最大高度是；（2）B噴頭噴出的水流不會落在該游人所站的點D處，理由見解析．【解析】（1）解：∵，，，從A噴頭和B噴頭各噴出的水流的高度與水平距離之間的關系式分別是和．∴，，令，易得，，令，得，可求得，因此A噴頭和B噴頭各噴出的水流的高度與水平距離之間的關系式分別是和；函數(shù)的對稱軸為直線，把代入，得因此A噴頭噴出的水流的最大高度是；（2）解：依題意，函數(shù)，令，得，因此B噴頭噴出的水流不會落在該游人所站的點D處．

66．一名大學畢業(yè)生響應國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召，在松山湖高新區(qū)租用了一個門店，聘請了兩名員工，計劃銷售一種產品．已知該產品成本價是20元/件，其銷售價不低于30元，且不高于45元/件，員工每人每天的工資為200元，經過市場調查發(fā)現(xiàn)，該產品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）求出每天門店的最大純利潤和最小純利潤分別是多少？并求出每件產品對應的銷售價．（純利潤銷售收入產品成本員工工資）【答案】（1）；（2）當銷售價為35元時，每天門店的最大純利潤是1850元；當銷售價為45元時，每天門店的最小純利潤是850元．【解析】（1）解：設y與x之間的函數(shù)關系式為，把